多元函數(shù)微分法

1、關(guān)于多元函數(shù)微分法第一張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月2(1) 區(qū)域 鄰域 : 區(qū)域連通的開集 (2) 多元函數(shù)概念n 元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)一、基本概念1. 多元函數(shù)定義域及對(duì)應(yīng)規(guī)律(無幾何直觀)第二張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月3解:例1. 求的定義域xoy所求定義域?yàn)?例2.設(shè)解:第三張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月4則稱常數(shù)A為函數(shù)描述性定義對(duì)于二元函數(shù)是定義域D的聚點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為的極限記為：2. 多元函數(shù)的極限(1)定義：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈,是D的聚點(diǎn).如果對(duì)于任意給定的正數(shù)總存在正數(shù)使得

2、對(duì)于適合不等式的一切點(diǎn)都有成立，當(dāng)時(shí)的極限.記為：或或記為這里第四張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月5(2)二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限的區(qū)別與聯(lián)系不同點(diǎn)：二元函數(shù)極限 的方式（路徑）不同一元函數(shù) 的方式有兩種，故有 的方式是任意的，有無數(shù)個(gè).沿任何路徑 時(shí)極限存在且相等確定二元函數(shù)極限不存在的方法：令P(x,y)沿y=kx趨向于若極限值與k有關(guān)，則可斷言極限不存在；找兩種不同趨近方式，使存在，但兩者不相等，此時(shí)也可斷言f(x,y)或有的極限不存在，處極限不存在.在點(diǎn)第五張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月6共同點(diǎn)：即有定義與有極限不能互相推出.定義方式相同.故一元函數(shù)中凡是用

3、定義證明的結(jié)論均可推廣到多元函數(shù)中.用定義只能證明極限.在點(diǎn) 是否有定義并不影響極限是否存在，聯(lián)系：由于一元函數(shù)與二元函數(shù)極限的定義方式相同.所以一元函數(shù)極限的性質(zhì)如惟一性、保號(hào)性、局部有界性及極限的四則運(yùn)算法則，夾逼準(zhǔn)則；無窮小的概念與性質(zhì)，兩個(gè)重要極限及求極限的變量代換法，等價(jià)無窮小代換法等都可直接推廣到多元函數(shù)極限上來. 但一元函數(shù)極限的充要條件及洛必達(dá)法則不能用于多元函數(shù)極限上.第六張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月7例3.考察函數(shù)在原點(diǎn)的二重極限.解:第七張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月8例4. 求極限 解:其中(或用等價(jià)無窮小代換)第八張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于

4、2022年6月93. 多元函數(shù)的連續(xù)若令記則設(shè)函數(shù)z=f(x,y)的定義域?yàn)镈，聚點(diǎn)若則稱函數(shù)z=f(x,y)在處連續(xù).(1)定義：(2)間斷點(diǎn)：點(diǎn)連續(xù)第九張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月10例如, 函數(shù)在點(diǎn)(0 , 0) 極限不存在, 又如, 函數(shù)上間斷. 故 ( 0, 0 )為其間斷點(diǎn).在圓周(3)多元初等函數(shù)：如：所表示的多元函數(shù)，有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過叫多元初等函數(shù).第十張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月11(4)多元函數(shù)連續(xù)性的應(yīng)用-求極限求時(shí)，如果f(P)是初等函數(shù)，定義域的內(nèi)點(diǎn)，則f(P)在點(diǎn)處

5、連續(xù)且是f(P)的定理:定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的例5.求解:函數(shù)是二元初等函數(shù)，第十一張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月124. 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(1)定義：第十二張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月13(2)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的不同點(diǎn)：連續(xù)可導(dǎo)偏導(dǎo)記號(hào)已不再有“商”的含義.(3)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的共同點(diǎn)：故多元函數(shù)偏導(dǎo)的求法與一元函數(shù)類似.可以把一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和法則拿過來用.因此,定義方式相同.(4)偏導(dǎo)及高階偏導(dǎo)的記號(hào)：純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)第十三張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月14例6.解

