導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法技巧及應(yīng)用解讀

1、楊陽(yáng)晟超11級(jí)商學(xué)院國(guó)際經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易一班201102013017江西師范大學(xué)商學(xué)院學(xué)士論文導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法技巧及其應(yīng)用The calculation method of derivative skillsand its application姓 名： 楊陽(yáng)晟超學(xué) 號(hào)： 201102013017學(xué) 院： 商學(xué)院專 業(yè)： 國(guó)際經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易指導(dǎo)老師： 桂國(guó)祥 完成時(shí)間： 2012 年 12 月 8 日楊陽(yáng)晟超 11 級(jí)商學(xué)院國(guó)際經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易一班 201102013017導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法技巧及其應(yīng)用楊陽(yáng)晟超【摘要】 導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要基礎(chǔ)概念。當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，因變量 的增量與自變量的增量之商的極限。

2、在一個(gè)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時(shí)， 稱這個(gè)函數(shù)可導(dǎo)或 者可微分。 可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)。 不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。 導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上就是一 個(gè)求極限的過(guò)程，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則來(lái)源于極限的四則運(yùn)算法則。導(dǎo)數(shù)亦名紀(jì)數(shù)、微商（微分中的概念） ，是由速度變化問(wèn)題和曲線的切線問(wèn) 題（矢量速度的方向）而抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)概念，又稱變化率。物理學(xué)、幾何學(xué)、 經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中的一些重要概念都可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)表示。 如：導(dǎo)數(shù)可以表示運(yùn)動(dòng)物 體的瞬時(shí)速度和加速度 （就勻速直線加速度運(yùn)動(dòng)為例： 位移關(guān)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù) 是瞬時(shí)速度，二階導(dǎo)數(shù)是加速度） ；可以表示曲線在一點(diǎn)的斜率（矢量速度的方 向）；還可以表示經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際和彈性。以上說(shuō)的經(jīng)典導(dǎo)數(shù)

3、定義可以認(rèn)為是反 映局部歐氏空間的函數(shù)變化。 為了研究更一般的流形上的向量叢截面 （比如切向 量場(chǎng)）的變化，導(dǎo)數(shù)的概念被推廣為所謂的“聯(lián)絡(luò)” 。有了聯(lián)絡(luò)，人們就可以研 究大范圍的幾何問(wèn)題，這是微分幾何與物理中最重要的基礎(chǔ)概念之一。關(guān)鍵詞】 導(dǎo)數(shù) 微分 高階導(dǎo)數(shù) 運(yùn)算法則 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用楊陽(yáng)晟超 11 級(jí)商學(xué)院國(guó)際經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易一班 201102013017The calculation method of derivative skills and itsapplicationYang Yangshengchao【 Abstract 】 The derivative is the important

4、basic concepts in calculus. When the independent variable increment tends to zero, the dependent variable and the increment of the independent variable increment business limit. In a function derivative, call this function can be mediated or differential. Differentiable function must be continuous.

5、Discontinuous function must not guide. The derivative is essentially a demand limit, derivative of the four arithmetic operations from the limit of four arithmetic operations.The derivative is also named counting, derivative ( differential concept), by the speed change and curve tangent problem ( ve

6、ctor velocity direction ) and the abstract mathematical concepts, also known as the rate of change. In geometry, physics, economics and other disciplines in some important concepts can be expressed by derivative. Such as : the derivative can be expressed in a moving object ( the instantaneous speed

7、and acceleration on uniform linear acceleration motion for example: displacement on the time derivative is the instantaneous velocity, two derivative is acceleration ); can be expressed at a point of a curve slope ( vector velocity direction ); also can be expressed in the economics of the margin an

8、d elasticity. The above said classic definition of derivative can be considered to reflect locally Euclidean space function change. In order to study more general manifolds vector bundle section (such as the tangent vector field ) changes, the concept of derivative being promoted as a so-called cont

9、act . A contact, people can study a wide range of problems in geometry, differential geometry and physics, which is one of the most important basic concepts.Higher order derivativeKey words 】 Derivative Differential Rules of operation The application of derivative楊陽(yáng)晟超11級(jí)商學(xué)院國(guó)際經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易一班201102013017目錄 TO

10、C o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 一、引言 5 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 二、導(dǎo)數(shù)概念 5 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document （一）導(dǎo)數(shù)定義 5 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document （二）導(dǎo)數(shù)幾何意義 6 HYPERLINK l bookmark18 o Current Document （三）左右導(dǎo)數(shù) 6 HYPERLINK l bookmark20 o Curre

