4-3-1不規(guī)則圖形的面積.題庫教師版

1、不規(guī)則圖形的面積目M匹 例題精講本講主要通過求一些不規(guī)則圖形的面積，體會一種轉化思想，重點在于把不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形的 方法，包括平移、旋轉、害U補、差不變原理，通過這些方法的學習，讓學生體會求面積的技巧，提高學生的 觀察能力、動手操作能力、綜合運用能力.【例1】你有什么好的方法計算所給圖形的面積呢？（單位：厘米）圖1圖2【解析】（方法一）采用分割法，可給原圖分成兩個長方形,（圖1或圖2）兩個長方形的總面積就是所求的面積.圖1的面積是:4 (9 3) 9 375 （平方厘米）.圖2的面積是:(9 4) 3 9 4 75(平方厘米).（方法二）采用補圖法，如果補上一個邊長是9厘米的正方形（圖

2、3）,就成了一個面積是：（4 9） （9 3） 156（平方厘米）的大長方形.因此用這個長方形的面積減去所補正方形的面積，就是要求的圖形面積（4 9） （9 3） 9 9 75（平方厘米）.【鞏固】如圖是學校操場一角，請計算它的面積（單位：米）【解析】這是一個不規(guī)則圖形，怎樣使它能轉化為我們熟悉的基本圖形呢？可以在圖中添上一條輔助線，把多邊形切割成上下兩個長方形或左右兩個長方形；也可以把多邊形補充完整，成為一個長方形;20404040303030303030_2020圖一圖圖三方法一：如圖一， 30 40 20 （30 40） 1200 1400 2600（平方米）【鞏固】如右圖所示， 所示（

3、單位:方法二：如圖二，20 30 40 （20 30） 600 2000 2600（平方米）方法三：如圖三，（40 30） （20 30） 30 30 3500 900 2600（平方米）ABCD及一個正方形CEFG拼成的，線段的長度如圖圖中的 ABEFGD是由一個長方形 厘米），求ABEFGD的周長和面積.【解析】方法一：如果求出長方形的寬及正方形的邊長，則圖形ABEFGD的周長和面積可以求出.而正方形的邊長 GC DC DG AB DG 10 4 6（厘米），長方形白寬 BE CE 10 6 4（厘米），所求圖形的周長 10 2 6 2 4 4 40（厘米） 面積 S長方形ABCD SO形

4、CEFG 10 4 6 6 76 （平方厘米）方法二：可以將線段 GF、DG向外平移，得一個新的圖形ABEH ,因為DG HF , GF DH ,所以圖形ABEH的周長就是圖形ABEFGD的周長.而 AB BE 10（厘米），所以圖形 ABEH是邊長為10厘米的正方形.所求圖形的周長 正方形ABEH的周長 10 4 40（厘米） 面積 S正方形ABEH 七方形DGFH 10 10 6 476（平方厘米）【總結】方法一是利用基本圖形的周長及面積公式求解，因此首先要知道長方形的長、寬及正方形的邊長.【鞏固】【解析】方法二是利用轉化的思想方法，將較復雜圖形轉化為基本圖形，圖形轉化前后的周長不變，面積

5、增 加了，在計算時應減去增加的面積.把切去的角補出來，它的一條直角邊長 6 3 3,斜邊等于5 ,1所以另一直角邊為 4,所以矩形的長為 4 4 8,五邊形面積6 8 - 4 3 42 .220厘【例2】（第三屆”華杯賽口試試題”）這是一個樓梯的截面圖，高 280厘米，每級臺階的寬和高都是米.問，此樓梯截面的面積是多少？【解析】如果把樓梯截面補成右圖所示的長方形，那么此長方形高280厘米.寬300厘米，它的面積恰好是所求截面的2倍.所以樓梯截面面積為（280 300） 2 42000（平方厘米）.【鞏固】如圖是一個樓梯的截面圖，每級臺階的寬和高都是20厘米.這樓梯的截面積是多少平方厘米?【解析

6、】先求出大三角形的兩條直角邊都是20 8 160（厘米），因此大三角形的面積為160 160 2 12800（平方厘米）；8個小三角形的面積為 20 20 2 8 1600（平方厘米）；因此這樓 梯的截面積為12800 1600 14400（平方厘米）.【例3】有一塊菜地長16米，寬8米，菜地中間留了寬 2米的路，把菜地平均分成四塊，每一塊地的面積是 多少？I.2 口rr n十 IL2.【解析】 方法一：可以直接求出每小塊菜地的長和寬，從而求出每小塊菜地的面積；每一塊地的面積是：（16 2） 2 （8 2） 2 7 3 21 （平方米）方法二：也可以求出這塊地的總面積，再減去道路的面積，然后把

7、剩余的面積四等分求出每小塊菜地的面積；每一塊地的面積是：16 8 （2 16 8 2 2 2） 4 （128 44） 4 21 （平方米）方法三：還可以運用平移的方法，將道路移到菜地的邊沿，先求出四個小長方形組成的長方形面積, 再求出其中每一小塊菜地的面積.如圖所示：(16 2) (8 2) 4 84 4 21(平方米)【例4】有10張長3厘米，寬2厘米的紙片，將它們按照下圖的樣子擺放在桌面上，那么這10張紙片所蓋住的桌面的面積是多少平方厘米？【解析】 通過操作，一張一張的添加，可以發(fā)現(xiàn)每多蓋一張，遮住的面積增加2 1平方厘米，所以這10張紙片蓋住的面積是：3 2 2 1 9 24（平方厘米）

8、.【例5】下圖（單位：厘米）是兩個相同的直角梯形重疊在一起，求陰影部分的面積【解析】 所求面積等于圖中陰影部分的面積，為（20 5 20） 8 2 140 （平方厘米）.【鞏固】兩個相同的直角三角形如下圖所示（單位：厘米）重疊在一起，求陰影部分的面積BF【解析】陰影部分是一個高為 3厘米的直角梯形，然而它的上底與下底都不知道，因而不能直接求出它的面積.因為三角形 ABC與三角形DEF完全相同，都減去三角形 DOC后，根據(jù)差不變性質，差應相等，即陰影部分與直角梯形 OEFC面積相等，所以求陰影部分的面積就轉化為求直角梯形OEFC的面積.直角梯形OEFC的上底為10 3 7（厘米），面積為（7 1

