§1.3函數(shù)的基本性質(zhì)

1、 函數(shù)的基本性質(zhì)單調(diào)性與最大(小)值第一課時函數(shù)的單調(diào)性學(xué)習(xí)目標(biāo):.理解函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì). 溫故夯基：.掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的一般方法.1.初中學(xué)習(xí)過一次函數(shù)、二次函數(shù).還記得函數(shù)正刈=*的圖象特征嗎？自左向右，圖像上是 ,即函數(shù)值隨x的增大而 數(shù)f(x) = x2的圖象是 ,而且其圖象在區(qū)間(一汽 0內(nèi)是,即函 數(shù)值隨x的增大而 ;在區(qū)間(0, +8)內(nèi)是,即函數(shù)值隨x的增大而 .1 .2.反比例函數(shù) y= x在(0,+00)內(nèi)的圖象隨 x的增大y值，在(一8, 0)內(nèi)的圖象隨 x的減小y值 知新益能:.增函數(shù)與減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I :如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間 D上的任意

2、兩個自變量的值x1, x2,當(dāng)時，都有 ,那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)(increasing function).反映在圖象上，由左至右，圖層連續(xù) ；如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間 D上的任意兩個自變量的值Xi, x2,當(dāng) 時，都有 ,那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)(decreasing function).反映在圖象上，由左至右，圖象連續(xù) .單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y= f(x)在區(qū)間D上是 ,那么就說函數(shù) y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū) 間D叫做y=f(x)的 .問題探究:1 .在增、減函數(shù)定義中，能否把任意兩個自變量”改為 存在兩個自變量”?提示：不能.如圖

3、所示.雖然 f(1)f(2),但f(x)在1,2上并不遞增. 1 ,2,能說改*)=在(8, 0)U(0, + 8)上是減函數(shù)嗎？提示：若認為減區(qū)間為(一8, 0) u (0, +8 )時.取X1 6 (8, 0),取X2C (0, + ),則 Xif(x2), 而事實上f(X1)f(x2).兩者相矛盾，故單調(diào)區(qū)間不能用“U”合并.典例精講:題型1、用定義證明(判斷)函數(shù)的單調(diào)性依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟有:取值；(2)作差變形；(3)定號；(4)判斷. TOC o 1-5 h z 9.例：證明：函數(shù) y= x+x在(0,3上遞減.【思路點撥】 取值-作差-變形-判斷符號-得結(jié)論

4、、t 口口 1 、幾 c /_9,9、,9、,、9 x1 x2/、，,9、【證明】設(shè) 0XiX2 3 ,則有y1 y2=(X1 +) (X2+-)= (X1 X2) =(XiX2)(1 一 ).X1X2X1X2X1X2一99 一- 0XiX23, .XiX21 即 1X1X20,即 y1y2, .,.函數(shù) y=x+x 在(0,3上遞減.【名師點撥】 在證明函數(shù)單調(diào)性時，X1, X2是從相應(yīng)區(qū)間上任取的兩個值，它可以代表區(qū)間中的每一個數(shù)，所以 在證明時，不能用特殊值來代替.在“作差變形”的過程中，盡量化成幾個最簡因式的乘積，也可以把其中的因式化成幾個完全平方式的和的形式，以方便判斷因式的正負號.

5、互動探究1本例中的函數(shù)在3 , +8 )上單調(diào)性怎樣？畫出在 (0 , +8 )上的大致圖象. TOC o 1-5 h z 解：設(shè) 3XiX2,則 yi y2=Xi+ X2 = (Xi X2)(1 ),XiX2XiX21 3 Xi X2, 1 Xi X2 0, 0,xiX2 9xiX29一 .yi-y20,即yi0【解】 y = x2+ 2|x|+ 3 =x2 2x+3= x+12+4x4,解得a 3.【名師點撥】已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，要注意數(shù)形結(jié)合，采用逆向思維方法.互動探究2 本例中，若將“函數(shù)在區(qū)間(一8, 4上是減函數(shù)”改為“函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8, 4，則a 為何值？解

