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1、 關(guān)于醫(yī)院病床安排的模型2009年“高教社杯”全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽尹學(xué)錕（數(shù)0803）高明月（數(shù)0803）于欣心（數(shù)0803）2009年9月潘秋惠2009年“高教社杯”全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽全國一等獎要和實際比例相當(dāng)，就形成一個目標(biāo)規(guī)劃模型（可理解為一種矩形填充問題）。該模型的解就是在公平基礎(chǔ)上，T時間內(nèi)治療病人數(shù)最多的具體方案，具體安排時，有一張床一個病人出院，下一個該哪類病人入院的信息，此時要項目來源：項目成員：完成時間：指導(dǎo)教師：項目獎勵：項目背景當(dāng)前該住院部對全體非急癥病人是按照FCFS（Firstcome,Firstserve）規(guī)則安排住院，使公平性有很好體現(xiàn)，但通過對附表數(shù)據(jù)分析

2、可見，這使得病人住院日到手術(shù)日之間的時間加長，從而形成“占床”現(xiàn)象，使得病床的利用率下降。我們注意到病人手術(shù)日到出院日之間的天數(shù)基本上是客觀確定的，所以，要提咼病床的利用率，主要需要減少住院日到手術(shù)日之間的天數(shù)。基于此，本文首先把病人的術(shù)前必要準(zhǔn)備時間長度，加上手術(shù)時間長度加上從手術(shù)到出院的時間長度定義為合理住院時間?？梢栽O(shè)想，若病人均以合理住院時間完成治療，則應(yīng)為最有效的治療安排。基于這種理解，再考慮公平性因素，可望得到體現(xiàn)出公平性的盡量多的安排病人的實際規(guī)則。系統(tǒng)概述本項目技術(shù)基于靜態(tài)排布原理，我們首先給出一個固定時間（一個周期）中各種病在醫(yī)療條件和公平條件的約束下，最多的安排病人的模型，

3、其解為相應(yīng)約束下的最優(yōu)安排方案，其次再將該結(jié)果周期的使用，就得到長期的病人安排方法了。設(shè)取的固定時間長度為T，已知每類病人的合理住院時間（類是對每種病的治療時間劃分的，每類用一個合理住院時間），對一張床，在T時間長度內(nèi),給出以合理住院時間為住院時間，并把醫(yī)療條件方面的限制（如只能周一、周三做白內(nèi)障手術(shù)）體現(xiàn)出來的各種可能住院安排方案（單床方案），對每個單床方案，其中有治療各種病人數(shù)，治療的次序及入住的時間以及空床的天數(shù)和空床在哪些天產(chǎn)生等信息，對此處的空床，在實際治療病人時，可靈活使用，為病人延長住院或提前住院帶來機會。選擇一個單床方案組合，使得T時間內(nèi)總的空的天數(shù)最少，且安排的各種病人數(shù)的比

4、例注意同種類的病人采用FCFS規(guī)則。3建模思想一般認為，對眼科的這幾種疾病，在門診后基本上就能確定其準(zhǔn)備時間長度、手術(shù)時間長度和恢復(fù)時間長度。也就是說，對排隊中的每個病人（急癥除外），都可以知道其上述三個時間的和這個值（可以是保守些的，即略大些），我們稱每個病人的這個和值為合理住院時間。直觀地理解，若每個病人均能以合理住院時間實現(xiàn)治療，則有利于充分利用病床，治療最多的病人。對于給定的病床數(shù)和一個時間長度，將床位數(shù)和時間長度的乘積理解為一個矩形的區(qū)域，把每個病人的合理住院時間理解為一個小矩形區(qū)域。這樣，問題就歸結(jié)為在相應(yīng)醫(yī)療環(huán)境的客觀限制下，在公平的基礎(chǔ)上，如何盡量多地往大矩形域中擺放小矩形域。

