“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”的教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)反思-

1、 / 5“等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 ” 的教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)反思一、教學(xué)過(guò)程實(shí)錄 1.創(chuàng)設(shè)情景，喚起學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的感悟和體驗(yàn)世界七大奇跡之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，傳說(shuō)陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100 層，你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？（多媒體展示三角形圖案）也就是計(jì)算1+2+3+ + 100m提問(wèn)：有沒(méi)有同學(xué)了解這個(gè)題的解題過(guò)程？簡(jiǎn)便方法？學(xué)生會(huì)聯(lián)想到以前接觸過(guò)的高斯求和法 .介紹高斯算法：高斯，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為 “數(shù)學(xué)王子 ”. 二百多年前，高斯的算術(shù)教師提出了下面的問(wèn)題：1+2+3+- + 100?據(jù)說(shuō)，當(dāng)其他同學(xué)忙于把100 個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)， 10

2、 歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：（ 1 + 100） + （2+99） + （50+51） =101X50=5050.設(shè)計(jì)說(shuō)明情境學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是與一定的知識(shí)背景，即 “情境 ”相聯(lián)系.從實(shí)際問(wèn)題入手，圖中蘊(yùn)含算數(shù)，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的興趣，提高解決問(wèn)題的積極性 .層層鋪墊，在自主探究與合作中學(xué)習(xí)問(wèn)題：1+2+3+- +100=?（高斯算法）實(shí)質(zhì)：首尾相加法，成對(duì)出現(xiàn)，每對(duì)和為 101，組成 50 對(duì) .將和變?yōu)榉e來(lái)求.設(shè)計(jì)說(shuō)明高斯的這一首尾配對(duì)算法學(xué)生雖然是熟悉的，但是他們對(duì)此的認(rèn)知只是處于非常簡(jiǎn)單的記憶，并不能說(shuō)是理解.為了讓學(xué)生對(duì)此算法有更深的認(rèn)識(shí)，也為了更好地推

3、出后面的等差數(shù)列求和公式，設(shè)計(jì)了以下幾個(gè)問(wèn)題探究：探究 1：在寶石圖案中，第1 層到第 21 層共用了多少顆寶石？即1+2+3+21=用同樣方法相加的時(shí)候?qū)W生會(huì)發(fā)現(xiàn)，首尾配對(duì)后最中間一個(gè)會(huì)多出來(lái)，即：（1+2+ + 10+12+20+21 +11.（對(duì)學(xué)生的分析歸納給予表?yè)P(yáng)）發(fā)現(xiàn)：若項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)時(shí)和項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)時(shí)不同，采用這一方法求和就得分開(kāi)討論 .提問(wèn)：是不是求和時(shí)得根據(jù)項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論呢？學(xué)生可能會(huì)贊成這一說(shuō)法 .教師并不全盤(pán)否定，但可以指出每次這樣分類(lèi)會(huì)有點(diǎn)煩瑣，此時(shí)應(yīng)適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生探索更為簡(jiǎn)捷的求解方法.設(shè)計(jì)說(shuō)明求和時(shí)不可能每次都通過(guò)討論項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)還是項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)來(lái)進(jìn)行求解 .

4、教師指出還可以將解法簡(jiǎn)潔化，激發(fā)學(xué)生探索的興趣，讓學(xué)生自己積極參與到解決問(wèn)題中來(lái).引導(dǎo)學(xué)生回憶小學(xué)探求三角形面積是通過(guò)先補(bǔ)后分的方法，再用多媒體顯示探索路徑：補(bǔ)一個(gè)倒置的三角形，形成平行四邊形，使得上下每行的個(gè)數(shù)剛好相等 .學(xué)生觀(guān)察得出答案：S21=21X 1+212.設(shè)計(jì)說(shuō)明用直觀(guān)的圖形啟發(fā)學(xué)生，開(kāi)拓思路，化繁為簡(jiǎn) .幫助學(xué)生更好地理解這一簡(jiǎn)便算法.此過(guò)程滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，將問(wèn)題直觀(guān)化.鼓勵(lì)學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中也可以結(jié)合這一較為直觀(guān)的數(shù)學(xué)思想解題 .多補(bǔ)一個(gè)同樣的圖形，借用兩倍來(lái)考慮問(wèn)題，省去了對(duì)奇偶項(xiàng)數(shù)進(jìn)行分類(lèi).將幾何圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子：S21=1+2+11+20+21S21=21+

