(全國通用)2018高考數(shù)學一輪復習第3章三角函數(shù)解三角形第6節(jié)正弦定理和余弦定理教師

1、第六節(jié)正弦定理和余弦定理考綱傳真掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形胸懷問題1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理abcC2R.(R為ABC外內容sinAsinBsin接圓半徑)(1)a2sin，2sin，2sin；RAbRBcRC變形(2)abcsinAsinBsinC；形式abc(3)sinA2R，sinB2R，sinC2Ra2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_CcosAb2c2a22bc；cosBc2a2b22ca；a2b2c2cosC2ab已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩(1)已知三邊求各角；解決條邊；(2)已知兩邊和它們

2、的夾問題(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊角，求第三邊和其他兩個角和其他兩角三角形常用面積公式1Saha(ha表示邊a上的高)；2111S2absinC2acsinB2bcsinA.S1r(abc)(r為內切圓半徑)21(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)在ABC中，若AB，則必有sinAsinB()(2)在ABC中，若b2c2a2，則ABC為銳角三角形()(3)在ABC中，若A60，a43，b42，則B45或135.()asinabc(4)在ABC中，sinsinsin.()AABC解析(1)正確AB?ab?sinAsinB.b2c2a2(2)錯誤由cos

3、A0知，A為銳角，但ABC不一定是銳角三角形2bc(3)錯誤由ba知，BA.(4)正確利用a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，可知結論正確答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，則ABC的形狀是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不能確定C由正弦定理，得asin，bsin，csin，代入獲得222，由余弦2RA2RB2RCabca2b2c2定理得cosC2ab0，所以C為鈍角，所以該三角形為鈍角三角形3(2016全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a5，c2，2cosA3，則b()A.2B.3C2D322D

4、由余弦定理得5b42b23，1解得b3或b3(舍去)，應選D.4在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知A6，a1，b3，則B_.2ab323或3由正弦定理sinAsinB，代入可求得sinB2，故B3或B3.5在ABC中，A60，AC4，BC23，則ABC的面積等于_23由題意及余弦定理得cosAb2c22216121ac24c，解得c2，所以S2bc21sin142sin6023.2bcA2利用正、余弦定理解三角形3在ABC中，BAC4，AB6，AC32，點D在BC邊上，ADBD，求AD的長【導學號：31222129】解設ABC的內角BAC，B，C所對邊的長分別是a，b，c，

5、由余弦定理得a2b2c22bccosBAC(32)2622326cos341836(36)90，所以a310.6分又由正弦定理得sinbsinBAC310，Ba31010由題設知0B4，所以cos1sin211310.9分BB1010在ABD中，因為ADBD，所以ABDBAD，所以ADB2B，故由正弦定理得ABsinB6sinB310.12分AD2B2sinBcosBcosB規(guī)律方法1.正弦定理是一個連比等式，只需知道其比值或等量關系就能夠運用正弦定理經過約分達到解決問題的目的2(1)運用余弦定理時，要注意整體思想的運用在已知三角形兩邊及其中一邊的對角，求該三角形的其余邊角的問題時，首先必須判

6、斷是否有解，如果有解，是一解仍是兩解，注意“大邊對大角”在判斷中的應用變式訓練1(1)(2017鄭州模擬)已知a，b，c分別為ABC三個內角A，B，C的對邊，且(bc)(sinA30C60BsinC)(a3c)sinA，則角B45D120B的大小為()4(2)(2016全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA5，cos5C13，a1，則b_.21abc(1)A(2)13(1)由正弦定理sinAsinBsinC及(bc)(sinBsinC)(a3c)sinA得(bc)(bc)(a3c)a，即b2c2a23ac，a2c2b23ac.又a2c2b23cosB2ac，cosB2

7、，B30.45在ABC中，cosA5，cosC13，31235412sinA5，sinC13，sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC5135136365.63abasinB16521又sinAsinB，bsinA313.5判斷三角形的形狀(1)(2017東北三省四市二聯(lián))在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，知足acosAbcosB，則ABC的形狀為()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形(2)(2016安徽安慶二模)設角A，B，C是ABC的三個內角，則“ABC”是“ABC是鈍角三角形”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不

8、充分也不必要條件(1)D(2)A(1)因為acosAbcosB，由正弦定理得sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC為等腰三2角形或直角三角形，應選D.由ABC，ABC，可得C2，故三角形ABC為鈍角三角形，反之不建立故選A.規(guī)律方法1.判斷三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，經過三角變換找出角之間的關系(2)化角為邊，經過代數(shù)變形找出邊之間的關系，正(余)弦定理是轉變的橋梁2不論使用哪一種方法，都不要任意約掉公因式；要移項提取公因式，否則會有遺漏一種形狀的可能變式訓練2設的內角，所對的邊分別為，若2sincossinABCABC

9、abcABC，那么ABC一定是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等邊三角形B法一：由已知得2sinAcosBsinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，即sin(AB)0，因為AB，所以AB.法二：由正弦定理得2acosBc，再由余弦定理得2aa2c2b222ab.2acc?ab?與三角形面積相關的問題(2015全國卷)已知a，b，c分別為ABC內角A，B，C的對邊，sin2B2sinAsinC.若ab，求cosB；(2)設90，且a2，求的面積BABC解(1)由題設及正弦定理可得b22ac.2分又ab，可得b2c，a2c.Ba2c2b21由余弦定理可得cos2ac4.

