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文檔簡介

1、2012-2018年新課標全國卷文科數(shù)學匯編立體幾何一、選擇題【2017,6】如圖,在下列四個正方體中,A,B為正方體的兩個頂點,M,N,Q為所在棱的中點,則在這四個正方體中,直接AB與平面MNQ不平行的是()【2016,7】如圖所示,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑若該幾何體的體積是283,則它的表面積是()A17B18C20D28【2016,11】平面過正方體ABCDABCD的頂點A,平面CBD,平面ABCDm,111111平面ABBAn,則m,n所成角的正弦值為()11A32321BCD323【2015,6】九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如

2、下問題:“今有委M依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺,問”積及為M幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放M(如圖,M堆為一個圓錐的四分之一),M堆底部的弧長為8尺,M堆的高為5尺,M堆的體積和堆放的M各位多少?”已知1斛M的體積約為162立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的M有()A14斛B22斛C36斛D66斛【2015,11】圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體,該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示,若該幾何體的表面積為16+20,則r=()BA1B2C4D8【2015,11】【2014,8】【2013,11】【2012,7】【2014,8】如圖,網(wǎng)格紙的各小格都是正方形,

3、粗實線畫出的一個幾何體的三視圖,則這個幾何體是()A三棱錐B三棱柱C四棱錐D四棱柱【2013,11】某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A168B88C1616D816【2012,7】如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為A6B9C12D151/17【2012,8】平面截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面的距離為2,則此球的體積為()A6B43C46D63【2018,5】已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1,O2,過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,該圓柱的表面積為A.12B.12C.8D.10【2018,9】

4、某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如右圖,圓柱表面上的點M在正視圖上的對應(yīng)點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B,則在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長度為A.2B.C.3D.2【2018,10】在長方形ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1與平面PABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積BB1C1C所成的角為30,則該長方體的體積為A.8B.6C.8D.8二、填空題【2017,16】已知三棱錐SABC的所有頂點都在球O的球面上,SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB,SAAC,SBBC,三棱錐SABC的體積為9,則球O的表面積為_【2013,15】已知H是球

5、O的直徑AB上一點,AHHB12,AB平面,H為垂足,截球O所得截面的面積為,則球O的表面積為_三、解答題【2017,18】如圖,在四棱錐PABCD中,ABCD,且BAPCDP90(1)證明:平面PAB平面PAD;(2)若PAPDABDC,APD90,且四棱錐832/17【2016,18】如圖所示,已知正三棱錐PABC的側(cè)面是直角三角形,PA6,頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點E連結(jié)PE并延長交AB于點G(1)求證:G是AB的中點;(2)在題圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由),并求四面體PDEF的體積PAEGDCB【2015,18】如圖四邊形

6、ABCD為菱形,G為AC與BD交點,BE平面ABCD,()證明:平面AEC平面BED;()若ABC=120,AEEC,三棱錐E-ACD的體積為63,求該三棱錐的側(cè)面積【2014,19】如圖,三棱柱ABCABC中,側(cè)面BBCC為菱形,BC的中點為O,且AO平111111面BBCC.11(1)證明:BCAB;1(2)若ACAB,CBB60,BC1,求三棱柱ABCABC的高.111113/17【2013,19】如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,CACB,ABAA1,BAA160(1)證明:ABA1C;(2)若ABCB2,A1C6,求三棱柱ABCA1B1C1的體積4/172【2012,19】如圖,三棱

7、柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱垂直底面,ACB90,AC=BC=1AA1,D是棱AA1的中點(1)證明:平面BDC1平面BDC;(2)平面BDC1分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比A1C1B1DCBA【2018,18】如圖,在平行四邊形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90,以AC為折痕將ACM折起,使點M到達點D的位置,且ABDA。(1)證明:平面ACD平面ABC;(2)Q為線段AD上一點,P為線段BC上一點,且BP=DQ=DA,求三棱錐Q-ABP的體積。解讀一、選擇題【2017,6】如圖,在下列四個正方體中,A,B為正方體的兩個頂點,M,N,Q為所在棱的中點,則在這四個正方體中,直接AB