11、nt Document （四）可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 7 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 三、導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則 7（一）基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式 7（二）復(fù)合求導(dǎo) 9 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document （三）反函數(shù)求導(dǎo) 9（四）隱函數(shù)求導(dǎo) 10 HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 四、高階導(dǎo)數(shù) 11五、小結(jié) 錯(cuò)誤！未定義書簽。 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 參考文獻(xiàn) 14楊陽(yáng)晟超 11 級(jí)商學(xué)

12、院國(guó)際經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易一班 201102013017一、引言數(shù)學(xué)中研究導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用的部分稱為微分學(xué)，研究不定積分、定積 分及其應(yīng)用的部分稱為積分學(xué)。 微分學(xué)與積分學(xué)統(tǒng)稱為微積分學(xué)。 微積分學(xué)是高 等數(shù)學(xué)最基本、 最重要的組成部分， 是現(xiàn)代數(shù)學(xué)許多分支的基礎(chǔ)， 是人類認(rèn)識(shí)客 觀世界、探索宇宙奧秘乃至人類自身的典型數(shù)學(xué)模型之一。從 15 世紀(jì)初文藝復(fù)興時(shí)期起，歐洲的工業(yè)、農(nóng)業(yè)、航海事業(yè)與商賈貿(mào)易得 到大規(guī)模的發(fā)展， 形成了一個(gè)新的經(jīng)濟(jì)時(shí)代。 而十六世紀(jì)的歐洲， 正處在資本主 義萌芽時(shí)期， 生產(chǎn)力得到了很大的發(fā)展。 生產(chǎn)實(shí)踐的發(fā)展對(duì)自然科學(xué)提出了新的 課題，迫切要求力學(xué)、 天文學(xué)等基礎(chǔ)科學(xué)的發(fā)展，

13、而這些學(xué)科都是深刻依賴于數(shù) 學(xué)的，因而也推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。 在各類學(xué)科對(duì)數(shù)學(xué)提出的種種要求中， 下列三 類問(wèn)題導(dǎo)致了微分學(xué)的產(chǎn)生：求變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度；求曲線上一點(diǎn)處的切線；求最大值和最小值。這三類實(shí)際問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)原型在數(shù)學(xué)上都可歸結(jié)為函數(shù)相對(duì)于自變量變化而 變化的快慢程度， 即所謂函數(shù)的變化率問(wèn)題。 牛頓從第一個(gè)問(wèn)題出發(fā)， 萊布尼茨 從第二個(gè)問(wèn)題出發(fā)，分別給出了導(dǎo)數(shù)的概念。、導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)定義定義：設(shè)函數(shù) y=f ( x)在點(diǎn) x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義 當(dāng)自變量 x在 x0處取得 增量 x(點(diǎn)x0+ x仍在該鄰域內(nèi))時(shí) 相應(yīng)地函數(shù) y取得增量y=f(x0+ x)- f (x0) 如果 y 與 x

14、之比當(dāng) x 0 時(shí)的極限存在 則稱函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo) 并稱這個(gè)極限為函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù) 記為 y|xx0楊陽(yáng)晟超11級(jí)商學(xué)院國(guó)際經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易一班201102013017即：或 df (x)x x0dxx x0也可記為： y |x x導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù) y=f (x)在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù) f ( x0)在幾何上表示曲線 y=f ( x)在點(diǎn) M(x0, f (x0) 處的切線的斜率 即f ( x0)=tan其中 是切線的傾角如果 y=f ( x)在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大 這時(shí)曲線 y=f ( x)的割線以垂直于 x 軸的直線 x=x0為極限位置 即曲線 y=f ( x

15、)在點(diǎn) M(x0, f ( x0) 處具有垂直于 x軸的 切線 x=x0y-y0=f (x0)(x- x0)由直線的點(diǎn)斜式方程 可知曲線 y=f ( x)在點(diǎn) M(x0, y0)處的切線方程為f (x0)過(guò)切點(diǎn) M(x0, y0)且與切線垂直的直線叫做曲線 y=f ( x)在點(diǎn) M處的法線如果 f (x0) 0 法線的斜率為 1 從而法線方程為y y0f (x0)(x x0)三)左右導(dǎo)數(shù)f(x)在x0的左導(dǎo)數(shù) f (x0) lim f (x0 hh) f(x0)f(x) 在 x0 的右導(dǎo)數(shù) f (x0) lim f(x0 hh) f(x0)如果極限 lim f(x0 h) f(x0) 存在 則

