人教A版數(shù)學(xué)必修一《指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》提高知識(shí)講解

1、指數(shù)函數(shù)及性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握指數(shù)函數(shù)的概念，了解對(duì)底數(shù)的限制條件的合理性，明確指數(shù)函數(shù)的定義域；2.掌握指數(shù)函數(shù)圖象：(1)能在基本性質(zhì)的指導(dǎo)下，用列表描點(diǎn)法畫(huà)出指數(shù)函數(shù)的圖象，能從數(shù)形兩方面認(rèn)識(shí)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；(2)掌握底數(shù)對(duì)指數(shù)函數(shù)圖象的影響；(3)從圖象上體會(huì)指數(shù)增長(zhǎng)與直線上升的區(qū)別3.學(xué)會(huì)利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性來(lái)比較大小，包括較為復(fù)雜的含字母討論的類(lèi)型；4.通過(guò)對(duì)指數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)觀察、分析歸納的能力，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法；5.通過(guò)對(duì)指數(shù)函數(shù)的研究，要認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，更善于從現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、指數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)y=ax

2、(a0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a為常數(shù)，函數(shù)定義域?yàn)镽.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）形式上的嚴(yán)格性：只有形如y=ax(a0且a1)的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù)像y23x，1y2x，y3x1等函數(shù)都不是指數(shù)函數(shù)（2）為什么規(guī)定底數(shù)a大于零且不等于1：x0時(shí)，ax恒等于0，如果a0，則x0時(shí),ax無(wú)意義.如果a0，則對(duì)于一些函數(shù)，比如y(4)x，當(dāng)x11,x,時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍24內(nèi)函數(shù)值不存在如果a1，則y1x1是個(gè)常量，就沒(méi)研究的必要了要點(diǎn)二、指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)：y=ax0a1時(shí)圖象圖象定義域R，值域（0，+）a0=1,即x=0時(shí)，y=1，圖象都經(jīng)過(guò)(0，1)點(diǎn)性質(zhì)ax=a，即x=1時(shí)，y等于底數(shù)a在定

3、義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)x1x0時(shí)，0ax1既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)x0時(shí)，0ax0時(shí)，ax1（3）指數(shù)函數(shù)yax與y的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時(shí)，必須分“a1”和“0a1”兩種情形討論。（2）當(dāng)0a1時(shí)，x,y0；當(dāng)a1時(shí)x,y0。當(dāng)a1時(shí)，a的值越大，圖象越靠近y軸，遞增速度越快。當(dāng)0a1時(shí)，a的值越小，圖象越靠近y軸，遞減的速度越快。1xa要點(diǎn)三、指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律（1）yaxybxycxydx則：0ba1dc又即：x(0,+)時(shí)，bxaxdxcx（底大冪大）x(,0)時(shí)，bxaxdxcx（2）特殊函數(shù)y(y2x,y3x,1)x,21

4、y()x的圖像：3要點(diǎn)四、指數(shù)式大小比較方法(1)單調(diào)性法：化為同底數(shù)指數(shù)式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.(2)中間量法(3)分類(lèi)討論法(4)比較法比較法有作差比較與作商比較兩種，其原理分別為：若AB0AB；AB0AB；AB0AB；當(dāng)兩個(gè)式子均為正值的情況下，可用作商法，判斷【典型例題】類(lèi)型一、函數(shù)的定義域、值域例1求下列函數(shù)的定義域、值域.AA1，或1即可BBx1(a為大于1的常數(shù))3x1(1)y；(2)y=4x-2x+1；(3)32x113x9；(4)ya2x1,)；（3）,0,；（4）(-，-1)【答案】（1）R，(0，1)；（2）R31421，+)1，a)(a，+)【解析】(1)函數(shù)

5、的定義域?yàn)镽(對(duì)一切xR，3x-1).(13x)111y，又3x0，1+3x1，13x13x0111，10，13x13x01113x1，值域?yàn)?0，1).131(2)定義域?yàn)镽，y(2x)22x1(2x)2，2x0，2x即x=-1242333時(shí)，y取最小值，同時(shí)y可以取一切大于的實(shí)數(shù)，值域?yàn)?).444(3)要使函數(shù)有意義可得到不等式32x119120，即32x3，又函數(shù)y3x是增函數(shù)，所以2x12，即x11，即,，值域是0,.(4)2x22x110定義域?yàn)?-，-1)1，+)，x1x1又0且1，yax1x1x1x12xx111且ya2xx11a，值域?yàn)?，a)(a，+).【總結(jié)升華】求值域時(shí)