9、0） 2 2 17（厘米2）.所以，陰影部分的面積是 17平方厘米?！纠?】如圖，李大伯給一塊長方形田地噴藥，噴藥器所能噴灑的范圍是以李大伯的落腳點為中心，邊長2米的正方形區(qū)域，他從圖中的A點出發(fā)，沿最短路線（圖中虛線）走，走過88米到達B點，恰好把這塊田地全部噴完，這塊田地的面積是多少平方米？【解析】 從圖中可以看出，李大伯每走1米，就能噴灑（2 1 ）2平方米田地，李大伯一共走了88米，所以這塊田地的面積是 2 88 176（平方米）.）右圖中甲的（第六屆”走進美妙的數(shù)學花園”中國青少年數(shù)學論壇趣味數(shù)學解題技能展示大賽初賽面積比乙的面積大平方厘米.6厘米4厘米【解析】甲的面積 白色三角形的

10、面積（8 6） 2 24（平方厘米）,乙的面積 白色三角形的面積（8 4） 2 16（平方厘米），所以，甲的面積乙的面積 24 16 8（平方厘米）例8 右圖中，矩形 ABCD的邊AB為4厘米，BC為6厘米，三角形 ABF比三角形EDF的面積大9平方 厘米，求ED的長.【解析】EC （4 6 9） 6 2 5（厘米），ED EC DC 1 （厘米）.如圖所示，CA AB 4厘米，4ABE比4CDE的面積小2平方厘米，求 CD的長為多少厘米?【解析】 連接BC兩點，由4ABE比4CDE的面積小2平方厘米,根據(jù)差不變原則可得2SACDESA ABESACDESA CBESAABESACBESACD

11、BS/XABC由于SA ABC4 4 2 8 （平方厘米） ,所以SACDB8 2 10,所以 CD 10 2 4 5（厘米）【鞏固】如圖，平行四邊形 ABCD種，BC 10cm,直角三角形 ECB的邊EC 8cm,已知陰影部分的總面 積比三角形EFG的面積大10cm2 ,求平行四邊形 ABCD的面積.【解析】三角形面積底高2.SYABCDSVABFSB形 FBCGSVEFG10S弟形 FBCG2、SY ABCDSVEBC1010 8 2 10 50（ cm）【例9】如圖，ABCD是7 4的長方形,DEFG是10 2的長方形，求 VBCO與VEFO的面積差.【解析】如右圖所示，我們把 VBCO

12、與VEFO同時補上陰影部分，則它們的差是不變的，即有:SVbCOSVEFO（SVBCO% 影）（S/EFO S 陰影）SVBHFSWCEFHSVbcoSVEFO（4 2）（10 7） 2 （10 7）2 3本題還可以按照下面添加輔助線的方法去解答，可以讓學生自己試試看.【例10】有一個長方形菜園，如果把寬改成50米，長不變，那么它的面積減少680平方米，如果使寬為 60米，長不變，那么它的面積比原來增加 2720平方米，原來的長和寬各是多少米？【解析】根據(jù)題意，可以用下圖表示增減變化的情況，從圖中可以看出，原來長方形的長為 （2720 680） （60 50） 340 （米），寬為 680 3

13、40 50 52 （米）.W一個長方形，如果寬減少2米，或長減少3米，則面積均減少24平方米，求這個長方形的面積？3【解析】長方形寬減少2米，面積減少24平方米.說明長方形長：24 2 12（米）.長方形長減少3米，面積減少24平方米.說明長方形寬：24 3 8（米）.所以這個長方形的面積為：12 8 96（平方米）.【例11】一塊長方形鐵板，長 15分米，寬12分米，如果長和寬各減少 2分米，面積比原來減少多少平 方分米？【解析】【例12】（方法一）如圖，鐵板面積比原來減少的面積就是陰影部分的面積，陰影部分的面積是用原長方形的面積減去空白部分的面積.即： 15 12 （15 2） （12 2

14、） 180 130 50（平方分米）.（方法二）也可把陰影部分分割成兩個長方形，求兩個長方形的面積.一個長方形，如果長減少 5厘米，寬減少2厘米，那么面積就減少 66平方厘米，這時剩下的部 分恰好成為一個正方形，求原來長方形的面積？225 l【解析】如圖，正方形的邊長是（66 2 5） （5 2） 8（厘米），長方形面積為8 8 66 130（平方厘米）.【鞏固】一塊長方形紙片，在長邊剪去5cm,寬邊剪去2cm后（如圖），得到的正方形面積比原長方形面積少2 31cm .求原長方形紙片的面積.通過對圖形進行分割，可以發(fā)現(xiàn)C的長與寬分別是5cm和2cm,則它的面積是5 2 10（ cm2）,那2么

15、A B的面積是31 10 21（ cm ）,如給B移到A的旁邊，則知正萬形的邊長：（cm）,正萬形的22面積是3 3 9（ cm2）,原長方形的面積是 31 9 40（ cm2）.【鞏固】一個正方形，如果把它的相鄰兩邊都增加6厘米，就可以得到一個新正方形，新正方形的面積比原正方形大120平方厘米.求原正方形的面積？6厘米6厘米6厘米6厘米由畫圖可知：陰影部分的面積就是120平方厘米，它可以分割成兩個相等的長方形和一個邊長是厘米的正方形.兩個長方形的面積和是：120 6 6 84 （平方厘米），一個長方形的面積是：84 2 42（平方厘米），長方形的長是：42 6 7（厘米），這個長度也是原正方