8、與平面MNQ不平行的是()【解法】選A由B,ABMQ,則直線AB平面MNQ;由C,ABMQ,則直線AB平面MNQ;由D,ABNQ,則直線AB平面MNQ故A不滿足,選A【2016,7】如圖所示,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑若該幾何體的體積是28,則它的表面積是()35/17A17B18C20D28得R2該幾何體的表面積等于球的表面積的,加上3個截面的面積,每個截面是圓面的,所以該幾何體的表面積為S717428解讀:選A由三視圖可知,該幾何體是一個球截去球的,設(shè)球的半徑為R,則R388337184142232214317故選A84,解【2016,11】平面過正方體

9、ABCDABCD的頂點A,平面CBD,111111平面ABBAn,則m,n所成角的正弦值為()11平面ABCDm,A32321BCD323解讀:選A解法一:將圖形延伸出去,構(gòu)造一個正方體,如圖所示通過尋找線線平行構(gòu)造出平面,即平面AEF,即研究AE與AF所成角的正弦值,易知EAFEDACBFD1A1C1B133,所以其正弦值為故選A2:解法二(原理同解法一)過平面外一點A作平面,并使平面CBD,不妨將點A變換成B,作11使之滿足同等條件,在這樣的情況下容易得到,即為平面ABD,如圖所示,即研究AB與BD所成角11的正弦值,易知ABD133,所以其正弦值為故選A26/17DCBD1AA1C1B1

10、【2015,6】九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有委M依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺,問”積及為M幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放M(如圖,M堆為一個圓錐的四分之一),M堆底部的弧長為8尺,M堆的高為5尺,M堆的體積和堆放的M各位多少?”已知1斛M的體積約為162立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的M有()BA14斛B22斛C36斛D66斛116解:設(shè)圓錐底面半徑為r,依題23r8r43,所以M堆的體積1116320320為3()25,故堆放的M約為16222,故選B43399【2015,11】圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體,該幾何體的三

11、視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示,若該幾何體的表面積為16+20,則r=()BA1B2C4D8解:該幾何體是半球與半個圓柱的組合體,圓柱的半徑與球的半徑都為r,圓柱的高為2r,其表面積為2r2+r2r+r2+2r2r=5r2+4r2=16+20,解得r=2,故選B【2014,8】如圖,網(wǎng)格紙的各小格都是正方形,粗實線畫出的一個幾何體的三視圖,則這個幾何體是()BA三棱錐B三棱柱C四棱錐D四棱柱解:幾何體是一個橫放著的三棱柱故選B【2013,11】某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()V半圓柱12248,V長方體42216所以所求體積為168故選AA168B88C1616D816解讀:選

12、A該幾何體為一個半圓柱與一個長方體組成的一個組合體2【2012,7】如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為()A6B9C12D157/17【解讀】由三視圖可知,該幾何體為三棱錐A-BCD,底面BCD為底邊為6,高為3的等腰三角形,側(cè)面ABD底面BCD,AAO底面BCD,因此此幾何體的體積為BOD11V(63)39,故選擇B32C【2012,8】8平面截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面的距離為2,則此球的體積為()A6B43C46D63【解讀】如圖所示,由已知OA1,OO2,11在RtOOA中,球的半徑ROA3,14所以此球的體積VR343,故

13、選擇B3【點評】本題主要考察球面的性質(zhì)及球的體積的計算【2011,8】在一個幾何體的三視圖中,正視圖和俯視圖如圖所示,則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為()【解讀】由幾何體的正視圖和側(cè)視圖可知,該幾何體的底面為半圓和等腰三角形,其側(cè)視圖可以是一個由等腰三角形及底邊上的高構(gòu)成的平面圖形故選D【2018,5】已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1,O2,過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,該圓柱的表面積為B【2018,9】某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如右圖,圓柱表面上的點M在正視圖上的對應(yīng)點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B,則在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑

14、的長度為BA.2B.C.3D.2【2018,10】在長方形ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1與平BB1C1C所成的角為30,則該長方體的體積為C面A.8B.6C.8D.88/17二、填空題【2017,16】已知三棱錐SABC的所有頂點都在球O的球面上,SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB,SAAC,SBBC,三棱錐SABC的體積為9,則球O的表面積為_【解讀】取SC的中點O,連接OA,OB,因為SAAC,SBBC,所以O(shè)ASC,OBSC,因為平面CCSAC平面SB,所以O(shè)A平面SB,設(shè)OAr,33233VASBC11111SOA2rrrr3,所以r39r3,SBC所以球的表

15、面積為4r236【2013,15】已知H是球O的直徑AB上一點,AHHB12,AB平面,H為垂足,截球O所得截面的面積為,則球O的表面積為_答案:92解讀:如圖,設(shè)球O的半徑為R,則AH2RR,OH又EH2,EH1在eqoac(,Rt)OEH中,R2333+12,R2S球4R2R29982【2011,16】已知兩個圓錐由公共底面,且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上若圓錐底面面積是這個球面面積的316,則這兩個圓錐中,體積較小者的高與體積較大者的高的比值為【解讀】設(shè)圓錐底面半徑為r,球的半徑為R,則由r24R2,知r2R233164根據(jù)球的截面的性質(zhì)可知兩圓錐的高必過球心O,且兩圓錐的頂

16、點以及圓錐與球的交點是球的大圓上的點,因此PBQB設(shè)POx,QOy,則xy2R又POeqoac(,B)BOQ,知r2OB2xy即xyr234R2由及xy可得x3RR,y229/171則這兩個圓錐中,體積較小者的高與體積較大者的高的比為3故答案為13PABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積三、解答題【2017,18】如圖,在四棱錐PABCD中,ABCD,且BAPCDP90(1)證明:平面PAB平面PAD;(2)若PAPDABDC,APD90,且四棱錐83【解法】(1)BAPCDP90,ABAP,CDDP又ABCDABDP又AP平面PAD,DP平面PAD,且APDPPAB平面PADAB平面PAB,所

17、以平面PAB平面PAD(2)由題意:設(shè)PAPDABDC=a,因為APD90,所以PAD為等腰直角三角形即AD=2a取AD中點E,連接PE,則PE又因為平面PAB平面PAD所以PE平面ABCD因為AB平面PAD,ABCD所以ABAD,CDAD又ABDC=a所以四邊形ABCD為矩形22a,PEAD10/17PABCD1所以V332a1ABADPEa即a211S=223+226=6+23側(cè)22218aa3233【2016,18】如圖所示,已知正三棱錐PABC的側(cè)面是直角三角形,PA6,頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點E連結(jié)PE并延長交AB于點G(1)求證:G是AB的中

18、點;(2)在題圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由),并求四面體PDEF的體積PAEGDCB解讀:(1)由題意可得ABC為正三角形,故PAPBPC6因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D,故PD平面ABC又AB平面ABC,所以ABPD因為D在平面PAB內(nèi)的正投影為點E,故DE平面PAB又AB平面PAB,所以ABDE因為ABPD,ABDE,PDDED,PD,DE平面PDG,所以AB平面PDG又PG平面PDG,所以ABPG因為PAPB,所以G是AB的中點(2)過E作EFBP交PA于F,則F即為所要尋找的正投影11/17PFAEGDCB理由如下,因為PBPA,PBEF,故EFPA同理EF

19、PC,又PAPCP,PA,PC平面PAC,所以EF平面PAC,故F即為點E在平面PAC內(nèi)的正投影eqoac(,S)PEFDEPFEFDE所以VDPEF1136在PDG中,PG32,DG6,PD23,故由等面積法知DE2EF2,故V由勾股定理知PE22,由PEF為等腰直角三角形知PF43DPEF【2015,18】如圖四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD交點,BE平面ABCD,()證明:平面AEC平面BED;()若ABC=120,AEEC,三棱錐E-ACD的體積為63,求該三棱錐的側(cè)面積解:()BE平面ABCD,BEACABCD為菱形,BDAC,AC平面BED,又AC平面AEC,平面AEC平面BE