10、5分(2)由(1)知b22ac.7分因為B90，由勾股定理得a2c2b2，故a2c22ac，進而可得ca2.9分1所以ABC的面積為2221.12分規(guī)律方法三角形面積公式的應用方法：111關于面積公式S2absinC2acsinB2bcsinA，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式與面積相關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉變變式訓練3(2016全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC(acosBbcosA)c.求C；3若c7，ABC的面積為2，求ABC的周長解(1)由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC，即2cosC

11、sin(AB)sinC，3分故2sinCcosCsinC.1可得cosC2，所以C3.5分(2)由已知得1sin33.2abC2又C3，所以ab6.9分由已知及余弦定理得a2b22abcosC7，故a2b213，進而(ab)225.所以ABC的周長為57.12分思想與方法ABC中互補和互余1在解三角形時，應嫻熟運用內角和定理：ABC，2222的情況，聯(lián)合誘導公式能夠減少角的種數(shù)2判斷三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實施邊、角變換3在ABC中，AB?ab?sinAsinB.易錯與防范1已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理求其余邊或角可能有一解、兩

12、解、無解在ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式absinbsinAaababAb解的個數(shù)一解兩解一解一解在判斷三角形形狀時，等式兩邊一般不要約去公因式，免得漏解課時分層訓練(二十二)正弦定理和余弦定理A組基礎達標(建議用時：30分鐘)一、選擇題1設ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosCccosBasinA，則ABC的形狀為()【導學號：31222130】A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不確定B由正弦定理得sinBcosCsinCcosBsin2A，sin(BC)sin2A，即sin(A)sin2A，sinAsin2A.A(0，)

13、，sinA0，sinA1，即A2.2在ABC中，已知b40，c20，C60，則此三角形的解的情況是()【導學號：31222131】A有一解B有兩解C無解D有解但解的個數(shù)不確定bcC，C由正弦定理得sinBsin403bsin2C31.sinBc20角B不存在，即知足條件的三角形不存在3(2016天津高考)在ABC中，若AB13，BC3，C120，則AC()A1B2C3D4A2222由余弦定理得ABACBC2ACBCcosC，即13AC92AC3cos2120，化簡得AC3AC40，解得AC1或AC4(舍去)應選A.4(2017重慶二次適應性測試)在中，內角，的對邊分別為，且ABCABCabca

14、2b2c2ab3，則ABC的面積為()33A.4B.433C.2D.2a2b2c2111B依題意得cosC2ab2，C60，因此ABC的面積等于2absinC233324，應選B.15(2016全國卷)在ABC中，B4，BC邊上的高等于3BC，則sinA()310A.10B.10C.53105D.10a過A作ADBC于D，設BCa，由已知得AD3.B4，ADBD，BDAD5a，DC2a，ACa25a，在ABC中，由正弦定理得aa2a23，33333sinBACsin4510sinBAC10，應選D.二、填空題6(2017郴州模擬)在中，a15，10，60，則cos_.ABCbAB6由正弦定理可

15、得1510，所以sinB33，再由ba，可得B為銳角，3sinB32所以cos1sin26.BB37(2016青島模擬)如圖3-6-1所示，在ABC中，已知點D在BC邊上，ADAC，sin222，3，則的長為_，3BACABADBD3圖3-6-1223sinBACsin(90BAD)cosBAD3，22BAD，在ABD中，有BDABAD2ABADcos222BD189232333，BD3.8已知ABC中，AB3，BC1，sinC3cosC，則ABC的面積為_.【導學號：31222132】3C3cosC得tanC30，所以C2由sin3.根據(jù)正弦定理可得BCAB13，即sin2，sinAsinC

16、A321所以sinA2.因為ABBC，所以AC，所以A6，所以B2，即三角形為直角三角形，13.ABC故S2312三、解答題39在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a2，c5，cosB5.【導學號：31222133】(1)求b的值；求sinC的值解(1)因為b2a2c22accosB425225317，所以b17.5分5(2)因為cos3，所以sin4，7分B5B5bc175由正弦定理，得4，sinBsinCsinC5417所以sinC17.12分10(2017云南二次統(tǒng)一檢測)的內角，的對邊分別為，(sinABCABCabcmB,5sinA5sinC)與n(5sinB6si

17、nC，sinCsinA)垂直求sinA的值；(2)若a22，求ABC的面積S的最大值解(1)m(sinB,5sinA5sinC)與n(5sinB6sinC，sinCsinA)垂直，5sin26sinsin5sin25sin20，mnBBCCA2226sinBsinC分即sinBsinCsinA5.32226bc根據(jù)正弦定理得bca，222bca3A是ABC的內角，sinA41cos2A5.6分由(1)知b2c2a26bc，562222bc5bca2bca.8分又a22，bc10.12bcABC的面積S2bcsinA54，ABC的面積S的最大值為4.12分B組能力提升(建議用時：15分鐘)1(2

18、016山東高考)ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c已知bc，a22b2(1sin)，則()AA3A.4B.3C.4D.6bc，BC.A又由ABC得B22.由正弦定理及222(1sin)得abAsin2A2sin2B(1sinA)，22A即sinA2sin22(1sinA)，22A即sinA2cos2(1sinA)，2A2A2AA)，即4sin2cos22cos2(1sin整理得cos2A1sinA2sin2A0，222AAsinA)0.即cos2(cosAA0A，022，cos20，cosAsinA又0A，A4.2如圖3-6-2，在中，45，D是BC邊上的點，5，7，3，ABCBADACDC則AB的長為_圖3-6-256在ADC中，AD5，AC7，DC3，22221cosADCADDCA