2022中考之2021全國(guó)中考優(yōu)題匯編與精解專題37 銳角三角函數(shù)（44題）【含答案】

1、專題37：銳角三角函數(shù)（44題）一、單選題1（2021天津中考真題試卷）的值等于（ ）ABC1D2A根據(jù)30的正切值直接求解即可解：由題意可知，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查30的三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題，熟記其正切值即可2（湖南省永州市2021年中考真題試卷數(shù)學(xué)試卷）下列計(jì)算正確的是（ ）ABCDA根據(jù)零指數(shù)冪，特殊角三角函數(shù)值，算術(shù)平方根的定義，同底數(shù)冪乘法的計(jì)算法則分別計(jì)算即可解：A、，此選項(xiàng)正確；B、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查零指數(shù)冪，特殊角三角函數(shù)值，算術(shù)平方根的定義，同底數(shù)冪乘法，熟知相關(guān)計(jì)算法則即定義是解決本題的關(guān)鍵3（2021廣西中考真題試

2、卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)P（3，4），連接OP，則OP與x軸正方向所夾銳角的正弦值是（）ABCDD作PMx軸于點(diǎn)M，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解解：作PMx軸于點(diǎn)M，P（3，4），PM=4，OM=3，由勾股定理得：OP=5，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義，一個(gè)角的正弦值等于它所在直角三角形的對(duì)邊與斜邊之比4（2021貴州銅仁市中考真題試卷）下列等式正確的是（ ）ABCDD依據(jù)絕對(duì)值的計(jì)算，特殊角的三角函數(shù)，積的乘方，同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，完全平方公式，因式分解，逐項(xiàng)計(jì)算即可A. ，不符合題意B. ，不符合題意C. ，不符合題意D. ，符合題意故選D【點(diǎn)

3、評(píng)】本題考查了絕對(duì)值的計(jì)算，特殊角的三角函數(shù)，積的乘方，同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，完全平方公式，因式分解，解決本題的關(guān)鍵是牢記公式與定義5（2021云南中考真題試卷）在中，若，則的長(zhǎng)是（ ）ABC60D80D根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解解：ABC=90，sinA=，AC=100，BC=10035=60，AB=80，故選D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵6（2021湖北中考真題試卷）如圖，的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則的值為（ ）ABCDB作ADBC于D，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)公式計(jì)算即可解：作ADBC

4、于D，由圖可知：AD=3，BD=3，在RtABD中， =，故選：B【點(diǎn)評(píng)】此題考查求角的余弦值，勾股定理求邊長(zhǎng)，正確構(gòu)建直角三角形并熟記余弦值公式是解題的關(guān)鍵7（2021四川中考真題試卷）如圖，在ABC中，點(diǎn)O是角平分線AD、BE的交點(diǎn)，若ABAC10，BC12，則tanOBD的值是（ ） AB2CDA根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得ADBC，BD=BC=6，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及三角的面積公式得，進(jìn)而即可求解解：ABAC10，BC12， AD平分BAC，ADBC，BD=BC=6，AD=，過點(diǎn)O作OFAB，BE平分ABC，OF=OD， ，即：，解得：OD=3，tanOBD=，故選A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考

5、查等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，推出，是解題的關(guān)鍵8（2021遼寧營(yíng)口市中考真題試卷）如圖，與，分別交于點(diǎn)E，G，F(xiàn)，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）ABCDC根據(jù)平行線的判定定理，可判斷A，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可判斷B，D，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，可判斷C，進(jìn)而即可得到答案解：，故A正確，不符合題意；，故B正確，不符合題意；，即：GFC=90，故D正確，不符合題意；又，即：，故C錯(cuò)誤，符合題意 故選C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵9（2021浙江寧波市中考真題試卷）如圖，在中，于點(diǎn)D，若

6、E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（ ）ABC1DC根據(jù)條件可知ABD為等腰直角三角形，則BD=AD，ADC是30、60的直角三角形，可求出AC長(zhǎng)，再根據(jù)中位線定理可知EF=。解：因?yàn)锳D垂直BC，則ABD和ACD都是直角三角形，又因?yàn)樗訟D=，因?yàn)閟inC=，所以AC=2，因?yàn)镋F為ABC的中位線，所以EF=1，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰直角三角形、銳角三角形函數(shù)值、中位線相關(guān)知識(shí)，根據(jù)條件分析利用定理推導(dǎo)，是解決問題的關(guān)鍵10（2021湖南懷化市中考真題試卷）如圖，菱形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，對(duì)角線AC、BD交于原點(diǎn)O，于E點(diǎn)，交BD于M點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過線段DC的中點(diǎn)

