《統(tǒng)計學(xué)》教案第三章 綜合指標

1、第三章 綜合指標教學(xué)內(nèi)容：1.總量指標的含義、種類、計量單位及其各種單位的特點2.相對指標的含義、表現(xiàn)形式及種類3.平均指標的內(nèi)涵、作用、各種平均數(shù)的計算方法、應(yīng)用場合4.標志變異指標的含義、作用、種類及其計算教學(xué)重點：1.總量指標的種類2.相對指標的種類及計算3.平均指標的種類、計算及其應(yīng)用場合4.標志變異指標的作用、種類及其應(yīng)用場合教學(xué)難點：平均指標、標志變異指標的計算及其應(yīng)用場合授課學(xué)時：8學(xué)時統(tǒng)計指標按其作用和表現(xiàn)形式不同分為三大類：總量指標、相對指標和平均指標，我們把這三類指標統(tǒng)稱為綜合指標，即綜合反映總體的數(shù)量特征和數(shù)量關(guān)系的指標。第一節(jié) 總量指標一、總量指標的概念概念：總量指標也

2、稱絕對指標，是反映現(xiàn)象在一定的時間、地點條件下的總規(guī)模和總水平的指標。如：2007年全國原油產(chǎn)量為1.87億噸； 2007年全國國內(nèi)生產(chǎn)總值為為246619 億元；2007年末全國總?cè)丝跒?32129萬人 2007年全國汽車產(chǎn)量為888.7萬輛；2007年全國工業(yè)增加值為107367億元；2007年末全國就業(yè)人員76990萬人，其中城鎮(zhèn)就業(yè)人員29350萬人?？偭恐笜司怯媒^對指標體現(xiàn)出來的，也稱絕對指標，作用：它是對現(xiàn)象總體認識的起點（基礎(chǔ)數(shù)據(jù)）?？偭恐笜耸亲罨镜慕y(tǒng)計指標，利用它可以反映社會經(jīng)濟發(fā)展的規(guī)模和水平，表明一個國家的經(jīng)濟實力，也可表明企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營的成果。它是計算平均指標和相對指標

3、的基礎(chǔ)，平均指標、相對指標是由絕對指標派生出來的，總量指標是否準確，直接影響其它指標的準確性。二、總量指標的種類（一）總量指標按其反映的內(nèi)容不同分為：總體單位總量和總體標志總量?？傮w單位總量：是反映總體中總體單位數(shù)多少的指標，表示總體本身規(guī)模的大小?？傮w標志總量：是反映總體內(nèi)各單位某一數(shù)量標志值總和的指標，表示總體某一特征的總數(shù)量或總水平。例如，要研究某企業(yè)職工的基本情況，那么該企業(yè)全體職工就構(gòu)成一個總體，每一個職工是總體單位，則這個總體中總體單位數(shù)有多少，可用職工總?cè)藬?shù)表示。職工總數(shù)就是總體單位總量。企業(yè)職工的工資是一個數(shù)量標志，我們把每個職工的工資加總在一起得出工資總額，即為總體標志總量。

4、又如，以全國工業(yè)企業(yè)作為統(tǒng)計的對象，每一個工業(yè)企業(yè)是總體單位，則全國工業(yè)企業(yè)總數(shù)是總體單位總量指標，每一個工業(yè)企業(yè)的總產(chǎn)值是一個數(shù)量標志，全國工業(yè)總產(chǎn)值就是總體標志總量，每一個企業(yè)的職工人數(shù)是一個數(shù)量標志，全國工業(yè)職工總?cè)藬?shù)為總體標志總量。當一個總體確定后，總體單位總量指標只有一個，其它的均為標志總量?？傮w單位總量和標志總量不是固定不變的，而是隨著研究目的、研究對象的變化而變化。如上例中的職工人數(shù)。（二）按其反映的時間狀況不同分為時期指標和時點指標。時期指標：反映現(xiàn)象在一段時期內(nèi)發(fā)展所達到的總數(shù)量的指標。如原油總產(chǎn)量、工業(yè)總產(chǎn)值、工資總額等。時點指標：反映現(xiàn)象在某一時刻或某一時點上所處狀況的指

5、標。如職工人數(shù)、設(shè)備臺數(shù)、企業(yè)個數(shù)等、牲畜存欄數(shù)、商品庫存量、原材料庫存量等。時期指標和時點指標的區(qū)別：時期指標的數(shù)值可以連續(xù)計數(shù)，而時點指標的數(shù)值只能間斷計數(shù)。如一年的總產(chǎn)值，它是一年中每月產(chǎn)值的和；職工人數(shù)，只能統(tǒng)計一月初，二月初或月末、年末、某一天等的職工人數(shù)，它的每一個數(shù)據(jù)只能表明一定時點上所處的水平，而不能將一月初，二月初等12個月月初的人數(shù)加起來，表示這一年的職工人數(shù)，也不能將這一年每天的人數(shù)加起來表示這一年的人數(shù)。這樣就會出現(xiàn)多次重復(fù)計算。同一總體，時期指標數(shù)值的大小與時期長短一般成正比，如某個企業(yè)一年的產(chǎn)值絕對要大于一個季度的產(chǎn)值；而時點指標數(shù)值的大小與時點間間隔的長短沒有直接

6、的聯(lián)系。如年末人口數(shù)不一定比某月月末人口數(shù)大。三、總量指標的計量單位總量指標是有一定經(jīng)濟內(nèi)容的數(shù)值，所以必須有一定的計算單位，根據(jù)事物的性質(zhì)的不同，總量指標的計量單位可以分為三種：實物單位、價值單位、勞動單位。1.實物單位：根據(jù)事物的自然屬性和本身的特點而采用的計量單位。主要有以下三種：自然計量單位：按事物的自然狀況來計量現(xiàn)象總量的單位。如人口以“人”汽車以“輛”、電視機以“臺”、油井以“口”計量等。度量衡量單位：按統(tǒng)一度量衡制度的規(guī)定計量現(xiàn)象總量的單位。鉆井（工作量）進尺以米、輸油管線長度以公里、面積以平方米、原油產(chǎn)量以 “噸”、天然氣儲量以“立方米”、功率以千瓦等。標準實物單位：按統(tǒng)一規(guī)定