16、稱此極限值為函數(shù)在 x0的左導(dǎo)數(shù) h 0 hh0如果極限 lim f(x0 h) f(x0) 存在 則稱此極限值為函數(shù)在 x0的右導(dǎo)數(shù) 楊陽(yáng)晟超 11 級(jí)商學(xué)院國(guó)際經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易一班 201102013017(四)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系設(shè)函數(shù) y=f ( x) 在點(diǎn) x0 處可導(dǎo) 即 lim y f (x0) 存在 則x0 xlim y lim y x lim y lim x f (x0) 0 0 x 0 x 0 x x 0 x x 0這就是說(shuō) 函數(shù) y=f ( x)在點(diǎn) x0 處是連續(xù)的。所以 如果函數(shù) y=f(x)在點(diǎn) x 處可 導(dǎo) 則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)。另一方面 一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)卻不一定在該點(diǎn)處可

17、導(dǎo)。三、導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則(一)基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)(C) 0(2)(x ) x 1(3)(sin x) cos x(4)(cos x) sin x(5)(tan x) sec2x(6)(cot x) csc2x(7)(sec x) sec x tan x(8)(csc x) csc x cot x(9)(ax) ax ln a(10)xx (e ) e(11)(loga x) 1xln a楊陽(yáng)晟超11級(jí)商學(xué)院國(guó)際經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易一班201102013017(12)(13)(arcsinx) 11x2(14)1(arccosx)1 x2(15)1(arctan x)

18、1 x2(16)1(arccot x) 21 x22函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè) u u(x) v v(x) 都可導(dǎo) 則(1)(u v) u v(2)(C u) C u(3)(u v) u v u v(4)u uv uv(v)v23 21y 2x 3 5x 2 3x 7 求 y解 y (2x 35x 2 3x7) (2x 3) (5x 2) (3x) (7) 2(x 3) 5(x 2)2 22 3x 2 52x 3 6x 2 10 x 3例 2 f (x) x3 4cosx sin 2求 f (x)及 f (2)解 f (x) (x3) (4cosx) (sin3x2 4sinxf ( 2

19、) 34 2 41(ln x) 1x楊陽(yáng)晟超11級(jí)商學(xué)院國(guó)際經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易一班201102013017復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)設(shè) y f(x) 而 u g(x)且f(u)及 g(x)都可導(dǎo) 則復(fù)合函數(shù) y fg(x) 的導(dǎo)數(shù)為ddyx ddyu ddxu或 y(x) f (u) g(x)例 1 y ex3 求 dydx解：函數(shù) y ex3 可看作是由 y eu u x3復(fù)合而成的 因此dy dy du eu 3x2 3x2ex3dx du dx例 2 y 3 1 2x2 求 dydx12解： ddyx (1 2x2)3 13(1 2x2) 3 (1 2x2) 33 (1 42xx2)2反函數(shù)求導(dǎo)設(shè) x f(y

20、)在區(qū)間 Iy 內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且 f (y) 0 則它的反函數(shù) y f 1(x)在 Ix f(Iy)內(nèi)也可導(dǎo) 并且f 1(x) f 1(y) 或 dy 1dx dxdy例 1 設(shè) x tan y y ( 2 , 2) 為直接函數(shù) 則 y arctan x 是它的反函數(shù) 函數(shù)x tan y 在區(qū)間 ( 2 , 2 ) 內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo) 且(tan2y) sec2 y 011因此 由反函數(shù)的求導(dǎo)法則 在對(duì)應(yīng)區(qū)間 I x () 內(nèi)有(arctanx) (tan y) sec2 y 1 tan2y 1 x2類似地有 (arccot x) 1 1x2例 2設(shè) x a y(a 0 a 1) 為直接函數(shù) 則 y