7、N，若，則ME的長(zhǎng)為（ ）ABCDD根據(jù)菱形的性質(zhì)得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過線段DC的中點(diǎn)N，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出；根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，可判定是等邊三角形；最后找到ME、AM、AE、OB之間的數(shù)量關(guān)系求解菱形ABCD，D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（，0） 線段DC的中點(diǎn)N設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（，1）又反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過線段DC的中點(diǎn)N，解得即C點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），在中， 菱形ABCD，是等邊三角形又于E點(diǎn)，于O點(diǎn)，又在中，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和特殊角的三角函數(shù)菱形的性質(zhì)，四邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相垂直且平分一組對(duì)角等邊三角形的判定，有一個(gè)角為

8、角的等腰三角形是等邊三角形特殊角的三角函數(shù)，11（2021江蘇南通市中考真題試卷）如圖，四邊形中，垂足分別為E，F(xiàn)，且，動(dòng)點(diǎn)P，Q均以的速度同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，其中點(diǎn)P沿折線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，點(diǎn)Q沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為，則y與t對(duì)應(yīng)關(guān)系的圖象大致是（ ）ABCDD分四段考慮，點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在DC上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)Q還未到端點(diǎn)B，點(diǎn)P在DC上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)Q到達(dá)端點(diǎn)B，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，分別求出y與t的函數(shù)表達(dá)式，繼而可得出函數(shù)圖象解：在RtADE中AD=(cm)，在RtCFB中，BC=(cm)，AB=AE+EF+FB=15(cm)，點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)，AP=t，AQ= t，即0，如圖，

9、過點(diǎn)P作PGAB于點(diǎn)G，則PG=(0)，此時(shí)y=AQPG=(0)，圖象是一段經(jīng)過原點(diǎn)且開口向上的拋物線；點(diǎn)P在DC上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)Q還未到端點(diǎn)B，即13，此時(shí)y=AQDE=(13)，圖象是一段線段；點(diǎn)P在DC上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)Q到達(dá)端點(diǎn)B，即15，此時(shí)y=ABDE=(15)，圖象是一段平行于x軸的水平線段；點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，PB=31-t，即18，如圖，過點(diǎn)P作PHAB于點(diǎn)H，則PH=，此時(shí)y=ABPH=(18)，圖象是一段線段；綜上，只有D選項(xiàng)符合題意，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解答本題的關(guān)鍵是分段討論y與t的函數(shù)關(guān)系式，12（2021四川中考真題試卷）如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象

10、相交于A、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)直線過原點(diǎn)和點(diǎn)若直線上存在點(diǎn)，滿足，則的值為（ ）AB3或C或D3A根據(jù)題意，得，直線：；根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)，得；根據(jù)勾股定理，得；連接，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，得，；根據(jù)勾股定理逆定理，得；結(jié)合圓的性質(zhì)，得點(diǎn)、B、D、P共圓，直線和AB交于點(diǎn)F，點(diǎn)F為圓心；根據(jù)圓周角、圓心角、等腰三角形的性質(zhì)，得；分或兩種情況，根據(jù)圓周角、二次根式的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案根據(jù)題意，得，即，直線過原點(diǎn)和點(diǎn)直線： 在直線上 連接， ，線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn) ， 點(diǎn)、B、D、P共圓，直線和AB交于點(diǎn)F，點(diǎn)F為圓心 ， ，且 或當(dāng)時(shí)，和位于

11、直線兩側(cè)，即不符合題意，且 ， 故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓、等腰三角形、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、三角函數(shù)、勾股定理、二次根式的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A心角、圓周角、等腰三角形三線合一、三角函數(shù)、勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解二、填空題13（2021湖北荊門市中考真題試卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，斜邊上的高為1，將繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰好在函數(shù)的圖象上，若在的圖象上另有一點(diǎn)M使得，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_利用的正切可以求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用C、M在上，設(shè)M的坐標(biāo)，最后通過可以求出M點(diǎn)的坐標(biāo)解：如圖，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作軸，由題意可知， 則，C在上，設(shè) 即 解得（不符合題意，舍去）所以故【點(diǎn)