7、的折算標準計量現(xiàn)象總量的單位。如將各種不同含量的化肥用折純法折合成含氮量為100%的標準化肥量；將含熱量不同的煤折合為每公斤7000大卡的標準煤；電石按發(fā)氣量300公升/公斤折算；將不同馬力的拖拉機折合為75馬力的標準臺數(shù)等。例如，甲化肥廠生產(chǎn)三種氮肥，各種氮肥統(tǒng)一按標準含氮量100%折算為標準實物產(chǎn)量，如表1-1。表1-1 甲化肥廠2007年產(chǎn)量資料產(chǎn)品名稱產(chǎn)量（噸）含氮量（%）折算系數(shù)標準實物產(chǎn)量（噸）碳酸氮銨150016.80.1682520硫 酸 銨3000210.21630尿 素1600460.46736合 計193003886該廠2007年生產(chǎn)氮肥的混合產(chǎn)量為19600噸，折合成標

8、準氮肥為3886噸。實物指標的優(yōu)點：能直接反映產(chǎn)品的使用價值或現(xiàn)象的具體內(nèi)容，因而能具體地表明事物的規(guī)模、水平。局限性：實物指標的綜合性能比較差，不同的實物，其內(nèi)容、性質(zhì)、計量單位不同，無法進行匯總。如某商店銷售多種商品，它們的計量單位不同，其總銷售量不能用實物指標表現(xiàn)，必須借助價值指標。2.價值單位：用貨幣來計量現(xiàn)象總量的一種計量單位。它彌補了實物指標的不足，可以反映社會產(chǎn)品、社會財富的總規(guī)模和總水平。如總產(chǎn)值、工資總額、總成本、總銷售額等都可用元、萬元表示。價值指標的優(yōu)點：它具有廣泛的綜合性能和概括能力，使用也比較廣泛。如不同商品的銷售額，不同產(chǎn)品的產(chǎn)值，不同基建項目的投資額、不同產(chǎn)品的產(chǎn)

9、值等都是可以相加的。局限性：指標脫離了物質(zhì)內(nèi)容，比較抽象，甚至受價格因素變動的影響，不能完全反映實際情況（產(chǎn)品價高、價值高）。如我今天買了10件上衣，18雙皮鞋，這很直觀。若是今天的銷售額為1800元，就比較抽象，到底賣了多少東西不直觀。3.勞動單位：按勞動時間來計量現(xiàn)象總量的一種單位。如工時、工日等，它廣泛應(yīng)用于企業(yè)內(nèi)部。優(yōu)點：具有廣泛的綜合性能，而且能消除價值指標固有的缺限。局限：它只能在企業(yè)內(nèi)部使用，不同企業(yè)生產(chǎn)同種產(chǎn)品的工時定額不同，無法對比，既使是同一企業(yè)，在不同時期的工時定額也不盡相同，它的可比性不強。以上三種計量單位可以結(jié)合使用，以消除各自的缺限。結(jié)合使用有兩種情況： 復(fù)合單位：

10、兩種（多種）計量單位結(jié)合起來并列使用。如輸油周轉(zhuǎn)量以“萬噸公里”表示，發(fā)電量以“千瓦小時”計量等。雙重（多重）計量單位：同時采用兩種或幾種計量單位來表示現(xiàn)象總體的單位水平。如人口密度用人/平方公里，試油單位成本以萬元/層，萬元產(chǎn)值綜合能耗標煤用噸/萬元，輸送單位油氣耗電量用千瓦小時/噸（萬立方米）表示等。第二節(jié) 相對指標一、相對指標的作用及計量單位絕對指標是統(tǒng)計的基礎(chǔ)指標，但是只靠絕對數(shù)往往不能對現(xiàn)象做出明確的判斷，要判斷、要鑒別就必須有比較。比較有兩種，一是差額比較，利用絕對數(shù)之差比較；另一種是相對程度的比較。例如：我國原油產(chǎn)量，2000年為1.63億噸，2007年為1.87億噸，1.87-

11、1.63=0.24億噸，經(jīng)過比較，我們知道我國原油產(chǎn)量2007年比2000年增加了0 .24億噸。但增加的程度有多高，它的效益如何，是看不出來的。為了解決這個問題，就要計算相對數(shù)。1.相對數(shù)的概念：它是兩個有聯(lián)系的統(tǒng)計指標相比的比值或比率。表明兩個指標之間的相互關(guān)系或差異程度，如某企業(yè)2007年產(chǎn)值計劃完成程度為102%。它表明實際比計劃超2%，說明實際與計劃之間的差別。2.相對指標的作用：表明現(xiàn)象之間的數(shù)量對比關(guān)系，以便更確切、更深入地說明問題。例如，某工人本月生產(chǎn)產(chǎn)品120件，僅這一數(shù)字還無法評價他的工作成績。若將這一數(shù)字和他的定額任務(wù)95件相對比，可看出他本月超額26 .3%（120/9

12、5），再與他去年同期的生產(chǎn)量60件相比?？煽闯鏊热ツ晖诋a(chǎn)量提高了一倍。據(jù)此可看出，他本月的生產(chǎn)成績是顯著的?？梢允共荒苤苯訉Ρ鹊目偭恐笜巳〉每杀鹊幕A(chǔ)。某企業(yè)三個車間年度計劃執(zhí)行情況如表2-1。表2-1車 間計劃產(chǎn)量（噸）實際產(chǎn)量（噸）計完（%）一車間385405105二車間437463106三車間412441107表中的實際數(shù)、計劃數(shù)都是絕對數(shù)，并且三個車間計劃任務(wù)不相同，僅從這兩組數(shù)看不出哪個車間計劃執(zhí)行的好。若計算計劃完成百分比，其分母計劃數(shù)相同（100）則可進行比較，第三車間計劃完成的最好?？梢苑从呈挛锏陌l(fā)展速度（動態(tài)）、程度（計完）、強度、密度、普遍程度、質(zhì)量（結(jié)構(gòu)）與經(jīng)濟效益等

