2018年高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題39雙曲線(xiàn)熱點(diǎn)題型和提分秘籍理

1、PAGE PAGE - 29 -專(zhuān)題39 雙曲線(xiàn)1了解雙曲線(xiàn)的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線(xiàn))。2了解雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單應(yīng)用。3理解數(shù)形結(jié)合的思想。熱點(diǎn)題型一 雙曲線(xiàn)的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程例1、【2017天津，理5】已知雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為，離心率為.若經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)的直線(xiàn)平行于雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)，則雙曲線(xiàn)的方程為（A） （B）（C）（D）【答案】B【解析】由題意得 ，選B.【變式探究】 (1)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)x2eq f(y2,24)1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，且3|PF1|4|PF2|，則PF1F2的面積等于()A4eq r(2) B8eq r(

2、3) C24 D48(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線(xiàn)eq f(x2,5)eq f(y2,4)1的左、右焦點(diǎn)，P(3,1)為雙曲線(xiàn)內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)上，則|AP|AF2|的最小值為()A.eq r(37)4 B.eq r(37)4 C.eq r(37)2eq r(5) D.eq r(37)2eq r(5)(3)已知F為雙曲線(xiàn)C：eq f(x2,9)eq f(y2,16)1的左焦點(diǎn)，P，Q為C上的點(diǎn)，若PQ的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍，點(diǎn)A(5,0)在線(xiàn)段PQ上，則PQF的周長(zhǎng)為_(kāi)。解析：(1)雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為2，焦距為|F1F2|2510。據(jù)題意和雙曲線(xiàn)的定義知：2|PF1|PF2|eq f(4,3)|P

3、F2|PF2|eq f(1,3)|PF2|，|PF2|6，|PF1|8。|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，PF1PF2，Seq f(1,2)|PF1|PF2|eq f(1,2)6824。【提分秘籍】“焦點(diǎn)三角形”中常用到的知識(shí)點(diǎn)及技巧(1)常用知識(shí)點(diǎn)：在“焦點(diǎn)三角形”中，正弦定理、余弦定理、雙曲線(xiàn)的定義經(jīng)常使用。(2)技巧：經(jīng)常結(jié)合|PF1|PF2|2a，運(yùn)用平方的方法，建立它與|PF1|PF2|的聯(lián)系?！九e一反三】 已知ABP的頂點(diǎn)A、B分別為雙曲線(xiàn)C：eq f(x2,16)eq f(y2,9)1的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，則eq f(|sinAsinB|,sinP)的值等于()A

4、.eq f(4,5) B.eq f(r(7),4) C.eq f(5,4) D.eq r(7)解析：在ABP中，由正弦定理知eq f(|sinAsinB|,sinP)eq f(|PB|PA|,|AB|)eq f(2a,2c)eq f(8,10)eq f(4,5)。答案：A熱點(diǎn)題型二 漸近線(xiàn)與離心率問(wèn)題例2、【2017江蘇，8】 在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線(xiàn)的右準(zhǔn)線(xiàn)與它的兩條漸近線(xiàn)分別交于點(diǎn),其焦點(diǎn)是,則四邊形的面積是 .【答案】【解析】右準(zhǔn)線(xiàn)方程為，漸近線(xiàn)方程為，設(shè)，則， ， ，則【變式探究】 (1)已知ab0，橢圓C1的方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，雙曲線(xiàn)C2的方程為e

5、q f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，C1與C2的離心率之積為eq f(r(3),2)，則C2的漸近線(xiàn)方程為()Axeq r(2)y0 B.eq r(2)xy0Cx2y0 D2xy0(2)已知雙曲線(xiàn)eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的離心率eeq r(2)，則一條漸近線(xiàn)與實(shí)軸所成銳角的值是_?！咎岱置丶?解決漸近線(xiàn)與離心率關(guān)系的問(wèn)題方法(1)已知漸近線(xiàn)方程ymx，若焦點(diǎn)位置不明確要分meq f(b,a)和meq f(a,b)討論。(2)注意數(shù)形結(jié)合思想在處理漸近線(xiàn)夾角、離心率(范圍)求法中的應(yīng)用。【舉一反三】 設(shè)直線(xiàn)x3ym0(m0)與雙曲線(xiàn)eq f(x2,