12、評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，特殊角的銳角三角函數(shù)，反比例函數(shù)性質(zhì)，正確理解題意，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵14（2021湖南婁底市中考真題試卷）高速公路上有一種標(biāo)線叫縱向減速標(biāo)線，外號(hào)叫魚骨線，作用是為了提醒駕駛員在開車時(shí)減速慢行如圖，用平行四邊形表示一個(gè)“魚骨”，平行于車輛前行方向，過B作的垂線，垂足為（A點(diǎn)的視覺錯(cuò)覺點(diǎn)），若，則_15根據(jù)同角的余角相等得到，進(jìn)一步根據(jù)三角函數(shù)求解即可解：如圖所示，且四邊形為平行四邊形，又,，,又，mm故15【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用同角的余角相等找出角的關(guān)系，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求值15（2021黑龍江中考真題試卷）如圖，

13、菱形中，延長(zhǎng)至，使，以為一邊，在的延長(zhǎng)線上作菱形，連接，得到；再延長(zhǎng)至，使，以為一邊，在的延長(zhǎng)線上作菱形，連接，得到按此規(guī)律，得到，記的面積為，的面積為的面積為，則_由題意易得，則有為等邊三角形，同理可得. 都為等邊三角形，進(jìn)而根據(jù)等邊三角形的面積公式可得，由此規(guī)律可得，然后問題可求解解：四邊形是菱形，為等邊三角形，同理可得. 都為等邊三角形，過點(diǎn)B作BECD于點(diǎn)E，如圖所示：，同理可得：，；由此規(guī)律可得：，；故答案為【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，熟練掌握菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵16（2021廣西中考真題試卷）如圖、在正六邊形

14、中，連接線，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)為，與交于點(diǎn)，分別延長(zhǎng)，于點(diǎn)，設(shè)有以下結(jié)論：；的重心、內(nèi)心及外心均是點(diǎn)；四邊形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與四邊形重合則所有正確結(jié)論的序號(hào)是_由題意易得，則有，進(jìn)而可得，則有四邊形是矩形，然后可得，為等邊三角形，最后可得答案解：六邊形是正六邊形，在DEF中，同理可得，四邊形是矩形，同理可證四邊形是矩形，四邊形是平行四邊形，（ASA），四邊形是菱形，NAM=60，NAM是等邊三角形，AM=MN，AB=3，MAB=30，ACG=90，G=60，ADG是等邊三角形，AC與BD交于點(diǎn)M，由等邊三角形的性質(zhì)及重心、內(nèi)心、外心可得：的重心、內(nèi)心及外心均是點(diǎn)，連接OF，如圖所示：易得FOA=

15、60，四邊形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與四邊形重合，綜上所述：正確結(jié)論的序號(hào)是；故答案為【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正多邊形的性質(zhì)、矩形及菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、三角形的重心、內(nèi)心、外心及三角函數(shù)，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)、矩形及菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、三角形的重心、內(nèi)心、外心及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵17（2021內(nèi)蒙古中考真題試卷）某滑雪場(chǎng)用無(wú)人機(jī)測(cè)量雪道長(zhǎng)度如圖，通過無(wú)人機(jī)的鏡頭C測(cè)一段水平雪道一端A處的俯角為50，另一端B處的俯角為45，若無(wú)人機(jī)鏡頭處的高度為米，點(diǎn)A，D，B在同一直線上，則通道AB的長(zhǎng)度為_米(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)，)438根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，根

16、據(jù)正切的定義求出，結(jié)合圖形計(jì)算即可解：由題意得，在中，（米），在中，則（米），則（米），故答案是：【點(diǎn)評(píng)】本題查考了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是：能借助構(gòu)造的直角三角形求解18（2021江蘇常州市中考真題試卷）如圖，在中，點(diǎn)D、E分別在、上，點(diǎn)F在內(nèi)若四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，則_連接AF，CF，過點(diǎn)F作FMAB，由，可得FM=1，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，即可求解解：連接AF，CF，過點(diǎn)F作FMAB，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，C=90，AB=， FM=1，BF=，故答案是：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，掌握”等積法“是解題的關(guān)鍵19（2021甘肅中考真題試

