高中數(shù)學一輪難題復習 推理與證明典型解答題（學生版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁一輪難題復習 推理與證明典型解答題一、知識網(wǎng)絡二、合情推理（一）歸納推理1. 歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理。簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理。2. 歸納推理的一般步驟：第一步，通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；第二步，從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般命題（猜想）。題型1：用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律（1）觀察：對于任意正實數(shù)，試寫出使成立的一個條件可以是 _.（2）蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單

2、個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖。其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以表示第幅圖的蜂巢總數(shù)。則（二）類比推理1. 類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理。簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理。2. 類比推理的一般步驟：第一步：找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；第二步：用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想.題型2：用類比推理猜想新的命題（1）已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的，把這個結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是_.（三）合情推理1.

3、定義：歸納推理和類比推理都有是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理。簡言之，合情推理就是合乎情理的推理。2. 推理的過程：思考探究：（1）歸納推理與類比推理有何區(qū)別與聯(lián)系? 歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。 類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關系就越相關，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。三、演繹推理（一）含義：1. 演繹推理是從一般性的原

4、理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論。演繹推理又叫邏輯推理。2. 演繹推理的特點是由一般到特殊的推理。（二）演繹推理的模式1. 演繹推理的模式采用“三段論”：（1）大前提已知的一般原理(M是P)；（2）小前提所研究的特殊情況(S是M)；（3）結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷(S是P)。2. 從集合的角度看演繹推理：（1）大前提：xM且x具有性質(zhì)P；（2）小前提：yS且SM（3）結(jié)論：y具有性質(zhì)P（三）演繹推理與合情推理合情推理與演繹推理的關系：1. 從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個別到一般的推理，類比是由特殊到特說的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理。2. 從推理所得的結(jié)論來看，合情推

5、理的結(jié)論不一定正確，有待進一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確。四、直接證明與間接證明（一）三種證明方法：綜合法、分析法、反證法分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學解題中，分析法是從數(shù)學題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件。綜合法則是從數(shù)學題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到待證結(jié)論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛。反證法：它是一種間接的證明方法。用這種方法證明一個命題的一般步驟：（1）假設命題的結(jié)論不成

6、立；（2） 根據(jù)假設進行推理，直到推理中導出矛盾為止 （3） 斷言假設不成立（4）肯定原命題的結(jié)論成立用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：（1）反設；（2）歸謬；（3）結(jié)論。重難點：在函數(shù)、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數(shù)學問題中，選擇好證明方法并運用三種證明方法分析問題或證明數(shù)學命題考點1：綜合法在銳角三角形中，求證：考點2：分析法已知，求證考點3：反證法已知，證明方程沒有負數(shù)根五、數(shù)學歸納法1. 數(shù)學歸納法的定義：一般地，當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)N的所有正整數(shù)n都成立時，可以用以下兩個步驟：（1）證明當時命題成立；（2）假設當時命題成立，證明n=k+1時命題也成

7、立。在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于的所有正整數(shù)都成立。這種證明方法稱為數(shù)學歸納法。2. 數(shù)學歸納法的本質(zhì)：無窮的歸納有限的演繹（遞推關系）3. 數(shù)學歸納法步驟：（1）（遞推奠基）：當n取第一個值結(jié)論正確；（2）（遞推歸納）：假設當時結(jié)論正確；（歸納假設）證明當n=k+1時結(jié)論也正確。（歸納證明）由（1），（2）可知，命題對于從開始的所有正整數(shù)n都正確。題型1：已知n是正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證明時，若已假設時命題為真，則還需證明（ ）A. n=k+1時命題成立 B. n=k+2時命題成立C. n=2k+2時命題成立 D. n=2（k+2）時命題成立題型2：用數(shù)學歸納法證明不等式例題

8、1（1）求證：橢圓中斜率為的平行弦的中點軌跡必過橢圓中心；（2）用作圖方法找出下面給定橢圓的中心；（3）我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中，.如圖，設點，是相應橢圓的焦點，和，是“果圓” 與，軸的交點. 連結(jié)“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”的弦.試研究：是否存在實數(shù)，使斜率為的“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上？若存在，求出所有可能的值，若不存在，說明理由.例題2（1）證明：；（2）證明：對任何正整數(shù)n，存在多項式函數(shù)，使得對所有實數(shù)x均成立，其中均為整數(shù)，當n為奇數(shù)時，當n為偶數(shù)時，；（3）利用（2）的結(jié)論判斷是否為有理數(shù)？例題3對于數(shù)列：、，若不改變，僅改變、中部分項的符號（可以都不改變），得到的新數(shù)列稱為數(shù)列的一個生成數(shù)列，如僅改變數(shù)列、的第二、三項的符號，可以得到一個生成數(shù)列：、.已