人教版初三數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)模型(含詳細(xì)解析)

1、授課日期主題.旋轉(zhuǎn)模型時(shí)間教學(xué)內(nèi)容1.鞏固并掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2.結(jié)合輔助線的構(gòu)造，更深刻的認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；知識(shí)結(jié)構(gòu)1、在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)2、旋轉(zhuǎn)具有以下特征：（1）圖形中的每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度；（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（3）對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)線段相等；（4）圖形的形狀和大小都不變。3、旋轉(zhuǎn)的思想：旋轉(zhuǎn)也是圖形的一種基本變換，通過(guò)圖形旋轉(zhuǎn)變換，從而將一些簡(jiǎn)單的平面圖形按要求旋轉(zhuǎn)到適當(dāng)?shù)奈恢?，使?wèn)題獲得簡(jiǎn)單的解決，它是一種要的解題方法。4、旋轉(zhuǎn)不同類型（一）正三角形類型在正ABC中，P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，將ABP繞A點(diǎn)按

2、逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60，使得AB與AC重合。經(jīng)過(guò)這樣旋轉(zhuǎn)變化，將圖（1-1-a）中的PA、PB、PC三條線段集中于圖（1-1-b）中的一個(gè)PCP中，此時(shí)PCP也為正三角形。學(xué)習(xí)參考.（【例題】如圖：1-1）：設(shè)P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5，APB的度數(shù)是_.簡(jiǎn)解：在ABC的外側(cè)，作BAPCAP,且APAP3，連結(jié)PB.則BAPeqoac(,?)CAP。易證APPeqoac(,)為正三角形，PBP為RTAPBAPPPPB6090150（二）正方形類型在正方形ABCD中，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，將ABP繞B點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90，使得BA與BC重合。經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變化，將圖（2-1

3、-a）中的PA、PB、PC三條線段集中于圖（2-1-b）中的CPP中，此時(shí)CPP為等腰直角三角形。【例題】如圖（2-1）：P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到正方形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD。學(xué)習(xí)參考.簡(jiǎn)解：作AED使DAEBAP,AEAP,連結(jié)EP,則ADEeqoac(,?)ABP同樣方法，作DFC且有DFCBPC。易證EAP為等腰三角形，又AP1PE2,同理，PF32EDAPBA,FDCPBC又PBAPBC90EDFEDAFDCADC9090180點(diǎn)E、D、F在一條直線上EFEDDFDF224，面.在EPF中，EF4，EP2，F(xiàn)P32由勾股

4、定理的逆定理，可知EPF為RTS正方形ABCDSRTEPFSRTEPASRTPFC319822（三）等腰直角三角形類型在等腰直角三角形ABC中，C90，P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，將APC繞C點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90，使得AC與BC重合。經(jīng)過(guò)這樣旋轉(zhuǎn)變化，在圖（3-1-b）中的一個(gè)PCP為等腰直角三角形。學(xué)習(xí)參考.【例題】如圖，在ABC中，ACB=900，BC=AC，P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3，PB=1，PC=2。求BPC的度數(shù)。簡(jiǎn)解：在RTABC的外側(cè)，作BCPACP,且CPCP2，連結(jié)PP，則BCPACP。易證RTCPP為等腰直角三角形，在PBP中，BP3，BP1，PP22，由勾股定理的逆定理可知，

5、PPB為RT，PPB90BPCCPPPPB4590135典型例題利用旋轉(zhuǎn)的特征，可巧妙解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，如一.求線段長(zhǎng).例1.如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)為20，AB=4，點(diǎn)E在BC上，且AEEF，AE=EF，求CF的長(zhǎng)?！窘馕觥浚簩BE以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，此時(shí)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B處，AE與EF重合，由旋轉(zhuǎn)特征知：BEBC，四邊形BECF為長(zhǎng)方形，CE=BF=ABCF+CE=BE+CE=BE+EC=BC=6學(xué)習(xí)參考.CF=BC-CE=6-4=2二.求角的大小例2.如圖，在等邊ABC中，點(diǎn)E、D分別為AB、BC上的兩點(diǎn)，且BECD，AD與CE交于點(diǎn)M，求AME的大小。【解析】：因?yàn)锽