6、a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的兩條漸近線(xiàn)分別交于點(diǎn)A，B。若點(diǎn)P(m,0)滿(mǎn)足|PA|PB|，則該雙曲線(xiàn)的離心率是_。解析：聯(lián)立直線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程yeq f(b,a)x可解得交點(diǎn)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(am,3ba)，f(bm,3ba)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(am,3ba)，f(bm,3ba)，而kABeq f(1,3)，由|PA|PB|，可得AB的中點(diǎn)與點(diǎn)P連線(xiàn)的斜率為3，即eq f(f(f(bm,3ba)f(bm,3ba),2)0,f(f(am,3ba)f(am,3ba),2)m)3，化簡(jiǎn)得4b2a2，所以eeq f(

7、r(5),2)。熱點(diǎn)題型三 直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系例3若雙曲線(xiàn)E：eq f(x2,a2)y21(a0)的離心率等于eq r(2)，直線(xiàn)ykx1與雙曲線(xiàn)E的右支交于A，B兩點(diǎn)。(1)求k的取值范圍；(2)若|AB|6eq r(3)，點(diǎn)C是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，且eq o(OC,sup6()m(eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，求k，m的值。解析：(1)由eq blcrc (avs4alco1(f(c,a)r(2),a2c21)得eq blcrc (avs4alco1(a21,c22，)故雙曲線(xiàn)E的方程為x2y21。設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq blcrc (avs

8、4alco1(ykx1,x2y21，)得(1k2)x22kx20。直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)右支交于A，B兩點(diǎn)，故eq blcrc (avs4alco1(k1,2k241k220，)即eq blcrc (avs4alco1(k1,r(2)kr(2)，)所以1keq r(2)。(2)由得x1x2eq f(2k,k21)，x1x2eq f(2,k21)，|AB|eq r(1k2)eq r(x1x224x1x2)2eq r(f(1k22k2,k212)6eq r(3)，整理得28k455k2250，k2eq f(5,7)或k2eq f(5,4)。又1k0，b0）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲

9、線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn).若MAN=60，則C的離心率為_(kāi).【答案】【解析】如圖所示，作，因?yàn)閳AA與雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn)，則為雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上的點(diǎn)，且， ，而，所以，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，在中， ，代入計(jì)算得，即，由得，所以.5.【2017江蘇，8】 在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線(xiàn)的右準(zhǔn)線(xiàn)與它的兩條漸近線(xiàn)分別交于點(diǎn),其焦點(diǎn)是,則四邊形的面積是 .【答案】【解析】右準(zhǔn)線(xiàn)方程為，漸近線(xiàn)方程為，設(shè)，則， ， ，則1. 【2016高考新課標(biāo)1卷】已知方程表示雙曲線(xiàn),且該雙曲線(xiàn)兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是( )（A） （B） （C） （D）【答案】A2.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知

10、是雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，與軸垂直，,則的離心率為（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】A【解析】因?yàn)榇怪庇谳S，所以，因?yàn)?，即，化?jiǎn)得，故雙曲線(xiàn)離心率.選A.3.【2016高考浙江理數(shù)】已知橢圓C1：+y2=1(m1)與雙曲線(xiàn)C2：y2=1(n0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則（ ）Amn且e1e21 Bmn且e1e21 Cm1 Dmn且e1e20），以原點(diǎn)為圓心，雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)相交于A、B、C、D四點(diǎn)，四邊形的ABCD的面積為2b，則雙曲線(xiàn)的方程為（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)A在第一象限，

11、故雙曲線(xiàn)的方程為，故選D.5.【2016高考山東理數(shù)】已知雙曲線(xiàn)E： （a0，b0），若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2|AB|=3|BC|，則E的離心率是_.【答案】2【解析】假設(shè)點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第二象限，則，所以，由，得離心率或（舍去），所以E的離心率為2.6.【2016年高考北京理數(shù)】雙曲線(xiàn)（，）的漸近線(xiàn)為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線(xiàn)，點(diǎn)B為該雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，則_.【答案】2【解析】是正方形，即直線(xiàn)方程為，此為雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，因此，又由題意，故填：27.【2016高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線(xiàn)的焦距

12、是_. 【答案】【解析】焦距為2c故答案應(yīng)填：。8. 【2016高考上海理數(shù)】 雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，直線(xiàn)過(guò)且與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)。（1）若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程；（2）設(shè)，若的斜率存在，且，求的斜率. 【答案】（1）（2）.（2）由已知，設(shè)，直線(xiàn)顯然由，得因?yàn)榕c雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，所以，且設(shè)的中點(diǎn)為由即，知，故而，所以，得，故的斜率為1.【2015高考福建，理3】若雙曲線(xiàn) 的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，且，則 等于（）A11 B9 C5 D3【答案】B【解析】由雙曲線(xiàn)定義得，即，解得，故選B2.【2015高考四川，理5】過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線(xiàn)，交該雙曲線(xiàn)的