6、:由定義可知：提示：求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求.(08數(shù)學(xué)三)第十四張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月155. 多元函數(shù)的全微分對(duì)于二元函數(shù)(1)可微的定義:微分：全微分的實(shí)質(zhì)：可微能是是第十五張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月16(2)多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)極限存在連續(xù)可微分偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)(3) 判定函數(shù)可微的方法:不連續(xù)不可微.不可導(dǎo)不可微.可微定義法:偏導(dǎo)連續(xù)可微.是有定義第十六張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月17函數(shù)在可微的充分條件是( )的某鄰域內(nèi)存在 ;時(shí)是無窮小量 ;時(shí)是無窮小量 .能是是例7.

7、 第十七張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月18(12數(shù)學(xué)一)(12數(shù)學(xué)三)第十八張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月19(4)幾個(gè)需要記住的重要函數(shù)(反例):1)函數(shù)它在(0,0)處可導(dǎo),不可微,不連續(xù).2)函數(shù)它在(0,0)處不可微、不可導(dǎo)、連續(xù).3)函數(shù)它在(0,0)處連續(xù),可導(dǎo),不可微.第十九張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月20例8. 討論函數(shù)在原點(diǎn)處連續(xù)、可導(dǎo)、不可微.所以，所給函數(shù)在(0,0)處連續(xù).解:(2)第二十張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月21可微例8. 討論函數(shù)解: (2)由導(dǎo)數(shù)的定義知在原點(diǎn)處連續(xù)、可導(dǎo)、不可微.則第二十一張，PPT共七十

8、六頁，創(chuàng)作于2022年6月221.求具體顯函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求時(shí)，把x看成變量，其余變量均看成常量；求時(shí)，把y看成變量，其余變量均看成常量；2)求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法：先代后求先求后代利用定義3) 求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法:逐次求導(dǎo)法 混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無關(guān)1)求偏導(dǎo)(函) 數(shù)的方法：二、多元函數(shù)微分法第二十二張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月23第二十三張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月242. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t:3. 全微分形式不變性:不論 u , v 是自變量還是因變量,都有：同路相乘,異路相加.單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo).第二十四張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月25例1

9、.解:第二十五張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月26例2.解:第二十六張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月27(09數(shù)學(xué)一)第二十七張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月28法1：公式法：法3：微分法：誰看成變量.時(shí)把誰看成常量，注意求法2：直接法：兩邊求導(dǎo)，這時(shí)若對(duì) 求導(dǎo)，把 數(shù)誰是自變量，把 均看成變量用一階微分形式不變性及微分法則.誰是函數(shù)，兩邊微分，不用區(qū)分 求隱函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)也有類似的方法.請(qǐng)選用恰當(dāng)?shù)姆椒?3.求隱函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)的三個(gè)方法第二十八張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月29隱函數(shù)的求導(dǎo)公式： 對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得解這個(gè)關(guān)于 的方程組即可.即第二十

10、九張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月30定理1. 設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) ,并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式) 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足滿足條件導(dǎo)數(shù)第三十張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月31定理2 .若函數(shù) 的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 滿足 在點(diǎn)滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確第三十一張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月32根據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點(diǎn) 的一個(gè)鄰域，在此鄰域內(nèi)，該方程(A)只能確立一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)的隱函數(shù)(B)可以確立具有連續(xù)性偏導(dǎo)的隱函

11、數(shù)(C)可以確立具有連續(xù)性偏導(dǎo)的隱函數(shù)(D)可以確立具有連續(xù)性偏導(dǎo)的隱函數(shù)設(shè)則例3.提示:第三十二張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月33例4. 設(shè)解法1: 直接求導(dǎo)法再對(duì) x 求導(dǎo)注意：對(duì)x求導(dǎo)時(shí),應(yīng)把y看成常量,把z看成x,y的函數(shù).第三十三張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月34例4. 設(shè)解法2: 利用公式設(shè)則解法3 : 利用微分法求導(dǎo)第三十四張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月35(10數(shù)學(xué)一,二)(13數(shù)三)第三十五張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月36解: 方程兩邊求微分, 得即例5.設(shè)是由方程和所確定的函數(shù) , 求(99考研)分析: 自變量個(gè)數(shù) = 變量