13、。3.相對數(shù)的計量單位(表現(xiàn)形式)名數(shù)：有具體文字計量單位的表現(xiàn)形式稱為名數(shù)。絕大多數(shù)的強度相對指標用名數(shù)表示。如人口密度用人/平方公里表示。不名數(shù)：抽象化的數(shù)值，無具體文字計量單位。包括系數(shù)或倍數(shù)：將對比的基數(shù)或分母抽象化為1。分子分母差別不大時用前者，當對比的分子比分母大的多時用后者。成數(shù)：將對比的基數(shù)（分母）抽象化10。口語用的多。（糧食產(chǎn)量、吃飯、打折等）百分數(shù)：將對比的基數(shù)（分母）抽象化100，最常用。千分數(shù)：將對比的基數(shù)（分母）抽象化1000，分子比分母小的多時使用。如人口死亡率0.02%，不直觀，若用千分數(shù)表示為2%。二、相對數(shù)的種類（一）、結(jié)構(gòu)相對數(shù)：在對總體進行科學(xué)分組的基礎(chǔ)

14、上，用總體中的部分數(shù)值與總體的全部數(shù)值相對的結(jié)果。 如男職工占全部職工比重、重工業(yè)產(chǎn)值占工業(yè)總產(chǎn)值的比重等。各組成部分所占比重之和為100%（二）、比例相對數(shù)：在對總體進行科學(xué)分組的基礎(chǔ)上，用總體中的一部分數(shù)值與總體中另一部分數(shù)值相對比。 例如，國民收入中積累與消費之比；職工總數(shù)中男性人數(shù)與女性人數(shù)之比。工業(yè)總產(chǎn)值中輕工業(yè)產(chǎn)值與重工業(yè)產(chǎn)值相比等。其分子與母可以互換。（三）比較相對數(shù)：它是同一種現(xiàn)象在不同地區(qū)（單位、部門、國家）進行對比的結(jié)果。（不同空間）（分子分母可以互換） 【例1】 2007年中國貨物進口額為9558億美元，美國為694億美元。則中國貨物進口額與美國貨物進口額相對比的結(jié)果是多

15、少？【例2】2006年沙特阿拉伯石油儲量為362億噸，中國為50億噸，則2006年沙特阿拉伯石油儲量為中國的7.24倍。（四）動態(tài)相對數(shù)：它是同一種現(xiàn)象在兩個不同時間狀態(tài)下相對比的結(jié)果，反映現(xiàn)象在不同時間上發(fā)展變化的程度或速度。 如某企業(yè)工資總額2007年為560萬元，2006年為420萬元，則2007年為2006年的百分之多少？動態(tài)相對數(shù)=（560/420）100%=133.3%又如，我國原油產(chǎn)量2000年為1.63億噸，2007年為1.87億噸，則動態(tài)相對數(shù)=（1.87/1.63）100%=114.72%，即我國原油產(chǎn)量2007年為2000年的114.72%，比2000年提高了14.72%

16、（五）強度相對數(shù)：兩個性質(zhì)不同、但有聯(lián)系的總體總量指標相對比的結(jié)果，用以說明現(xiàn)象的強度，密度、普遍程度等。如人口密度（人/平方公里）=人口總數(shù)/土地面積= 131448萬人/960萬平方公里=136.93人/平方公里（2006年）人均國民收入、人均原煤產(chǎn)量等。強度相對數(shù)的計量單位大多數(shù)是由分子分母原有的計量單位組成的。強度相對數(shù)反映的實際上也是一種比例關(guān)系，如人口密度反映的是人口與土地面積之間的比例關(guān)系，人均能源消耗量反映的是能源與人口之間的比例關(guān)系等。但這是一種依存性的比例關(guān)系，它所對比的是兩個不同的總體總量；而前面講的比例相對數(shù)相對比的兩個指標沒有直接的依存關(guān)系，如男生和女生之間，且是同一

17、總體中的兩個不同部分相對比的。計算強度相對數(shù)，必須從現(xiàn)象的本質(zhì)方面去尋找其內(nèi)在聯(lián)系，這樣兩個總量指標對比才有意義。如石油產(chǎn)量與人口數(shù)可以進行對比，但卻不能與土地面積相對比，因為石油最終是為人所使用的，因而有對比的基礎(chǔ)，如果是石油儲存量與土地面積對比還有意義。（六）計劃完成相對數(shù)：它是以現(xiàn)象的實際完成數(shù)與計劃任務(wù)數(shù)相對比的結(jié)果。由于計劃數(shù)的表現(xiàn)形成不同，計劃完成相對數(shù)的計算也有差別：當計劃數(shù)為絕對數(shù)時：計劃完成程度=如某企業(yè)總產(chǎn)值2007年計劃為500萬元，實際產(chǎn)值為540萬元則：計劃完成程度=540/500100%=108%說明實際計劃8%。又如，某鉆井公司報告期計劃鉆井進尺為35000米，實

18、際鉆井進尺為38000米，則鉆井進尺計劃完成程度為：說明該鉆井公司鉆井進尺實際超計劃8.57%完成任務(wù)。當計劃數(shù)為相對數(shù)時：例如，2007年某企業(yè)計劃規(guī)定勞動生產(chǎn)率比上年提高10%，實際上提高15%，則該企業(yè)勞動生產(chǎn)率計劃完成程度=.5%，說明實際比計劃提高了4.5%在實際工作中也有用相減的方法計算：15%-10%=5%，兩種方法在意義上是有差異的。這種結(jié)果表示實際比計劃提高了上期的5%，基礎(chǔ)是上期；前者是說實際比計劃多提高了計劃的4.5%。又如，某企業(yè)2007年某種產(chǎn)品的單位成本水平計劃規(guī)定降低5%，而實際上成本降低率為7%（實際為前期水平的93%）則計劃完成程度說明實際成本比計劃成本多降低