13、兩條漸近線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，則（ ）(A) (B) (C)6 （D）【答案】D【解析】雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，過(guò)F與x軸垂直的直線(xiàn)為，漸近線(xiàn)方程為，將代入得：.選D.3.【2015高考廣東，理7】已知雙曲線(xiàn)：的離心率，且其右焦點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的方程為（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】因?yàn)樗箅p曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為且離心率為，所以，所以所求雙曲線(xiàn)方程為，故選B4.【2015高考新課標(biāo)1，理5】已知M（）是雙曲線(xiàn)C：上的一點(diǎn)，是C上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是( )（A）（-，） （B）（-，）（C）（，） （D）（，）【答案】A【解析】由題知，所以= =，解得，故選A.5.【2015高考湖北，理8】將

14、離心率為的雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)同時(shí)增加個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率為的雙曲線(xiàn)，則（ ）A對(duì)任意的， B當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，C對(duì)任意的， D當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【答案】D【解析】依題意，因?yàn)?，由于，所以?dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，而，所以，所以.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.6.【2015高考重慶，理10】設(shè)雙曲線(xiàn)（a0,b0）的右焦點(diǎn)為1，過(guò)F作AF的垂線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于B,C兩點(diǎn)，過(guò)B,C分別作AC，AB的垂線(xiàn)交于點(diǎn)D.若D到直線(xiàn)BC的距離小于，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)斜率的取值范圍是（）A、 B、C、 D、【答案】A7.【2015高考安徽，理4】下列雙曲線(xiàn)中，焦點(diǎn)在軸上且漸近線(xiàn)方程為的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】

15、C【解析】由題意，選項(xiàng)的焦點(diǎn)在軸，故排除，項(xiàng)的漸近線(xiàn)方程為，即，故選C.8.【2015高考新課標(biāo)2，理11】已知A，B為雙曲線(xiàn)E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為120，則E的離心率為（ ）A B C D【答案】D【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)方程為，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，在中，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入雙曲線(xiàn)方程得，即，所以，故選D9.【2015高考北京，理10】已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)為，則【答案】【解析】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，,則10【2015高考湖南，理13】設(shè)是雙曲線(xiàn)：的一個(gè)焦點(diǎn)，若上存在點(diǎn)，使線(xiàn)段的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，則的離心率為 .【答案】.【解析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，短

16、軸端點(diǎn)為，從而可知點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，.11.【2015高考浙江，理9】雙曲線(xiàn)的焦距是 ，漸近線(xiàn)方程是 【答案】，.【解析】由題意得：，焦距為，漸近線(xiàn)方程為.12.【2015高考上海，理9】已知點(diǎn)和的橫坐標(biāo)相同，的縱坐標(biāo)是的縱坐標(biāo)的倍，和的軌跡分別為雙曲線(xiàn)和若的漸近線(xiàn)方程為，則的漸近線(xiàn)方程為 【答案】【解析】由題意得：，設(shè)，則，所以，即的漸近線(xiàn)方程為13.【2015江蘇高考，12】在平面直角坐標(biāo)系中，為雙曲線(xiàn)右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。若點(diǎn)到直線(xiàn)的距離大于c恒成立，則是實(shí)數(shù)c的最大值為 .【答案】1（2014湖北卷）已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且F1PF2eq f(,3)，則

17、橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率的倒數(shù)之和的最大值為()A.eq f(4r(3),3) B.eq f(2r(3),3) C3 D2【答案】A【解析】設(shè)|PF1|r1，|PF2|r2，r1r2，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)為a2，橢圓、雙曲線(xiàn)的離心率分別為e1，e2.則由橢圓、雙曲線(xiàn)的定義，得r1r22a1，r1r22a2，平方得4aeq oal(2,1)req oal(2,1)req oal(2,2)2r1r2，4aeq oal(2,2)req oal(2,1)2r1r2req oal(2,2).又由余弦定理得4c2req oal(2,1)req oal(2,2)r1r2，消去r1r2，得aeq