17、卷）如圖，在矩形中，是邊上一點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，則_6先利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解 再利用銳角三角函數(shù)依次求解即可得到答案解： 是邊的中點(diǎn)， 矩形， 故【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵20（2021江蘇蘇州市中考真題試卷）如圖，射線、互相垂直，點(diǎn)位于射線的上方，且在線段的垂直平分線上，連接，將線段繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)線段，若點(diǎn)恰好落在射線上，則點(diǎn)到射線的距離_添加輔助線，連接，過點(diǎn)作交ON與點(diǎn)P根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，在和中，根據(jù)三角函數(shù)和已知線段的長(zhǎng)度求出點(diǎn)到射線的距離如圖所示，連

18、接，過點(diǎn)作交ON與點(diǎn)P線段繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)線段，即點(diǎn)在線段的垂直平分線上， 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角函數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連的線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等21（2021四川達(dá)州市中考真題試卷）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊中，點(diǎn)，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，交于點(diǎn)，連接，則的最小值為_首先證明，推出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，OA為半徑的弧連接CO交O于，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到時(shí)，CP取到最小值如圖所示，邊長(zhǎng)為6的等邊， 又點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，OA為半徑的弧此時(shí)連接CO交O于，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到時(shí)，CP取到最小值，又，即故【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等

19、三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、圓、特殊角的三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，該題綜合性較強(qiáng)22（2021山東東營(yíng)市中考真題試卷）如圖，正方形中，AB與直線l所夾銳角為，延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)，作正方形，延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)，作正方形，延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)，作正方形，依此規(guī)律，則線段_利用tan30計(jì)算出30角所對(duì)直角邊，乘以2得到斜邊，計(jì)算3次，找出其中的規(guī)律即可.AB與直線l所夾銳角為，正方形中，=30，=tan30=1，；=1，=30，=tan30=，；線段,故答案為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)值，含30角的直角三角形的性質(zhì)，規(guī)律思考，熟練進(jìn)行計(jì)算，抓住指數(shù)的變化這個(gè)突

20、破口求解是解題的關(guān)鍵.23（2021四川中考真題試卷）如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，于點(diǎn)，連接若直線與正半軸所夾的銳角為，那么當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，的值為_設(shè)直線y2與y軸交于G，過A作AH直線y2于H，AFy軸于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ABH，由三角函數(shù)的定義得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，于是得到GB（n+2）（3n）（n）2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論解：如圖，設(shè)直線y2與y軸交于G，過A作AH直線y2于H，AFy軸于F，BHx軸，ABH，在RtABH中， ,，即= sin隨BA的減小而增大，當(dāng)BA最小時(shí)sin有最大值；即BH最小時(shí)，sin有最大值，即BG最大時(shí)，sin有最大值

21、，BGCACBAFC90，GBC+BCGBCG+ACF90，GBCACF，ACFCBG，即，BG（n+2）（3n）（n）2，當(dāng)n時(shí)，BG最大值故【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線證得ACFCBG是解題的關(guān)鍵24（2021浙江寧波市中考真題試卷）如圖，在矩形中，點(diǎn)E在邊上，與關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)F在邊上，G為中點(diǎn)，連結(jié)分別與交于M，N兩點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為_，的值為_2 由與關(guān)于直線對(duì)稱，矩形證明再證明 可得 再求解 即可得的長(zhǎng)； 先證明 可得： 設(shè) 則 再列方程，求解 即可得到答案解： 與關(guān)于直線對(duì)稱，矩形 矩形 為的中點(diǎn)， 如圖， 四邊

22、形都是矩形， 設(shè) 則 解得： 經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，但不合題意，舍去， 故【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的解法，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵三、解答題25（2021湖南岳陽(yáng)市中考真題試卷）某鎮(zhèn)為創(chuàng)建特色小鎮(zhèn)，助力鄉(xiāng)村振興，決定在轄區(qū)的一條河上修建一座步行觀光橋，如圖，該河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：從山頂處測(cè)得河岸和對(duì)岸的俯角分別為，（1）求山腳到河岸的距離；（2）若在此處建橋，試求河寬的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，）（1）24m；（2）53.3m（1）先利用等角對(duì)等邊和坡度值分別求出CE和AC，最后相減即可