5、20+-+11+-+2+1 2s21=21 X 1+21 S21=21 諼計(jì)說(shuō)監(jiān)補(bǔ)一個(gè)同樣的式子，顛倒相加.由加法轉(zhuǎn)化為乘法求解，省去了討論奇偶項(xiàng)數(shù)的麻煩.這個(gè)方法記為倒序相加法”探究2: n個(gè)自然數(shù)求和：1+2+3+-+n= （學(xué)生分組討 論，學(xué)生代表發(fā)言）Sn=1+2 +3+ +lr+n.Sn=n+n-1+n2+- - +2+1 2Sn=n1+n S21=n1+n2.也就是說(shuō) n 個(gè)自然數(shù)求和直接可以利用這種倒序相加法求得，不管n 為奇數(shù)還是偶數(shù).設(shè)計(jì)說(shuō)明這里的 n 個(gè)自然數(shù)是學(xué)生最為熟悉的等差數(shù)列，不管n 是奇數(shù)還是偶數(shù)，過(guò)程采用的是一樣的方法，旨在讓學(xué)生體驗(yàn)倒序相加求和這個(gè)算法的合理性

6、，從心理上完成對(duì)首尾配對(duì)求和算法的改進(jìn).此研究過(guò)程也由特殊過(guò)渡到了一般，為等差數(shù)列前 n 項(xiàng)求和做了鋪墊，培養(yǎng)了學(xué)生觀(guān)察分析、類(lèi)比推理的 能力 .那么一般的等差數(shù)列如何求和呢？能用相同的方法嗎？條件滿(mǎn)足嗎？探究3:已知等差數(shù)列an: al, a2, a3,，an,，如何求前n項(xiàng)和 Sn=a1+a2+a3+ +anSn=a1+a2+a3+ +anSn=an+an-1+an2+a1Sn=a1+ (a1+d) + +a1+(n-1) dSn=an+ (an-d) +an (n-1) d2Sn=n( a1+an) Sn=n( a1+an) 2.通過(guò)對(duì)等差數(shù)列基本概念及性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，從它的基本元素出發(fā)，結(jié)

7、合 “倒序相加法 ”對(duì)求和公式進(jìn)行了推導(dǎo) .(等差數(shù)列的后一項(xiàng)比前一項(xiàng)多一個(gè)公差，前一項(xiàng)比后一項(xiàng)少一個(gè)公差)設(shè)計(jì)說(shuō)明推導(dǎo)過(guò)程采用了層層遞進(jìn)，由學(xué)生最容易接受的 21 個(gè)自然數(shù)到 n個(gè)自然數(shù)，再推廣到一般的等差數(shù)列前 n 項(xiàng)求和，從特殊過(guò)渡到一般，利用 “倒 序相加法 ”順利完成公式的推導(dǎo)，將課堂的難點(diǎn)巧妙地加以突破.不僅培養(yǎng)了學(xué)生觀(guān)察分析、類(lèi)比推理的能力，也培養(yǎng)了主動(dòng)探索、勇于發(fā)現(xiàn)的精神 .歸納整理，公式應(yīng)用等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+a3+- +an由上述推導(dǎo)得出公式：Sn=n（ a1+an） 2 公式 1結(jié)合通項(xiàng)公式：an=a1+n-1?d,代入公式1,得：Sn=na1+n（

8、n-1） 2d 公式 2注：d可以為0,此時(shí)Sn=na1設(shè)計(jì)說(shuō)明整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程都是在教師的引導(dǎo)下，由學(xué)生主動(dòng)完成的，加深了對(duì)公式的理解，也提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體驗(yàn)成就感，增加學(xué)習(xí)的信心.兩個(gè)求和公式涉及了 al, an, d, n, Sn五個(gè) 量，都是等差數(shù)列中的基本元素 .結(jié)合兩個(gè)求和公式，給出相應(yīng)例題加以應(yīng)用 .例1在等差數(shù)列an中，（1）已知a1=3, a21=55,求S21; （2）已知a1=6, d=-12,求 S20.設(shè)計(jì)說(shuō)明第一小題從首項(xiàng)、尾項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)出發(fā)可以利用公式 1 求解，第二小題從首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)出發(fā)可以利用公式 2 求解，讓學(xué)生自己選擇不同公式求解 .通過(guò)比較，引導(dǎo)學(xué)