6、CAC,ABCACD60,BECD所以以ABC的中心（等邊三角形三條中線的交點(diǎn)）O為旋轉(zhuǎn)中心，將ADC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120就得到了CEB，AME=180-AMC=180-120=60三.進(jìn)行幾何推理例3.如圖，點(diǎn)F在正方形ABCD的邊BC上，AE平分DAF，請(qǐng)說(shuō)明DEAFBF成立的理由。數(shù)學(xué)思想是解數(shù)學(xué)題的精髓和重要的指導(dǎo)方法，在平移和旋轉(zhuǎn)中的應(yīng)用也相當(dāng)?shù)膹V泛，一般可以歸結(jié)為兩種思想對(duì)稱的思想和旋轉(zhuǎn)的思想，具體的分析如下：學(xué)習(xí)參考.例4、如圖，正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)P，PADPDA15，連結(jié)PB、PC，請(qǐng)問(wèn)：PBC是等邊三角形嗎？為什么？【分析】：本題關(guān)鍵是說(shuō)明PCDPBA30，利用條件可以設(shè)想將A

7、PD繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90，而使A與C重合，此時(shí)問(wèn)題得到解決.【解析】：將APD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得DPC，再作DPC關(guān)于DC的軸對(duì)稱圖形DQC，得CDQ與ADP經(jīng)過(guò)對(duì)折后能夠重合。PD=QDPDQ=90-15-15=60，PDQ為等邊三角形，PQD=60.DQC=APD=180-15-15=150，PQC=360-60-150=150=DQC,，PQ=QD=CQ，PCQDCQ15PCD=30PCB=60PC=BC=CDPBC為等邊三角形例5、已知：如圖，E是正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，AF平分EAD交CD于點(diǎn)F，說(shuō)明AEBEDF的理由。學(xué)習(xí)參考.【分析】：由于要證的3條線段AB、BE

8、、DF分散在兩個(gè)三角形中，可利用旋轉(zhuǎn)變換，將其放到一個(gè)三角形中。【解析】：把ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，則點(diǎn)D轉(zhuǎn)到了點(diǎn)B的位置，點(diǎn)F轉(zhuǎn)到了點(diǎn)F的位置，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：31，F(xiàn)BFD，AFBAFDABCD為正方形DABF90F、B、E、C在一條直線上又12EAB9032EAB90FAE290又AFD190AFB19012FAEAFBAEFEFBBEFDBE例6、如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，將ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，使AB與CB重合，BP到達(dá)BP處，AP到達(dá)CP處，若AP的延長(zhǎng)線正好經(jīng)過(guò)P，求APB的度數(shù)。【分析】：此題運(yùn)用旋轉(zhuǎn)將ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出BPC的度數(shù)即

9、可。而BPC又是BPP與CPP之和，可各個(gè)擊破，從而得解。【解析】：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及特征可知：PBP90，APPC，BPBPBPPBPP1在BPP中，18090452學(xué)習(xí)參考.又AP的延長(zhǎng)線正好經(jīng)過(guò)P點(diǎn)APC90BPCAPCBPP135從而可得APB135例7、已知：如圖，E、F、G分別是正方形ABCD中BC、AB、CD上的點(diǎn)，且AEFG。求證：AEFG【分析】：AE、FG所在位置不易證明相等，可將其一改變位置，如可用平移、旋轉(zhuǎn)將其位置改變后再進(jìn)行證明?！咀C明】：延長(zhǎng)AB至F使BFBE，連結(jié)CF正方形ABCDABCB，ABC90又CBF90，BEBFABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)eqoac(,90)可得

10、CBFAECF，AECFFGAEFGCF又正方形ABCD，ABCD四邊形GFFC為平行四邊形CFFGAEFG例8、如圖，P是正方形ABCD中AC上一點(diǎn)，PEAD于E，PFCD于F。求證：（1）OEOF（2）OEOF【分析】：充分利用正方形的中心對(duì)稱性及旋轉(zhuǎn)變換。學(xué)習(xí)參考.【證明】：正方形ABCDADC90，DAC45DEAD，PED90PFCD，PFD90四邊形EPFD為矩形PEDF又PED90，DAC45APE45AEP中，AEPEAEDF正方形ABCD為中心對(duì)稱圖形AOD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)eqoac(,90)與DOC重合A與D為對(duì)應(yīng)點(diǎn)又AEDFE與F為對(duì)應(yīng)點(diǎn)由旋轉(zhuǎn)變換的特征知：OEOF，OE