5、即可歸結(jié)為有約束的矩形填充問題。最優(yōu)解對應(yīng)的矩形填充形式可體現(xiàn)于每張病床的一種具體安排方式，即每張病床安排哪些病人，安排的次序及入住的時間等，也就是治療安排。這個安排將體現(xiàn)出每張床何時還在治療何種病人，對每類病人，按FCFS安排。只要將這個填充后的大矩形做為病人入住的對照表循環(huán)使用，即模板中一個小矩形離開的時候，看它下一個小矩形對應(yīng)何種病人，安排進去即可。那么當(dāng)各種小矩形（病人）足夠多時，這個模板始終處于一種平衡的狀態(tài)。這樣的話，我們就將這個動態(tài)的問題先靜態(tài)化處理，再用周期使用方式實現(xiàn)動態(tài)化。這將非常利于我們接下來建模和計算。給這種安排方式定一個周期，則通過最優(yōu)的排序方法在其周期內(nèi)完成在各種約

6、束條件下最多治病人數(shù)的安排，就是主要的工作了。本文就是基于上述理解來展開的。關(guān)鍵技術(shù)41靜態(tài)布局在單床安排中的實現(xiàn)、布局問題是指給定一個布局空間和若干待布物體,將待布物體按一定約束條件合理地擺放在布局空間中，且剩余空間盡可能地小。對任一張床C，在一定時間長度T內(nèi)，將其看成為1XT的矩形，然后用不同的1XH的小矩形往該矩形內(nèi)填充?？紤]到某種病第j個病人的合理住院時間是在一定范圍內(nèi)波動的，本文將i病每個病人的合理住院時間的最大值作為這種病的合理住院時間，即每種病對應(yīng)一個合理住院時間(當(dāng)然也可以把一種病分成若干類，每類一個合理住院時間)。首先，在不考慮各種病病人門診概率的情況下，我們先考慮怎樣將小矩

7、形填充到大矩形是最優(yōu)的，因為當(dāng)時間不同的時候，應(yīng)填充哪一種小矩形是不同的，且不是唯一的。我們將每一個岔路都計算在內(nèi)，即當(dāng)某一個位置應(yīng)該填充哪種小矩形是有多種選擇時，且每一種都將可能發(fā)展成最優(yōu)解時,我們把每一種填充都列出并繼續(xù)下去填充下去，對待每一個岔路都是這樣處理的。這樣，在這些安排病人序的方案包含了所有的病(外傷除外，它的處理我們會在后面的算例中解釋)，但在單床方案中，每種病的門診比例我們并沒有考慮。因此，我們可以列出在規(guī)定的周期T天內(nèi)，可能出現(xiàn)的所有可能的病人安排序，此排序中空的天數(shù)不足以安排一個病人，即可得到所有的單床方案。4.2總體靜態(tài)布局的實現(xiàn)設(shè)共有p種單床方案，記為B,i=1,2p

8、,在B的形成過程中，已考慮到醫(yī)療條件方面的限制等。對一張床的一個具體安排B，可得到B方案對應(yīng)的空的天數(shù)和治療各種病的病人數(shù)。記a為B中空的天數(shù)i=1，2，p，b表示B方案治療j種病的病人數(shù)，i=1,2，p，j=1,2，Bo顯然，在C張床T時間內(nèi)在有關(guān)約束下的最好安排方案中，每張床都應(yīng)是B,i=1,p中的一種。由此，設(shè)x為總方案中使用B方案的個數(shù)，i=1,p,則有表示總方案中空的天數(shù)；表示治療j種病的人數(shù)；表示治療病人總數(shù)。我們對公平的理解是，以疾病種類來組織治療，要保證在一個時期內(nèi)治療的病人中，各種病的比例與實際病人群體中各種病的比例大體相當(dāng)(要求嚴(yán)格相當(dāng)不現(xiàn)實)，且同種病按FCFS原則。當(dāng)然