6、有時(shí)要用到函數(shù)單調(diào)性；第(4)小題中能遺漏.舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的定義域：x1211不x1x1(1)y2x2-1(2)y33-x(3)y2x-1(4)y1-ax(a0,a1)3（0+【答案】（1）R；（2）-，；3）0,+；（4）a1時(shí)，-，；0a1時(shí)，-，；0a1時(shí)，外層函數(shù)y=au在(，)上為增函數(shù)，內(nèi)函數(shù)u=x2-2x在區(qū)間(，上為減函數(shù)，在區(qū)間1，上為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)ax2-2x在區(qū)間(-，上為減+函數(shù)，在區(qū)間1，上為增函數(shù)；1)當(dāng)0a0，且a1)的函數(shù)若令ax=u，便有y=Au2+Bu+C，但應(yīng)注意u021例4(1)1.8a與1.8a+1；(2)()3,34,()-2

7、332)2.5(3)22.5，(2.5)0，(1(4)a2與a3(a0,a1)11【思路點(diǎn)撥】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)去比較大小。2【答案】（1）1.8a1.8a+1（2）()3()-234（3）(3312)2.5(2.5)022.53，又y是減函數(shù)，所以()3()-23，即(2)因?yàn)?421，所以()2.5(2.5)01時(shí)，a2a3，當(dāng)0a1，所以函數(shù)y=1.8x為單調(diào)增函數(shù)，又因?yàn)閍a+1，所以1.8a1.8a+1.141x1211-43331214()3()-21時(shí)，a2a3，當(dāng)0a1，所以y=1.3x在R上為增函數(shù)1.30.71.30=1，21()31.50.21.30.7.3【總結(jié)升華】在

8、進(jìn)行數(shù)的大小比較時(shí)，若底數(shù)相同，則可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果，若底數(shù)不相同，則首先考慮能否化成同底數(shù)，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果；不能化成同底數(shù)的，要考慮引進(jìn)第三個(gè)數(shù)(如0，1等)分別與之比較，從而得出結(jié)果.總之比較時(shí)要盡量轉(zhuǎn)化成底的形式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷.【變式3】如果a2x1ax5（a0，且a1），求x的取值范圍【答案】當(dāng)0a1時(shí)，x6；當(dāng)a1時(shí)，x6【解析】（1）當(dāng)0a1時(shí)，由于a2x1ax5，2x1x5，解得x6（2）當(dāng)a1時(shí)，由于a2x1ax5，2x1x5，解得x6綜上所述，x的取值范圍是：當(dāng)0a1時(shí)，x6；當(dāng)a1時(shí)，x6類(lèi)型三、判斷函數(shù)的奇偶性例5判斷下列函數(shù)的奇偶

9、性：f(x)(11)(x)(x)為奇函數(shù))2x12【答案】偶函數(shù)【解析】f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且f(x)的定義域是0這個(gè)元素)，令g(x)1(x)定義域除掉1，則2x12g(x)12x112x12x1212x22x12(2x1)1111111()g(x)22x12x122x12g(x)為奇函數(shù)，又(x)為奇函數(shù)，f(x)為偶函數(shù).【總結(jié)升華】求f(x)g(x)(x)的奇偶性，可以先判斷g(x)與(x)的奇偶性，然后在根據(jù)奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇，得出f(x)的奇偶性舉一反三：【變式1】判斷函數(shù)的奇偶性：f(x)【答案】偶函數(shù)【解析】定義域x|xR且x0，xx.

10、2x12又f(x)x(112x12x1)x()x()2x1212x22x12x(22x1111111)x(1)x()f(x)，2x12x122x1222f(-x)=f(x)，則f(x)偶函數(shù).類(lèi)型四：指數(shù)函數(shù)的圖象問(wèn)題例6如圖的曲線C1、C2、C3、C4是指數(shù)函數(shù)yax的圖象，而12a,3,，則圖象C、C、C、C對(duì)應(yīng)的函數(shù)的底數(shù)依次是_、1234_、_、_【答案】22123C【解析】由底數(shù)變化引起指數(shù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律可知，2的底數(shù)C1的底數(shù)C4的底數(shù)C3的底數(shù)【總結(jié)升華】利用底數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系可以快速地解答像本題這樣的有關(guān)問(wèn)題，同時(shí)還可以解決有關(guān)不同底的冪的大小比較的問(wèn)題，因此我們

11、必須熟練掌握這一性質(zhì)，這一性質(zhì)可簡(jiǎn)單地記作：在y軸的右邊“底大圖高”，在y軸的左邊“底大圖低”舉一反三：【變式1】設(shè)f(x)|3x1|，cba且f(c)f(a)f(b)，則下列關(guān)系式中一定成立的是（）A3c3bB3c3bC3c3a2D3c3a2【答案】D例7若直線y2a與函數(shù)y|ax1|1（a0,且a1）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是【思路點(diǎn)撥】畫(huà)出y2a與y|ax1|1的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法去解題?！敬鸢浮?2a1【解析】當(dāng)a1時(shí)，通過(guò)平移變換和翻折可得如圖所示的圖象，則由圖可知12a2，即1a1與a1矛盾2當(dāng)0a1時(shí)，同樣通過(guò)平移和翻折可得如圖所示的圖象，則由圖可知12a2，即1

