理論力學(xué)期末復(fù)習(xí)重點(diǎn)習(xí)題答案(周衍柏第三版)

1、1.1 由題可知示意圖如題1.1.1圖:設(shè)開始計(jì)時(shí)的時(shí)刻速度為,由題可知槍彈作勻減速運(yùn)動(dòng)設(shè)減速度大小為.則有:由以上兩式得再由此式得 證明完畢.1.2 解 由題可知,以燈塔為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)如題1.2.1圖.設(shè)船經(jīng)過小時(shí)向東經(jīng)過燈塔,則向北行駛的船經(jīng)過小時(shí)經(jīng)過燈塔任意時(shí)刻船的坐標(biāo)，船坐標(biāo)，則船間距離的平方即對(duì)時(shí)間求導(dǎo)船相距最近，即，所以即午后45分鐘時(shí)兩船相距最近最近距離km1.3 解 由題分析可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為又由于在中，有（正弦定理）所以聯(lián)立以上各式運(yùn)用由此可得得得化簡(jiǎn)整理可得此即為點(diǎn)的軌道方程.（2）要求點(diǎn)的速度，分別求導(dǎo)其中又因?yàn)閷?duì)兩邊分別求導(dǎo)故有所以1.5 解 由題可知，變加速度表

2、示為由加速度的微分形式我們可知代入得對(duì)等式兩邊同時(shí)積分可得 ：（為常數(shù)）代入初始條件：時(shí)，故即又因?yàn)樗詫?duì)等式兩邊同時(shí)積分，可得：1.6 解 由題可知質(zhì)點(diǎn)的位矢速度沿垂直于位矢速度又因?yàn)?， 即即（取位矢方向，垂直位矢方向）所以 故 即 沿位矢方向加速度 垂直位矢方向加速度 對(duì)求導(dǎo) 對(duì)求導(dǎo) 把代入式中可得1.10解 由題可知運(yùn)動(dòng)軌跡如題1.10.1圖所示，則質(zhì)點(diǎn)切向加速度法向加速度，而且有關(guān)系式 又因?yàn)?所以 聯(lián)立 又把兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得又因?yàn)?所以 把代入既可化為對(duì)等式兩邊積分所以兩式相比得即 對(duì)等式兩邊分別積分即 此即質(zhì)點(diǎn)的速度隨時(shí)間而變化的規(guī)律. 所以 ，聯(lián)立，有又因?yàn)樗?，對(duì)等式兩邊分

3、別積分，利用初始條件時(shí)，1.19 解 質(zhì)點(diǎn)從拋出到落回拋出點(diǎn)分為上升和下降階段.取向上為正各力示意圖如題1.19.1圖，上升時(shí) 下降時(shí)則兩個(gè)過程的運(yùn)動(dòng)方程為：上升 下降： 對(duì)上升階段:即 對(duì)兩邊積分所以 即質(zhì)點(diǎn)到達(dá)的高度.對(duì)下降階段：即 由=可得1.21 解 阻力一直與速度方向相反，即阻力與速度方向時(shí)刻在變化，但都在軌道上沒點(diǎn)切線所在的直線方向上，故用自然坐標(biāo)比用直角坐標(biāo)好.軌道的切線方向上有： 軌道的法線方向上有： 由于角是在減小的，故 由于初末狀態(tài)由速度與水平方向夾角來(lái)確定，故我們要想法使變成關(guān)于的等式由即 把代入可得 用可得 即，兩邊積分得 代入初始條件時(shí)，即可得代入式，得 又因?yàn)樗?

4、把代入積分后可得1.24 解以豎直向下為正方向，建立如題1.24.2圖所示坐標(biāo)， 以-處物體所處坐標(biāo)分別為，則3個(gè)物體運(yùn)動(dòng)微分方程為： -由于與、之間是，即不可伸長(zhǎng)輕繩連接，所以有，即 之間用倔強(qiáng)系數(shù)彈性繩聯(lián)結(jié).故有 由得 由得 代入，有 代入，有 此即為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程.角頻率所以周期解得以初始時(shí)為原點(diǎn)，時(shí)，.所以 代入得聯(lián)立-得1.28解 建立如題1.28.1圖所示直角坐標(biāo).橢圓方程 從滑到最低點(diǎn) 設(shè)小球在最低點(diǎn)受到橢圓軌道對(duì)它的支持力為則有： 為點(diǎn)的曲率半徑.的軌跡：得； 又因?yàn)?所以故根據(jù)作用力與反作用力的關(guān)系小球到達(dá)橢圓最低點(diǎn)對(duì)橢圓壓力為方向垂直軌道向下.解：設(shè)楔子的傾角為，楔子向