6、：由例題知函數(shù) f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-00, i- a, i-a = 4, a=3.題型4、利用函數(shù)單調(diào)性解不等式對于函數(shù)y=f(x)在a, b上的單調(diào)性定義來說，相當(dāng)于體現(xiàn)出三部分之間的關(guān)系：xi, X2 a, b且xiX2；f(Xi)f(X2)；f(x)為增函數(shù)(減函數(shù))，已知其中任何兩部分都可推出第三部分.例：已知函數(shù)f(x)的定義域是(0, +8),為增函數(shù)且滿足 f(xy) = f (x) + f(y),試求解不等式 f(x) +f(x-2) f(8) 【思路點撥】將不等式化為f(Xi)f(X2)的形式，由增函數(shù)可得XiX2,從而可求解不等式.【解】f(x)+f(x-2)f(8

7、) , fx(x-2) f(8),x0由題意可得 x- 20,解得x4, ,.原不等式的解集為 x|x4.x x-2 8x 0【名師點撥】本類型問題，易丟失定義域的應(yīng)用：，而只轉(zhuǎn)化為x(x-2)8.x- 20自我挑戰(zhàn)3設(shè)f(x)是定義在(0 , +8 )上的函數(shù)，滿足條件：f(xy) = f (x) +f(y)；f(2) =1;(3)在(0 , +00)上是增函數(shù).如果f(2) +f(x- 3) 2,求x的取值范圍.解：: f (xy) =f(x)+f(y) , .,.令 x = y=2,得 f(4) =f(2) +f(2) =2f(2).又 f(2) =1, .1. f (4) =2. 1.

8、(2) +f (x3) =f 2( x- 3) =f (2x-6),.f (2x-6) 2=f(4),即 f(2 x- 6) 0f (x)在(0, +8)上遞增，解得3 0.對于含有絕對值的函數(shù)，往往轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)去處理其圖象，如y=|x|=，在此基礎(chǔ)上，借x x 0助于圖象的變化趨勢分析相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間) (如例 2)3 已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，要注意數(shù)形結(jié)合，采用逆向思維的方法(如例3)失誤防范1 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集，在求解的過程中不要忽略了函數(shù)的定義域2利用單調(diào)性比較大小時，要把自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間3.函數(shù)y = f(x)在“區(qū)間a, b上單調(diào)”與“單調(diào)

9、區(qū)間為a, b”兩種意義是不同的.(如例3)3.1 單調(diào)性與最大(小)值第二課時函數(shù)的最大值、最小值學(xué)習(xí)目標(biāo)：.理解函數(shù)的最大(小 )值及其幾何意義2 會求一些簡單函數(shù)的最大值和最小值溫故夯基：1 .函數(shù)y = f(x)的增減定義為：在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上，任意 ,有, f(x)為；任意xif(x2), f(x)為減函數(shù).2 .若函數(shù)y = f(x)在a, b上為增函數(shù)，則f(x)的取值范圍為f(x) 6.3 ,從函數(shù)f(x) = x2的圖象上可看出當(dāng)x=0時，y=0是所有函數(shù)值中的 .而對于f(x) = x2來說，x=0時,y = 0是所有函數(shù)值中的.知新益能：函數(shù)最大值與最小值一般地，設(shè)函

10、數(shù) y = f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù) M滿足：對于 x I,都有；存在,使得.那么，我們稱 是函數(shù)y=f(x)的最大值.一般地，設(shè)函數(shù) y = f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù) M滿足：對于 x6I,都有；存在,使得.那么，我們稱 是函數(shù)y= f(x)的最小值.函數(shù)的最值與圖象的關(guān)系，函數(shù)的最大(小)值反映在圖象上，是函數(shù)圖象 的縱坐標(biāo)問題探究：函數(shù)y= f(x)在區(qū)間m, n上單調(diào)，其最值是多少？提示：若f(x)單調(diào)遞增，最大值為f(n),最小值為f(m)；若f(x)單調(diào)遞減，最大值為 f(m),最小值為f(n).典例精講：題型1、利用圖象求函數(shù)最值先作出函數(shù)圖象，尋找閉區(qū)間上的