12、2a1，即為所求（【總結(jié)升華】（1）解答此題時(shí)，要注意底數(shù)的不確定性，因此作圖時(shí)要注意討論；2）根據(jù)條件確定直線y2a與函數(shù)的圖象位置關(guān)系，然后由位置關(guān)系建立不等式，進(jìn)而求得結(jié)果，其處理的過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想舉一反三：【變式1】如圖是指數(shù)函數(shù)yax，ybx，ycx，ydx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關(guān)系為（）Aab1cdBba1dcC1abcdDab1dc【答案】B例8確定方程2xx22的根的個(gè)數(shù)【思路點(diǎn)撥】畫(huà)出y2x的圖象和yx22的圖象，把求方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題?！敬鸢浮?【解析】根據(jù)方程的兩端分別設(shè)函數(shù)f(x)2x，g(x)x22，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f

13、(x)2x與g(x)x22的圖象，如圖所示：由圖可以發(fā)現(xiàn)，二者僅有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程2xx22的根的個(gè)數(shù)為2類(lèi)型五：指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用（例9假設(shè)A型進(jìn)口汽車(chē)關(guān)稅率在2010年是2005年的25，2005年A型進(jìn)口汽車(chē)每輛價(jià)格為64萬(wàn)元（其中含32萬(wàn)元關(guān)稅款），1）已知與A型車(chē)性能相近的B型國(guó)產(chǎn)車(chē)，2005年每輛價(jià)格為46萬(wàn)元，若A型車(chē)價(jià)格只受關(guān)稅降低的影響，為了保證2010年B型車(chē)的價(jià)格不高于A型車(chē)價(jià)格的90，B型車(chē)價(jià)格要逐年降低，問(wèn)平均每年至少要降多少萬(wàn)元？（2）某人在2005年將33萬(wàn)元存入銀行，假設(shè)銀行扣除利息稅后的年利率為1.8（五年內(nèi)不變），且每年按復(fù)利計(jì)算（例如第一年的利息計(jì)入第二年本

14、金），那么五年到期時(shí)，這筆錢(qián)連本帶【解析（1）2010年的關(guān)稅率為2005年的關(guān)稅率的1息是否一定能夠買(mǎi)一輛按（1）所述降價(jià)后的B型汽車(chē)？【答案】2能買(mǎi)3】，故所減少的關(guān)稅款為32=2444（萬(wàn)元）2010年A型車(chē)價(jià)格為6424=40（萬(wàn)元）5年后B型車(chē)價(jià)格不高于A型車(chē)價(jià)格的90，有B型車(chē)價(jià)格4090=36（萬(wàn)元）2005年B型車(chē)價(jià)格為46萬(wàn)元，故5年中至少要降10萬(wàn)元，平均每年至少要降2萬(wàn)元（2）根據(jù)題意，2005年存入的33萬(wàn)元，5年到期時(shí)連本帶息可得33(1+1.8)5（萬(wàn)元）通過(guò)計(jì)算器算得33(1+1.8)536.08（萬(wàn)元）到期時(shí)，這筆錢(qián)連本帶息一定能夠買(mǎi)一輛按（1）所述降價(jià)后的B型

15、汽車(chē)【總結(jié)升華】本題是涉及指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用題，與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的應(yīng)用題較多，如放射性物質(zhì)的衰變、人口的增長(zhǎng)問(wèn)題、國(guó)民生產(chǎn)總值的增長(zhǎng)問(wèn)題、成本的增長(zhǎng)或降低等問(wèn)題它的基本模型是：設(shè)原有產(chǎn)值為N，平均增長(zhǎng)率為P，則對(duì)于經(jīng)過(guò)x年后的總產(chǎn)值y可以用y=N(1+P)x表示本例（2）在計(jì)算五年到期連本帶息的和時(shí)，用到了公式f(n)a(1r)n（其中a為開(kāi)始存入時(shí)的本金，r為每期的利率，n為期數(shù)），該公式可用特例歸納法得到：第l期到期時(shí)本利和為a+ar=a(1+r)；第2期到期時(shí)本利和為a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2；第3期到期時(shí)本利和為a(1+r)2+a(1+r)2r=a(1+r)3；第n期到期時(shí)本利和為a(1+r)n1+a(1+r)n1r=a(1+r)n舉一反三：【變式1】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在人均