18、 oal(2,1)3aeq oal(2,2)4c2，即eq f(1,eeq oal(2,1)eq f(3,eeq oal(2,2)4.所以由柯西不等式得eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,e1)f(1,e2)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,e1)f(1,r(3)f(r(3),e2)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,eeq oal(2,1)f(3,eeq oal(2,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)eq f(16,3).所以eq f(1,e1)eq f(1,e2)eq f(4r

19、(3),3).故選A.2（2014北京卷）設(shè)雙曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，2)，且與eq f(y2,4)x21具有相同漸近線(xiàn)，則C的方程為_(kāi)；漸近線(xiàn)方程為_(kāi)【答案】eq f(x2,3)eq f(y2,12)1y2x【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為eq f(y2,4)x2，將(2，2)代入得eq f(22,4)223，雙曲線(xiàn)C的方程為eq f(x2,3)eq f(y2,12)1.令eq f(y2,4)x20得漸近線(xiàn)方程為y2x.3（2014全國(guó)卷）已知雙曲線(xiàn)C的離心率為2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在C上若|F1A|2|F2A|，則cosAF2F1()A.eq f(1,4) B.eq f(1,3) C.eq f(r

20、(2),4) D.eq f(r(2),3)【答案】A【解析】根據(jù)題意，|F1A|F2A|2a，因?yàn)閨F1A|2|F2A|，所以|F2A|2a，|F1A|4a.又因?yàn)殡p曲線(xiàn)的離心率eeq f(c,a)2，所以c2a，|F1F2|2c4a，所以在AF1F2中，根據(jù)余弦定理可得cosAF2F1eq f(|F1F2|2|F2A|2|F1A|2,2|F1F2|F2A|)eq f(16a24a216a2,24a2a)eq f(1,4).4（2014福建卷）已知雙曲線(xiàn)E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的兩條漸近線(xiàn)分別為l1：y2x，l2：y2x.(1)求雙曲線(xiàn)E的離心率(2)如

21、圖16，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線(xiàn)l分別交直線(xiàn)l1，l2于A，B兩點(diǎn)(A，B分別在第一、四象限)，且OAB的面積恒為8.試探究：是否存在總與直線(xiàn)l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線(xiàn)E？若存在，求出雙曲線(xiàn)E的方程；若不存在，說(shuō)明理由圖16【解析】解：方法一：(1)因?yàn)殡p曲線(xiàn)E的漸近線(xiàn)分別為y2x，y2x，所以eq f(b,a)2，所以eq f(r(c2a2),a)2，故ceq r(5)a，從而雙曲線(xiàn)E的離心率eeq f(c,a)eq r(5).(2)由(1)知，雙曲線(xiàn)E的方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,4a2)1.設(shè)直線(xiàn)l與x軸相交于點(diǎn)C.當(dāng)lx軸時(shí)，若直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則|OC

22、|a，|AB|4a.又因?yàn)镺AB的面積為8，所以eq f(1,2)|OC|AB|8，因此eq f(1,2)a4a8，解得a2，此時(shí)雙曲線(xiàn)E的方程為eq f(x2,4)eq f(y2,16)1.若存在滿(mǎn)足條件的雙曲線(xiàn)E，則E的方程只能為eq f(x2,4)eq f(y2,16)1.以下證明：當(dāng)直線(xiàn)l不與x軸垂直時(shí)，雙曲線(xiàn)E：eq f(x2,4)eq f(y2,16)1也滿(mǎn)足條件設(shè)直線(xiàn)l的方程為ykxm，依題意，得k2或k2，則Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(m,k)，0).記A(x1，y1)，B(x2，y2)由eq blc(avs4alco1(ykxm，,y2x)得y1eq f(

23、2m,2k)，同理得y2eq f(2m,2k).由SOABeq f(1,2)|OC|y1y2|，得eq f(1,2)eq blc|rc|(avs4alco1(f(m,k)eq blc|rc|(avs4alco1(f(2m,2k)f(2m,2k)8，即m24eq blc|rc|(avs4alco1(4k2)4(k24)由eq blc(avs4alco1(ykxm，,f(x2,4)f(y2,16)1)得(4k2)x22kmxm2160.因?yàn)?k20，所以4k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)又因?yàn)閙24(k24)，所以0，即l與雙曲線(xiàn)E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)因此，存在總與l有且只有一