11、圖象的最高點或最低點.例：已知函數(shù)f(x) =3x212x+5,當(dāng)自變量x在下列范圍內(nèi)取值時，求函數(shù)的最大值和最小值: x R; (2)0,3; (3) -1,1.【思路點撥】 作出y= 3x212x+5(x6 R)的圖象再分別截取 x 0,3 , x 6 1,1上的圖象，看圖象的最高點,=4.最低點的縱坐標(biāo).【解】f (x) =3x2- 12x+5=3(x2)27.當(dāng) x6R 時，f (x) =3(x2)277,當(dāng)x= 2時，等號成立.即函數(shù)f(x)的最小值為7,無最大值.(2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示， 由圖可知，函數(shù)f(x)在0,2)上遞減，在2,3上遞增， 并且f(0) =5, f

12、(2) =- 7, f (3) =4,所以在0,3上，函數(shù)f (x)在x=0時取得最 大值，最大值為 5,在x = 2時，取得最小值，最小值為 7.(3)由圖象可知，f(x)在 1,1上單調(diào)遞減，f(x)max= f( -1) =20, f(x) min = f (1)【名師點撥】要根據(jù)定義域截取圖象.題型2、利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值先判斷或證明出函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合區(qū)間端點對應(yīng)的函數(shù)值大小得出最值. TOC o 1-5 h z 一 ，、一4，例：求函數(shù)f(x)=x+-在x6 1,3上的年大值與年小值. x思路點撥I定義法判斷函數(shù)單調(diào)性f I求最小值f求最大值【解】 設(shè) 1(x1x23,則 f

13、( x1) f (x2) =x1 x2 + = ( x1 x2)(1.x1 x2x1x2一,.4,I ，一一又 x1x2,x1x20.當(dāng) 1 x1x2 2 時，1 0 ,f (x)在1,2上是減函數(shù)；x1x2,4,一一一當(dāng) 2x1x20, f(x0 f(x2)0 , f (x)在2,3上是增函數(shù).x1x2.f(x)的最小值為 f(2) =2+4=4.又 f(1) =5, f(3) =3 + = 13f(2) ; x 2,3)時是增函數(shù)，f(x) f(2), 一，一，一一4一一，八1 x (1,3)時，函數(shù)只有最小值f(2) =2+2=4,無最大值.題型3、函數(shù)最值的實際應(yīng)用根據(jù)實際問題，建立函

14、數(shù)關(guān)系，然后求函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為實際問題的最值.例：某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定總成本是2萬元，每生產(chǎn)一臺需另投入100元，已知總收益滿足1 2八400 xr0 x400(1)將利潤表示為月產(chǎn)量 x的函數(shù)f (x)；(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？【思路點撥】 利潤=總收益數(shù) k(x)生產(chǎn)投入固定成本. TOC o 1-5 h z 12300X -X 200000 x400(2)當(dāng) 0 x 400 時，f(x) 20000.綜上可知，當(dāng)月產(chǎn)量為 300臺時，公司獲得最大利潤25000元.【名師點撥】分段函數(shù)求最大值，要分段求其最值，取其最大值.自我挑戰(zhàn)2將進貨單價為40元的商品按50元

15、一個出售時，能賣出500個，已知這種商品每漲價 1元，其銷售量 就減少10個，為得到最大利潤，售價應(yīng)為多少元？最大利潤是多少？解：設(shè)售價為x元，利潤為y元，單個漲價(x50)元，銷量減少10(x50)個.-.y = (x-40)(1000 - 10 x) =- 10(x-70) 2+ 9000 0例：判斷函數(shù)f(x)=3,的奇偶性.x3+3x21 x 0或x0 時，一x0,則 f(- x)= (-x)3+ 3(-x)2- 1 = - x3 + 3x2- 1=-(x3-3x2+ 1) = - f(x).當(dāng) x0,則 f(x)=( x)33( x)2+1 = x3 3x2+1 = (x3+3x21

16、) = f(x).由知，當(dāng) x ( 8, 0)U(0, +8)時，都有f(-x) = - f(x),所以f(x)為奇函數(shù).【名師點撥】分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段證明f( x)與f(x)的關(guān)系，只有當(dāng)對稱的兩段上都滿足相同的關(guān)系時，才能判斷其奇偶性.也可根據(jù)圖象判定.x3 -3x2+1x 0互動探究1如果函數(shù)改為f (x)=x3 3x41x 0 時，f(x) =x3 3x2+ 1 ,x 0, f( x)= ( x)3 3( x)2+ 1 = x3 3x2+ 1 = f(x).當(dāng) x 0, f(-x)= ( - x)3- 3(-x)2+ 1 = - x3-3x2+ 1 = f(x).綜上可得f( x)