19、了2.11%，超額完成計劃。（平均數(shù)同絕對數(shù)）長期計劃執(zhí)行情況的檢查（主要指五年計劃）長期計劃執(zhí)行情況的檢查方法有兩種：水平法、累計法。A水平法：在制定長期計劃時，只規(guī)定計劃期末期應(yīng)達到的水平，（如工業(yè)總產(chǎn)值五年計劃，只規(guī)定第五年產(chǎn)值應(yīng)達到多少）這時就應(yīng)采用此法，其公式為：如十五期間規(guī)定某產(chǎn)品的產(chǎn)量2005年應(yīng)達到1000萬噸水平，實際執(zhí)行結(jié)果2005年達到1050噸，計劃完成程度說明十五期間該種產(chǎn)品的產(chǎn)量計劃完成程度為105%，實際超計劃5%。按水平法檢查計劃的執(zhí)行情況，計算提早完成計劃的時間，是根據(jù)連續(xù)一年時間（不論是否在一個日歷年度，只要連續(xù)12個月即可）的實際數(shù)等于計劃規(guī)定最后一年的計

20、劃數(shù)，則剩余的時間為提前的時間。如上例，計劃規(guī)定2005年產(chǎn)量應(yīng)達到1000萬噸水平，實際執(zhí)行結(jié)果，從2004年6月至2005年5月止連續(xù)12個月的產(chǎn)量已經(jīng)達到1000萬噸水平，則可以確定該產(chǎn)品的五年計劃提前于2005年5月完成，即提前了七個月完成計劃。B累計法：計劃是按照長期計劃期（五年）累計應(yīng)該完成的工作量或應(yīng)達到的水平提出的， 這時就要按累計法計算。例如，某部門十五計劃時期計劃規(guī)定五年累計基本建設(shè)投資額為8000萬元，但實際執(zhí)行結(jié)果五年基建累計投資額為9200萬元，則該部門十五期間基本建設(shè)投資額計劃完成程度為：若計劃提前完成，確定提前完成計劃時間，方法是：當計劃期內(nèi)截止某年某月實際完成的

21、累計數(shù)已達到計劃規(guī)定數(shù)，則剩余的時間為提前完成計劃的時間。或?qū)⑷繒r間減去自計劃執(zhí)行之日起至累計實際數(shù)量已達到計劃任務(wù)的時間，即為提前完成計劃的時間。如上例，某工業(yè)部門截止2005年6月底實際完成的基建投資額已達到8000萬元，則該部門提前半年時間完成十五規(guī)劃。計劃執(zhí)行進度的檢查它是用計劃期中某一段時期的實際累計完成數(shù)與計劃期全期的計劃任務(wù)數(shù)之比來檢查計劃執(zhí)行的進度。假設(shè)長慶油田2007年計劃原油產(chǎn)量達到1850萬噸，截止到2007年4月底已完成的原油產(chǎn)量為650萬噸，則計劃執(zhí)行進度=（650/1850）100%=35. 14%說明截止到2007年4月底已完成原油產(chǎn)量全年計劃的35. 14%。

22、即時間已經(jīng)過去1/3，那么任務(wù)是否完成1/3或以上呢？這種指標主要用來分析整個計劃期間計劃執(zhí)行的進度，考核計劃實際執(zhí)行的均衡性。如檢查一年的計劃完成進度，可用一年內(nèi)若干月實際累計數(shù)與全年的計劃數(shù)相對比；檢查一個季度的計劃執(zhí)行進度，可以用一或兩個月份的實際累計數(shù)與全季計劃數(shù)相對比；檢查五年計劃的執(zhí)行進度，可用五年中前若干年的累計數(shù)與五年計劃數(shù)之比等。平均指標一、平均指標的概念及特點平均指標是反映總體內(nèi)各單位某一數(shù)量標志不同取值的一般水平或代表性水平的指標。我們所要研究的總體中有許多單位，它們對于同一個數(shù)量標志有不同的取值，而我們的目的是要對總體的數(shù)量特征有一個概括的，一般的認識，顯然不能用某一個

23、單位的數(shù)量來說明。但是在同質(zhì)總體內(nèi)的各個單位，其數(shù)量差異總有一定的范圍，客觀上存著能夠代表總體一般水平的數(shù)值，這個數(shù)值就是平均指標。如我要問你們班學(xué)員的學(xué)習(xí)成績怎樣，你們不可能把每個學(xué)生的學(xué)習(xí)成績都報出來，而是用一個一般水平、代表性水平來說明，如成績一般在75分左右，這個75分就是一個代表性水平。由此看來，平均指標有以下特點：1.代表性：它用一個數(shù)值代表了總體各單位的標志值。2.抽象性：它將總體內(nèi)各單位之間的數(shù)量差異抽象掉了，如僅從75分看不出每個學(xué)員具體的學(xué)習(xí)成績，肯定不是每個學(xué)員都是75分，也許有高于它，有低于它的，但平均數(shù)把它們掩蓋了。二、平均指標的作用1.用于同類現(xiàn)象在不同空間上進行對

24、比。如，我們不能用工資總額來比較不同企業(yè)的工資水平，因為它受職工人數(shù)多少的影響。而職工平均工資則可進行比較。2. 用于同類現(xiàn)象在不同時間上對比 。例如，某地區(qū)職工年平均工資資料，2005年為1400元，2006年為1450元，2007年為1580元等，據(jù)此可以看出，該地區(qū)職工工資水平是不斷增長的。工資總額則不能比較，因為不同時期人數(shù)不同。3.利用平均指標可以分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系。如，技術(shù)等級和勞動定額完成程度之間，（每個等級有許多名工人，每個工人的定額完成程度也不相同，若將不同技術(shù)等級工人的勞動定額平均完成程度指標計算出來，可以發(fā)現(xiàn)隨著技術(shù)等級的提高，定額完成程度也斷提高。）收入水平與家庭存