16、形的邊長，原正方 形的面積是：7 7 49（平方厘米）.【例13】一塊正方形的鋼板，先截去一個寬5分米的長方形，又截去一個寬 8分米的長方形（如圖），面積就比原來正方形減少181平方分米.原正方形的邊長是多少分米?【解析】對于較復雜的幾何問題，如果題目條件之間的關系在圖形中反映的不是那么具體、明確，而圖形結構提供的信息也較模糊，這時就可考慮通過對圖形進行變換一一進行“重組”對本題而言，根據(jù)圖形特征，我們把陰影部分 A、B、C剪切下來，并把剪切下的三個小長方形拼 合起來，如圖所示：AB55 CABCD A 8這個拼接起來的 圖形就是題目中“面 積比原來正方形減少 的181平方分米”.再在右下角補

17、上小方形 D,它 的寬為5分米，因為它的長等于“正 方形的邊長減去小長方形 C的長”， 所以小長方形D的長為8分米.通過上面分析可知，這個拼合起來的長方形A B C D 的面積是（181 8 5）,長是原來正方形的邊長，寬是（8 5）分米.這樣就可以求出原來正方形的邊長.拼合起來的長方形面積為：181 8 5 181 40 221（平方分米）.原來正方形的邊長是：221 （8 5） 221 13 17 （分米）.這道題中”將剪下的面積拼起來”這個思想非常有用.有時剪下的幾塊形狀之間差異很大，但它們拼起來卻能形成很規(guī)則的圖形.【鞏固】一張長方形紙片，先把長剪去8厘米，這時面積減少了 72平方厘米

18、，又把寬剪去 5厘米，這時面積又減少了 60平方厘米，原來這張長方形紙片的面積是多少平方厘米？【解析】依題意：寬=72 8 9（厘米），長 8 60 5 12（厘米），即長是：12 8 20（厘米），因此，原來長方形紙片的面積是：20 9 180（平方厘米）.【鞏固】（希望杯培訓題）如右圖所示，在一個正方形上先截去寬 11分米的長方形，再截去寬7分米的長方形,所得圖形的面積比原正方形減少301平方分米.原正方形的邊長是 分米.11【解析】把截去的兩個長方形拼在一起，如右下圖所示，再補上長11分米、寬7分米的小長方形，所得長方形的面積是301 11 7 378平方分米，這個長方形的長等于原正方形

19、的邊長，寬為 11 7 18分米, 所以原正方形邊長為：378 18 21分米.34平方厘米，求陰影部分的面積.【例14如圖長方形被分成兩部分，已知陰影面積比空白部分面積大10cm18cm【解析】(方法一)首先根據(jù)條件可求得長方形面積為：18 10 180( cm2)一方面，觀察圖形可知：長方形的面積 陰影部分面積 空白部分面積 180cm2另一方面，根據(jù)條件可知：陰影部分的面積空白部分面積34cm2所以，就可以根據(jù)”和差問題”的規(guī)律求出陰影部分的面積為：，一 一、 一 一 ，2(180+34) 2=107 (cm ).(方法二)我們還可以從另一種角度來思考，考慮條件”陰影部分面積比空白部分面

20、積大34平方厘米”中多出的部分.為了把34cm2的這個條件在圖中明確地刻畫出來，我們按下圖的方式進行分割：顯然，右圖中的陰影長方形的面積就等于34平方厘米.這樣，就把題目中的文字條件與它在圖形中的對應關系搞清楚了.由此不難求出陰影長方形的寬等于：34 10 3.4(cm).那么三角形 A的底為：18 3.4 14.6cm),所以它的面積為：14,6 10 2 73( cm2)則陰影部分的面積為：34 73 107(cm2).【例15】一張長方形紙片，把它的右上角往下折疊(如圖甲)，陰影部分面積占原紙片面積的 2 ;再把左7下角往上折疊(如圖乙)，乙圖中陰影部分面積占原紙片面積的 (答案用分數(shù)表

21、示).【解析】2甲圖陰影部分面積占原紙片面積的-，可以設原紙片的長為 7,說明陰影長方形的寬為2,原紙片7的空白部分為邊長為 5的正方形，即原紙片的寬為5,左下角折疊的三角形打開為邊長2的正方形,則乙圖中陰影部分的面積為(5 2) 2 6,而原紙片的面積為 7 5 35,所以乙圖中陰影部分面積占原紙片面積的.35【鞏固】折疊后，原平行四邊形面積是折疊后圖形面積的1.5倍.已知陰影部分面積之和為 1,則重疊部分(即空白部分)的面積是多少？22 1【解析】折疊后圖形的面積為原來圖形面積的2 ,所以由于重疊而消失的面積等于原來面積的1 （ g，1右圖中空白三角形的面積為原來圖形面積的-，所以未重疊的

22、陰影部分面積之和也等于原來圖形面3一 1積的-，即與重疊部分面積相等，所以重疊部分（即空白部分）的面積是1 .3【鞏固】如圖，一張長方形紙片，長 7厘米，寬5厘米.把它的右上角往下折疊，再把左下角往上折疊，未 蓋住的陰影部分的面積是多少平方厘米？7【解析】陰影部分的寬是7 5 2 （厘米），長是5 2 3（厘米），面積是2 3 6（平方厘米）.【例16 如圖，大正方形的邊長為10厘米.連接大正方形的各邊中點得小正方形，將小正方形每邊三等分，再將三等分點與大正方形的中心和一個頂點相連，那么圖中陰影部分的面積總和等于多少平方 厘米？【解析】觀察圖形，可以看出圖中小正方形中的陰影圖形與它對面的空白三

23、角形是對稱的，利用對稱的技巧 對圖形進行變換，把分散的條件集中，把復雜的圖形轉化為簡單的圖形.這樣一來，發(fā)現(xiàn)陰影部分 的面積等于中間正方形的面積，而中間部分的面積等于大正方形面積的一半.也可以連結小正方形中心與頂點，發(fā)現(xiàn)陰影部分的面積等于中間正方形的面積，等于大正方形面積 的一半.所以，所求的面積為10 10 2 50（平方厘米）.【例17如圖所示，直角三角形中有一個長方形，求長方形的面積?【解析】如圖，由長方形的對稱性知 A與B面積相等，C與D面積相等.從而陰影部分面積與F面積相等,為 6 4 24.【例18】一個邊長為20厘米的正方形，依次連接四邊中點得到第二個正方形，這樣繼續(xù)下去可得到第