23、得到AE的長(zhǎng)；（2）利用三角函數(shù)值求出CF的長(zhǎng)后，利用線段之間的和差關(guān)系即可求出EF的長(zhǎng)解：（1），坡面的坡度，m，,山腳到河岸的距離為24m；（2），,，河寬的長(zhǎng)度約為53.3m【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，要求學(xué)生能正確理解題意，能建立文字與圖形之間的關(guān)聯(lián)，能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系等，解決本題的關(guān)鍵是能正確利用坡比值和利用三角函數(shù)值求線段的長(zhǎng)等26（2021江蘇無(wú)錫市中考真題試卷）如圖，已知銳角中，（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作的平分線；作的外接圓；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若，的半徑為5，則_（如需畫草圖，請(qǐng)使用圖2）（1）見

24、詳解；（2）（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的步驟，即可作的平分線，作出AC的中垂線交CD于點(diǎn)O，再以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑，畫圓，即可；（2）連接OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AD=BD=，CDAB，利用勾股定理求出OD，BC，進(jìn)而即可求解解：（1）如圖所示：（2）連接OA，的平分線，AD=BD=，CDAB，的半徑為5，OD=，CD=CO+OD=5+=，BC=，故答案是：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查尺規(guī)基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，理解三角形外接圓的圓心是三角形各條邊中垂線的交點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵27（2021內(nèi)蒙古通遼市中考真題試卷）計(jì)算；利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、絕

25、對(duì)值的性質(zhì)、代入特殊角的三角函數(shù)值分別化簡(jiǎn)計(jì)算即可得答案=2+1-2+=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的計(jì)算，包含負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、0指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值，熟練掌握運(yùn)算法則并熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵28（遼寧省營(yíng)口市2021年中考真題試卷）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，先約分，再算分式的減法以及除法運(yùn)算，進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入求值，即可解：原式=，當(dāng)=2時(shí)，原式=【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則以及特殊角三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵29（2021青海中考真題試卷）在我們學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)教科書中，有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，若身旁沒有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用如下方法：操作

26、感知：第一步：對(duì)折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展開（如圖13-1）第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)落在上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)，得到折痕，同時(shí)得到線段（如圖13-2）猜想論證：（1）若延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖13-3所示，試判定的形狀，并證明你的結(jié)論拓展探究：（2）在圖13-3中，若，當(dāng)滿足什么關(guān)系時(shí)，才能在矩形紙片中剪出符（1）中的等邊三角形？(1)是等邊三角形，理由見解析；（2），理由見解析（1）連接，由折疊性質(zhì)可得是等邊三角形， ，然后可得到 ，即可判定 是等邊三角形（2）由折疊可知，由（1）可知，利用 的三角函數(shù)即可求得（1）解：是等邊三角形，證明如下：連接由折疊可知：，垂直平分，為等邊三角形，

27、是等邊三角形（2）解：方法一：要在矩形紙片上剪出等邊，則，在中，即，當(dāng)或（）時(shí)，在矩形紙片上能剪出這樣的等邊方法二： 要在矩形紙片上剪出等邊，則，在中，設(shè)，則，即，得，即，當(dāng)（或）時(shí)，在矩形紙片上能剪出這樣的等邊【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)，及銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，正確理解折疊性質(zhì)靈活運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形是解本題的關(guān)鍵30（2021山東聊城市中考真題試卷）時(shí)代中學(xué)組織學(xué)生進(jìn)行紅色研學(xué)活動(dòng)學(xué)生到達(dá)愛國(guó)主義教育基地后，先從基地門口A處向正南方向走300米到達(dá)革命紀(jì)念碑B處，再?gòu)腂處向正東方向走到黨史紀(jì)念館C處，然后從C處向北偏西37方向走200米到達(dá)人民英雄雕塑D處，最后從D處回到A處已知人民英