25、款額之間的關(guān)系，同一級別收入水平的家庭，其存款額各種各樣，如果將同等收入水平的家庭的平均存款額計算出來，可以發(fā)現(xiàn)，隨著收入水平的增加，家庭存款額也在不斷增多。三、平均指標的種類及其計算（一）算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)是最常用的一種平均數(shù)，是總體標志總量與總體單位總數(shù)相對比的結(jié)果，其基本計算公式是： 如 算術(shù)平均數(shù)的分子、分母屬于同一總體，總體單位總量是標志總量的承擔者，分子的標志總量是分母各單位標志值匯總的結(jié)果。其分子與分母有完全的依附關(guān)系（區(qū)分強度相對指標）1.算術(shù)平均數(shù)的種類由于掌握的資科不同及計算上的復(fù)雜程度不同，算術(shù)平均數(shù)可分為簡單算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)算術(shù)平均數(shù)兩種。（1）簡單算術(shù)平均數(shù)當我們所

26、掌握的資料未經(jīng)過分組或當各個變量值出現(xiàn)的次數(shù)相等時用此法。它是將總體內(nèi)各單位的變量值直接相加，再除以總體單位總數(shù)求得的。例如，某生產(chǎn)小組有5名工人，其月工資分別為1500、1640、1720、1770、1880元，則。將上述計算過程用一個通用公式表示：它之所以要稱為簡單算術(shù)平均數(shù)，是因為其中的各個變量值出現(xiàn)的次數(shù)（權(quán)數(shù)）相等，不受權(quán)數(shù)大小的影響。上例中，每個變量值出現(xiàn)的次數(shù)各為1次，但實際中，一個企業(yè)工人的工資，同樣等級的不僅僅只有一個工人，這樣變量值出現(xiàn)的次數(shù)各不相同，這時，就要用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，將次數(shù)分配因素考慮進去。（2）加權(quán)算術(shù)平均數(shù) = 1 * GB3 單項數(shù)列它是在資料已經(jīng)分組，形

27、成分配數(shù)列的情況下，首先求出每組的標志總量，并加總求出總體的標志總量，然后除以總體單位數(shù)計算算術(shù)平均數(shù)的方法。例如，某車間工人按照日產(chǎn)量分組資料如表3-1，試計算這180名工人的平均日產(chǎn)量。這里不能將這6個變量值相加除以6或180，必須計算這180名工人日產(chǎn)量之和解： 通用公式為： 表3-1日產(chǎn)量（件）x工人人數(shù)（人）f總產(chǎn)量（件）xf151015016203201730510185090019407602030600合計1803240 之所以稱它為加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，是因為它除了受各組變量值大小的影響外，還受各變量值出現(xiàn)的次數(shù)占總次數(shù)比重大小的影響，很明顯，次數(shù)占總次數(shù)比重大的組的變量值對平均數(shù)

28、的影響就大，反之則小，如上例。各組的次數(shù)對平均數(shù)有權(quán)衡輕重的作用，因此次數(shù)又稱權(quán)數(shù)。用權(quán)數(shù)計算出來的平均數(shù)叫加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。當各組出現(xiàn)的次數(shù)相等時，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)就等于簡單算術(shù)平均數(shù)，權(quán)數(shù)失去了權(quán)衡輕重的作用，它對每一組的作用是相等的。前面是以絕對數(shù)（次數(shù)）為權(quán)數(shù)的，當權(quán)數(shù)表現(xiàn)為相對數(shù)（頻率）時，其加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計算公式為：例如，某車間工人按照日產(chǎn)量分組資料如表3-2，試計算該車間工人的平均日產(chǎn)量。解：計算過程見表3-2。表3-2日產(chǎn)量（件）x（%）155.560.83401611.111.77761716.672.83391827.785.00041922.224.21802016.673

29、.3340合計100.0018.0073組距數(shù)列方法與單項數(shù)列基本相同，不同之處是，一個組中包括許多變量值，要計算每組的標志總量，只能用該組的組中值代替該組所有的變量值。其計算結(jié)果是一個近似值。例如，某企業(yè)公司職工按月工資分組資料如：表3-3表3-3月工資（元）職工人數(shù)f組中值（元）工資總額（元）2500元以下1022522500250030002027555000300035004032513000035004000303751125004000元以上2042585000合 計120405000解： 元3.算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)為了正確地運用算術(shù)平均數(shù)以及簡化計算手續(xù)，需介紹的性質(zhì)。（1）每個

30、變量值與其算術(shù)平均數(shù)離差之和等于零，即：簡單算術(shù)平均數(shù)：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：證：（2）各個變量與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方和為最小值，即：=最小值或 證明：設(shè)=最小值，A為任意常數(shù)對A求偏導(dǎo)，令其偏導(dǎo)為0則 設(shè)最小值求偏導(dǎo) 這里的A只能是算術(shù)平均數(shù)，則 =最小值 。（二）調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)是變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。由于它是根據(jù)變量值的倒數(shù)計算的，又稱倒數(shù)平均數(shù)。它是在我們所掌握的資料不能直接用算術(shù)平均數(shù)時，即已知各個變量值及標志總量，而缺少變量值出現(xiàn)的次數(shù)時（已知和，不知時），則要用調(diào)和平均數(shù)的形式。調(diào)和平均數(shù)由于掌握資料的詳簡程度不同分為簡單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。1.簡單調(diào)和平均數(shù)（當

31、各個變量值所對應(yīng)的標志總量均為一個單位時使用） 例如，設(shè)市場上某種蔬菜早、中、晚的價格分別為0.25、0.2、0.1元，早、中、晚各買一斤，平均每斤價格是多少，可用簡單算術(shù)平均數(shù)法：（0.25+0.2+0.1）/3=0.183（元）若現(xiàn)在是各買1元，而不是各買1斤，平均每斤價格是多？首先要算出總共買了多少斤。 總共買了19斤，總金額是3元，則平均每斤的價格是：據(jù)此，我們可以歸納出簡單調(diào)和的一般公式寫出：（平均的是價格，則價格用表示，是標志總量，有幾個變量值，標志總量就是幾，因為每個變量值對應(yīng)的標志總量各為1個單位）2.加權(quán)調(diào)和平均數(shù)（一般是加權(quán)法）簡單調(diào)和平均數(shù)是在各個標志值相對應(yīng)的標志總量為