24、三個、第四個、第五個正方形.求第五個正方形的面積？【解析】第一個正方形的面積是20 20 400（平方厘米），第二個正方形的面積如圖，實際上是第一個正方形面積的一半.依次類推，第五個正方形的面積為：400 2 2 2 2 25（平方厘米）.【鞏固】（2008年第七屆“小機靈杯”數(shù)學競賽決賽）如圖是由5個大小不同的正方形疊放而成的，如果最小的正方形（陰影部分）的周長是8,那么最大的正方形的邊長是 .4 2 2 2 2 64（平方厘米），【解析】 最小正舜瑕的面積是 2 2 4（平方厘米），最大的正方形的面積是那么最大的正方形的邊長是8厘米.【鞏固】圖中有 6個正方形，較小的正方形都由較大的正方形

25、的4邊中點連接而成.已知最大的正方形的邊長為16厘米，那么最小的正方形的面積等于多少平方厘米？【解析】我們先來尋求圖形面積變化的規(guī)律.觀察右圖，連接大正方形對邊中點，則把大正方形分成了4個小正方形，每個小正方形被邊EH、HG、FG、EF分成了面積相等的三角形.由此可知：正方形EFGH的面積正方形ABCD面積2由此可以推出：相鄰兩個正方形，每個較小正方形的面積是較大正方形面積的一半，因此，最小正方形的面積為：16 16 2 2 2 2 2 8（平方厘米）【例19】已知圖中大正方形的面積是22平方厘米，小正方形面積是多少平方厘米?【解析】圖中的小正方形旋轉為右圖：由此可見，小正方形的面積為大正方形

26、面積的一半.22 2 11 (平方厘米)【鞏固】如圖所示，外側大正方形的邊長是10cm,在里面畫兩條對角線、一個圓、兩個正方形，陰影的總面積為26cmS S 陰 128 2 64( cm )如圖右所示，此時外面正方形面積為64,圖中S陰64 2 2 16(cm2)所以，圖中陰影部分總面積為：S陰S陰64 16 80(cm2).【例21】(2008年全國小學生”我愛數(shù)學夏令營”數(shù)學競賽)如圖，邊長為 10的正方形中有一等寬的十字，其面積(陰影部分)為36,則十字中央的小正方形面積為 . ,最小的正方形的邊長為多少厘米？【解析】如右圖所示，把 A、B、C依次放到X、Y、2則D的面積為26 10 1

27、0 4 1(cm).2D所處的小正方形的面積為 1 4 4( cm ).Z的位置.故小正方形的邊長為 2cm.【例20】有一個邊長為16厘米的正方形，連接每邊的中點構成第二個正方形，再連接每邊的中點構成第三個正方形，第四個正方形.求圖中陰影部分的面積？【解析】如下圖左所示，S陰4sl.2.S 陰 16 16 2 128 (cm).2如下圖中所不，此時斜放的正萬形面積為128cm , S S陰.【解析】 題目稀2S白部分可以組成一個如右圖的正方形，正方形面積為100 36 64,右圖中的正方形邊長2為8,正中央正萬形中的直角邊長為 10 8 2,所以S正22 2 .【例22】下圖大小兩個正方形有

28、一部分重合，兩塊沒有重合的陰影部分面積相差是多少？(單位：厘米)6【解析】用A表示兩個正方形重合部分的面積，用B表示除重合部分外大正方形的面積，用C表示除重合部分外小正方形的面積.據(jù)題意，要求（B C）是多少平方厘米，即求（B A） （C A）的面積，（B A） = 6 6 36 （平方厘米），C A 3 3 9 （平方厘米），因此36 9 27 （平方厘米）就是所 求的兩塊沒有重合的陰影部分面積差.【鞏固】（2008年武漢明心奧數(shù)挑戰(zhàn)賽）如圖所示，四個相疊的正方形，邊長分別是5、7、9、11.問灰色區(qū)與黑色區(qū)的面積的差是多少？【解析】灰色和白色區(qū)域形成一邊長為11的正方形和一邊長為 7的正方

29、形，它們的總面積是 112 72 1 70;類似地，黑色和白色區(qū)域組成一邊長為9的正方形和一邊長為5的正方形，它們的總面積是2295106 .由于白色區(qū)域在這兩種組合中都被計算了，根據(jù)差不變原理，可知灰色區(qū)域與黑色區(qū)域的面積之差就等于170 106 64 .【例23】甲、乙、丙三個正方形，它們的邊長分別是6、8、10厘米，乙的一個頂點在甲的中心上，丙的一個頂點在乙的中心上.這三個正方形的覆蓋面積是多少平方厘米？【解析】如右圖添加輔助線割補，如果甲的面積為4份量，則甲與乙白重合部分是1份量.同理，如果乙的面積為4份量，則乙與丙白重合部分是 1份量.所以這三個正方形覆蓋面積是:10 10 8866

30、664884 175（平方厘米）.【鞏固】將20張邊長為10厘米的正方形紙片，按順序一張一張地擺放在地板上，擺的時候，要求后擺的紙片必須有一個頂點與前一張的中心重合，且每一張只與其前一張和后一張有重合部分（右圖表示已經(jīng)擺好的5張）.地板被這20張紙片所覆蓋部分的面積是多少？【解析】由例題可知每個重合部分都等于正方形紙片面積4 ,而總共有（20。個重合部分，所以所求面積為 10 10 20 10 10 4 19 1525（平方厘米）.【例24】有2個大小不同的正方形 A和B.如下左圖所示的那樣，在將 B正方形的對角線的交點與 A正方形的一個頂點相重疊時，相重疊部分的面積為A正方形面積的1 .求A

