齊魯醫(yī)學(xué)算術(shù)-幾何平均值不等式

1、精品醫(yī)學(xué)文檔 精品醫(yī)學(xué)文檔 精品醫(yī)學(xué)文檔 算術(shù)-幾何平均值不等式信息來(lái)源：維基百科在 HYPERLINK /wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6 o 數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)中，算術(shù)-幾何平均值不等式是一個(gè)常見(jiàn)而基本的 HYPERLINK /wiki/%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F o 不等式 不等式，表現(xiàn)了兩類平均數(shù)： HYPERLINK /wiki/%E7%AE%97%E6%9C%AF%E5%B9%B3%E5%9D%87%E6%95%B0 o 算術(shù)平均數(shù) 算術(shù)平均數(shù)和 HYPERLINK /wiki/%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%B9%B3%E5%9D%8

2、7%E6%95%B0 o 幾何平均數(shù) 幾何平均數(shù)之間恒定的不等關(guān)系。設(shè)為個(gè)正 HYPERLINK /wiki/%E5%AE%9E%E6%95%B0 o 實(shí)數(shù) 實(shí)數(shù)，它們的算術(shù)平均數(shù)是，它們的幾何平均數(shù)是。算術(shù)-幾何平均值不等式表明，對(duì)任意的正 HYPERLINK /wiki/%E5%AE%9E%E6%95%B0 o 實(shí)數(shù) 實(shí)數(shù)，總有：等號(hào)成立 HYPERLINK /wiki/%E5%BD%93%E4%B8%94%E4%BB%85%E5%BD%93 o 當(dāng)且僅當(dāng) 當(dāng)且僅當(dāng)。算術(shù)-幾何平均值不等式僅適用于正實(shí)數(shù)，是 HYPERLINK /wiki/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%

3、BD%E6%95%B0 o 對(duì)數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)之 HYPERLINK /wiki/%E5%87%B9%E5%87%BD%E6%95%B0 o 凹函數(shù) 凹性的體現(xiàn)，在數(shù)學(xué)、自然科學(xué)、工程科學(xué)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)等其它學(xué)科都有應(yīng)用。算術(shù)-幾何平均值不等式經(jīng)常被簡(jiǎn)稱為 HYPERLINK /wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87%E6%95%B0%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F o 平均數(shù)不等式 平均值不等式（或均值不等式），盡管后者是一組包括它的不等式的合稱。例子在的情況，設(shè):， 那么.可見(jiàn)。歷史上的證明歷史上，算術(shù)-幾何平均值不等式擁有眾多證明。的情況很早就為人所知，但對(duì)于一

4、般的，不等式并不容易證明。1729年， HYPERLINK /wiki/%E8%8B%B1%E5%9B%BD o 英國(guó) 英國(guó) HYPERLINK /wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%AE%B6 o 數(shù)學(xué)家 數(shù)學(xué)家 HYPERLINK /wiki/%E9%BA%A6%E5%85%8B%E5%8A%B3%E6%9E%97 o 麥克勞林 麥克勞林最早給出了一般情況的證明，用的是 HYPERLINK /w/index.php?title=%E8%B0%83%E6%95%B4%E6%B3%95&action=edit&redlink=1 o 調(diào)整法（頁(yè)面不存在） 調(diào)整法，然而這個(gè)證明

5、并不嚴(yán)謹(jǐn)，是錯(cuò)誤的?？挛鞯淖C明 HYPERLINK /wiki/1821%E5%B9%B4 o 1821年 1821年，法國(guó)數(shù)學(xué)家 HYPERLINK /wiki/%E6%9F%AF%E8%A5%BF o 柯西 柯西在他的著作 HYPERLINK /w/index.php?title=%E5%88%86%E6%9E%90%E6%95%99%E7%A8%8B&action=edit&redlink=1 o 分析教程（頁(yè)面不存在） 分析教程中給出了一個(gè)使用 HYPERLINK /wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BD%92%E7%BA%B3%E6%B3%95 o 數(shù)學(xué)歸納法 逆

6、向歸納法的證明 HYPERLINK /wiki/%E7%AE%97%E6%9C%AF-%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%80%BC%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F l cite_note-1 1：命題：對(duì)任意的個(gè)正實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，顯然成立。假設(shè)成立，那么成立。證明：對(duì)于個(gè)正實(shí)數(shù)，假設(shè)成立，那么成立。證明：對(duì)于個(gè)正實(shí)數(shù)，設(shè)，那么由于成立，。但是，因此上式正好變成也就是說(shuō)綜上可以得到結(jié)論：對(duì)任意的 HYPERLINK /wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0 o 自然數(shù) 自然數(shù)，命題都成立。這是因?yàn)橛汕皟蓷l可