12、總個(gè)數(shù) 方程總個(gè)數(shù)自變量與因變量由所求對(duì)象判定函數(shù)的個(gè)數(shù)=方程的個(gè)數(shù)第三十六張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月37一、 基本概念 二、多元函數(shù)微分法 三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用 第八章 多元函數(shù)微分法推廣一元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué) 注意: 善于類比, 區(qū)別異同.第三十七張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月381.在幾何中的應(yīng)用求曲面的切平面及法線 (關(guān)鍵: 抓住法向量) 三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用曲面曲面 在點(diǎn)1) 隱式情況 ：的法向量：切點(diǎn)曲面2) 顯式情況：法線的方向余弦：法向量：切點(diǎn)第三十八張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月39求曲線的切線及法平面(關(guān)鍵: 抓住切向

13、量) 1) 參數(shù)式情況.切向量2) 一般式情況.切點(diǎn)切向量其指向與t 的增長方向一致.第三十九張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月40已知平面光滑曲線切點(diǎn)該曲線在 處的切向量為：若平面光滑曲線方程為特別的：其指向與t 的增長方向一致.若平面光滑曲線方程為第四十張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月41思考: 平面曲線的切線(切向量)與法線(法向量).1.已知平面光滑曲線在點(diǎn)有切線方程:在 處的切向量為：第四十一張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月422.若平面光滑曲線方程為故在點(diǎn)有法線方程第四十二張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月433.已知平面光滑曲線切線方程：法線方

14、程：在點(diǎn)有第四十三張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月44例1.解:切向量為：所求切線方程為：法平面為：求曲線上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的切線與法平面方程.第四十四張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月45例2. 求曲線在點(diǎn)M (1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程. 解: 令則切向量切線方程即法平面方程即第四十五張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月46練習(xí)：解: 令(13數(shù)一)第四十六張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月472. 極值與最值問題1)定義:(1)由定義知:極值點(diǎn)應(yīng)在定義區(qū)域內(nèi)部(內(nèi)點(diǎn)),而不能在邊界上.(3)在點(diǎn) (0,0) 有極小值;在點(diǎn) (0,0) 有極大值;

15、(2)該極值的概念可推廣到三元以上的多元函數(shù)上.說明：在點(diǎn) (0,0) 有極大值;第四十七張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月482)極值的必要條件與充分條件定理1 (必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),且在該點(diǎn)取得極值練習(xí):(2003研)設(shè)可微函數(shù) 在點(diǎn) 取得極小值,則下列結(jié)論正確的是( )C第四十八張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月49第四十九張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月50定理1簡述為：駐點(diǎn)極值點(diǎn)(可導(dǎo)函數(shù))注1幾何意義：注2 逆命題不成立,即駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).故駐點(diǎn)極值點(diǎn)但在該點(diǎn)不取極值.因函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)不存在.1)駐點(diǎn)2)偏導(dǎo)中至少有一個(gè)不存在的點(diǎn).第五十張，PPT

16、共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月51定理2 (充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且若函數(shù)令時(shí), 具有極值則: 1) 當(dāng)A0 時(shí)取極小值.2) 當(dāng)時(shí), 沒有極值.3) 當(dāng)時(shí), 不能確定 , 需另行討論.1)駐點(diǎn)2)偏導(dǎo)中至少有一個(gè)不存在的點(diǎn).第五十一張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月52例3. 求函數(shù)解:解方程組得駐點(diǎn)(1,1),(0,0)故所求函數(shù)的極值為:對(duì)駐點(diǎn)(1,1):所以對(duì)駐點(diǎn)(0,0):所以函數(shù)在(0,0)處無極值.第五十二張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月533)求函數(shù)的極值的一般步驟：第三步:定出的符號(hào)，再判斷是否為極值.求出在定義區(qū)域內(nèi)部的實(shí)數(shù)解,

