2022年全國說課比賽一等獎說課教案

1、課題：雙曲線及其標準方程說課老師：四川省南充高級中學 楊凈茗教 材：全日制一般高級中學教科書 必修 高二數(shù)學上 人民訓練出版社 一 教材分析（一）教學內(nèi)容雙曲線及其標準方程是全日制一般高級中學（必修）數(shù)學其次冊（上）（人民訓練出版社）第八章第三節(jié)的內(nèi)容 .分兩課時：第一課時：探究雙曲線的定義,標準方程的推導及其初步應用；其次課時： 探究雙曲線的定義及其標準方程的進一步應用（鞏固求曲線方程的兩種基本方法,即定義法和待定系數(shù)法）.現(xiàn)在說第一課時 .（二）教材的位置和作用雙曲線是解析幾何的重要內(nèi)容圓錐曲線之一,橢圓的學習已為爭論本節(jié)內(nèi)容供應了基本模式和理論基礎；本節(jié)內(nèi)容也是后繼內(nèi)容學習的基礎,并在科

2、學技術和日常生活中有著廣泛的應用. （三）教學重點與難點 確定依據(jù) 依據(jù)教學大綱,同學學習實際情形,結合以上分析 .教學重點 雙曲線的定義及其標準方程 解決方法 為了突出此重點,讓同學動手實踐,自主探究,通過畫圖揭示雙曲線上的點所要滿意的條件,由此得出定義,推出方程 . 教學難點 雙曲線的標準方程的推導 解決方法 為了突破此難點,回憶用坐標法求曲線方程的一般步驟,類比橢圓標準方程的推導過程,關鍵是抓住“ 化簡方程” 這一環(huán)節(jié)來進行方程的推導. 二 學情分析（一）有利因素 同學通過對橢圓的探究, 初步具備了肯定的分析與歸納的才能,為本節(jié)課的學習奠定了基礎.由于雙曲線在日常生活中有著廣泛的應用,同

3、學具名師歸納總結大肚能容,容學習困難之事,學習有成 第 1 頁,共 12 頁有了肯定的奇怪心和求知欲,并對雙曲線有了肯定的感性熟悉 .（二）不利因素 同學對數(shù)學圖形, 符號,文字三種語言的相互轉(zhuǎn)化仍有肯定困 難.同時受學習橢圓的定勢思維,簡單混淆兩種圓錐曲線的幾何量關系（如：標 準方程中 a,b,c 的關系,焦點位置的確定） ,在教學中引起了高度的重視,并 實行了相應的措施來克服這些不利因素 . 三 教學目標分析 確定依據(jù) 依據(jù)教學大綱的要求,結合教材分析、學情分析特制定以下三維教學目標 . （一）學問與技能目標 把握雙曲線的定義, 焦點,焦距的概念和標準方程； 懂得雙曲線標準方程的推導；并能

4、初步運用定義和標準方程解決有關問題 . （二）過程與方法目標通過同學自主探究,親身經(jīng)受雙曲線的定義及其標準方程的獲得過程,體驗數(shù)形結合的思想在處理幾何問題中優(yōu)越性；概括等思維才能,形成良好的 思維品質(zhì) . （三）情感態(tài)度與價值觀目標培育同學觀看、 比較、分析、歸納、通過實例,激發(fā)同學對數(shù)學的奇怪心, 引導同學從數(shù)學的角度發(fā)覺和提出問 題,正確使用數(shù)學語言表達問題、進行溝通,形成用數(shù)學的意識 .讓同學在自主 探究,合作溝通中獲得新學問, 培育同學實事求是的科學態(tài)度,鍥而不舍的探究 精神以及對數(shù)學學科的喜愛,堅決學好數(shù)學的信心,形成正確的 數(shù)學觀 . 四 教法學法分析 確定依據(jù) 為實現(xiàn)以上教學目標