7、以得到：對(duì)任意的自然數(shù)，命題都成立。因此對(duì)任意的，可以先找使得，再結(jié)合第三條就可以得到命題成立了。歸納法的證明使用常規(guī)數(shù)學(xué)歸納法的證明則有 HYPERLINK /w/index.php?title=%E4%B9%94%E6%B2%BB%C2%B7%E5%85%8B%E9%87%8C%E6%96%AF%E6%89%98&action=edit&redlink=1 o 喬治克里斯托（頁(yè)面不存在） 喬治克里斯托（ HYPERLINK /wiki/George_Chrystal o en:George Chrystal George Chrystal）在其著作代數(shù)論（algebra）的第二卷中給出的

8、HYPERLINK /wiki/%E7%AE%97%E6%9C%AF-%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%80%BC%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F l cite_note-2 2：由對(duì)稱性不妨設(shè)是中最大的，由于，設(shè)，則，并且有。根據(jù) HYPERLINK /wiki/%E4%BA%8C%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%AE%9A%E7%90%86 o 二項(xiàng)式定理 二項(xiàng)式定理，于是完成了從到的證明。此外還有更簡(jiǎn)潔的歸納法證明 HYPERLINK /wiki/%E7%AE%97%E6%9C%AF-%E5%87%A0%E4%

9、BD%95%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%80%BC%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F l cite_note-3 3：在的情況下有不等式和成立，于是：所以，從而有?；谇偕坏仁降淖C明注意到幾何平均數(shù)實(shí)際上等于，因此算術(shù)-幾何平均不等式等價(jià)于：。由于 HYPERLINK /wiki/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0 o 對(duì)數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)是一個(gè) HYPERLINK /wiki/%E5%87%B9%E5%87%BD%E6%95%B0 o 凹函數(shù) 凹函數(shù)，由 HYPERLINK /wiki/%E7%90%B4%E7%94%9

10、F%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F o 琴生不等式 琴生不等式可知上式成立。基于排序不等式的證明令，于是有，再作代換，運(yùn)用 HYPERLINK /wiki/%E6%8E%92%E5%BA%8F%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F o 排序不等式 排序不等式得到：，于是得到，即原不等式成立。此外還有基于 HYPERLINK /wiki/%E4%BC%AF%E5%8A%AA%E5%88%A9%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F o 伯努利不等式 伯努利不等式或借助調(diào)整法、輔助函數(shù)求導(dǎo)和加強(qiáng)命題的證明。推廣算術(shù)-幾何平均不等式有很多不同形式的

11、推廣。加權(quán)算術(shù)-幾何平均不等式不僅“均勻”的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間有不等式，加權(quán)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間也有不等式。設(shè)和為正實(shí)數(shù)，并且，那么：。加權(quán)算術(shù)-幾何平均不等式可以由琴生不等式得到。矩陣形式算術(shù)-幾何平均不等式可以看成是一維 HYPERLINK /wiki/%E5%90%91%E9%87%8F o 向量 向量的系數(shù)的平均數(shù)不等式。對(duì)于二維的矩陣，一樣有類似的不等式： 對(duì)于系數(shù)都是正實(shí)數(shù)的矩陣設(shè)，那么有：也就是說(shuō)：對(duì)個(gè)縱列取算術(shù)平均數(shù)，它們的幾何平均小于等于對(duì)個(gè)橫行取的個(gè)幾何平均數(shù)的算術(shù)平均。極限形式也稱為積分形式：對(duì)任意在區(qū)間上可積的正值函數(shù)，都有這實(shí)際上是在算術(shù)-幾何平均值不

12、等式取成后，將兩邊的 HYPERLINK /wiki/%E9%BB%8E%E6%9B%BC%E7%A7%AF%E5%88%86 o 黎曼積分 黎曼和中的趨于無(wú)窮大后得到的形式。參考來(lái)源 HYPERLINK /wiki/%E7%AE%97%E6%9C%AF-%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%80%BC%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F l cite_ref-1 Augustin-Louis Cauchy, HYPERLINK http:/visualiseur.bnf.fr/Visualiseur?Destination=Gall

13、ica&O=NUMM-29058 Cours danalyse de lcole Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algbrique,Paris, 1821. p457. HYPERLINK /wiki/%E7%AE%97%E6%9C%AF-%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%80%BC%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F l cite_ref-2 George Chrystal, HYPERLINK http:/djm.cc/library/Algebra_Elementary_Text-Book_Part_II_Chrystal_edited02.pdf Algebra:An Elementary Text-Book, Part II, Chapter XXIV.p46. HYPERLINK /wiki/%E7%AE%97%E6%9C%AF-%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%80%BC%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F l cite_ref-3 P. H. Diananda , A Simple Proof of the Arithmetic Mean