17、 =f(x).f(x)為偶函數(shù).題型3、奇偶函數(shù)的圖象問題偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.例：如圖所示為偶函數(shù) y=f(x)的局部圖象，試比較 f (1)與f(3)的大小.【思路點撥】作出關(guān)于y軸對稱的部分圖象，利用圖象求解.【解】 作出3, 1的圖象關(guān)于y軸對稱的圖象x 1,3.由圖象知f(3) f(1).【名師點撥】偶函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)，單調(diào)性相反.互動探究2本例函數(shù)若是奇函數(shù)，結(jié)果如何.f解：法一：由圖象知，f( 3)f( 1),又f(x)是奇函數(shù),f( - 3) = - f(3) , f( -1)=-f(1) ,.f(3) f(1).法二：因為y = f(x)是奇函

18、數(shù)，故由對稱性可作出x6 1,3時的圖象，由圖象知,f.方法技巧.若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則就是非奇非偶函數(shù).對于初等函數(shù)，可根據(jù)奇偶性質(zhì)判定：偶函數(shù)的和、差、積、商 (分母不為零)仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)；奇(偶)數(shù)個奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù);一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積為奇函數(shù).失誤防范.化簡函數(shù)解析式要注意定義域的一致性.對于分段函數(shù)奇偶性的判斷，須特別注意x與-x所滿足的對應(yīng)關(guān)系.(如例2)第二課時函數(shù)奇偶性的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo):.鞏固函數(shù)奇偶性概念.能利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性解決有關(guān)問題.溫故夯基：.若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則f(x)+f(x) =；若函數(shù)

19、f(x)是偶函數(shù)，則f( - x) - f(x)= .若函數(shù)y = f(x)具有奇偶性，則它的定義域關(guān)于 對稱.知新益能：.奇函數(shù)在a, b和b, a上具有 的單調(diào)性.偶函數(shù)在a, b和b, a上具有 的單調(diào)性.問題探究：若奇函數(shù)y= f(x)在a, b上有最大值 M,那么在b, a上其最值怎樣？提示：設(shè) x b, a,則x6 a, b. . . f(-x)M, .-.-f(x)- M.在b, a上有最小值M.典例精講：題型1、利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)值若函數(shù)y= f(x)為偶函數(shù)，f(x0)=M,則f(-x0) = M.若函數(shù) y= f(x)為奇函數(shù)，f(x0)=M,則 f(-x0) = - M

20、.例：已知 f(x) =x5 + ax3+bx8,且 f( 2) =10,那么 f(2)等于.【思路點撥】利用奇函數(shù)f(x)+f(-x) = 0.【解析】f (x)+8=x5 + ax3+bx 為奇函數(shù)，f( 2) + 8= 18, f(2) + 8= 18, f (2) =26. 2 【答案】26【名師點撥】可設(shè)F(x) = f(x) + 8為奇函數(shù)，即本題利用了F(2)+F(2) = 0.互動探究1在本例中，若f (m) = 10,則f( m) =.解析：令 F(x) =f(x)+8,則 F(m) + F( m)=0,f(m+8+f( m)+8=0, .-.f(-m)= - f(m) -16=- 10-16 = - 26.答案：26 題型2、利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式奇偶函數(shù)的圖象有對稱性，根據(jù)對稱性，可求另一部分的解析式.例：若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng) x0的解析式轉(zhuǎn)化到 x0 時，一x0 x0 x 2+ xf(x)= 0 x= 0 x 2-x法二：f (x)是 R 上的奇函數(shù)，f ( - x) = - f (x) , f (0) = 0.令 t = x,若 x0,且 x= t. ,f (x)=x(2 -x)( x0時，f (x) =x(2 +x) . .,函數(shù)f(x)的解析式為x 2+ xx0f(x)= 0 x= 0.