9、生在解題時(shí)根據(jù)題目條件選擇適當(dāng)?shù)墓郊右郧蠼?例2求正奇數(shù)數(shù)列1, 3, 5, 7, 前100項(xiàng)和.設(shè)計(jì)說(shuō)明本題可用公式 2 直接求解，也可結(jié)合通項(xiàng)公式根據(jù)公式 1 求解，讓學(xué)生體會(huì)哪個(gè)公式更為便捷 .變式：等差數(shù)列-13, -9, -5, -1, 3, 的前多少項(xiàng)和等于50?設(shè)計(jì)說(shuō)明本題適當(dāng)加深了難度，需要變用公式.由數(shù)列的前四項(xiàng)可知首項(xiàng)、公差，且題中告知和為50，讓我們求的是項(xiàng)數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生可以借用公式2 求解項(xiàng)數(shù) .例3在等差數(shù)列an中，已知d=12, an=32, Sn=-152,求a1及n.設(shè)計(jì)說(shuō)明本題已知三個(gè)量求另外兩個(gè)未知量，可以選擇求和公式 1 結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出關(guān)于 a

10、1 及 n 的兩個(gè)方程求解.兩個(gè)求和公式中都包括四個(gè)元素，利用其中任意三個(gè)元素必可求出另外一個(gè)，即：知三求一.其實(shí)兩個(gè)求和公式共涉及了 al, an, d, n, Sn五個(gè)量，我們可以通過(guò)任意三個(gè)求解另外兩 個(gè)，即：知三求二.梳理知識(shí)，自我小結(jié)找?guī)酌麑W(xué)生來(lái)談?wù)勍ㄟ^(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)到了什么？體驗(yàn)到什么？掌握了什么？最后教師加以歸納肯定：（ 1）回顧從特殊到一般的推導(dǎo)方法，采用 “倒序相加法 ”. （ 2）等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式： Sn=n （ a1+an） 2; Sn=na1+n（ n-1） 2d.（ 3）會(huì)根據(jù)條件選用適當(dāng)?shù)墓角蠼?二、教學(xué)反思收獲：教師有意識(shí)、有目的地開(kāi)發(fā)、整合和使用課程資

11、源，將在很大程度上提高學(xué)生從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的水平和教師從事教學(xué)活動(dòng)的質(zhì)量.本節(jié)課改進(jìn)了教材上直接推導(dǎo)等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的做法，而是通過(guò)設(shè)計(jì)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般的幾個(gè)問(wèn)題幫助學(xué)生自己探究出等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和的公式，學(xué)生在經(jīng)歷的過(guò)程中加深了對(duì)公式的理解和鞏固，取得了良好的教學(xué)效果.思考：如何處理好 “預(yù)設(shè) ”與 “生成 ” 的關(guān)系？教學(xué)方案是教師對(duì)教學(xué)過(guò)程的 “預(yù)設(shè) ” ，實(shí)施教學(xué)方案，是把“預(yù)設(shè) ”轉(zhuǎn)化為實(shí)際的教學(xué)活動(dòng).在這個(gè)過(guò)程中，師生雙方的互動(dòng)往往會(huì)“生成 ”一些新的教學(xué)資源，特別是在數(shù)學(xué)探究教學(xué)中，更需要教師及時(shí)把握，因勢(shì)利導(dǎo)，適時(shí)調(diào)控.例如，本節(jié)課在講到第一個(gè)問(wèn)題探究1+2+3+ +21時(shí)，學(xué)生并不是都像教師預(yù)設(shè)的那樣出現(xiàn)一種方法，即原式 =（1+2+ - +10+12+- +20+21 +11,而是出現(xiàn) 了其他方法，方法1:原式=（1+2+3+- +20