20、D6分()設(shè)AB=x,在菱形ABCD中,由ABC=120可得,x,GB=GD=在RtAEC中,可得EG=xAG=GC=32x322在RtEBG為直角三角形,可得BE=22x9分EACDACGDBE1166Vx3,解得x=232243由BA=BD=BC可得AE=ED=EC=6AEC的面積為3,EAD的面積與ECD的面積均為5所以三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3+2512分12/1718解讀(1)因為BE平面ABCD,所以BEAC又ABCD為菱形,所以ACBD又因為BDBEB,BD,BE平面BED,所以AC平面BED又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED(2)在菱形ABCD中,取ABBCCDAD2

21、x,又ABC120,所以AGGC3x,BGGDx在AEC中,AEC90,所以EG12AC3x,所以在RtEBG中,BEEG2BG22x,所以VEACD11662x2xsin1202xx3,解得x13233在RtEBA,eqoac(,Rt)EBC,eqoac(,Rt)EBD中,可得AEECED6所以三棱錐的側(cè)面積S11側(cè)2225266325【2014,19】如圖,三棱柱ABCABC中,側(cè)面BBCC為菱形,BC的中點為O,且AO平111111面BBCC.11CBB1=60,所以CBB1為等邊三角形,又BC=1,可得OD=,由于ACAB1,OABC,ADOD2OA2,(1)證明:BCAB;1(2)若

22、ACAB,CBB60,BC1,求三棱柱ABCABC的高.11111證明:()連接BC1,則O為B1C與BC1的交點,AO平面BB1C1C.AOB1C,2分因為側(cè)面BB1C1C為菱形,BC1B1C,4分BC1平面ABC1,AB平面ABC1,故B1CAB.6分()作ODBC,垂足為D,連結(jié)AD,AOBC,BC平面AOD,又BC平面ABC,平面ABC平面AOD,交線為AD,作OHAD,垂足為H,OH平面ABC.9分34111722413/17由OHAD=ODOA,可得OH=2114,又O為B1C的中點,所以點B1到平面ABC的距離為,所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高為。12分212177另解(等

23、體積法):CBB1=60,所以CBB1為等邊三角形,又BC=1,由于ACAB1,OABC,AB=1,AC=,9分可得BO=321121222則等腰三角形ABC的面積為122712()22248,設(shè)點B1到平面ABC的距離為d,由VB1-ABC=VA-BB1C得,d,解得d所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高為。12分731218427217【2013,19】如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,CACB,ABAA1,BAA160(1)證明:ABA1C;(2)若ABCB2,A1C6,求三棱柱ABCA1B1C1的體積證明:(1)取AB的中點O,連結(jié)OC,OA1,A1B因為CACB,所以O(shè)CAB由于AB

24、AA1,BAA160,故eqoac(,AA)1B為等邊三角形,所以O(shè)A1AB因為OCOA1O,所以AB平面OA1C又AC平面OA1C,故ABA1Ceqoac(,1)(2)解:由題設(shè)知ABC與eqoac(,AA)1B都是邊長為2的等邊三角形,所以O(shè)COA13又A1C6,則A1C2OC2OA12,故OA1OC因為OCABO,所以O(shè)A1平面ABC,OA1為三棱柱ABCA1B1C1的高又ABC的面積eqoac(,S)ABC3,故三棱柱ABCA1B1C1的體積Veqoac(,S)ABCOA13【2012,19】如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱垂直底面,ACB90,AC=BC=14/1712AA1,D是棱AA1的中點(1)證明:平面BDC1平面BDC;(2)平面BDC1分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比【解讀】(1)在RtDAC中,ADAC,得:ADC45,同理:ADC45CDC90,111C1A1B1D得:DCDC1ACB由題設(shè)知BCCC1,BCAC,CC1ACC,所以BC平面ACCA11又DC平面ACCA,所以DCBC1111而DCBCC,所以DC平面BDC1又DC1平面BDC1,故平面BDC1平面BDC(2)由已知

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