32、一個單位時應(yīng)用。在實際中，各個標志植相應(yīng)的標志總量往往是不等的，如上例，早、中、晚不是各買了1元，而是用了不同的購買金額，那么每種價格在平均數(shù)中所起的作用就不相等了，在這種情況下，就要用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)法。即當我們知道各組的標志總量和，而不知道時，怎樣計算 基本公式為 ： 例如，某企業(yè)資料如表3-4，試計算平均工資。 解： （元）表3-4 月工資（元）組中值工資總額（元）工人人數(shù)（人）2500以下2250225001025003000275055000203000350032501300040350040003750112500304000以上42508500020合 計405000120 (三

33、)由相對數(shù)或平均數(shù)計算平均數(shù)例1，某公司所屬45個車間產(chǎn)值計劃完成程度及計劃產(chǎn)值資料如表表3-5，試計算45個車間平均計劃完成程度。表3-5計劃完成程度（%）組中值（%） 車 間（個）計劃產(chǎn)值（萬元）f實際產(chǎn)值（萬元）xf90以下8523.002.5590-100951718.0017.10100-1101051132.8134.45110-1201151431.0035.65120以上1251 2.00 2.50合 計4586.8192.25注意：不能用5個計劃完成程度相加除以5，因為相對數(shù)分母不同，不能直接相加；也不能加權(quán)平均，即變量值乘以車間個數(shù)后除以車間總個數(shù)，它仍然是將每個車間的計劃

34、完成程度相加除以45的。那怎么辦呢？解：平均計劃完成程度也就是45個車間的總計劃完成程度，而分子45個車間的實際總產(chǎn)值不知道，但我們知道， ，則每個車間的實際產(chǎn)值為： 例2，將上例中已知資料變化一下，已知計劃完成程度和實際產(chǎn)值，求45個車間的平均計劃完成程度，如表3-6。表3-6計劃完成程度（%）組中值（%） 車 間（個）實際產(chǎn)值（萬元）m計劃產(chǎn)值（萬元）m/x90以下8522.553.0090-100951717.1018.00100-1101051134.4532.81110-1201151435.6531.00120以上1251 2.50 2.00合 計4592.2586.81解：因為，

35、則每個車間的實際產(chǎn)值為：由平均數(shù)計算平均數(shù)同理。例3，某車間所屬5個班組資料如表3-7，試計算這5個班組的平均勞動生產(chǎn)率水平（平均數(shù)求平均數(shù)例子）。表3-7班 組平均勞動生產(chǎn)率（件/工時）x實際工時（工時） f產(chǎn)品產(chǎn)量（件） xf第一組101001000第二組122002400第三組153004500第四組203006000第五組302006000合 計110019900解： ，其中分母實際總工時已知，分子總產(chǎn)量未知，由 可得 例4，將上述資料的未知條件變?yōu)榉帜缚偣r，如表3-7，試計算這5個班組的平均勞動生產(chǎn)率水平。表3-7班 組平均勞動生產(chǎn)率（件/工時）x產(chǎn)品產(chǎn)量（件） m實際工時（工時）

36、 m/x第一組101000100第二組122400200第三組154500300第四組206000300第五組306000200合 計199001100解： ，式中已知分子總產(chǎn)量，而分母實際總工時未知，由 可得 則 總 結(jié)當已知各個相對數(shù)（或平均數(shù)）及其分母資料，缺少分子資料時，采用加權(quán)算術(shù)平均法計算相對數(shù)（或平均數(shù)）的平均數(shù)；當已知各個相對數(shù)（或平均數(shù)）及其分子資料，缺少分母資料時，采用加權(quán)調(diào)和平均法計算相對數(shù)（或平均數(shù)）的平均數(shù)。（四）幾何平均數(shù)現(xiàn)在掌握資料如下，某企業(yè)歷年工資總額發(fā)展速度資料見表3-9，求工資總額平均每年的發(fā)展速度。表3-9年 份2004200520062007發(fā)展速度%

37、102105103106求其平均每年的發(fā)展速度。能否根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的方法將其相加后直接除以項數(shù)？不能，各環(huán)比發(fā)展速度之和總的發(fā)展速度，且分母不同，不能相加。但知道：各環(huán)比發(fā)展速度連乘積=總的發(fā)展速度，給一個代表性的發(fā)展速度擴大了幾個乘積（假定環(huán)比發(fā)展速度相等），現(xiàn)在要求的是一個代表性的發(fā)展速度，即平均每年的發(fā)展速度，算術(shù)平均數(shù)的方法是每個變量值相加后除以項數(shù)，而這里是n個變量值相乘，則開n次方，這種方法叫幾何平均法。幾何平均數(shù)：n個變量值乘積的n次方根。當我們掌握的資料是百分數(shù)或相對數(shù)（比率，速度）時，總比率，總速度等于各個變量值的連乘積，則用此法。如流水線作業(yè)的合格率、每期發(fā)展速度、復(fù)利下銀

38、行每期本利率的平均值的計算。根據(jù)各個變量值出現(xiàn)的次數(shù)不同，它可分為簡單和加權(quán)兩種。簡單幾何平均數(shù)（次數(shù)相等時）如上例 又如，某機械廠有四個車間，這四個車間為流水線作業(yè)，其產(chǎn)品的合格率分別如表表3-10。試計算四個車間的平均合格率。表3-10車間合格率%一95二92三90四85解： 2.加權(quán)幾何平均數(shù)（變量值出現(xiàn)的次數(shù)不相等）例1,某企業(yè)職工工資總額的發(fā)展度為：2002年到2003年的發(fā)展速度均為106%，2004年到2006年為104%，2007年為102%，則平均發(fā)展速度為：例2，某投資銀行某筆投資的年利率是按復(fù)利計算的，假設(shè)20年利率分配是：有1年是2%，有3年為2.5%，有6年為3%，有