24、個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線(xiàn)E，且E的方程為eq f(x2,4)eq f(y2,16)1.由eq blc(avs4alco1(xmyt，,f(x2,a2)f(y2,4a2)1)得(4m21)y28mty4(t2a2)0.因?yàn)?m212或k2.由eq blc(avs4alco1(ykxm，,4x2y20)得(4k2)x22kmxm20，因?yàn)?k20，所以x1x2eq f(m2,4k2)，又因?yàn)镺AB的面積為8，所以eq f(1,2) |OA|OB| sinAOB8，又易知sinAOBeq f(4,5)，所以eq f(2,5)eq r(xeq oal(2,1)yeq oal(2,1)eq r(xeq oal(

25、2,2)yeq oal(2,2)8，化簡(jiǎn)得x1x24.所以eq f(m2,4k2)4，即m24(k24)由(1)得雙曲線(xiàn)E的方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,4a2)1，由eq blc(avs4alco1(ykxm，,f(x2,a2)f(y2,4a2)1)得(4k2)x22kmxm24a20.因?yàn)?k20，直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)4k2m24(4k2)(m24a2)0，即(k24)(a24)0，所以a24，所以雙曲線(xiàn)E的方程為eq f(x2,4)eq f(y2,16)1.當(dāng)lx軸時(shí)，由OAB的面積等于8可得l：x2，又易知l：x2與雙曲線(xiàn)E：eq f(x2,4)eq

26、 f(y2,16)1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)綜上所述，存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線(xiàn)E，且E的方程為eq f(x2,4)eq f(y2,16)1.5（2014廣東卷）若實(shí)數(shù)k滿(mǎn)足0k0，且x2eq f(4,2m2)，y2eq f(m2,2m2)，從而|PQ|2eq r(x2y2)2eq r(f(m24,2m2).設(shè)點(diǎn)A到直線(xiàn)PQ的距離為d，則點(diǎn)B到直線(xiàn)PQ的距離也為d，所以2deq f(|mx12y1|mx22y2|,r(m24).因?yàn)辄c(diǎn)A，B在直線(xiàn)mx2y0的異側(cè)，所以(mx12y1)(mx22y2)0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，從而2deq f(（m22

27、）|y1y2|,r(m24).又因?yàn)閨y1y2|eq r(（y1y2）24y1y2)eq f(2r(2)r(1m2),m22)，所以2deq f(2r(2)r(1m2),r(m24).故四邊形APBQ的面積Seq f(1,2)|PQ|2deq f(2r(2)r(1m2),r(2m2)2eq r(2)eq r(1f(3,2m2).而00)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B分別在C的兩條漸近線(xiàn)上，AFx軸，ABOB，BFOA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))圖17(1)求雙曲線(xiàn)C的方程；(2)過(guò)C上一點(diǎn)P(x0，y0)(y00)的直線(xiàn)l：eq f(x0 x,a2)y0y1與直線(xiàn)AF相交于點(diǎn)M，與直線(xiàn)xeq f(3,2)相交于點(diǎn)

28、N.證明：當(dāng)點(diǎn)P在C上移動(dòng)時(shí)，eq f(|MF|,|NF|)恒為定值，并求此定值【解析】解：(1)設(shè)F(c，0)，因?yàn)閎1，所以ceq r(a21).由題意，直線(xiàn)OB的方程為yeq f(1,a)x，直線(xiàn)BF的方程為yeq f(1,a)(xc)，所以Beq blc(rc)(avs4alco1(f(c,2)，f(c,2a).又直線(xiàn)OA的方程為yeq f(1,a)x，則Aeq blc(rc)(avs4alco1(c，f(c,a)，所以kABeq f(f(c,a)blc(rc)(avs4alco1(f(c,2a),cf(c,2)eq f(3,a).又因?yàn)锳BOB，所以eq f(3,a)eq blc(r

29、c)(avs4alco1(f(1,a)1，解得a23，故雙曲線(xiàn)C的方程為eq f(x2,3)y21.(2)由(1)知aeq r(3)，則直線(xiàn)l的方程為eq f(x0 x,3)y0y1(y00)，即yeq f(x0 x3,3y0)(y00)因?yàn)橹本€(xiàn)AF的方程為x2，所以直線(xiàn)l與AF的交點(diǎn)為Meq blc(rc)(avs4alco1(2，f(2x03,3y0)，直線(xiàn)l與直線(xiàn)xeq f(3,2)的交點(diǎn)為Neq f(3,2)，eq f(f(3,2)x03,3y0)，則eq f(|MF|2,|NF|2)eq f(f(（2x03）2,（3y0）2),f(1,4)f(blc(rc)(avs4alco1(f(