31、與B的邊長之比.如果當9按下右圖那樣，將 A和B反向重疊的話，所重疊部分的面積是B的幾分之幾？【解析】以B正方形為中心，將整體圖形放大后，如右上圖所示.圖中，由于A和B均為正方形，所以可認為畫陰影的兩個三角形是以 B的對角線的交點為中心轉過 90所形成的.因此，所求的 A與B所重 合部分的面積，只要讓B的對角線的交點與 A的一個頂點相重合，則不管什么情況下，該面積均為B 正方形面積的1 .這樣，A的面積的1與B的面積的二相等，故A與B的面積之比為9:4.因為二494者均為正方形，所以其邊長之比為3: 2 .1,一，如果A的對角線的交點與 B的一個頂點相重合的話，所重合部分的面積仍為A的面積的1

32、 .但是由4于B的面積是A的面積的4,所以重合部分的面積應為 B的面積的-.94 9 16【例25】有一個正方形水池（圖中陰影部分），在它的周圍修一個寬是8米的草地，草地的面積為480平方米,求水池的邊長?480 4 8 15（米）.由此求得【解析】 將圖分割：這樣就得到四個面積相等的長方形.可求得長方形的長:水池的邊長：15 8 7（米）.【鞏固】一塊長方形草坪（圖中陰影部分）長是寬的2倍，它的四周圍的總面積是 34平方米的1米寬的小路.求 草坪的面積是多少平方米？【解析】如圖分塊，SA 1 1 1（平方米）.那么 2Sb 2Sc 34 4 Sa 30（平方米）.Sb Sc 15（平方米）.

33、因為B、C的寬都是1米.于是B的長與C的長和是15米.又因為B的長是C的長的2倍.所以B的長為15 3 2 10（米），C的長為15 3 5（米）.草坪的面積是10 5 50（平方米）.【例26】（2008年北京”數(shù)學解題能力展示”讀者評選活動復賽）如圖所示，一個長方形廣場的正中央有一個長方形的水池.水池長8米、寬3米.水池周圍用邊長為1米的方磚一圈一圈地向外鋪.恰好鋪【解析】【例2例了若干圈，共用了 152塊方磚，那么共鋪了圈.水池水池的面積是8 3 24,鋪完之后水池加上地磚的面積是176 16 11.由于每鋪一圈都會是邊長增加2 ,所以鋪了 8 2 4（圈）.用四個相同的長方形拼成一個面

34、積為2 .100cm的大正萬形，每個長萬形的周長是多少平萬厘米?引導學生思考所求題目的關鍵是什么.本題的關鍵是找長方形的長和寬.根據(jù)10 10 100知這個大正方形的邊長是10cm,即長加寬是10cm長方形的周長是:10 2 20 ( cm ).如圖所示，4個相同的長方形和一個小正方形拼成一個大的正方形, 小正方形的面積是 36平方分米，求一個小長方形的面積及周長.大正方形的面積是100平方分米,【例28】四個完全相同的長方形拼成右圖，大正方形的面積是一個長方形的面積為：（100 36） 4 16（平方分米），長方形的長加寬為大正方形的邊長，所以周長為10 2 20（分米）100平方分米，小正

35、方形的面積是16平方【解析】長方形的面積是（100 16） 4 21（平方分米）.因為100 10 10, 16 4 4.所以大正方形的邊長是10分米，小正方形的邊長為 4分米，那么長方形的短邊是（10 4） 2 3 （分米）.【鞏固】（2008年“陳省身杯”國際青少年數(shù)學邀請賽）如圖，4個相同的長方形和1個小正方形拼成一個大正方形，已知其中小正方形的面積為4平方厘米，大正方形的面積為400平方厘米，則其中長方形的長為 厘米，寬 厘米.【解析】 大正方形襁限是 20厘米，小正方形邊長是 2厘米，所以長方形寬為 （20 2 2 9（厘米），長為 20 9 11（厘米）.【例29】街心花園里有一個

36、正方形花壇，四周有一條寬1米的甬道（如圖），如果甬道的面積是12平方米,那么中間花壇的面積是多少平方米？【解析】把甬道的部分分成四個同樣大的長方形， 每個長方形的面積是12 4 3（平方米）.因為水泥路寬1米, 所以小長方形長是 3 1 3 （米），而正方形花壇的邊長是小長方形長與寬的差，即 2米，中間花壇 的面積是：（3 1） （3 1） 4（平方米）.【鞏固】在一個正方形的小花園周圍，環(huán)繞著寬5米的水池，水池面積為 300平方米，那么正方形花園的面積是多少平方米？【解析】要想求出花園的面積，必須知道小正方形的邊長或大正方形的面積，所以解題關鍵就在于根據(jù)水池的面積求出小正方形邊長或大正方形的

37、面積（或邊長）方法一：如圖所示，水池中四個小正方形的面積為：5 5 4 100（平方米），水池中四個長方形面積為：300 100 200（平方米）一個長方形面積為：200 4 50（平方米），長方形的長即花園邊長為：50 5 10（米），花園面積為：10 10 100（平方米），綜合算式為：（300 5 5 4） 4 5 200 4 5 10（米），10 10 100 （平方米）.方法二：將水池面積進行適當?shù)姆指?，不難求出正方形花園的邊長.如圖所示，將環(huán)帶形水池切割成四個面積相等的長方形，長方形的寬是 5米，長等于花園 的邊長加5米，一個長方形的面積為：300 4 75（平方米），長方形白長為

38、75 5 15（米）, 花園邊長為15 5 10（米），花園面積為10 10 100（平方米）.【鞏固】有大、小兩個長方形（如圖），對應邊的距離均為1cm,已知兩個長方形之間部分的面積是16cm2且小長方形的長是寬的 2倍，求大長方形的面積.AB【解析】由于長方形之間的部分是不規(guī)則的，所以可以進行分割，這樣分割后，A B的面積是216 2 8（ cm ）,則知小長方形的長與寬之和是8 111 6 （ cm ）,小長方形的寬是6 （2 D 2（ cm ）,長是2 2 4（ cm ）,那么有大長方形的長是 6（ cm ）,寬是4（ cm ）,面積是4 6 24（ cm2）.【例30】已知大正方形比