28、雄雕塑在基地門口的南偏東65方向，求革命紀(jì)念碑與黨史紀(jì)念館之間的距離（精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：sin370.60，cos370.80，tan370.75，sin650.91，cos650.42，tan652.14）420米過D點(diǎn)分別作DEBC，DFAB，垂足分別是點(diǎn)E，點(diǎn)F由三角函數(shù)可求，可證四邊形 BEDF 是矩形，可求AF140,在RtADF中，利用三角函數(shù)可求DFAFtan65299.60.,可求BCBECE420（米）解過D點(diǎn)分別作DEBC，DFAB，垂足分別是點(diǎn)E，點(diǎn)F由題意得，37在RCDE中，四邊形 BEDF 是矩形，BEDF，BFDE160，AFABBF300160140.在R

29、tADF中，DFAFtan651402.14299.60.BCBECE299.60120420（米）所以，革命紀(jì)念碑與黨史紀(jì)念館之間的距離約為 420米【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形應(yīng)用，矩形判定與性質(zhì)，掌握銳角三角函數(shù)的定義與矩形判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵31（2021河南中考真題試卷）開鑿于北魏孝文帝年間的龍門石窟是中國(guó)石刻藝術(shù)瑰寶，盧舍那佛像是石窟中最大的佛像某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組到龍門石窟景區(qū)測(cè)量這尊佛像的高度如圖，他們選取的測(cè)量點(diǎn)與佛像的底部在同一水平線上已知佛像頭部為，在處測(cè)得佛像頭頂部的仰角為，頭底部的仰角為，求佛像的高度（結(jié)果精確到參考數(shù)據(jù)：，）17.4m先設(shè)出佛像的高度為x，再求出AD=BD

30、，最后利用三角函數(shù)關(guān)系式得到關(guān)于x的分式方程，解分式方程并檢驗(yàn)即可解：設(shè)佛像的高度為xm，BAD=45，BAD=ABD=45，AD=BD=x，佛像頭部為，CD=x-4，DAC=37.5，tanDAC= = 0.77，解得：x17.4，經(jīng)檢驗(yàn)，該方程有意義，且符合題意，因此x17.4是該方程的解，求佛像的高度約為17.4m【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，涉及到了銳角三角函數(shù)、等角對(duì)等邊、解分式方程等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與公式，能根據(jù)題意得到相等關(guān)系等，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法等32（2021廣西中考真題試卷）如圖，在四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，已知，過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)，連

31、接， （1）求證：四邊形是菱形：（2）設(shè)，求的長(zhǎng)（1）見詳解；（2）（1）由題意易得四邊形是平行四邊形，則有ABCD，然后可證DOFBOE，進(jìn)而問題可求解；（2）由題意易得AD=4，AB=8，則有ABD=30，DAB=60，進(jìn)而可得是等邊三角形，是等邊三角形，然后可得，則有，最后根據(jù)三角函數(shù)進(jìn)行求解即可（1）證明：，四邊形是平行四邊形，ABCD，DOFBOE（ASA），四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形；（2）由（1）可得四邊形是菱形，設(shè)，則，即，解得：，ABD=30，DAB=60，是等邊三角形，是等邊三角形，【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查菱形、平行四邊形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，熟練掌握菱形、平行四邊形的

32、性質(zhì)與判定及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵33（2021浙江嘉興市中考真題試卷）（1）計(jì)算：；（2）化簡(jiǎn)并求值：，其中（1）；（2），2（1）先分別化簡(jiǎn)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式，特殊角三角函數(shù)，然后再計(jì)算；（2）先計(jì)算異分母分式的減法進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代入求值解：（1）=（2）=當(dāng)時(shí)，原式【點(diǎn)評(píng)】本題考查負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角三角函數(shù)及異分母分式的加減法計(jì)算，掌握運(yùn)算順序和計(jì)算法則準(zhǔn)確計(jì)算是解題關(guān)鍵34（2021四川中考真題試卷）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)直線，且與的外接圓相切，與雙曲線在第二象限內(nèi)的圖象交于、兩點(diǎn)（1）求點(diǎn)，的坐標(biāo)和的半徑；（2）求直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（3）求的面積（1）A（-8，0