17、第一步: 解方程組得駐點(diǎn).第二步:求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B、C.對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)第五十三張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月54(12數(shù)學(xué)一,二)(09數(shù)學(xué)二)(09數(shù)學(xué)一,三9分)第五十四張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月55(11年數(shù)學(xué)一)第五十五張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月564)求條件極值的方法 (消元法, 拉格朗日乘數(shù)法) 極值問題無條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法1 代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題.對(duì)自變量只有定義域內(nèi)限制.對(duì)自變量除定義域內(nèi)限制外,還有其它限制條件.例如 ,轉(zhuǎn)化第五十六張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月57方

18、法2 拉格朗日乘數(shù)法.如方法 1 所述 ,則問題等價(jià)于一元函數(shù)的極值問題,故極值點(diǎn)必滿足設(shè) 例如, 極值點(diǎn)必滿足引入輔助函數(shù)第五十七張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月58拉格朗日乘數(shù)法:就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo).輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).利用拉格朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.以上解正是的駐點(diǎn).第五十八張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月59推廣:拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束 條件的情形. 例如, 求函數(shù)下的極值.解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn)第五十九張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月60(1)最值的存在性：如函數(shù)(2)有界

19、閉區(qū)域D上連續(xù)函數(shù)的最值的求法與步驟： .找最值可疑點(diǎn) D內(nèi)的駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)邊界上的可能極值點(diǎn) .比較以上各點(diǎn)處的函數(shù)值,最大(小)者即為所求的 最大(小)值 . 需求函數(shù)(假定函數(shù)在D有有限個(gè)可疑點(diǎn))定理：若 f (P) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m .5)求解閉域上連續(xù)函數(shù)最值問題第六十張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月61解:如圖,例4. 求二元函數(shù)第六十一張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月62設(shè)解方程組得條件極值的可疑點(diǎn)為：另解 求提示:3.比較以上各點(diǎn)處的函數(shù)值,最大(小)者即為所求的最大(小)值 . 練習(xí)：求函數(shù)在閉域2007

20、研答案:第六十二張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月63 求多元函數(shù)在閉區(qū)域D上的最值,往往比較復(fù)雜.但如果根據(jù)問題的實(shí)際意義,知道函數(shù)在D內(nèi)存在最值,又知函數(shù)在D內(nèi)可微,且只有唯一駐點(diǎn),則該點(diǎn)處的函數(shù)值就是所求的最值.特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個(gè)極值點(diǎn)P 時(shí), 函數(shù)的最值應(yīng)用問題的解題步驟：第二步 判別 比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小, 根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值.第一步 找目標(biāo)函數(shù),確定定義域(及約束條件);6)函數(shù)的最值應(yīng)用問題第六十三張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月64例5.求曲面與平面解：設(shè)為拋物面上任一點(diǎn)，則 P 的距離為問題歸結(jié)為約束條件:目標(biāo)函數(shù):到

21、平面之間的最短距離.令得唯一駐點(diǎn)：根據(jù)問題的實(shí)際意義,知第六十四張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月65(08數(shù)學(xué)一,11分)(10數(shù)三)第六十五張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月66 在山坡上沿不同方向行走時(shí)陡緩不一樣. 空氣沿不同方向流動(dòng)的快慢不一樣. 在數(shù)學(xué)上，即設(shè)函數(shù) 當(dāng)(x，y)沿不同方向改變時(shí)的變化率決定著陡緩與快慢.如圖：3. 方向?qū)?shù)與梯度問題的提出:第六十六張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月67方向?qū)?shù)1)定義:則稱記作 xoy第六十七張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月68的方向?qū)?shù)為：第六十八張，PPT共七十六頁，創(chuàng)作于2022年6月692)方向?qū)?shù)的存在性及其計(jì)算方法:定理那么函數(shù)