30、3,2)x03)sup12(2),（3y0）2)eq f(（2x03）2,f(9yeq oal(2,0),4)f(9,4)（x02）2)eq f(4,3)eq f(（2x03）2,3yeq oal(2,0)3（x02）2).又P(x0，y0)是C上一點(diǎn)，則eq f(xeq oal(2,0),3)yeq oal(2,0)1，代入上式得eq f(|MF|2,|NF|2)eq f(4,3)eq f(（2x03）2,xeq oal(2,0)33（x02）2)eq f(4,3)eq f(（2x03）2,4xeq oal(2,0)12x09)eq f(4,3)，所以eq f(|MF|,|NF|)eq f(

31、2,r(3)eq f(2r(3),3)，為定值8（2014新課標(biāo)全國(guó)卷 已知F為雙曲線(xiàn)C：x2my23m(m0)的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到C的一條漸近線(xiàn)的距離為()A.eq r(3) B3C.eq r(3)m D3m【答案】A【解析】雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的方程為xeq r(m)y0.根據(jù)雙曲線(xiàn)方程得a23m，b23，所以ceq r(3m3)，雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(eq r(3m3)，0)故雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的距離為eq f(|r(3m3)|,r(1m)eq r(3).9（2014山東卷）已知ab0，橢圓C1的方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，雙曲線(xiàn)C2的方程為eq f(x

32、2,a2)eq f(y2,b2)1，C1與C2的離心率之積為eq f(r(3),2)，則C2的漸近線(xiàn)方程為()A. xeq r(2)y0 B. eq r(2)xy0 C. x2y0 D. 2xy0【答案】A10（2014天津卷）已知雙曲線(xiàn)eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的一條漸近線(xiàn)平行于直線(xiàn)l：y2x10，雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)在直線(xiàn)l上，則雙曲線(xiàn)的方程為()A.eq f(x2,5)eq f(y2,20)1 B.eq f(x2,20)eq f(y2,5)1C.eq f(3x2,25)eq f(3y2,100)1 D.eq f(3x2,100)eq f(3y2,25)1【答

33、案】A【解析】由題意知，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為yeq f(b,a)x，eq f(b,a)2.雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)(c，0)在直線(xiàn)l上，02c10，c5.又a2b2c2，a25，b220，雙曲線(xiàn)的方程為eq f(x2,5)eq f(y2,20)1.11（2014浙江卷）設(shè)直線(xiàn)x3ym0(m0)與雙曲線(xiàn)eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的兩條漸近線(xiàn)分別交于點(diǎn)A，B.若點(diǎn)P(m，0)滿(mǎn)足|PA|PB|，則該雙曲線(xiàn)的離心率是_【答案】.eq f(r(5),2)【解析】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為yeq f(b,a)x，漸近線(xiàn)與直線(xiàn)x3ym0的交點(diǎn)為Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(am

34、,a3b)，f(bm,a3b)，Beq blc(rc)(avs4alco1(f(am,a3b)，f(bm,a3b).設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由|PA|PB|知AB與DP垂直，則Deq blc(rc)(avs4alco1(f(a2m,（a3b）（a3b）)，f(3b2m,（a3b）（a3b）)，kDP3，解得a24b2，故該雙曲線(xiàn)的離心率是eq f(r(5),2).12（2014重慶卷）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線(xiàn)eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線(xiàn)上存在一點(diǎn)P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|eq f(9,4)ab，則該雙曲線(xiàn)的離心率為()A.eq

35、 f(4,3) B.eq f(5,3) C.eq f(9,4) D3【答案】B【解析】不妨設(shè)P為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義有|PF1|PF2|2a，聯(lián)立|PF1|PF2|3b，平方相減得|PF1|PF2|eq f(9b24a2,4)，則由題設(shè)條件，得eq f(9b24a2,4)eq f(9,4)ab，整理得eq f(b,a)eq f(4,3)，eeq f(c,a)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)sup12(2)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)sup12(2)eq f(5,3). 1若橢圓C：eq f(x2,9)eq f(y2,2)