9、，外傷除外，其有優(yōu)先權(quán)。為此，用目標(biāo)規(guī)劃思想，有j=1,2B結(jié)合(1)(3)有如下規(guī)劃問題min約束條件為：x三0為整數(shù)，i=1,2,p解此規(guī)劃，可得T天內(nèi)C張床在相應(yīng)約束條件下的最多治病人數(shù)。此后以T為周期運用此方案就得到動態(tài)安排方式，這時同種疾病FCFS起作用。主要創(chuàng)新點本項目創(chuàng)新體現(xiàn)在針對現(xiàn)在社會存在的普遍問題，即病床安排問題，給出了一個不同于現(xiàn)存方法的解決方法。此方法不在依靠動態(tài)的機會分析等原理,而是可以做到靜態(tài)的將已知的病人安排到病床中去。在實現(xiàn)上，這種方法的好處在于能夠大大的簡化醫(yī)院和病人方面的日程安排，并且能夠準(zhǔn)確的提供給病人其可以住院的時間點從而防止由于病床緊缺而耽誤治病的現(xiàn)象

10、。制動器實驗臺電模擬控制的研究項目來源：大學(xué)生創(chuàng)新性實驗計劃項目項目成員：張亞奇李思劉博元指導(dǎo)教師：潘秋惠項目獎勵：2009年“高教社杯”全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽全國一等獎1.摘要制動器的測試包括路試和模擬實驗兩種，模擬試驗時需要使用制動器試驗臺，制動器試驗臺的原理是利用飛輪動能或電機等量模擬汽車實際運行過程中的機械能，以精確模擬車輪制動的全過程。在實驗中，當(dāng)?shù)刃T量不能用機械慣量精確模擬時，需引入電慣量，使電機不斷輸出能量替代飛輪和主軸儲存的dm動能，而保持制動力矩與減速度dt的關(guān)系不變，這就是電模擬的概念。為了實現(xiàn)電模擬，需要知道電機驅(qū)動電流的大小，但由于制動器的性能十分復(fù)雜，電機的驅(qū)動電流

11、與時間之間的精確關(guān)系是很難得到的，在研究過程中我們基于一定的假設(shè)建立了電流基于制動力矩的單變量控制模型，并且按照工程中常用的方法把整個制動時間離散成許多長度為10ms的時間段（、W），根據(jù)前一個時間段觀測到的瞬時扭矩,設(shè)計出了本時間段電流值的計算機控制方法?？紤]到單變量控制方法精確度不高，適應(yīng)性差等特點，我們又建立了帶能量誤差補償?shù)母倪M型控制方法。改進型控制模型中，驅(qū)動電流受扭矩和轉(zhuǎn)速同時控制，并能通過電動機對由各種因素引起的能量誤差進行補償，這種控制方法有效的降低了設(shè)計的路試時的制動器與相對應(yīng)的實驗臺上制動器在制動過程中消耗的能量之差，進而提咼了制動器試驗臺的模擬精度，并且有更好的適應(yīng)性和抗

12、干擾能力。在問題的求解階段,我們首先計算了給定車輪的等效轉(zhuǎn)動慣量，并且根據(jù)給定飛輪的轉(zhuǎn)動慣量確定了電慣量的大小，然后利用單變量控制模型確定了題中等減速度制動實驗的驅(qū)動電流，最后我們依據(jù)能量誤差原理對題中給出的一種控制方法進行了評價。2模型建立研究電模擬，并建立驅(qū)動電流依賴于可觀測量的數(shù)學(xué)模型，當(dāng)機械慣量J與等效慣量Jma不相等時，即單純使用飛輪不能準(zhǔn)確模擬等效變量，這時需要引入電慣量，使電機不斷輸出能量替代飛輪和主軸儲存的動能，而保持制動力矩與減速度嘗的關(guān)系不變，電模擬過程可表達為：M（t）=M（t）+Ja=M（t）+J3制EmEmt式中：Jm機械慣量，kgm2；電機輸出的力矩，Nm。將式子（