5、右作加速度的勻加速運(yùn)動(dòng)，如圖1.32.1圖。我們以楔子為參考系，在非慣性系中來(lái)分析此題，則質(zhì)點(diǎn)受到一個(gè)大小為的非慣性力，方向與相反。質(zhì)點(diǎn)在楔子這個(gè)非慣性系中沿斜面 下滑，沿斜面的受力分析：垂直斜面受力平衡： 聯(lián)立得此即楔子相對(duì)斜面的加速度。對(duì)斜面的壓力與斜面對(duì)的支持力等大反方向。同理可得當(dāng)楔子向左作加速度為的勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的和楔子對(duì)斜面的壓力為綜上所述可得解 設(shè)鋼絲圓圈以加速度向上作勻加速運(yùn)動(dòng)如題1.33.1圖，我們以鋼絲圓圈作參考系，在圓圈這個(gè)非慣性系里來(lái)分析此題。圓圈上的小環(huán)會(huì)受到一個(gè)大小為方向與相反的慣性力的作用，則圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到圓圈上某點(diǎn)，切線方向受力分析：法線方向受力分析有：對(duì)兩邊同

6、乘以即兩邊同時(shí)積分把代入可解得同理可解出，當(dāng)鋼絲圓圈以加速度豎直向下運(yùn)動(dòng)時(shí)小環(huán)的相對(duì)速度綜上所述，小環(huán)的相對(duì)速度圈對(duì)小環(huán)的反作用力1.34證：（1）當(dāng)火車所受阻力為常數(shù)時(shí)，因?yàn)楣β逝c牽引力有如下關(guān)系：所以即對(duì)兩邊積分 （2） 當(dāng)阻力和速度成正比時(shí)，設(shè)=，為常數(shù)。同理由（1）可知即 對(duì)兩邊積分1.35 解 錘的壓力是均勻增加的，設(shè)，為常數(shù)，由題意可知，得，所以，即故兩邊同時(shí)積分得，又因?yàn)楫?dāng)增至極大值后，又均勻減小到0，故此時(shí)有為常數(shù)，所以即由得整個(gè)過程壓力所做功又因?yàn)榧磳?duì)上式兩邊分段積分得136 解 （a）保守力滿足條件對(duì)題中所給的力的表達(dá)式 ，代入上式即 所以此力是保守力，其勢(shì)為 (b)同（a

7、），由所以此力是保守力，則其勢(shì)能為解由題可知（因?yàn)槭且?，方向與徑向相反所以要有負(fù)號(hào)）由運(yùn)動(dòng)微分方程即 對(duì)上式兩邊積分故又因?yàn)榕c的方向相反，故取負(fù)號(hào)。即1.41證 畫出有心力場(chǎng)中圖示如題1.41.圖，我們采用的是極坐標(biāo)。所以又由于常數(shù)即由圖所示關(guān)系，又有，故即由動(dòng)能定理沿方向得1.43證 由畢耐公式 質(zhì)點(diǎn)所受有心力做雙紐線運(yùn)動(dòng)故故2.1 解 均勻扇形薄片，取對(duì)稱軸為軸，由對(duì)稱性可知質(zhì)心一定在軸上。有質(zhì)心公式設(shè)均勻扇形薄片密度為，任意取一小面元，又因?yàn)樗詫?duì)于半圓片的質(zhì)心，即代入，有把球帽看成垂直于軸的所切層面的疊加（圖中陰影部分所示）。設(shè)均勻球體的密度為。則 由對(duì)稱性可知，此球帽的質(zhì)心一定在軸

8、上。代入質(zhì)心計(jì)算公式，即2.3 解 建立如題2.3.1圖所示的直角坐標(biāo)，原來(lái)與共同作一個(gè)斜拋運(yùn)動(dòng)。當(dāng)達(dá)到最高點(diǎn)人把物體水皮拋出后，人的速度改變，設(shè)為，此人即以 的速度作平拋運(yùn)動(dòng)。由此可知，兩次運(yùn)動(dòng)過程中，在達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)兩次運(yùn)動(dòng)的水平距離是一致的（因?yàn)閮纱芜\(yùn)動(dòng)水平方向上均以作勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也相同）。所以我們只要比較人把物拋出后水平距離的變化即可。第一次運(yùn)動(dòng)：從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到落地，水平距離 第二次運(yùn)動(dòng):在最高點(diǎn)人拋出物體，水平方向上不受外力，水平方向上動(dòng)量守恒，有可知道 水平距離跳的距離增加了=解 建立如圖2.4.1圖所示的水平坐標(biāo)。 以，為系統(tǒng)研究，水平方向上系統(tǒng)不受外力，動(dòng)量守恒，有