5、,依據(jù)教學大綱的要求,結合本節(jié)課的教學內(nèi)容,及同學的認知水平 . （一）教學方法 引導探究、發(fā)覺法 設計意圖 這樣的教法可以充分調(diào)動同學學習的主動性、積極性,使課堂氣氛更加活躍 . 同時培育同學自主學習和動手探究的才能 . 名師歸納總結大肚能容,容學習困難之事,學習有成第 2 頁,共 12 頁（二）學習方法 自主探究、合作溝通 設計意圖 這樣的學法有利于培育同學的動手實踐才能、自主學習才能、探究精神及合作意識（三） 教學手段 多媒體幫助教學 設計意圖 有利于激發(fā)同學學習的愛好, 增強動感 與直觀感, 增大教學容量, 提高教學效率和教學質(zhì)量（四）學具 一條拉鏈 ,兩顆圖釘,一塊紙板 . 設計意圖

6、 為探究雙曲線的定義的繪圖活動供應物質(zhì)條件 . 五 教學過程設計 確定依據(jù) 為了充分發(fā)揮同學學習的主動性, 使同學的學習過程成為在老師引導下的“ 再制造” 過程 . 我設計了以下 教學流程：引入新課翕翕創(chuàng)設情境抽象概括歸納定義類比探究建立方程翕實踐探究形成才能翕整理學問納入系統(tǒng)翕分層作業(yè)鞏固提高翕名師歸納總結大肚能容,容學習困難之事,學習有成第 3 頁,共 12 頁（一）創(chuàng)設情境,引入新課本節(jié)課的開頭由多媒體演示實例,并引導同學觀看圖中的紅色曲線 . （1）濟南市立交橋的外觀結構；（2）為緩解交通擁堵,北京市創(chuàng)建的新式交通結構圖；（3）城市標志雕塑的形狀；（4）自然通風塔軸截面的外觀輪廓 .

7、并指出：這些紅色曲線就是數(shù)學中爭論的雙曲線.上述都是實際生活中與雙曲線有關的例子 .除此之外,雙曲線在自然界和科學技術中也有著廣泛的應用,比如有的無周期彗星的運動軌跡是雙曲線; 利用遠程雙曲線導航的羅蘭C 衛(wèi)星導航系統(tǒng)等 .那如何定義雙曲線呢？怎樣建立它的方程呢？這就是本節(jié)課所要爭論的內(nèi)容,由此引出課題： 8.3 雙曲線及其標準方程 1 設置意圖 讓同學形成雙曲線的感性熟悉, 感受數(shù)學的應用價值, 表達數(shù)學來源于生活實際,又服務于生活實際 的才能 . （二） 抽象概括 歸納定義.同時培育同學學會用數(shù)學眼光去觀看四周事物提出摸索：如何定義雙曲線呢？ 設計意圖 通過創(chuàng)設情境,激發(fā)了同學的求知欲,使

8、同學急于想知道雙曲線是滿意什么條件的點的軌跡, 但現(xiàn)有學問又無從回答, 形成認知沖突, 使同學進入憤悱狀態(tài) . 老師指出：為探究雙曲線的定義,先回憶橢圓的定義,即：橢圓上動點 M 滿意：MF 1MF22 a a 0 引導一： 如將上式改為MF 1MF22 a a 0,動點 M 的軌跡是怎樣的曲線呢？ 設計意圖 “ 思維從疑問開頭”, 以問題為動身點,創(chuàng)設有效的學習情形,不僅可名師歸納總結大肚能容,容學習困難之事,學習有成第 4 頁,共 12 頁以復習舊知,為本節(jié)課的學習奠定基礎,而且這樣設問可以提高同學的求知欲,激發(fā)同學學習的愛好 勉勵同學積極參加、 主動摸索,發(fā)揮同學學習的主體作用 . 解決

9、方法 讓同學拿出課前預備好的一條拉鏈,一塊紙板,兩枚圖釘 .介紹作圖方法：在拉鏈拉開的兩段上各挑選一點,分別固定在紙板上的點 F1 ,F2 處,取拉鎖處為 M 點,由于拉鏈兩段是等長的,就 MF 1 MF 2 FF 2,設 FF 2 2 a,把筆尖放在點 M 處,隨著拉鏈的拉開或閉攏在紙板上作圖 .如圖 1.并由此提出摸索：如動點 M 滿意：MF 2 MF 1 2 a a 0,應當怎樣作圖呢？讓同桌兩人一組,相互磋商、動手繪圖,老師巡察,對有困難的小組予以幫助. 然后選出一位同學代表表達他們的畫圖過程,并展現(xiàn)畫圖結果 . 對完成較好的小組予以夸獎,讓同學充分體會到數(shù)學探究的樂趣和勝利的歡樂 .