39、8年為3.2%，有2的為3.8%求平均年利率(本利率相當于發(fā)展速度，利率相當于增長速度)解： （五）中位數(shù)將總體各單位某一數(shù)量標志的不同取值按大小順序排列起來，居于中間位置的那個數(shù)值就是中位數(shù)。由于中位數(shù)居于中間位置，有一部分數(shù)值比它大，一部分數(shù)值比它小，因而有時利用它來代表現(xiàn)象的一般水平。中位數(shù)的確定方法根據(jù)所掌握的資料不同而有所差別。1.由未分組資料確定中位數(shù)首先要確定中位數(shù)的位置，其公式為若變量值的項數(shù)是奇數(shù)，則居于中間位置的那個變量值就是中位數(shù)；例如：設(shè)有5個工人的日產(chǎn)量分別為5、6、7、8、9件，則中位數(shù)的位置為，這就是說數(shù)列中的第三項即日產(chǎn)量7件是中位數(shù)。若變量值的項數(shù)是偶數(shù)，則居

40、于中間位置的兩個變量值的算術(shù)平均數(shù)即為中位數(shù)。設(shè)有6名工人其日產(chǎn)量分別為5、6、7、8、9、10件則中位數(shù)的項次為：，表示中位數(shù)在第三、四兩項之間位置，中位數(shù)為（7+8）/2=7.5（件）2.由分組資料確定中位數(shù)單項數(shù)列與未分組資料求中位數(shù)的方法稍有區(qū)別，分組資料由于存在次數(shù)分布問題，所以需要采用累計次數(shù)制的方法。首先，計算出該分配數(shù)列的累計次數(shù)，可向上累計即由第一組次數(shù)到最后組次數(shù)累計，也可向下累計，即由最后一組開始向第一組方向累計。然后，根據(jù)確定中位數(shù)的位置；最后，對各組的累計次數(shù)觀察，凡第一個達到或包含的組即為中位數(shù)所在的組，該組所對應(yīng)的標志值為中位數(shù)。例如，21名大學(xué)生身高的次數(shù)分配資

41、料見表3-11。確定21名大學(xué)生身高的中位數(shù)。 表3-11身高（）人數(shù)人數(shù)累計向上累計向下累計15922211624619167511151696171017132041731211合計21解：中位數(shù)的位置：（人）從計算結(jié)果看，若按向上累計，第三組的累計次數(shù)最先包含10.5在內(nèi)，則中位數(shù)的位置在第三組，身高為167；若按向下累計，也在第三組。 組距數(shù)列和單項數(shù)列類似，我們能觀察到中位數(shù)在哪一組，但是這組的哪個變量值不知道，因為每組有若干個變量值?？衫帽壤逯捣ü烙嬎慕浦怠＠?，某地區(qū)30000農(nóng)戶按年人均收入額分組的資料如表3-12，確定30000農(nóng)戶年人均收入額的中位數(shù)。表3-12 年

42、人均收入額（元）農(nóng)戶數(shù)（戶）向上累計向下累計5006002402403000600700480720276070080010501770228080090060023701230900100027026406301000110021028503601100120012029701501200以上30300030合計3000解：由組距數(shù)列確定中位數(shù)的過程大致可分為以下幾步：A：確定中位數(shù)在數(shù)列中的中點位置，如上例（元）B：計算累計次數(shù)，以便觀察中位數(shù)所在的組。例中，中位數(shù)應(yīng)在第三組1770元的組內(nèi)，即年人均收入額在700800元的組內(nèi)。C：確定中位數(shù)（近似值）根據(jù)組據(jù)數(shù)列計算中位數(shù)，是以中位數(shù)所

43、在組內(nèi)的次數(shù)均勻分布為前提的。從此出發(fā)，可采用比例法來計算中位數(shù)的插入值，以求得中位數(shù)的近似值。其過程如下：計算出中位數(shù)在該組內(nèi)中位數(shù)以下組的次數(shù)1500-720=780（首先看中位數(shù)在該組次數(shù)中的位置）（用中位數(shù)的次數(shù)減去中位數(shù)以前組的累計次數(shù)） 1050 1500-720=780 720 1500 1770用中位數(shù)以前組的累計次數(shù)與中位數(shù)所在組的次數(shù)相比，計算出組內(nèi)中位數(shù)以下的次數(shù)所占的比重，即：。用次數(shù)比重推出變量值的比重，即用該組的組距乘以比重1000.743=74.3（元）。D、若按下限計算，則下限加上這個插入值就是中位數(shù)的近似值700+74.3=774.3（元）?；駻、計算出中位數(shù)

44、在該組內(nèi)中位數(shù)以上的次數(shù)。1500-1230=270B、計算這部分次數(shù)占該組次數(shù)的比重C、用比后果推算插入值0.2571100=25.71D、用上限減去這部分800-25.71=774.3（元）將以上計算過程用一個通用公式表示為：下限公式： 上限公式： 中位數(shù) 中位數(shù)所在組的次數(shù)中位數(shù)所在組以下組的累計次數(shù)，中位數(shù)所在組以上組的累計次數(shù)下限 上限 中位數(shù)所在組的組距一般都以公式直接計算，不必推算過程。上例用公式計算如下。下限公式：（元）上限公式：（元）證明：用組距數(shù)列計算中位數(shù)的插補公式可用幾何圖證明如下：下限公式： 其中AE未知 則上限公式證明類似。（略） B D A E C 0 L u（六