39、小正方形邊長多4厘米，大正方形面積比小正方形面積大96平方厘米.問大、小正方形面積各是多少？4采用分割法：圖B面積為:4(96 16) 2 40(平方厘4 4 16（平方厘米），圖A或圖D的面積為:米），圖C的邊長為：40 4 10（厘米），所以圖C的面積為：10 10 100（平方厘米）大正方形的面積為：100 96 196（平方厘米）.C B【鞏固】兩個正方形的面積相差9cm2,邊長相差1cm.求兩個正方形的面積和.【解析】如果把這兩個正方形重合在一起，則知相差的面積是：ABC 9（cm2） , C 1cm2 ,推知22A B 4cm，小正萬形（陰影部分）的邊長為4cm ,則陰影正萬形的面

40、積是 4 4 16（ cm ）,大正22萬形的面積是16 9 25（ cm ）,面積之和是41cm .20厘米，面積相【鞏固】（第四屆小數(shù)報數(shù)學競賽決賽試題）有一大一小兩個正方形，它們的周長相差差55平方厘米.小正方形的面積是多少平方厘米?【解析】 大正方形的邊長比小正方形的邊長多20 4 5 （厘米）.將下圖下方的陰影部分移至右方，形成面積為55平方厘米的長方形，這長方形的長為55 5 11 （厘米），即兩個正方形邊長的和是11厘米，而大正方形的邊長小正方形的邊長 5厘米，所以小正方形的邊長是（115） 2 3 （厘米），小正方形的面積是 3 3 9 （平方厘米）.【例31】在一個正方形中放

41、入一個四個頂點與大正方形相接的一個小正方形（如圖），如果兩個正方形的周長相差16厘米，面積相差96平方厘米，求小正方形的面積是多少平方厘米？【解析】方法一：本題就此圖來看計算起來比較麻煩，但是我們可以把圖經(jīng)過旋轉后變成圖這樣我們就 可以根據(jù)我們學過的知識來解決這道題了.八條虛線的長度正好是大小兩個正方形的周長差，空白 處即為兩個正方形的面積差，所以虛線長為：16 8 2（厘米）從圖中可以看出上、下、左、右四個長方形的面積相等為：（96 2 2 4） 4 20（平方厘米），所以小正方的邊長為：20 2 10（厘米）， 即小正方形的面積為：10 10 100（平方厘米）方法二：本題還可以將里面的正

42、方形移到一角上來計算，由右圖可知虛線長度為：16 4 4（厘米）所以小正方形的面積為： 4 4 16（平方厘米）白色長方形的面積為：（96 16） 2 40（平方厘米）， 所以小正方形的邊長為： 40 4 10（厘米），正方形的面積為：10 10 100（平方厘米）.【例3例用兩塊長方形紙片和一塊正方形紙片拼成一個大正方形, 平方厘米，原正方形紙片面積是多少平方厘米？長方形紙片面積分別為44平方厘米與28【解析】44 2816,所以 a 4, b 28 47 ,原正方形面積為7 7 49（平方厘米）.【例33】計劃修建一個正方形的花壇，并在花壇周圍種上修建這個花壇需要占地多少平方米？3米寬的草

43、坪，草坪的面積為300平方米，那么【解析】（法1）：要求正方形花壇的面積，就要先求正方形花壇的邊長.將環(huán)形小路進行分割，得到四個面積相同的小長方形（如圖1）.由于小路的面積已知，那么每一塊小長方形的面積為：300 4 75（平方米）.由題意知，小長方形的寬為3米，于是長方形的長為：75 3 25（米）.那么正方形花壇的邊長為：25 3 22（米）.所以正方形花壇的面積為：22 22 484（平方米）.（法2）：若我們將環(huán)形小路用另外一種方法分割（如圖2）,陰影部分是四個面積相等且邊長為3的小正方形，它們的面積和為：3 3 4 36（平方米）.從環(huán)形小路的面積中減掉這四塊陰影部分的面積后剩下的又

44、是四塊相等的長方形，每塊長方形的面積為：（300 36） 4 66（平方米）.長方形的長為:66 3 22 （米），即為正方形花壇的邊長，所以正方形花壇的面積為：22 22 484（平方米）.【鞏固】有大、小兩個長方形 （右圖），對應邊的距離均為1厘米，已知兩個長方形之間部分的面積是16平方厘米，且小長方形的長是寬的2倍，求大長方形的面積.【解析】如圖，由于已知兩個長方形之間部分的面積是16平方厘米，而4個角上的小正方形面積均為 1平方厘米，所以劃分出來的四個新長方形的面積之和為16 4 12平方厘米，這四個新長方形的寬均為1厘米，長則分別為原來的小長方形的四條邊，所以原來的小長方形的長、寬之

45、和為12 1 2 6厘米.由于小長方形的長是寬的 2倍，所以長為4厘米，寬為2厘米.所以大長方形的長為 6厘米，寬 為4厘米，面積為6 4 24平方厘米.【鞏固】一塊長方形的草坪 （見圖中陰影部分），長是寬的2倍，它的四周圍的總面積是 34平方米的1米寬的 小路，求草坪的總面積是多少平方米？如圖將圖形分塊Sa1 11,那么 2Sb 2Sc 34 1 4 30（平方米）Sb Sc 30 2 15（平方米），因為B和C的寬都是1米所以B和C的長和為：15 1 15（米），又 因為陰影部分長是寬的 2倍所以草坪的寬為：15 3 5（米）.長為：5 2 10（米），所以草坪的總面積為：10 5 50

