數(shù)學(xué)專題：綜合運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想解決函數(shù)綜合問題

1、PAGE 綜合運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想解決函數(shù)綜合問題高考要求 函數(shù)綜合問題是歷年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容之一，一般難度較大，考查內(nèi)容和形式靈活多樣 本節(jié)課主要幫助考生在掌握有關(guān)函數(shù)知識的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深化綜合運(yùn)用知識的能力，掌握基本解題技巧和方法，并培養(yǎng)考生的思維和創(chuàng)新能力 重難點(diǎn)歸納 在解決函數(shù)綜合問題時(shí)，要認(rèn)真分析、處理好各種關(guān)系，把握問題的主線，運(yùn)用相關(guān)的知識和方法逐步化歸為基本問題來解決，尤其是注意等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想的綜合運(yùn)用 綜合問題的求解往往需要應(yīng)用多種知識和技能 因此，必須全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識，并且嚴(yán)謹(jǐn)審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條

2、件 學(xué)法指導(dǎo) 怎樣學(xué)好函數(shù)學(xué)習(xí)函數(shù)要重點(diǎn)解決好四個(gè)問題 準(zhǔn)確深刻地理解函數(shù)的有關(guān)概念；揭示并認(rèn)識函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系；把握數(shù)形結(jié)合的特征和方法；認(rèn)識函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化應(yīng)用意識 (一)準(zhǔn)確、深刻理解函數(shù)的有關(guān)概念概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而函數(shù)是數(shù)學(xué)中最主要的概念之一，函數(shù)概念貫穿在中學(xué)代數(shù)的始終 數(shù)、式、方程、函數(shù)、排列組合、數(shù)列極限等是以函數(shù)為中心的代數(shù) 近十年來，高考試題中始終貫穿著函數(shù)及其性質(zhì)這條主線 (二)揭示并認(rèn)識函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系 函數(shù)是研究變量及相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念，是變量數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，利用函數(shù)觀點(diǎn)可以從較高的角度處理式、方程、不等式、數(shù)列、曲線與方程等內(nèi)容 在利用函數(shù)和

3、方程的思想進(jìn)行思維中，動(dòng)與靜、變量與常量如此生動(dòng)的辯證統(tǒng)一，函數(shù)思維實(shí)際上是辯證思維的一種特殊表現(xiàn)形式 所謂函數(shù)觀點(diǎn)，實(shí)質(zhì)是將問題放到動(dòng)態(tài)背景上去加以考慮 高考試題涉及5個(gè)方面 (1)原始意義上的函數(shù)問題；(2)方程、不等式作為函數(shù)性質(zhì)解決；(3)數(shù)列作為特殊的函數(shù)成為高考熱點(diǎn)；(4)輔助函數(shù)法；(5)集合與映射，作為基本語言和工具出現(xiàn)在試題中 (三)把握數(shù)形結(jié)合的特征和方法函數(shù)圖象的幾何特征與函數(shù)性質(zhì)的數(shù)量特征緊密結(jié)合，有效地揭示了各類函數(shù)和定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等基本屬性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法，為此，既要從定形、定性、定理、定位各方面精確地觀察圖形、繪制圖形，又要熟練地

4、掌握函數(shù)圖象的平移變換、對稱變換 (四)認(rèn)識函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化應(yīng)用意識函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)就是用聯(lián)系與變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對象，抽象數(shù)量特征，建立函數(shù)關(guān)系，求得問題的解決 縱觀近幾年高考題，考查函數(shù)思想方法尤其是應(yīng)用題力度加大，因此一定要認(rèn)識函數(shù)思想實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化應(yīng)用意識典型題例示范講解 例1設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對稱，對任意x1、x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且f(1)=a0 (1)求f()、f(); (2)證明f(x)是周期函數(shù)； (3)記an=f(2n+),求命題意圖 本題主要考查函數(shù)概念，圖象函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等知識，還考查運(yùn)算能

5、力和邏輯思維能力 知識依托 認(rèn)真分析處理好各知識的相互聯(lián)系，抓住條件f(x1+x2)f(x1)f(x2) 錯(cuò)解分析 不會(huì)利用f(x1+x2)=f(x1)f(x2)進(jìn)行合理變形 技巧與方法 由f(x1+x2)=f(x1)f(x2)變形為是解決問題的關(guān)鍵解 因?yàn)閷1,x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),所以f(x)=,x0,1又因?yàn)閒(1)=f(+)=f()f()=f()2f()=f(+)=f()f()=f（）2 又f(1)=a0 f()=a,f()=a(2)證明 依題意設(shè)y=f(x)關(guān)于直線x=1對稱，故f(x)=f(1+1x),即f(x)=f(2x),xR 又由f(x)是偶函