10、 設計意圖 雙曲線的定義為本節(jié)課的教學重點之一,為了突出重點,開展探究活動,讓同學動手操作,親身經(jīng)受雙曲線的形成過程圖 1翕 圖 2翕同學完成作圖后,再用課件演示作圖過程, 指出這一條曲線 圖 1就是滿意：集 合P 1MMF 1MF22 a,a0的 動 點 M 的 軌 跡 . 如 將 上 述 集 合 改 為P 2MMF2MF 12 a,a0,比較兩集合的關系,取FF 12 a,同理可畫出此時動點 M 的軌跡 圖 2. 設計意圖 課件演示不僅增強動感, 而且?guī)兔ν瑢W克服在實際操作中的困難,體現(xiàn)數(shù)學的嚴謹性 . 名師歸納總結大肚能容,容學習困難之事,學習有成第 5 頁,共 12 頁觀看、比較,歸納

11、： 上面兩條曲線合起來叫做雙曲線,每一條叫做雙曲線的一支 .其中右邊一支滿意：MF 1MF2,左邊一支滿意：MF 1MF 2引導二：（1）在紙板上作圖說明白什么？（2）依據(jù)上述繪圖原理,雙曲線上的動點（3）常數(shù) 2a 與F 1F 2有什么關系？老師引導同學觀看、分析,并歸納結論：（1）平面內(nèi)M 應滿意什么條件？（2）動點 M 與兩個定點 F1 , F2 的差的肯定值 等于常數(shù) . （3）02 aF 1F 2并勉勵同學依據(jù)上述三點結論大膽歸納出雙曲線的定義即為：平面內(nèi)與兩個定點F 、F2的差的肯定值 等于常數(shù) 小于F 1F 2的點的軌跡叫做雙曲線 . 并引入雙曲線焦點和焦距的概念：這兩個定點叫做

12、雙曲線的 焦點 ,兩焦點的 距離叫做雙曲線的 焦距. 設計意圖 按同學的熟悉規(guī)律與心理特點引導同學自己探究、分析,啟示同學認識新的概念, 這有利于同學對概念的全面懂得,同時培育了同學從量變到質(zhì)變的辨證思維 . 并實現(xiàn)對數(shù)學圖形,符號,文字三種語言的相互轉(zhuǎn)化,滲透數(shù)形結合分析問題的數(shù)學思想方法. 2 的范疇（ 2a=F1 F2,2a=0, 2aF1F2）,動點引導三： 假如轉(zhuǎn)變常數(shù)的軌跡會發(fā)生什么變化呢？ 解決方法 老師讓同學相互爭論 進行演示,歸納出：,勉勵同學大膽闡述自己的結論,并運用課件1 MF1常數(shù) 2 a 02aF1F2 動點 M 的軌跡MF22 a雙曲線名師歸納總結大肚能容,容學習困

13、難之事,學習有成第 6 頁,共 12 頁2 MF 1MF22 aF 1F 2線段 F1 F2 的延長線上以 F2為端點的一條射線MF 2MF 12 aF 1F 2段 F2F1 的延長線上以 F1為端點的一條射線3 22 a = 0違反了三角形三邊長的關系 段 F1 F2 的中垂線4 aF 1F 2不存在 設計意圖 通過老師的設問,啟示同學摸索,讓同學在自主探究,合作溝通中歸納概括出結論,培育同學發(fā)覺問題,爭論問題,解決問題的才能 .上述結論是對滿意集合 P M MF 1MF 22 a 的動點 M 的軌跡的全面說明 . （三） 類比探究 建立方程引導四： 怎樣建立雙曲線的標準方程呢？ 解決方法

