優(yōu)秀垂徑定理

1、優(yōu)秀垂徑定理 問題:你知道趙州橋嗎? 它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4m, 拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？ 趙州橋主橋拱的半徑是多少？ 創(chuàng)設(shè)情境：由此你能得到圓的什么特性？ 可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對(duì)稱圖形。任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸 不借助任何工具，你能找到圓形紙片的圓心嗎?探究：探究： 如圖,AB是O的一條弦, 直徑CDAB, 垂足為E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和弧? 為什么?OABCDE線段: AE=BE弧: AC=BC, AD=BD已知：在O中，CD是直徑，AB是弦， CDAB，垂足為E求證：AEBE，ACBC，ADBD證明：連結(jié)

2、OA、OB，則OAOB 垂直于弦AB的直徑CD所在的直線 既是等腰三角形OAB的對(duì)稱軸又 是 O的對(duì)稱軸 當(dāng)把圓沿著直徑CD折疊時(shí)， CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合， A點(diǎn)和B點(diǎn)重合， AE和BE重合， AC、AD分別和BC、BD重合 AEBE，ACBC，ADBD疊合法DOABEC垂徑定理垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧CDAB CD是直徑， AE=BE, AC =BC,AD =BD.OABCDE歸納：教師提示:垂徑定理是圓中一個(gè)重要的定理,三種語(yǔ)言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運(yùn)用自如.以下圖形是否具備垂徑定理的條件？是不是是不是OEDCAB深化：垂徑定理的幾個(gè)根本圖形：CD過圓心CDAB于

3、EAE=BEAC=BCAD=BD鞏固：1、如圖，AB是O的直徑，CD為弦，CDAB于E，那么以下結(jié)論中不成立的是 A、COE=DOEB、CE=DEC、OE=AED、BD=BCOABECD2、如圖，OEAB于E，假設(shè)O的半徑為10cm,OE=6cm,那么AB= cm。OABE解：連接OA， OEAB AB=2AE=16cm3、如圖，在O中，弦AB的長(zhǎng)為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求O的半徑。OABE解：過點(diǎn)O作OEAB于E，連接OA即O的半徑為5cm.4、如圖，CD是O的直徑，弦ABCD于E，CE=1，AB=10，求直徑CD的長(zhǎng)。OABECD解：連接OA， CD是直徑，OEAB AE=1

4、/2 AB=5設(shè)OA=x，那么OE=x-1，由勾股定理得x2=52+(x-1)2解得：x=13 OA=13 CD=2OA=26即直徑CD的長(zhǎng)為26.練習(xí)1:在圓O中，直徑CEAB于 D，OD=4 ，弦AC= ， 求圓O的半徑。例1：如圖，圓O的弦AB8 ，DC2，直徑CEAB于D，求半徑OC的長(zhǎng)。反思：在 O中，若 O的半徑r、 圓心到弦的距離d、弦長(zhǎng)a中， 任意知道兩個(gè)量，可根據(jù)定理求出第三個(gè)量：CDBAO反思：在 O中，若 O的半徑r、 圓心到弦的距離d、弦長(zhǎng)a中， 任意知道兩個(gè)量，可根據(jù)定理求出第三個(gè)量：CDBAO2如圖，在O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，ODAB于D，OEAC

5、于E，求證四邊形ADOE是正方形DOABCE證明：四邊形ADOE為矩形，又AC=AB AE=AD 四邊形ADOE為正方形. 3.如圖，CD為圓O的直徑，弦AB交CD于E， CEB=30，DE=9，CE=3，求弦AB的長(zhǎng)。4.如圖，AB是O的弦，OCA=300，OB=5cm，OC=8cm，那么AB= ；OABC30854DF 你能利用垂徑定理解決求趙州橋拱半徑的問題嗎?ABOCD關(guān)于弦的問題，常常需要過圓心作弦的垂線段，這是一條非常重要的輔助線。圓心到弦的距離、半徑、弦構(gòu)成直角三角形，便將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題。ABOCD解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在的圓的圓心為O，半徑為r.經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC垂足為D，與AB交于點(diǎn)C，那么D是AB的中點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，CD就是拱高.， 解得m即主橋拱半徑約為27.9m.垂徑定理的應(yīng)用例2如圖，一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓弧(即圖中弧CD,點(diǎn)O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點(diǎn),且OECD垂