從數(shù)學(xué)史的角度去看中學(xué)概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)(已發(fā)表)

1、第 28 卷第 11期 2009 年 11 月 數(shù)學(xué)教學(xué)研究從數(shù)學(xué)史的角度去看中學(xué)概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)李 艷1 史戰(zhàn)紅21.甘肅省蘭州市第六十五中學(xué) 7300702.西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 730070摘 要：在中學(xué)數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)部分的教學(xué)中應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)史的講解，在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史知識可以促進(jìn)學(xué)生對概率的理解以及讓學(xué)生體會現(xiàn)實(shí)生活中統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用、培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、堅(jiān)定學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信念。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史；概率統(tǒng)計(jì)；教學(xué)中圖分類號：G633.6目前，我國正處在教育改革試行階段，全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動地進(jìn)行觀

2、察、猜測、推理與交流等數(shù)學(xué)活動。針對新課程改革標(biāo)準(zhǔn)，在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中我們應(yīng)重視數(shù)學(xué)史的運(yùn)用。作為現(xiàn)階段在中學(xué)中剛開始涉及的概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的教學(xué)，可以結(jié)合數(shù)學(xué)史知識,促進(jìn)學(xué)生對概率的理解以及讓學(xué)生體會現(xiàn)實(shí)生活中統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用，從而提高學(xué)生理解和應(yīng)用不確定性數(shù)學(xué)的能力。 數(shù)學(xué)史研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展，人們要認(rèn)識數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想和方法的發(fā)展過程，建立數(shù)學(xué)的整體意識，就必須運(yùn)用數(shù)學(xué)史作為指導(dǎo)。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)也有其自身不斷發(fā)展和完善的歷史，在中學(xué)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系和不確定性數(shù)學(xué)特有的思想方法以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用和創(chuàng)新能力。1通過講解概率的起源

3、,促進(jìn)學(xué)生對概率的理解概率知識應(yīng)是一個公民必備的知識，是構(gòu)成學(xué)生素質(zhì)的重要組成部分，現(xiàn)實(shí)生活中，我們常常可以聽到這樣一些說法：“購買彩票，我只想碰碰運(yùn)氣，反正中獎與不中獎的可能性都是50”。人們在長期實(shí)踐中，已總結(jié)出描述隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的方法，即用“可能性”這一概念來描述隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生可能性的大小，其數(shù)值表現(xiàn)就是概率。早期刺激數(shù)學(xué)家思考概率論的一些特殊問題是來自賭博者的請求，那時的概率論工作者的貢獻(xiàn)在于他們善于從具體的賭博問題中，看到它們的背景，并致力于把他們的研究成果從實(shí)際問題中抽象出來，上升為理論，使概率論成為一門有堅(jiān)實(shí)社會基礎(chǔ)，應(yīng)用日益廣泛的學(xué)科。早期概率論研究，有不少賭博問題，賭博者梅

4、爾曾向數(shù)學(xué)家巴斯卡請教過一個著名的“分賭本”問題：“兩個賭徒相約賭若干局，誰先贏s局就算誰贏，但在一人贏a（s）局，另一人贏b(s)局的情況下，賭博被迫停止，問此時賭本應(yīng)怎樣分才合理？”，巴斯卡將自己的解法寫信告訴數(shù)學(xué)家費(fèi)爾瑪，后來惠更斯參加了他們的討論，并將解法寫進(jìn)了他1657年出版的著作論賭博中的計(jì)算，該著作被認(rèn)為是最早的概率論論著。其實(shí)，現(xiàn)在教材中的概率的古典定義是拉普拉斯于1812年給出的，它討論的對象僅限于隨機(jī)試驗(yàn)中所有可能的結(jié)果為有限多且等可能的情形。 “概率與統(tǒng)計(jì)”的內(nèi)容與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系密切，我們應(yīng)該結(jié)合具體案例組織教學(xué)。在教學(xué)中，我們可結(jié)合“賭金分配”問題,體會古典概率的模型特征

5、，加深學(xué)生對定義的理解。現(xiàn)舉該問題的一個簡單情形:甲、乙二人賭博，各出賭注30 元，共60 元，每局甲、乙勝的機(jī)會均等，都是，約定:誰先勝滿3 局則他贏得全部賭注60 元，現(xiàn)已賭完3 局，甲2 勝1 負(fù)，而因故中斷賭博，問這60 元賭注該如何分給二人，才算公平？對這個問題，初看覺得應(yīng)按2 :1 分配，即甲得40 元，乙得20 元。但正確的分法應(yīng)考慮到如在這基礎(chǔ)上繼續(xù)賭下去，甲、乙最終獲勝的機(jī)會如何？ 其實(shí)，至多再賭2 局即可分出勝負(fù)，這2 局有4 種可能結(jié)果:甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。 前3 種情況都是甲最后取勝，只有最后一種情況才是乙取勝，二者之比為31 ,故賭注的公平分配應(yīng)按31 的比例，即