14、先引導同學回憶求曲線方程的一般步驟,然后循此步驟,并類比橢圓標準方程的推導過程,在老師的啟示下,由同學自主推導雙曲線的標準方程 . 設計意圖 通過同學對舊學問的回憶來明白同學對學問的把握程度,同時讓學生明確思維的目的,為下一步教學搭橋鋪路第一步建系： 建立直角坐標系 xOy ,使 x 軸經(jīng)過點F 、F 2,并且點 O 與線段F 1F2的中點重合 .（在回憶橢圓標準方程推導時如何建立坐標系后,其次步建立起雙曲線標準方程推導時的坐標系. ）2 a.設點： 設Mx ,y是雙曲線上任意一點,雙曲線的第三步焦距為2 cc0 ,那么,焦點F 、F 2的坐標分別是圖 3翕c,0 、c,0. 又設點 M 與F

15、 、F 2的距離的差的肯定值等于常數(shù)寫點集： 依據(jù)定義寫出 M點的軌跡構成的點集：P = M | |MF1 | |MF 2 | =2 a 名師歸納總結大肚能容,容學習困難之事,學習有成第 7 頁,共 12 頁第四步列方程： 用坐標法表示條件P（M）,列出方 fx,y=0,c2b2,即：xc 2y2xc 2y22 a第五步化簡： 化方程 fx,y=0 為最簡形式 . 將方程化簡,得c2a2x2a2y22c2a2a2由雙曲線的定義可知,2 c2a,即ca,所以c2a20.令其中b0,代入上式,得b2x2a2y2a2b2兩邊除以a2b2,得出：x2y21a0,b0a2b2F1 對此方程要強調(diào)：它是雙

16、曲線的焦點在 x 軸上的標準方程,焦點是：c , 0 、F2 c , 0 ,焦距 2 . 設計意圖 為了真正做到讓同學主動摸索、學習,讓同學自己動手,獨立的完成這個任務, 從而進一步體會用坐標法求曲線方程的思想.前四步同學簡單把握,第五步的二次根式較復雜,同學常因運算才能不強而功虧一簣 .故在此,老師不失時機地加強了運算技能的訓練.留意了引導同學比較橢圓標準方程推導中的二次根式的化簡：平方,賦值,將含有兩個根式之差的等式轉(zhuǎn)化為含有 a,b,c 三字母的整式,再化為等號右端為1 的方程形式 .老師對個別有困難的同學進行必要的指導,并選一名同學在黑板上書寫化簡過程,然后老師點評 .這一環(huán)節(jié)教學有助

17、于突破本節(jié)的教學難點 . 注 意： 區(qū)分雙曲線和橢圓的標準方程中 a , b , c 的關系：雙曲線：c 2a 2b 2（a 0 b 0,a 與b 沒有確定的大小關系）橢 圓：c 2a 2b 2（a b 0） 設計意圖 類比雙曲線和橢圓標準方程中的 a , b , c 的關系,有助于同學克服名師歸納總結大肚能容,容學習困難之事,學習有成第 8 頁,共 12 頁橢圓學習中的思維定勢 . 引導五： 焦點在 y 軸上,并且點O 與線段F 1F2的中點重合,a,b,c的意義同上,雙曲線的方程又如何呢？圖 4 解決方法 先讓同學作出圖 4,引導同學觀看、比較圖3 與圖 4,并依據(jù)橢圓的焦點在 y 軸上的

18、標準方程的推導方法,勉勵同學大膽猜想,歸納出：只需將上述標準方程中的x 、 y 互換,即：21a0,b0y2xa2b2 設計意圖 該問的設置,一方面是為了得出焦點在y 軸上的雙曲線的標準方程；另一方面培育同學的類比才能, 充分發(fā)揮同學的直覺思維和數(shù)學悟性 . 調(diào)動了學生學習的主動性和積極性,引導六： 觀看上述兩個不同的標準方程,摸索：（1）雙曲線的標準方程有何特點 . （2）x 2, y 項的符號與該雙曲線的焦點所在位置有什么關系？2 解決方法 由同學小組溝通,老師對同學的回答進行必要的點評,肯定要讓同學對上述問題的解答都有明確的熟悉 . 并歸納出：由雙曲線標準方程確定焦點位置的方法：雙曲線的