33、），B（0，6），5；（2）y=x+；（3）（1）令y=0代入，令x=0代入，即可得到A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到圓的半徑；（2）過點(diǎn)A作AGMN于點(diǎn)G，得AG=5，由AMG=OAB，得，進(jìn)而即可求解；（3）聯(lián)立，可得C的坐標(biāo)，進(jìn)而即可求解解：（1）令y=0代入，得，解得：x=-8，即：A（-8，0），令x=0代入，得，即：B（0，6），AB=,的半徑為：5；（2）過點(diǎn)A作AGMN于點(diǎn)G，直線，且與的外接圓相切，AG=5，AMG=OAB，sinAMG=sinOAB，即：，解得：AM=，即：OM=+8=，M（-，0），同理：BN=，ON=6+=，N（0，），設(shè)直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y=kx+b，則

34、，解得：，直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y=x+；（3）聯(lián)立，得：=，解得：，C（-3，10），的面積=【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，熟練掌銳角三角函數(shù)的定義，圓的切線的性質(zhì)定理，是解題的關(guān)鍵35（2021吉林長(zhǎng)春市中考真題試卷）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊AD上，連結(jié)BE交AC于點(diǎn)M（1）求AM的長(zhǎng)（2）的值為 （1）；（2）（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合，可求得的長(zhǎng)（2）根據(jù)，在中即可求出的值（1）是菱形，即，（2）是菱形，在中，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及解直角三角形，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵36（2021貴州

35、中考真題試卷）（1）計(jì)算：（2）先化簡(jiǎn)：，然后從0、1、2三個(gè)數(shù)中選一個(gè)你認(rèn)為合適的數(shù)代入求值（1）；（2），當(dāng)1時(shí)，原式3（1）根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再代入求值即可得結(jié)果解：（1）= ；（2）取0或2時(shí)，原式無(wú)意義，只能取1當(dāng)1時(shí)，原式3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則37（2021四川中考真題試卷）（1）計(jì)算：；（2）化簡(jiǎn)：（1）-1；（2）（1）先算零指數(shù)冪，化簡(jiǎn)二次根式，銳角三角函數(shù)以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再算加減法即

36、可求解；（2）先算分式的加法，再把除法化為乘法，進(jìn)行約分，即可求解解：（1）原式=-1；（2）原式=【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，分式的混合運(yùn)算，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，二次根式的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)值以及分式的運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵38（2021山東東營(yíng)市中考真題試卷）（1）計(jì)算：（2）化簡(jiǎn)求值：，其中（1）；（2）（1）先化簡(jiǎn)二次根式、特殊角的正切三角函數(shù)、化簡(jiǎn)絕對(duì)值、零指數(shù)冪、積的乘方的逆用，再計(jì)算實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算即可得；（2）先計(jì)算分式的加法運(yùn)算，再根據(jù)得出代入求值即可得解：（1）原式，；（2）原式，原式【點(diǎn)評(píng)】本題考查了化簡(jiǎn)二次根式、特殊角的正切三角函數(shù)、零指數(shù)冪、分式的化

37、簡(jiǎn)求值等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握各運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵39（2021浙江溫州市中考真題試卷）如圖，在中，是對(duì)角線上的兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），且（1）求證：四邊形是平行四邊形（2）當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)（1）見解析；（2）（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到AB=CD，和已知條件一起，用于證明三角形全等，再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定定理得出結(jié)論；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到一組對(duì)角相等，通過等量代換，得到，則相等的角正切值也相等，根據(jù)比值算出結(jié)果（1）證明，在中，四邊形是平行四邊形（2）解：，BE=DF，四邊形是平行四邊形，在中，AE=3，BE=4BE=DF，AE=CF，BE=DF=4，AE=CF=3，

38、tanCBF=，tanECF=，得到EF=，或EF=（舍去），BD=4+4+=，即BD=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定以及相等的角的正切值也相等解決本題的關(guān)鍵在于等量代換出角相等，應(yīng)用相等的角的正切值也相等來(lái)解題40（2021浙江中考真題試卷）已知：如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，（1）求矩形對(duì)角線的長(zhǎng)（2）過O作于點(diǎn)E，連結(jié)BE記，求的值（1）4；（2）（1）根據(jù)矩形對(duì)角線的性質(zhì)，得出ABO是等腰三角形，且BOC=120，即AOB=60，則ABO為等邊三角形，即可求得對(duì)角線的長(zhǎng)；（2）首先根據(jù)勾股定理求出AD，再由矩形的對(duì)角線的性質(zhì)得出OA=OD,且OEAD，則AE=AD，在RtAB