9、對(duì)分析；因?yàn)?在劈上下滑，以為參照物，則受到一個(gè)慣性力（方向與加速度方向相反）。如圖2.4.2圖所示。所以相對(duì)下滑。由牛頓第二定律有 所以水平方向的絕對(duì)加速度由可知 聯(lián)立，得 把代入，得 負(fù)號(hào)表示方向與軸正方向相反。求劈對(duì)質(zhì)點(diǎn)反作用力。用隔離法。單獨(dú)考察質(zhì)點(diǎn)的受力情況。因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)垂直斜劈運(yùn)動(dòng)的加速度為0，所以把代入得， 水平面對(duì)劈的反作用力。仍用隔離法。因?yàn)榕诖怪彼し较蛏蠠o(wú)加速度，所以 于是 2.6 解炮彈達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆炸，由題目已知條件爆炸后，兩者仍沿原方向飛行知，分成的兩個(gè)部分，速度分別變?yōu)檠厮椒较虻?，并一此速度分別作平拋運(yùn)動(dòng)。由前面的知識(shí)可知，同一高處平拋運(yùn)動(dòng)的物體落地時(shí)的水平距離之

10、差主要由初速度之差決定。進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求，。炮彈在最高點(diǎn)炮炸時(shí)水平方向上無(wú)外力，所以水平方向上的動(dòng)量守恒： 以質(zhì)點(diǎn)組作為研究對(duì)象，爆炸過程中能量守恒： 聯(lián)立解之，得所以落地時(shí)水平距離之差=2.7 解 建立如題2.7.1圖所示的直角坐標(biāo)系。 當(dāng)沿半圓球下滑時(shí)，將以向所示正方向的反向運(yùn)動(dòng)。以、組成系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)水平方向不受外力，動(dòng)量守恒，即相對(duì)于地固連的坐標(biāo)系的絕對(duì)速度為相對(duì)的運(yùn)動(dòng)速度 故水平方向豎直方向 在下滑過程中，只有保守力（重力）做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒：（以地面為重力零勢(shì)能面） =把代入 =把代入2.9 解 類似的碰撞問題，我們一般要抓住動(dòng)量守恒定理和機(jī)械能守恒定理得運(yùn)用，依次來(lái)分析條件求

11、出未知量。設(shè)相同小球?yàn)?，初始時(shí)小球速度，碰撞后球的速度為，球的速度以碰撞后球速度所在的方向?yàn)檩S正向建立如題2.9.1圖所示的坐標(biāo)(這樣做的好處是可以減少未知量的分解，簡(jiǎn)化表達(dá)式)。以、為系統(tǒng)研究，碰撞過程中無(wú)外力做功，系統(tǒng)動(dòng)量守恒。方向上有： 方向上有： 又因?yàn)榛謴?fù)系數(shù) 即=用- 用代入得 求在各種值下角的最大值，即為求極致的問題。我們有得即=0所以 即由因?yàn)? 故=所以用機(jī)械能守恒方法；在鏈條下滑過程中，只有保守力重力做功，所以鏈條的機(jī)械能守恒。以桌面所平面為重力零勢(shì)能面。有2.15 解 這是一道變質(zhì)量的問題，對(duì)于此類問題，我們由書上p.137的（2.7.2）式來(lái)分析。以機(jī)槍后退方向作為軸爭(zhēng)

12、先，建立如題2.15.1圖的坐標(biāo)。豎直方向上支持力與重力是一對(duì)平衡力。水平方向上所受合外力F即為摩擦力單位時(shí)間質(zhì)量的變化由式所以2.16解 這是一個(gè)質(zhì)量增加的問題。雨滴是本題。導(dǎo)致雨滴變化的微元的速度。所以我們用書上p.138的（2.7.4）式分析雨滴的質(zhì)量變化是一類比較特殊的變質(zhì)量問題。我們知道處理這類問題常常理想化模型的幾何形狀。對(duì)于雨滴我們常看成球形，設(shè)其半徑為，則雨滴質(zhì)量是與半徑的三次方成正比（密度看成一致不變的）。有題目可知質(zhì)量增加率與表面積成正比。即為常數(shù)。我們對(duì)式兩邊求導(dǎo)由于=，所以對(duì)式兩邊積分以雨滴下降方向?yàn)檎较?，?duì)式分析 （為常數(shù)）當(dāng)時(shí)，所以3.1解 如題3.1.1圖。均質(zhì)