13、3.7）帶入（3.8）中得：M（t）=（J-J）M制（t）EamJa上式中乙和Jm均為已知。因此，所謂電模擬就是通過控制電機的輸出力矩MEt）使被試制動d器具有與機械模擬系統(tǒng)相同的減速度dt。由驅(qū)動電流I（t）與其產(chǎn)生的扭矩M滬成正比（模型中比例系數(shù)k=1.5A/Nm）得:MEt)=i(t)k將式子（3.9）代入（3.10）中得:i（t）=k（j-j）M制“）amJa上式即為驅(qū)動電流依賴于可觀測量的數(shù)學(xué)表達式。3問題分析3.1問題一：等效的轉(zhuǎn)動慣量由條件可知輪子的滾動半徑r=0.286,制(3.8)(3.9)(3.10)(3.11)=V03.6xAtxr代入題中的條件得到：QQ9.71rad/

14、s2將的值代入式（3.11）中得到：I=174.78A因此試驗中驅(qū)動電流為174.78A。注：本題計算得到的驅(qū)動電流過大，從資料中我們得知一般的制動器試驗臺電機的額定電流約為30A,我們考慮電流偏大的原因主要是由于題中的已知參數(shù)與實際不符。3.4問題四：某種控制方法的評價評價控制方法優(yōu)劣的一個重要數(shù)量指標(biāo)是能量誤差的大小，試驗中能量誤差是指所設(shè)計的路試時的制動器與相對應(yīng)的實驗臺上制動器在制動過程中消耗的能量之差，我們分別Jm對該實驗過程的路試時制動器消耗（的能量和kg3試驗時制動器消耗的能量進行了計算,并計算了絕對和相對能量誤差。4獲獎情況曾榮獲2009年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽本科組一

15、等獎圖1動時承受的載荷G=6230N。代入式（3.3）中得：Gr26230 x0.2862J=q52kgm2ag9.8所以等效的轉(zhuǎn)動慣量為52kgm2。3.2問題二：飛輪的轉(zhuǎn)動慣量和電動機補償?shù)膽T量通過微積分易推得環(huán)形鋼制飛輪轉(zhuǎn)動慣量的計算公式：J=1x兀xpxhx（R4r4）飛2設(shè)J,J2,J3分別為表示厚度為0.0392m,0.0784m,0.1568m的飛輪的轉(zhuǎn)動慣量，通過計算得：Jq320-Jk2qg12根據(jù)排列組合的知識易知：一共可以組成8組機械慣量，分別為10,40,70,100,130,160，190,220。（單位為kg.m2）。問題一中得到的等效轉(zhuǎn)動慣量J等=52kg.m2,

16、可以使用厚度為0.0392m的飛輪，并需要電動機補償12kg-m2的轉(zhuǎn)動慣量,也可以使用厚度為0.0784m的飛輪，需要電動機補償-18kg.m2。但是在試驗時應(yīng)盡量使電機補償?shù)膽T量的絕對值小，因此應(yīng)選厚度為0.0392m的飛輪。3.3問題三：計算驅(qū)動電流在問題1和問題2的條件下，假設(shè)制動減速度為常數(shù)，初始速度為50km/h,制動5.0秒后車速為零，計算驅(qū)動電流。本問中制動的減速度Q是個常數(shù)，有公式：一類新的裝箱問題帶有手術(shù)時間約束的病床安排問題項目來源：2009年全國大學(xué)生數(shù)模競賽項目成員：范國龍（計算機0702）王金龍（機械0708）朱曉丹（電子0707）完成時間：2009年10月指導(dǎo)教師

