5.1-平面向量的概念及線性運算、平面向量基本定理(講解部分)

1、專題五平面向量與解三角形5.1平面向量的概念及線性運算、平面向量基本定理高考數(shù)學(xué) 浙江專用第一頁，編輯于星期六：四點 三十四分?？键c一平面向量的線性運算及幾何意義考點清單考向基礎(chǔ)1.既有大小又有方向的量叫做向量.向量可以用有向線段來表示.2.向量 的大小,也就是向量的長度(或稱模),記作|.3.長度為0的向量叫做零向量,記作0.長度為1個單位的向量叫做單位向量.4.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,也叫做共線向量.規(guī)定:0與任一向量平行.5.長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.6.向量的加法法則:三角形法則和平行四邊形法則.第二頁，編輯于星期六：四點 三十四分。7.向量加法的交換律:a+

2、b=b+a.向量加法的結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c).8.與a長度相等,方向相反的向量叫做a的相反向量,記作-a.規(guī)定:0的相反向量是0.9.實數(shù)與非零向量a的乘積a是一個向量,它的長度是|a|的|倍,即|a|=|a|.它的方向:當(dāng)0時,與a同向;當(dāng)0時,與a反向.顯然,當(dāng)=0時,a=0.10.設(shè)a、b是任意向量,、是實數(shù),則實數(shù)與向量的積適合以下運算律:(1)結(jié)合律:(a)=()a;(2)第一分配律:(+)a=a+a;(3)第二分配律:(a+b)=a+b.第三頁，編輯于星期六：四點 三十四分。11.向量共線的判斷(1)若a與b是兩個非零向量,則它們共線的充要條件是有且只有一個實數(shù),使

3、得b=a;(2)若a與b是兩個非零向量,則它們共線的充要條件是存在兩個均不是零的實數(shù)、,使得a+b=0.第四頁，編輯于星期六：四點 三十四分?？键c二平面向量基本定理及坐標(biāo)表示考向基礎(chǔ)1.平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)1、2,使a=1e1+2e2,其中e1、e2是一組基底.2.平面向量的坐標(biāo)運算(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=(x1x2,y1y2);(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1);(3)若a=(x,y),R,則a=(x,y).3.向量平行的坐標(biāo)表示(1

4、)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b0),則ab的充要條件為x1y2-x2y1=0;(2)三點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共線的充要條件為(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0.第五頁，編輯于星期六：四點 三十四分。4.幾個重要結(jié)論:如圖,(1)若a、b為不共線向量,則a+b、a-b為以a、b為鄰邊的平行四邊形的對角線向量;(2)|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2);(3)G為ABC的重心+=0G.(4)若+=2,則D為BC的中點,且D.反之也成立.(5)若O為原點,A,B,C為平面內(nèi)三點,則A,B,C三點在一條直線上的

5、充要條件是=+,且+=1,R.第六頁，編輯于星期六：四點 三十四分。平面向量線性運算的解題方法方法1方法技巧用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本功,除利用向量的加法、減法、數(shù)乘運算外,還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理,因此,在求向量時要盡可能地轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中,利用三角形中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半,相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì),把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量進行求解.解題的基本步驟:(1)根據(jù)已知條件,正確選擇基底;(2)把條件和結(jié)論(或問題)中的所有向量用基底表示;(3)進行相關(guān)的運算.第七頁，編輯于星期六：四點 三十四分。例1(2018浙

6、江杭州二中新高考調(diào)研卷三,12)已知平行四邊形ABCD,|=2|=2,且=1,=,=2,則=; 若DE和AF交于點M,且=x+y(x,yR),則x+y=.解析=(+)(-)=-=.=+,設(shè)=,則=+,m+(1-m)=+=,故=+x+y=.答案; 第八頁，編輯于星期六：四點 三十四分。方法2平面向量的坐標(biāo)運算的解題方法向量的坐標(biāo)表示實際上就是向量的代數(shù)表示,在引入向量的坐標(biāo)表示后,向量的運算就完全可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算了,這樣就可以將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起.因此,很多幾何問題的證明,特別是共線、共點等較難問題的證明,就可以轉(zhuǎn)化為較為簡單的代數(shù)運算的論證.解題的基本步驟:(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系;(2)將參與運算的向量用坐標(biāo)表示出來;(3)利用加法、減法、數(shù)乘等運算法則轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算;(4)將代數(shù)運算結(jié)果轉(zhuǎn)化為向量結(jié)果作答.解題過程中注意數(shù)形結(jié)合思想和方程思想的運用.第九頁，編輯于星期六：四點 三十四分。例2(2019浙江金麗衢十二校聯(lián)考,15)若