11、OF例9.ABC為等邊三角形，點(diǎn)D、E、F分別在邊AC、AB、BC上，且AEBFCD，連結(jié)AF、BD、CE，分別交于點(diǎn)G、H、M。（1）求1的度數(shù)；（eqoac(,2)）判斷GMH的形狀。【分析】：等邊三角形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，且每個(gè)角都是60，1是BCH的外角，可知123。而2414360，從而得證?！窘馕觥浚海╡qoac(,1)）等邊ABC是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，且AEBFCD所以，ABC繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)120后，AEC、BFA、CDB能夠重合24由12314360（2）同理可得：GMHMGH60GMH是等邊三角形學(xué)習(xí)參考.觀察思考：旋轉(zhuǎn)是幾何變換中的基本變換，它一般先對(duì)給定的圖形或其中一部分，通過(guò)旋轉(zhuǎn)

12、，改變位置后得新組合，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系，進(jìn)而揭示條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，找出證題途徑。一、選擇題1在下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）ABCD2如圖，該圖形圍繞自己的旋轉(zhuǎn)中心，按下列角度旋轉(zhuǎn)后，不能與其自身重合的是（）721081442163在線段、等腰梯形、平行四邊形、矩形、正五角星、圓、正方形和等邊三角形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的圖形有（）A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)4.下列命題中的真命題是()A全等的兩個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形.B關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等.C中心對(duì)稱圖形都是軸對(duì)稱圖形.D軸對(duì)稱圖形都是中心對(duì)稱圖形.5.如右圖，四邊形

13、ABCD是正方形，ADE繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)900后到達(dá)ABF的位置，連接EF，則AEF的形狀是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等邊三角形ADEFBC（第9題）6.如圖是萬(wàn)花筒的一個(gè)圖案，圖中所有小三角形均是全等三角形，其中把菱形ABCD以學(xué)習(xí)參考.A為中心旋轉(zhuǎn)多少度后可得圖中另一陰影的菱形（）A.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60B.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120C.逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60D.逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120ABD二、填空題C(第10題)7、如圖，一塊等腰直角的三角板ABC，在水平桌面上繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到ABC的位置，使A，C，B三點(diǎn)共線，那么旋轉(zhuǎn)角度的大小為ABACBODAC(第12題)B(第13題)8.如圖，COD是

14、AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)40后所得的圖形，點(diǎn)C恰好在AB上，AOD90，則D的度數(shù)是9.如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后，得到矩形ABCD，如果CD=2DA=2，那么CC=_CBDCDAB(第14題)(第15題)(第13題)10.如圖是中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)團(tuán)旗上的圖案（圖案本身沒(méi)有字母）則至少旋轉(zhuǎn)_度后能與原來(lái)圖形重合三、解答題11.畫出下列圖形關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱圖形(10分)學(xué)習(xí)參考A.CO(第16題)B12.如圖所示，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后，ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上（15分）(1)把ABC向上平移5個(gè)單位后得到對(duì)應(yīng)的ABCeqoac(

15、,)畫出ABC111111(2)以原點(diǎn)O為對(duì)稱中心，再畫出與ABC關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的ABC111222(3)寫出點(diǎn)ABC坐標(biāo)222yxOCAB探究題：(第17題)1.已知正方形ABCD和正方形AEFG有一個(gè)公共點(diǎn)A,點(diǎn)G、E分別在線段AD、AB上.（15分）DGAFE圖1CBCDG(第18題)FABE圖2若將正方形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),連接DG,在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,你能否從線段AE、BE和AB中找到一條線段的長(zhǎng)與線段DG的長(zhǎng)始終相等.并以圖2為例說(shuō)明理由.學(xué)習(xí)參考.eqoac(,)2.一位同學(xué)拿了兩塊45三角尺M(jìn)NKeqoac(,，)ACB做了一個(gè)探究活動(dòng)：將MNK的直角頂點(diǎn)M放在ABC的斜邊AB的中點(diǎn)處，設(shè)ACBC4（15分）NAMNAMNDAMKCBCKBCKGB圖（1）圖（2）圖（3）（第19題）eqoac(,)（1）如圖（1），兩三角尺的重疊部分為ACM，則重疊部分的面積為，周長(zhǎng)為（2）將圖（1）中的MNK繞頂點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，得到圖（2），此時(shí)重疊部分的面積為，周長(zhǎng)為eqoac(,)（3）如果將MNK繞M旋轉(zhuǎn)到不同于圖（1）和圖（2）的圖形，如圖（3），請(qǐng)你猜想此時(shí)重疊部分的面積為學(xué)習(xí)參考.3、如圖，P是等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2，PB23，PC=4，求BC的長(zhǎng)。4如圖，在ABC中，BAC=90，AB=AC，D