17、：王震項目獎勵：2009年全國大學(xué)生數(shù)模競賽全國二等獎項目背景在醫(yī)院的病床安排問題中，F(xiàn)CFS（先到先服務(wù)）策略始終是最公平的策略，并且在病人數(shù)量比較少，病床資源不緊張的情況下，其病床利用率也是比較高的。但當(dāng)病人數(shù)量很多，病床資源緊缺的情況下，因為醫(yī)院并不是每天都做各種類型的手術(shù)，導(dǎo)致了病人術(shù)前無效的住院時間增加，降低了醫(yī)院病床的有效利用率。模型建立我們在基于合理的前提下，假設(shè)病人的術(shù)后恢復(fù)時間可以在病人門診的時候確定。并考慮到外傷的需要門診第二天就要住院，并且沒有手術(shù)時間的約束,另外它的所有總住院時間的值都有其他類型疾病具有同樣的值與其對應(yīng)。因此,我們先不考慮外傷，把所有病人看成12種長度和

18、手術(shù)時間不同的“長條物品”因為病人的數(shù)量始終是充足的。我們把這個帶有手術(shù)時間約束的病床合理安排問題，轉(zhuǎn)化成一類新的一維裝箱問題。該問題的描述是，怎么把12種不同的”長條物品”按其到達的比例放到79個同樣長度（比如本文我們?nèi)≡撻L度為28）的”箱子”里，使得每種物品滿足其手術(shù)時間約束，并使得箱子的總空格數(shù)盡量少。裝箱問題是一個經(jīng)典的NP一hard問題，沒有好的方法能夠在多項式時間內(nèi)求得其滿意解。因此我們給出了一種得到可行滿意解的方法有限枚舉。我們按照和題目數(shù)據(jù)同樣的分布規(guī)律產(chǎn)生了5000組病人的序列，每個序列都按照先后順序放入79*28的一張空白靜態(tài)表中，這樣每組數(shù)據(jù)就對應(yīng)著一個靜態(tài)模板，我們?nèi)】?/p>

19、格數(shù)最小的靜態(tài)模板作為我們的滿意解。結(jié)果討論與分析然后我們模擬了用該滿意解（如圖1）和先到先服務(wù)制同時安排一個長的病人隊列的過程，發(fā)現(xiàn)我們的模型穩(wěn)定時段平均每天空床數(shù)約為7.5,小于先到先服務(wù)的平均每天空床數(shù)10.3個（如圖2和圖3）。并且該模型可以在病人門診的時候告訴病人其住院時間（在病人門診到住院時間期間來的外傷病人可能會占據(jù)其住院時間，使得病人的住院時間往后推延，但這種情況出現(xiàn)的可能性不大）。圖1:5000組病人分別生成靜態(tài)表得到的滿意解ooooooO123456780新舊體系下累計平均空床數(shù)newold510152025圖4：周六、周日不做手術(shù)，周一周三做白內(nèi)障手術(shù)下的最佳模板圖706

20、0504030201050213040ii-病腐腐訓(xùn)青視疾白雙白單空5070511015202550705110152025圖5：周六、周日不做手術(shù)，周三周五做050100150200250300350時間（天數(shù)圖2：新舊體系下從第一天開始的累積的每天的平均空床數(shù)白內(nèi)障手術(shù)下的最佳模板圖150200250300350時間（天數(shù)新舊體系下穩(wěn)定時累計平均空床數(shù)對比圖newold20864100圖3：新舊體系下穩(wěn)定時段累積的每天的平均空床數(shù)主要創(chuàng)新點我們將醫(yī)院合理安排病床問題轉(zhuǎn)化成一個新的帶約束條件的裝箱問題，利用有限枚舉優(yōu)化結(jié)果的方法，有效地提高了醫(yī)院的資源利用率，使得醫(yī)院的空床率下降了20%以上

21、，缺點在于，只是給出了一組滿意解，且不一定是全局最優(yōu)的解?？梢愿倪M的地方在于設(shè)計更好的啟發(fā)式算法，如模擬退火，遺傳算法最后，我們指出，當(dāng)加上周六周日不做手術(shù)的約束后，如果繼續(xù)堅持周一周三做白內(nèi)障手術(shù)會使得空床數(shù)增加54.91%（如圖4）,而如果改成周二周四和周三周五做白內(nèi)障手術(shù)，空床數(shù)分別增加28.69%和12.30%。因此我們建議醫(yī)院在周六周日不做手術(shù)時,應(yīng)將白內(nèi)障手術(shù)的時間改為周三周五（如圖4）。眼科病床安排的合理性探討項目來源：2009年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽項目成員：林海卓（計0704）楊哲（計0704）占海明（電氣0703）完成時間：2009年9月指導(dǎo)教師：王震項目獎勵：2009年全