46、（平方米）.【例34】一塊正方形的苗圃（如右圖實線所示），若將它的邊長各增加 30米（如圖虛線所示），則面積增加9900平方米，問原來這塊正方形苗圃的面積是多少平方米？【解析】小正方形的面積為：30 30 900平方米.用增加的面積減去小正方形的面積就得到增加的兩個長方 形的面積和，為：9900 900 9000平方米.而增加的兩個長方形的面積相等，于是其中一個長方 形的面積為9000 2 4500平方米.長方形的寬為 30米，那么長為：4500 30 150米，這就是原 來這塊正方形苗圃的邊長，原來這塊正方形苗圃的面積為150 150 22500（平方米）.【例35】從一塊正方形的玻璃板上鋸

47、下寬為0.5米的一個長方形玻璃條后，剩下的長方形的面積為 5平方米，請問鋸下的長方形玻璃條的面積等于多少？0.50.50.5【解析】我們先按題目中的條件畫出示意圖（如圖a）,我們先看圖中剩下的長方形，已知它的面積為 5平方米，它的長和寬相差0.5米，我們可以將這樣形狀的四個長方形拼成一個弦圖（如圖b）.圖b是一個大正方形，它的邊長等于長方形的長和寬之和，中間的那個小正方形的邊長，等于長方形的長和寬之差，即0.5米.所以中間的小正方形的面積為0.5 0.5 0.25平方米，那么大正方形的面積為5 4 0.25 20.25平方米.因為4.5 4.5 20.25,所以大正方形的邊長等于4.5米.所以

48、原題中剩下的長方形的長與寬的和為4.5米，而長與寬的差為0.5米，所以剩下的長方形的長為：（4.5 0.5） 2 2.5米，即原正方形的邊長為 2.5米.又知鋸下的長方形玻璃條的寬為0.5米，于是可得鋸下的長方形玻璃條的面積為2.5 0.5 1.25平方米.【鞏固】從一個正方形的木板上鋸下寬 木條面積是多少？1m的一個長方形木條后，剩下的長方形面積為6m2,問鋸下的長方形【解析】所以，整個大正方形的面積是 那么，剩下的長方形木條的長 可得剩下的長方形木條的長為【鞏固】從一塊正方形木板鋸下寬為 1米的一個木條以后,2剩下的面積是 空平方米.問鋸下的木條面積是多18我們用構造“弦圖”的方法，取同樣

49、大小的4個剩下的長方形木板拼成一個大正方形（如右下圖）同時中間形成了一個小正方形（圖中陰影部分）仔細觀察這幅圖就會發(fā)現(xiàn)，中間陰影小正方形的邊長正好是長方形木板的長與寬之差（1m）.那么,陰影小正方形的面積 1 1 Km2）.1 4 6 25 5 5（ m2）,求得大正方形的邊長為5m.寬 1,長寬 5 ,（5 D 2 3（m）,寬為（5 6 2 2（m） .所以，鋸下的長方形木條面積是3 2 6（mj .少平方米?【解析】我們畫出示意圖（a）,則剩下的木塊為圖（b）,將4塊剩下的木塊如下拼成一個正方形得到圖（c）.圖(a)圖(b)圖我們稱AB為長，AD為寬，有長與寬的差為1 ,所以圖（c）中心

50、的小正方形邊長為于是大正方形651152923223 ,232AEHK的面積為4所以AK長為一 ，長寬3,已知：長- 1范 一,得長13,于是鋸去部分的木條的面積為藝mJ （平6266 2 122方米）.20厘米，甲正方形比乙正方形的面積大40平方厘米.求【例36】圖中，甲、乙兩個正方形的邊長的和是乙正方形的面積.【解析】如果從甲正方形中“挖掉”和乙正方形同樣大的正方形丙，所剩的240厘米（見左下圖）.A, B , C三部分之和就是ABC甲乙ABC甲乙乙方法一：把C割下，拼補到乙正方形的上面 （見右上圖），這樣A, B, C三塊就合并成一個長 20厘 米的矩形，面積是

51、40厘米2,寬是40 20 2（厘米）.這個寬恰好是兩個正方形的邊長之差，由此可 求出乙正方形的邊長為（20 2） 2 9（厘米），從而乙正方形的面積為 9 9 81（厘米2）.方法二：連接正方形 A對角線（如右上圖），將40平方厘米的圖形分成面積相等的兩個梯形，而梯形 的上下底之和恰好是 20厘米，所以梯形的高為 20 2 20 2（厘米），即兩個正方形的邊長差，由此 可求出乙正方形的邊長為（20 2） 2 9（厘米），從而乙正方形的面積為 9 9 81（厘米2）.【例37】 有一大一小兩塊正方形試驗田，他們的周長相差 田的面積是多少平方米？40米，面積相差220平方米，那么小正方形試驗【解

52、析】【例3例【解析】【例3例【解析】根據(jù)已知條件，我們將兩個正方形試驗田的一個頂點對齊，回出示意圖 （如圖a）,將大正方形在小 正方形外的部分分割成兩個直角梯形，再拼成一個長方形（如圖b） .由于兩個正方形的周長相差40米，從而它們的每邊相差 40 4 10米，即圖b中的長方形的寬是10米.又因為長方形的面積是兩個正方形的面積之差，即為220平方米，從而長方形的長為：220 10 22（米）.由圖可知，長方形的長是大正方形與小正方形的邊長之和，長方形的寬為大正方形與小正方形的邊長之差，從而小正方形的邊長為：（22 10） 2 6（米）.所以小正方形的面積為：6 6 36（平方米）.（第十二屆“

53、迎春杯”刊賽試題）如圖，邊長是整數(shù)的四邊形AFED的面積是48平方厘米,ABCD的面積是平方厘米.根據(jù)題意，有AD AF 48且AF 8 AD ,又AD、AF都是整數(shù)，于是根據(jù)嘗試可得，AD 12厘米，AF 4厘米.所以Swabcd 12 12 144 （平方厘米）如圖，一個正方形被分成 4個小長方形，它們的面積分別是1平方米、1平方米、平方米10510和2平方米.已知圖中的陰影部分是正方形，那么它的面積是多少平方米？5為了方便敘述，將某些點標上字母，如右上圖。.32 1大正方形的面積為 一-10 5 511 ,所以大正方形的邊長應為1.上面兩個長方形的面積之比為103 2一:一3: 4 ,所