19、焦點應在系數(shù)為正的那一項所對應的坐標軸上正項定焦軸 . 設計意圖 觀看、比較,發(fā)覺問題 ;概括、歸納,解決問題,不僅加強了同學對所學學問的進一步懂得,而且培育了同學自主探究和鑒別的才能 .為檢驗同學對名師歸納總結大肚能容,容學習困難之事,學習有成第 9 頁,共 12 頁上述結論的把握情形布置課堂練習：判定以下雙曲線的焦點所在坐標軸：（1）x22y21；16（2）9x16y2144（3）25x216y21.四 實踐探究形成才能1 例題剖析,初步應用已知雙曲線兩焦點的坐標為 F 1 5 0, , F 2 ,5 0 ,雙曲線上一點 P 到 F 、F 的距離的差的肯定值等于 6,求雙曲線的標準方程 .

20、 解決方法 課本例題,難度不大,但能起到準時對所學概念進行鞏固訓練的作用. 教學中緊扣定義和標準方程的學問. 由同學合作完成, 再由同學代表發(fā)言, 敘述解題過程,老師點評,板書規(guī)范的解題步驟 . 并指出：上述例題的求解運用了求曲線方程的基本方法之一：待定系數(shù)法 . 設計意圖 數(shù)學概念是要在運用中得以鞏固的, 通過該例題使同學進一步懂得雙曲線的定義,把握標準方程,使學問內(nèi)化為智能 .2 自我反饋,評判提高（1）求適合條件 a 4 b 3 焦點在 x 軸上的雙曲線的標準方程 設計意圖 檢驗同學對雙曲線標準方程結構特點的把握情形 .2 2（2）填空：已知方程 x y 1 表示雙曲線,就 m 的取值范

21、疇2 m m 1是 . 設計意圖 區(qū)分雙曲線的兩種不同形式的標準方程,留意焦點位置的爭論 .2 2（3）證明橢圓 x y 1 與雙曲線 x 215 y 215 的焦點相同25 9 設計意圖 比較兩種圓錐曲線標準方程中 a , b , c 的異同 . 名師歸納總結大肚能容,容學習困難之事,學習有成第 10 頁,共 12 頁通過反饋練習, 再次加強同學對新學問的把握情形,并檢驗同學新的認知結構的形成和技能的進展狀況,對教學中所顯現(xiàn)的遺漏和不足賜予即時補救 .達到鞏固,消化,檢驗新學問的目的 .同時使同學獲得的學問信息納入長時記憶系統(tǒng) . （五）學問整理,納入系統(tǒng)1 學問點：1 雙曲線的定義,焦點,

22、焦距的概念 . 2 雙曲線標準方程兩類形式,如何由方程判定其焦點所在坐標軸 . 3 a, 的確定依據(jù) . 4 與雙曲線定義和標準方程有關的三個常數(shù) a , b , c 間的關系（a , b , c都為正常數(shù),且 c 最大,結構類似勾股定理：c 2a 2b 2）2 數(shù)學思想：數(shù)形結合、等價轉(zhuǎn)化 . 3 數(shù)學方法：觀看、比較、概括、歸納、類比分析、待定系數(shù)法 . 設計意圖 通過畫龍點睛,提綱挈領的小結,將所學學問納入已有的學問系統(tǒng)之中,形成同學自己的認知結構 .突出重點,抓住關鍵,培育同學概括才能 .通過提煉數(shù)學的基本思想方法,使同學把握數(shù)學的精髓和本質(zhì),提高數(shù)學素養(yǎng) . （六） 分層作業(yè),鞏固提高1 必做題： 課本 P108習題第 1、2、3 1、4 題2 課后探究題：2 2（1）求與雙曲線 x y 1 共焦點,且過點 3 2 , 2 的雙曲線的方程；16 4（2）當 0 180 時