39、E中即可求得解：（1）四邊形是矩形，是等邊三角形，所以故4（2）在矩形中，由（1）得，又在中，故【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的對(duì)角線性質(zhì)，等邊三角形的判定，等腰三角形的三線合一以及在直角三角形中求銳角正切的知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用矩形對(duì)角線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵41（2021吉林中考真題試卷）如圖，在矩形中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿折線向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，在邊上以的速度運(yùn)動(dòng)；在邊上以的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作線段與射線相交于點(diǎn)，且，連接，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，與重合部分圖形的面積為（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）；（3）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍（1）1；（2）；（

40、3）（1）在中，由求解即可；（2）點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則點(diǎn)在上時(shí)（3）分類討論：點(diǎn)在上，點(diǎn)在上；：點(diǎn)在上，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上；：點(diǎn)在上解：（1）如圖，在中，（2）點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，點(diǎn)在上時(shí)：（3）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，同（1）可得，當(dāng)時(shí)，時(shí)，點(diǎn)在上，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，交于點(diǎn)，如圖，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，如圖，綜上所述：【點(diǎn)評(píng)】題目主要考察運(yùn)用三角函數(shù)解三角形求出相應(yīng)邊的長(zhǎng)度，然后利用三角形面積公式確定函數(shù)解析式，同時(shí)也對(duì)二次函數(shù)在幾何動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行考察，難點(diǎn)是在進(jìn)行分類討論時(shí)，作出對(duì)應(yīng)圖形并作出相應(yīng)輔助線，同時(shí)確定相應(yīng)的自變量范圍42（2021山東東營(yíng)市中考真題試卷）已知點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，

41、點(diǎn)P是直線l上的任意一點(diǎn)，分別過點(diǎn)A和點(diǎn)B作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D我們定義垂足與中點(diǎn)之間的距離為“足中距”（1）猜想驗(yàn)證如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，請(qǐng)你猜想、驗(yàn)證后直接寫出“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是_（2）探究證明如圖2，當(dāng)點(diǎn)P是線段AB上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由（3）拓展延伸如圖3，當(dāng)點(diǎn)P是線段BA延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若，請(qǐng)直接寫出線段AC、BD、OC之間的數(shù)量關(guān)系（1）；（2）仍然成立，證明見解析；（3）仍然成立

42、，證明見解析；（1）根據(jù)三角形全等可得；（2）方法一：過點(diǎn)O作直線，交BD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AC交EF于點(diǎn)E，證明即可，方法二：延長(zhǎng)CO交BD于點(diǎn)E，證明即可；（3）方法一：過點(diǎn)O作直線，交BD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CA交EF于點(diǎn)E，證明，方法二：延長(zhǎng)CO交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，證明；延長(zhǎng)CO交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，證明，根據(jù)已知條件得出（1）O是線段AB的中點(diǎn)在和中（2）數(shù)量關(guān)系依然成立證明（方法一）：過點(diǎn)O作直線，交BD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AC交EF于點(diǎn)E四邊形CEFD為矩形，由（1）知，證明（方法二）：延長(zhǎng)CO交BD于點(diǎn)E，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，又，（3）數(shù)量關(guān)系依然成立證明（方法一）：過點(diǎn)O作直線，交BD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)

43、CA交EF于點(diǎn)E四邊形CEFD為矩形，由（1）知，10分證明（方法二）：延長(zhǎng)CO交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，又， 如圖，延長(zhǎng)CO交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，又，,【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，根據(jù)題意找到全等的三角形，證明線段相等，是解題的關(guān)鍵43（2021湖北隨州市中考真題試卷）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法它是利用“同一個(gè)圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題，在解題中，靈活運(yùn)用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡(jiǎn)便快捷（1）在直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長(zhǎng)為_，其內(nèi)切圓的半徑長(zhǎng)為_；（2）如圖1，是邊長(zhǎng)為的正內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)為的中心，設(shè)點(diǎn)到各邊距離分別為，連接，由等面積法，易知，可得_；（結(jié)果用含的式子表示）如圖2，是邊長(zhǎng)為的正五邊形內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到五邊形各邊距離分別為，參照的探索過程