6、甲得45 元，乙得15元。教材中概率的古典定義要求在隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中基本事件發(fā)生的可能性相等，但人們發(fā)現(xiàn)在相同的條件下做大量重復(fù)試驗(yàn)，一個事件發(fā)生的次數(shù)和總的試驗(yàn)次數(shù)之比，在試驗(yàn)次數(shù)很大時，它的值將穩(wěn)定在一個常數(shù)附近。越大，這個比值“遠(yuǎn)離”這個常數(shù)的可能性越小，這個常數(shù)就稱為這個事件的概率。事實(shí)上，這就是概率論中的“貝努力大數(shù)定理”。我們將這個定義也稱為概率的統(tǒng)計(jì)定義，這個定義與統(tǒng)計(jì)有密切的關(guān)系，它建立在頻率穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，所以也稱為概率的頻率定義。這種概率討論的對象不再限于隨機(jī)試驗(yàn)所有可能的結(jié)果為等可能的情形，因而更具一般性。教學(xué)中要讓學(xué)生自己動手操作拋擲硬幣的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生自己去體驗(yàn)、思考與探

7、索，調(diào)動學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，并參照歷史上著名科學(xué)家大數(shù)次地投擲硬幣的結(jié)果，進(jìn)一步感受頻率概率的大數(shù)次實(shí)驗(yàn)要求以及概率統(tǒng)計(jì)的隨機(jī)性和統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。由下表容易看出，當(dāng)投擲次數(shù)較少時頻率的波動較大，當(dāng)投擲次數(shù)增大時頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定性，即出現(xiàn)正面的頻率在0.5 附近擺動, 而逐漸穩(wěn)定于0.5。實(shí)驗(yàn)者投擲次數(shù)出現(xiàn)正面的次數(shù)正面出現(xiàn)的頻率德 摩根(De Morgan)204810610.5181蒲豐(Buffon)404020480.5069費(fèi)勒(Feller)1000049790.4979皮爾遜(Pearson)1200060190.5016皮爾遜(Pearson)24000120120.5005

8、2.結(jié)合概率的發(fā)展歷史,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)概率的興趣十八世紀(jì)，概率論發(fā)展很快，幾乎所有初等概率的內(nèi)容都是在這一期間形成的，在此期間，人們把隨機(jī)現(xiàn)象視為一種特殊的變量-隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的引入，使得概率論的研究得到了一個大的飛躍。在整個十八世紀(jì)和十九世紀(jì)初，概率論風(fēng)行一時，但是由于一些學(xué)者過分夸大它的作用，使概率論的發(fā)展走了一段彎路。譬如有些人企圖把它應(yīng)用到諸如訴訟之類的“精神”或“道德”的科學(xué)上去，結(jié)果遭到了失敗。又如法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯和波阿松這兩位對概率論做出過重大貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家，也曾錯誤地宣傳過將概率論用到“倫理科學(xué)”上去，拉普拉斯認(rèn)為“大部分我們的審判都建立在證人證詞的概率上，所以把它們加以計(jì)算

9、是一件很重要的事情?！彼J(rèn)為法院根據(jù)一定多數(shù)作判決是對的，因?yàn)檫@相當(dāng)于判決問題正確的概率。這種理論與實(shí)際差距很大，根本原因在于：證人的證詞不一定都是正確的，各法官所代表的各階層利益不可能完全一致，法官的表態(tài)受多種因素的干擾，不可能相互獨(dú)立。拉普拉斯于1812年出版了他的經(jīng)典著作分析概率論，他是嚴(yán)密地、系統(tǒng)地奠定概率論基礎(chǔ)的第一人。后來，法國數(shù)學(xué)家波阿松通過研究，發(fā)現(xiàn)了概率論中占重要地位的一個分布波阿松分布；德國數(shù)學(xué)家高斯對正態(tài)分布進(jìn)行了深入的研究，并將其應(yīng)用于射擊和誤差理論。從十九世紀(jì)八十年代起，英國生物學(xué)家高爾頓和皮爾遜建立了“變異” 、“相關(guān)”、“回歸”等概念，并將概率論應(yīng)用于進(jìn)化論和生物