6、數(shù)知f(x)=f(x),xRf(x)=f(2x),xR 將上式中x以x代換得f(x)=f(x+2)，這表明f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期 (3)解 由(1)知f(x)0,x0,1f()=f(n)=f(+(n1) )=f()f(n1)=f()f()f()=f()n=af()=a 又f(x)的一個(gè)周期是2 f(2n+)=f(),an=f(2n+)=f()=a 因此an=a 例2甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速駛到乙地，速度不得超過c千米/小時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b,固定部分為a元 (

7、1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為v(km/h)的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？命題意圖 本題考查建立函數(shù)的模型、不等式性質(zhì)、最值等知識，還考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力 知識依托 運(yùn)用建模、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法 錯(cuò)解分析 不會(huì)將實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化為具體的函數(shù)問題，易忽略對參變量的限制條件 技巧與方法 四步法 (1)讀題；(2)建模；(3)求解；(4)評價(jià) 解法一 (1)依題意知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為,全程運(yùn)輸成本為y=a+bv2=S(+bv) 所求函數(shù)及其定義域?yàn)閥=S(+bv),v(0,c (2)依

8、題意知，S、a、b、v均為正數(shù) S(+bv)2S 當(dāng)且僅當(dāng)=bv,即v=時(shí)，式中等號成立 若c則當(dāng)v=時(shí)，有ymin2S；若c,則當(dāng)v(0,c時(shí)，有S(+bv)S(+bc)=S()+(bvbc)= (cv)(abcv)cv0,且cbc2,abcvabc20S(+bv)S(+bc),當(dāng)且僅當(dāng)v=c時(shí)等號成立，也即當(dāng)v=c時(shí)，有ymin S(+bc)；綜上，為使y最小，當(dāng)c時(shí)，行駛速度應(yīng)為v=,當(dāng)c時(shí)速度應(yīng)為v=c 解法二 (2)函數(shù)y=S(+bv),v(0,+),當(dāng)x(0, )時(shí)，y單調(diào)減小，當(dāng)x(,+)時(shí)y單調(diào)增加，當(dāng)x=時(shí)y取得最小值，而全程運(yùn)輸成本函數(shù)為y=Sb(v+),v(0,c 當(dāng)c時(shí)

9、，則當(dāng)v=時(shí)，y最小，若c時(shí)，則當(dāng)v=c時(shí)，y最小 例3設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對任意實(shí)數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),當(dāng)x0時(shí)f(x)0,f(x1)f(x2)=f(x1x2)+x2f(x2)=f(x1x2)+f(x2)f(x1)=f(x2x1)因?yàn)閤0時(shí)f(x)0,f(x1)f(x2)0f(x)在9，9上是減函數(shù) 故f(x)的最大值為f(9),最小值為f(9) 而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=12,f(9)=f(9)=12 f(x)在區(qū)間9，9上的最大值為12，最小值為12 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 函數(shù)y=x+a與y=logax的圖象可能是( )2 定義在區(qū)間(,+)的

10、奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間0，+)的圖象與f(x)的圖象重合，設(shè)ab0,給出下列不等式 f(b)f(a)g(a)g(b) f(b)f(a)g(b)g(a) f(a)f(b)1時(shí)和當(dāng)0a1時(shí) 答案 C2 解析 用特值法，根據(jù)題意，可設(shè)f(x)=x,g(x)=|x|,又設(shè)a=2,b=1,則f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)f(b)=f(2)f(1)=2+1=3 g(b)g(a)=g(1)g(2)=12=1 f(a)f(b)g(1)g(2)=12=1 又f(b)f(a)=f(1)f(2)=1+2=3 g(a)g(b)=g(2)g(1)=21=1

11、,f(b)f(a)=g(a)g(b) 即與成立答案 C3 解析 設(shè)2x=t0，則原方程可變?yōu)閠2+at+a+1=0方程有兩個(gè)正實(shí)根，則解得 a(1,22 4 解 (1)當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(x)=(x)2+|x|+1=f(x),此時(shí)f(x)為偶函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，f(a)=a2+1,f(a)=a2+2|a|+1,f(a)f(a),f(a)f(a) 此時(shí)函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) (2)當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)f(x)=x2x+a+1=(x)2+a+,若a,則函數(shù)f(x)在(,a上單調(diào)遞減，從而，函數(shù)f(x)在(,a上的最小值為f(a)=a2+1 若a,則函數(shù)f(x)在(,a上的最小值為f()=+a,且f(