45、）眾數(shù)它是現(xiàn)象總體中最常遇到的數(shù)，或出現(xiàn)次數(shù)最多的標志值。在統(tǒng)計中，有時用眾數(shù)來說明現(xiàn)象的一般水平 。如商業(yè)領(lǐng)域所掌握的銷售量最多的衣服、鞋、帽、襪子等商品的尺碼就是眾數(shù)尺碼；農(nóng)貿(mào)市場上某種農(nóng)副產(chǎn)品的價格（一天）可能有多次變化，其中成交量最多的那個價格就是眾數(shù)價格等。眾數(shù)存在的條件：由眾數(shù)概念可以看出，只有當總體單位數(shù)較多，且有明顯的集中趨勢時才存在眾數(shù)。否則在單位數(shù)很少或單位數(shù)雖多，但沒有明顯集中趨勢時，計算眾數(shù)是沒有任何意義的。（分配數(shù)列）1.由單項數(shù)列確定眾數(shù)這較容易，即次數(shù)最多的標志值就是眾數(shù)。例如：某商店某月女式樣毛衫銷售量資料如表3-13，試確定棉毛衫尺碼的一般水平。解： 95公分

46、的銷售量為48件，占的比重最大 尺碼的眾數(shù)M0=95（公分）表3-13尺碼（公分）銷售量（件）比重（%）8065851815903025954840100121010565合計1201002組距數(shù)列首先：由最高次數(shù)來確定眾數(shù)所在的組，然后再求眾數(shù)值。粗略的做法是以眾數(shù)所在組的組中值來代替整個數(shù)列的眾數(shù)，這是基于整個數(shù)列分布屬于對稱分布，且在眾數(shù)組內(nèi)分布均勻時。通常完全對稱分布是很少存在的，顯然，如果眾數(shù)組的前一組次數(shù)比后一組次數(shù)多，則眾數(shù)就處在由組中值移向下限這一邊的位置上（偏向下限）；反之，若眾數(shù)組的后一組次數(shù)比前一組次數(shù)多，則眾數(shù)就處在由組中值移向上限這一邊的位置上（偏向上限）。我們可以利

47、用比例插值法來確定眾數(shù)的位置，然后求出眾數(shù)的數(shù)值。其計算公式為：下限公式： 上限公式：其中：M0眾數(shù)， L眾數(shù)所在組的下限 U上限， d眾數(shù)組的組距 1眾數(shù)所在組次數(shù)與前一組次數(shù)之差2眾數(shù)所在組次數(shù)與其后一組次數(shù)之差例如：某市工業(yè)企業(yè)按職工人數(shù)分組資料如表3-14。試確定該市工業(yè)企業(yè)職工人數(shù)的眾數(shù)。解：通過觀察，700-800為眾數(shù)組，組距 d=100下限公式：（人）上限公式：（人）表3-14職工人數(shù)（人）企業(yè)數(shù)（個）600以下24600-70048700-800105800-90060900-1000271000-1100211100-1200121200以上3合計300公式證明如下：在CB

48、D和BFE中 （兩個的直角邊相比，底邊相比，且小/大） 又在ABC和CFE中 （兩直角邊和底邊相比小/大）由 得 代入式得 把M0倒出即可 下限公式同理當1=2時，眾數(shù)就等于眾數(shù)組的組中值 12時，m0組中值 12時，m0,為正偏或右偏，k0；，為負偏或左偏，k 3，說明該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入分布為尖峰分布。練 習(xí) 題一、簡答題1.總體單位總量和總體標志總量?2.結(jié)構(gòu)相對指標、比例相對指標和比較相對指標有什么不同特點？強度相對指標和其它相對指標主要區(qū)別何在？3.平均指標與強度指標有何區(qū)別？4.時期指標和時點指標如何區(qū)分？ 5.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)調(diào)和平均數(shù)之間的關(guān)系如何？6.相對指標有哪

49、幾種？請寫出其基本計算公式。7.總量指標的計量單位有哪幾種？各種計量單位應(yīng)的優(yōu)缺點分別是什么？8.什么是標志變動指標？它有什么作用？9.什么計算變異系數(shù)？變異系數(shù)的應(yīng)用條件是什么？10比較、結(jié)構(gòu)及強度相對指標在計算和作用方面有什么不同？11什么是相對指標？相對指標有那幾種？其中可以用名數(shù)計量的是那一種？ 12.分別簡述全距、平均差、標準差的優(yōu)缺點。13.標志變異指標主要有哪幾種？在比較兩個平均水平不相等、性質(zhì)不同的數(shù)列平均數(shù)的代表性時應(yīng)使用哪一種？為什么？14什么是標志變異系數(shù)？標志變異系數(shù)的應(yīng)用條件是什么？為什么？ 15.標準差和標準差系數(shù)有什么共同作用？二者使用條件有什么不同？ 17.在總

50、體不同分布情況下，算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)三者之間有什么關(guān)系?二、單項選擇題（在每小題的四個備選答案中選出一個正確的答案，并將正確答案的號碼填在題干后的括號內(nèi)）1.某企業(yè)計劃產(chǎn)值比上年提高10，實際比上年提高15，則其計劃完成程度為（ ）。 A.150 B.5 C.4.56 D.104.552.在分配數(shù)列中，當標志值較小而其權(quán)數(shù)較大時，計算出來的算術(shù)平均數(shù)（ ）。A.接近于標志值大的一方 B.接近于標志值小的一方 C.接近于大小合適的標志值 D.不受權(quán)數(shù)的影響3.人均糧食消費量是一個（ ）.A.強度相對指標 B.結(jié)構(gòu)相對指標 C.比較相對指標 D.平均指標4.成數(shù)方差的特點是，成數(shù)( )A.愈接近于1方差愈大 B.愈接近于0方差愈大C.愈接近于0.5方差愈大 D.無論如何變化方差均不受影響 5.兩個數(shù)值對比若分母數(shù)值比分子數(shù)值大很多時，常用的相對數(shù)形式是（ ） A.倍數(shù) B.百分數(shù) C.系數(shù) D.千分數(shù) 6.已知兩個同類型企業(yè)的職工工資水平的標準差分別為5元/人、6元/人，則甲、乙兩個企業(yè)職工平均工資的代表性是（ ）A.一樣的 B.甲企業(yè)乙企業(yè) C.甲企業(yè)乙企業(yè) D.無法判斷7.計算變異指標是為了比較 （ ）A.不同數(shù)列的相對集中程度 B.不同水平或相同水平的數(shù)列的變異程度大小 C.兩個