10、學(xué)研究。進(jìn)入二十世紀(jì)以來，概率論已經(jīng)發(fā)展成了一支嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支。概率論來源于實(shí)踐，扎根于實(shí)際問題之中，具有強(qiáng)烈的生命力，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)以及其它人類活動中有著廣泛的應(yīng)用。在社會科學(xué)的不少領(lǐng)域中，概率論作為一種認(rèn)識問題的思想方法，也得到了較為廣泛的應(yīng)用。在進(jìn)行概率部分的教學(xué)過程中，我們通過結(jié)合概率的發(fā)展歷史，讓學(xué)生深刻體會學(xué)習(xí)概率知識的重要性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)概率的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程，并引導(dǎo)學(xué)生探索新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域以及比較前沿的數(shù)學(xué)知識。3.聯(lián)系生活與實(shí)踐,讓學(xué)生理解統(tǒng)計(jì)的思想方法目前，中學(xué)數(shù)學(xué)“概率與統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容主要有：簡單隨機(jī)事件及其發(fā)生

11、的概率；收集、整理和描述數(shù)據(jù)，包括簡單抽樣、記錄調(diào)查數(shù)據(jù)、繪制統(tǒng)計(jì)圖表等；處理數(shù)據(jù)，包括計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差等；從數(shù)據(jù)中提取信息并進(jìn)行簡單的推斷。它是中學(xué)數(shù)學(xué)新課程的重要組成部分,它研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,具有獨(dú)特的概念、方法和理論。在教學(xué)中，我們力爭讓學(xué)生做到：能從統(tǒng)計(jì)的角度思考與數(shù)據(jù)信息有關(guān)的問題；能通過收集數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的過程，作出合理的決策，認(rèn)識到統(tǒng)計(jì)對決策的作用；能對數(shù)據(jù)的來源、處理數(shù)據(jù)的方法以及由此得到的結(jié)論進(jìn)行合理的質(zhì)疑。在統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的教學(xué)中，一要強(qiáng)調(diào)統(tǒng)計(jì)思想，二要強(qiáng)調(diào)學(xué)生的活動，突出數(shù)據(jù)處理的基本過程。我們應(yīng)注意聯(lián)系實(shí)際生活，在具體的探究情境中有步驟有

12、計(jì)劃地完成一定內(nèi)容的統(tǒng)計(jì)和做出判斷和決策，初步體驗(yàn)數(shù)據(jù)的收集、整理、描述和分析的過程，會用簡單的統(tǒng)計(jì)圖表表示統(tǒng)計(jì)的結(jié)果，能夠根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表提出一些簡單的問題，初步經(jīng)歷用統(tǒng)計(jì)的方法解決問題的過程，讓學(xué)生感受統(tǒng)計(jì)結(jié)果對決策的意義和作用，體會數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，并初步建立統(tǒng)計(jì)觀念。并引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)據(jù)和隨機(jī)現(xiàn)象，體會統(tǒng)計(jì)方法的意義，建立其隨機(jī)思想。隨機(jī)思想的核心是認(rèn)識隱藏在隨機(jī)現(xiàn)象背后的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性, 強(qiáng)調(diào)隨機(jī)現(xiàn)象的個別觀察的偶然性與大量觀察中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性之間的聯(lián)系. 必然性通過偶然性表現(xiàn)出來, 偶然性背后總是隱藏著必然性,大量的隨機(jī)現(xiàn)象正體現(xiàn)出事物發(fā)展過程中的必然性的一面. 隨機(jī)思想正是通過對這種偶然

13、性的研究去發(fā)現(xiàn)其背后的必然性即統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,并通過這種必然性去認(rèn)識和把握隨機(jī)現(xiàn)象.4.通過概率統(tǒng)計(jì)的發(fā)展歷史，堅(jiān)定學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信念數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民所必備的基本素養(yǎng)。數(shù)學(xué)教育作為促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展教育的重要組成部分，一方面要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識與技能，另一方面要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的邏輯推理和創(chuàng)新思維方面的功能。概率與統(tǒng)計(jì)與我們的生活聯(lián)系非常緊密，要了解現(xiàn)實(shí)生活中的一些常見問題如居民的生活狀況、學(xué)生的身體健康狀況以及交通情況等，都應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究、收集數(shù)據(jù)，通過分析收集到的數(shù)據(jù)作出相應(yīng)的判斷。在概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵的信息，體驗(yàn)數(shù)據(jù)是隨機(jī)的和有規(guī)律的，對于數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法。通過對于數(shù)據(jù)的簡單分析，讓學(xué)生感受數(shù)據(jù)所蘊(yùn)涵的信息，體會運(yùn)用數(shù)據(jù)進(jìn)行表達(dá)與交流的作用，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)的價值。通過概率統(tǒng)計(jì)的發(fā)展歷史，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)的發(fā)展決不是一帆風(fēng)順的，在更多的情況下是充滿猶豫、徘徊，要