高等數(shù)學第三章第四節(jié)《函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性》課件_第1頁
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文檔簡介

1、第四節(jié)一、函數(shù)單調(diào)性的判定法 二、曲線的凹凸與拐點函數(shù)的單調(diào)性與 曲線的凹凸性 第三章 一、 函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理 1. 設(shè)函數(shù)則 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增(遞減) .證: 無妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說明 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增.在開區(qū)間 I 內(nèi)可導,證畢例1. 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為說明: 單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導數(shù)不存在的點. 例如,2) 如果函數(shù)在某駐點兩邊導數(shù)同號, 則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .例如,例2. 證明時, 成立不等式證: 令從而因此且證證明令則從而即例3 證明：當x1時，定義 . 設(shè)函數(shù)在區(qū)間 I 上連續(xù) ,(1) 若恒有則稱圖形

2、是凹的;(2) 若恒有則稱連續(xù)曲線凹凸分界點稱為拐點 .圖形是凸的 .二、曲線的凹凸與拐點定理2.(凹凸判定法)(1) 在 I 內(nèi)則 在 I 內(nèi)圖形是凹的 ;(2) 在 I 內(nèi)則 在 I 內(nèi)圖形是凸的 .設(shè)函數(shù)在區(qū)間I 上有二階導數(shù)例4. 判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.說明:1) 若在某點二階導數(shù)為 0 ,2) 根據(jù)拐點的定義及上述定理, 可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在 兩側(cè)異號,則點是曲線的一個拐點.則曲線的凹凸性不變 .在其兩側(cè)二階導數(shù)不變號,例5. 求曲線的拐點. 解:不存在因此點 ( 0 , 0 ) 為曲線的拐點 .凹凸例6. 求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1) 求2) 求拐點可疑點坐標令得對應3) 列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸 ,點 ( 0 , 1 ) 及均為拐點.凹凹凸內(nèi)容小結(jié)1. 可導函數(shù)單調(diào)性判別在 I 上單調(diào)遞增在 I 上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點的判別+拐點

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