22、國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽全國二等獎B=AR=13V213V313V413V5131.項目背景本文首先通過層次結(jié)構(gòu)模型（AHP）,構(gòu)建了影響病床安排的主要六大因素，并進行了量化處理，得到六大因素的合理權(quán)值比；接著通過定義病床安排風(fēng)險率、脆弱性、恢復(fù)性、重現(xiàn)期、風(fēng)險度五個指標(biāo)，采用模糊數(shù)學(xué)綜合評判方法對病床安排問題進行評價。其次，本文提出了改進的熵值法理論，確定每天白內(nèi)障，視網(wǎng)膜疾病，青光眼，外傷患者住院的最優(yōu)人數(shù)比?；诖遂刂捣?，可根據(jù)已知的第二天擬出院病人人數(shù)來確定第二天應(yīng)該安排哪些病人住院。再次，本文使用了Agent智能仿真模型，在Agent仿真主體部分中輸入熵值法所得白內(nèi)障，視網(wǎng)膜疾病，青光眼

23、，外傷病人最優(yōu)比例以及當(dāng)前病床使用率從而生成患者入住條件?；贏gent智能算法相對復(fù)雜度較高，因此需要對模型結(jié)果做進一步優(yōu)化。最后，運用排隊論，定義病人到達速率，服務(wù)速率，單一床位對單一病人服務(wù)速率等變量，建立N*N轉(zhuǎn)移速率矩陣。通過計算機模擬得出最小平均逗留時間，并建立病床比例分配模型，計算出此時的病床分配比例。2.層次結(jié)構(gòu)模型建立由2008-07-13到2008-09-11的病人信息對比當(dāng)前白內(nèi)障，視網(wǎng)膜疾病，青光眼，外傷狀況得到正互反矩陣：一11/217一2135A=11/313_1/71/51/31_同理可得D2,D3，D4，D5,D6在目標(biāo)中的組合權(quán)重。從而得到方案層對準(zhǔn)則層組合權(quán)

24、向量（0.062,0.070,0.071,0.075,0.068,0.654）模糊數(shù)學(xué)模型對于模糊數(shù)學(xué)評價的因素U而言，對應(yīng)一個測定指標(biāo)向量y=外，e4,e,e）。其中那TOC o 1-5 h z1112131415個，e是U相對于u的測定值，測定值范圍（0,ijij1）。這樣u（0）便表示相對于因素u而言屬于viijtv的程度3。有下面的模糊關(guān)系矩陣u)u)u)u)u)vi11V211V311V411V511u)u)u)u)u)v112v212E12V412V512u)u)u)u)u)v114v14v14V414V514u)u)u)u)u)715v,15E15E15515通過床位安排模糊數(shù)學(xué)

25、評價結(jié)果顯示，當(dāng)前的床位安排模型存在著明顯的不穩(wěn)定因素，在初期由于患者人數(shù)較少，模型體現(xiàn)出了一定的優(yōu)越性，諸多因素均較高，但隨著患者數(shù)量的增多，患病種類的增加，模型的穩(wěn)定性日益下降。誤差如下：L亠JPLII0.040.030.020.010-0.031611162126313641465156天數(shù)利用MATLAB語言求矩陣A的最大特征值得：九=4.15；所有CR均小于0.1，均通過一致性檢驗。k圖1層次結(jié)構(gòu)模型誤差改進熵值法構(gòu)建床位安排模型日期u1u2u3u4u507-1307-19較高高高較高較高07-2007-26較高高較高高較高07-2708-02較高較高較高較高較高08-0308-09較高較高較高較高較高0