36、1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓C上，且|PF1|4，則F1PF2()A30 B60C120 D1502橢圓eq f(x2,12)eq f(y2,3)1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線(xiàn)段PF2的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF2|是|PF1|的()A7倍 B5倍C4倍 D3倍解析：設(shè)線(xiàn)段PF2的中點(diǎn)為D，則|OD|eq f(1,2)|PF1|，ODPF1，ODx軸，PF1x軸。|PF1|eq f(b2,a)eq f(3,2r(3)eq f(r(3),2)。又|PF1|PF2|4eq r(3)，|PF2|4eq r(3)eq f(r(3),2)eq f(7r(3),2)。|PF2|是|PF1|的

37、7倍。答案：A3在同一平面直角坐標(biāo)系中，方程ax2by2ab與方程axbyab0表示的曲線(xiàn)可能是()A B C D解析：直線(xiàn)方程變形為yeq f(a,b)xa，在選項(xiàng)B和C中，eq blcrc (avs4alco1(f(a,b)0,a0，)解得eq blcrc (avs4alco1(b0,a0，)所以ax2by2ab表示的曲線(xiàn)是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)，故B和C都是錯(cuò)誤的；在選項(xiàng)A中，eq blcrc (avs4alco1(f(a,b)0,a0，)解得eq blcrc (avs4alco1(b0,a0，)所以ax2by2ab表示的曲線(xiàn)是橢圓；在選項(xiàng)D中，eq blcrc (avs4alco1(f(

38、a,b)0,a0，)解得eq blcrc (avs4alco1(b0,a0，)所以ax2by2ab不可能表示雙曲線(xiàn)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤。答案：A4已知實(shí)數(shù)4，m,9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線(xiàn)eq f(x2,m)y21的離心率為()A.eq f(r(30),6) B.eq r(7)C.eq f(r(30),6)或eq r(7) D.eq f(5,6)或eq r(7)5已知橢圓C1：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)與圓C2：x2y2b2，若在橢圓C1上存在點(diǎn)P，使得由點(diǎn)P所作的圓C2的兩條切線(xiàn)互相垂直，則橢圓C1的離心率的取值范圍是()A.eq blcrc)(avs4alco1

39、(f(1,2)，1) B.eq blcrc(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(3),2)C.eq blcrc)(avs4alco1(f(r(2),2)，1) D.eq blcrc)(avs4alco1(f(r(3),2)，1)解析：從橢圓上長(zhǎng)軸端點(diǎn)向圓引兩條切線(xiàn)PA，PB，則兩切線(xiàn)形成的角APB最小。若橢圓C1上存在點(diǎn)P。令切線(xiàn)互相垂直，則只需APB90，即APO45，sineq f(b,a)sin45eq f(r(2),2)。又b2a2c2，a22c2，e2eq f(1,2)，即eeq f(r(2),2)。又0e1，eq f(r(2),2)e1，即eeq blcrc)(avs4

40、alco1(f(r(2),2)，1)。答案：C6設(shè)橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P(a，b)滿(mǎn)足|F1F2|PF2|，設(shè)直線(xiàn)PF2與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，若|MN|16，則橢圓的方程為()A.eq f(x2,144)eq f(y2,108)1 B.eq f(x2,100)eq f(y2,75)1C.eq f(x2,36)eq f(y2,27)1 D.eq f(x2,16)eq f(y2,12)1解析：因?yàn)辄c(diǎn)P(a，b)滿(mǎn)足|F1F2|PF2|，所以eq r(ac2b2)2c，整理得2e2e10，所以eeq f(1,2)，所以a2c，be

41、q r(3)c，可得橢圓方程為3x24y212c2，直線(xiàn)PF2的方程為yeq r(3)(xc)，代入橢圓方程，消去y并整理，得5x28cx0，解得x0或eq f(8,5)c，得M(0，eq r(3)c)，Neq blc(rc)(avs4alco1(f(8,5)c，f(3r(3),5)c)，所以|MN|eq f(16,5)c16，所以c5，所以橢圓方程為eq f(x2,100)eq f(y2,75)1。答案：B7設(shè)橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2作x軸的垂線(xiàn)與C相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)1B與y軸相交于點(diǎn)D，若ADF1B，則橢圓C的離心率等于_。解析：由題意知F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中ceq r(a2b2)，因?yàn)檫^(guò)F2且與x軸垂直的直線(xiàn)為xc，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可設(shè)它與橢圓的交點(diǎn)為Aeq blc(rc)(avs4alco1(c，f(b2,a)，Beq blc(rc)(avs4alco1(c，f(b2,a)。因?yàn)锳B