21、log a x 是它的反函數(shù) 函數(shù) x a y 在 楊陽(yáng)晟超 11 級(jí)商學(xué)院國(guó)際經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易一班 201102013017區(qū)間 I y ( ) 內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo) 且( ay) ay ln a 0因此 由反函數(shù)的求導(dǎo)法則 在對(duì)應(yīng)區(qū)間 I x (0 ) 內(nèi)有(log a x) (ay) ay lna xlna(四)隱函數(shù)求導(dǎo)顯函數(shù) 形如 y f(x) 的函數(shù)稱為顯函數(shù) 例如 y sin x y ln x +e x隱函數(shù) 由方程 F(x y) 0所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù)例如：方程 x y 1 0 確定的隱函數(shù)為 y 。 y 3 1 x如果在方程 F(x y) 0 中 當(dāng) x 取某區(qū)間內(nèi)的任一值時(shí) 相應(yīng)地總有

22、滿足這 方程的唯一的 y 值存在 那么就說(shuō)方程 F(x y) 0 在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函 數(shù)。把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù) 叫做隱函數(shù)的顯化。 隱函數(shù)的顯化有時(shí)是有困難 的 甚至是不可能的。 但在實(shí)際問(wèn)題中 有時(shí)需要計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 因此 我 們希望有一種方法 不管隱函數(shù)能否顯化 都能直接由方程算出它所確定的隱函 數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)。例 1求由方程 e xy e 0 所確定的隱函數(shù) y 的導(dǎo)數(shù)解：把方程兩邊的每一項(xiàng)對(duì) x 求導(dǎo)數(shù)得( e y) (xy) (e) (0)即ey y y+xy 0從而 y x yey (x e 0)例 2求由方程 y 2y x 3x 0 所確定的隱函數(shù) y f(x) 在x 0

23、處的導(dǎo)數(shù) y | x 010解：把方程兩邊分別對(duì) x 求導(dǎo)數(shù)得5y y 2y 1 21x 6 0由此得y 1 21x6y 5y4 2因?yàn)楫?dāng) x 0 時(shí) 從原方程得 y 0 所以楊陽(yáng)晟超11級(jí)商學(xué)院國(guó)際經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易一班2011020130171 21x61y |x 0 5y4 2|x 0 2四、高階導(dǎo)數(shù)一般地 函數(shù) y f (x) 的導(dǎo)數(shù) y f (x)仍然是 x 的函數(shù) 我們把 y f (x) 的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù) y f ( x)的二階導(dǎo)數(shù) 記作 y 、f (x)或 d22ydx2即 y (y) f (x) f (x)d22y d (dy)dx2 dx dx相應(yīng)地 把 y f (x)的導(dǎo)數(shù) f (

24、x)叫做函數(shù) y f ( x)的一階導(dǎo)數(shù)類似地 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 叫做三階導(dǎo)數(shù) 三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù) 一般地 ( n 1) 階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做 n 階導(dǎo)數(shù) 分別記作(4)( n)y或 ddx3yd4ydx4dnydxn函數(shù)f ( x)具有n階導(dǎo)數(shù) 也常說(shuō)成函數(shù)f ( x)為n階可導(dǎo)。如果函數(shù) f(x) 在點(diǎn) x 處具有 n 階導(dǎo)數(shù) 那么函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x 的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于 n 階的導(dǎo)數(shù) 。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。y 稱為一階導(dǎo)數(shù)， y ，y ，y (4)y(n)都稱為高階導(dǎo)數(shù)例 1 求函數(shù) y ex 的 n 階導(dǎo)數(shù)x x x( 4)x解： yexy exy ex

25、y( 4)ex般地 可得n) x e11楊陽(yáng)晟超11級(jí)商學(xué)院國(guó)際經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易一班201102013017即 （ ex） （n） ex例 2 求正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)解： y sin xy cos(xy cosx sin(x) sin(x222) sin(x 2 2)y cos(x 2sin(x 2 ) sin(x 3y(4) cos(x 3 ) sin(x 4 )般地 可得y(n)即 (sinx)(n) sin(x n用類似方法 可得 (cos x) (n) cos(x n 2)五、小結(jié)（1）導(dǎo)數(shù)和微分的概念；（2）用導(dǎo)數(shù)定義和運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)1）正確使用導(dǎo)數(shù)及微分公式和法則；2）熟練掌握求導(dǎo)方法和技巧：求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，注意討論分界點(diǎn)處左右導(dǎo)數(shù) 是否存在和相等； 求絕對(duì)值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， 首先去掉絕對(duì)值符號(hào)， 將函數(shù)用分段函 數(shù)表示后再求導(dǎo)；對(duì)復(fù)合函數(shù)，求導(dǎo)時(shí)要由表及里