54、以 LG10 54.下面兩個長方形的面積之比為,：工 75 10-,12，2:1 ,所以IG - .那么34 15LI 7 3 21,那么陰影小正萬形的面積為552521 21 441【例40】已知這四個正長方形ABCD的周長是30厘米，以這個長方形的每一條邊為邊長向外畫正方形.方形的面積之和為 290平方厘米，那么長方形 ABCD的面積是多少平方厘米？【解析】從圖形我們可以看出， AiB的長度恰好為長方形的長與寬之和，即為長方形ABCD周長的一半，可利用“擴”的思想，將左圖轉化為右圖，那么正方形舊EG的面積就等于長方形 ABCD周長一半的以看出若以AiB和BCi為邊能構成大正方形 AiBCi

55、Ei（如右下圖所示），其中包含兩個長方形和兩個正 方形，而且兩個長方形的面積是相等的，兩個正方形的面積剛好是290平方厘米的一半.這樣我們容易求出：大正方形AiBCiEi的邊長為30 2 i5厘米，面積為：i5 i5 225平方厘米，正方形CDDG與正方形ADEAi的面積之和為：290 2 i45（平方厘米）.長方形ABCD與長方形EDDiEi的 面積相等.所以，長方形 ABCD的面積為：（225 I45） 2 40（平方厘米）.【鞏固】（第四屆華杯復賽試題）如圖，長方形ABCD的周長是16厘米，在它的每一條邊上各畫一個以該邊為68平方厘米，求長方形 ABCD的面積？2平萬，即（16 2） 6

56、4（平萬厘米），長萬形ABCD與DFGH是完全一樣的，而正萬形IADH與DCEF 的和等于題目種已給的四個正方形面積的一半，所以長方形ABCD的面積為：（64 68 2） 2 15（平方厘米）.【例4U一條白色的正方形手帕，它的邊長是I8厘米，手帕上橫豎各有二道黑條，黑條寬都是 2厘米，這條手帕白色部分的面積是多少？H L【解析】方法一：由于手帕邊長是 I8厘米，所以手帕的面積是 I8 I8 324（平方厘米）.要求白色部分的面積，只需減去紅色部分的面積就可以了.紅色部分是四個長為I8厘米，寬為 2厘米的紅色長條，所以這四個紅色長條面積是：4 I8 2 i44（平方厘米），但每個橫紅條與每個豎

57、紅條在交叉處重疊一個邊長為2厘米的正方形，即多計算了 2 2 4（平方厘米），因此兩個橫紅條與兩個豎紅條共重疊 4 4 i6（平方厘米），所以兩個橫紅條與兩個豎紅條覆蓋的面積為I44 I6 i28（平方厘米），所以這塊白手帕白色部分的面積是324 I28 i96（平方厘米）方法二：換個方式思考：把豎的兩個紅條平行移動一下，使它們緊貼在一起，再移到緊貼正方形的 左端邊上，把橫的兩個紅條也做同樣的位置平移，使它們緊貼在正方形下端的邊上，如圖所示.這樣通過平移橫、豎紅條后使原來分散的白色部分集中起來了，而且所得圖形的白色部分 的面積不變.這時白色部分面積一目了然，它等于變成為14厘米的正方形面積，即

58、14 14 196（平方厘米）【例42】用同樣大小的瓷磚鋪一個正方形地面，兩條對角線上鋪黑色的，其它地方鋪白色的，如圖所示.如果鋪滿這塊地面共用 101塊黑色瓷磚，那么白色瓷磚用了多少塊？ TOC o 1-5 h z 圖1圖2【解析】我們可以讓靜止的瓷磚動起來，把對角線上的黑瓷磚，通過平移這種動態(tài)的處理，移到兩條邊上（如圖2）.在這一轉化過程中瓷磚的位置發(fā)生了變化，但數(shù)量沒有變，此時白色瓷磚組成一個正方形.大正方形的邊長上能放 （101 1） 2 51 （塊），白色瓷磚組成的正方形的邊長上能放：51 1 50（塊），所以白色瓷磚共用了：50 50 2500（塊）.【例43】7個完全相同的長方形

59、拼成了圖中陰影部分，圖中空白部分的面積是多少平方厘米？【解析】由圖可知，長方形的長是寬的 4倍，寬的6倍是24厘米，則長方形的寬是 4厘米，故圖中空白部分 的面積是4 4 2 32（平方厘米）.【鞏固】如圖所示，7個完全相同的長方形拼成了圖中的陰影部分，圖中空白部分的面積是多少平方厘米？【解析】對長方形進行平移，如圖可看出：長4個寬，長 2個寬 24.易求出寬為24 （4 2） 4（ cm）.長為：4 4 16（ cm）. 2 仝白部分面積為16 4 7 448（ cm ）.【例44】（第五屆“祖沖之杯”數(shù)學邀請賽 ）如右圖所示，在長方形 ABCD中，放入六個形狀大小相同的長方形（尺寸如圖），

60、圖中陰影部分的面積是 .【解析】由圖中可以看出小長方形的長 3小長方形的寬 14,小長方形的長小長方形的寬6.第二式乘以3再與第一式相加得4小長方形的長14 6 3 32 .所以小長方形的長8，小長方形的寬2 ,小長方形的面積8 2 16,大長方形的面積14 （6 2 2） 140,陰影面積140 6 16 44 .【例45】若干同樣大小的長方形小紙片擺成了如圖所示的圖形.已知小紙片的寬是12厘米，問陰影部分的總面積是多少平方厘米？【解析】 從圖中可以看出5個長=3個長+3個寬，則得2個長=3個寬，所以長方形的長為：3 12 2 18（厘 米），陰影小正方形的邊長=長-寬，邊長是18 12 6