13、棒受到碗的彈力分別為，棒自身重力為。棒與水平方向的夾角為。設(shè)棒的長(zhǎng)度為。 由于棒處于平衡狀態(tài)，所以棒沿軸和軸的和外力為零。沿過點(diǎn)且與軸平行的合力矩為0。即： 由式得：又由于即將代入得：3.2解 如題3.2.1圖所示，均質(zhì)棒分別受到光滑墻的彈力，光滑棱角的彈力，及重力。由于棒處于平衡狀態(tài)，所以沿方向的合力矩為零。即由式得：所以3.3解 如題3.3.1圖所示。棒受到重力。棒受到的重力。設(shè)均質(zhì)棒的線密度為。由題意可知，整個(gè)均質(zhì)棒沿軸方向的合力矩為零。3.4解 如題3.4.1圖。軸豎直向下，相同的球、互切，、切于點(diǎn)。設(shè)球的重力大小為，半徑為，則對(duì)、三個(gè)球構(gòu)成的系統(tǒng)來(lái)說，在軸方向的合力應(yīng)為零。即：對(duì)于球

14、，它相對(duì)于過點(diǎn)與軸平行的軸的合力矩等于零。即： 由式得：3.5解 如題3.5.1圖。梯子受到地面和墻的彈力分別為，受地面和墻的摩擦力分別為，。梯子和人的重力分別為，且。設(shè)梯長(zhǎng)為，與地面夾角為。由于梯子處于平衡，所以且梯子沿過點(diǎn)平行于軸的合力矩為零。即：又因梯子是一個(gè)剛體。當(dāng)一端滑動(dòng)時(shí)，另一端也滑動(dòng)，所以當(dāng)梯與地面的傾角達(dá)到最小時(shí)，由得：所以3.7解 如題3.7.1圖所示。沿軸平行于平切橢球得切面為一橢圓，則該橢圓方程為： 可求該切面的面積故積分同理可求 故中心主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：又由于橢球體積故將代入得：3.8解 設(shè)表示距球心為的一薄球殼的質(zhì)量，則所以該球?qū)η蛐牡霓D(zhuǎn)動(dòng)慣量 在對(duì)稱球中，繞直徑轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)

15、動(dòng)慣量又球的質(zhì)量 又繞直徑的回轉(zhuǎn)半徑由得坐標(biāo)系。為正方體中心。、分別與正方體的邊平行。由對(duì)稱性可知，、軸就是正方體的中心慣量主軸。設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為。設(shè)為平行于軸的一小方條的體積，則正方體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量根據(jù)對(duì)稱性得易求正方體的對(duì)角線與、軸的夾角都為。且故正方體繞對(duì)角線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量又由于繞對(duì)角線的回轉(zhuǎn)半徑由得3.10解 如題3.10.1圖。軸過點(diǎn)垂直紙面向外。均質(zhì)圓盤的密度為。設(shè)盤沿順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，則沿的方向有即為轉(zhuǎn)盤繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：（為盤的質(zhì)量）， （為盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角頻率，負(fù)號(hào)因?yàn)橐?guī)定順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)）=由得又因?yàn)楣仕缘?.11解 如題3.11.1圖所示，設(shè)軸通過點(diǎn)垂直紙面指向外。則對(duì)軸有：設(shè)通風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速

16、度大小為，由于通風(fēng)機(jī)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。所以，將代入上式得： 。又由于，解得：故當(dāng)時(shí)，。又由于 （為通風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度）設(shè)，故當(dāng)時(shí)，時(shí)間內(nèi)通風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)數(shù)3.12解 如題3.12.1圖，坐標(biāo)與薄片固連，則沿軸方向有： 且現(xiàn)取如圖陰影部分的小區(qū)域，該區(qū)域受到的阻力對(duì)軸的力矩所以又薄片對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 由得：當(dāng)時(shí)，3.13解 如題3.13.1圖所示，坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于圓弧最頂點(diǎn)。設(shè)圓弧平衡時(shí)，質(zhì)心的坐標(biāo)為。如圖所示圓弧偏離平衡位置一小角度，則滿足微分方程為圓弧相對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。當(dāng)很小時(shí)，代入上式得：圓弧上對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)角為的一小段圓弧的坐標(biāo)為質(zhì)心的縱坐標(biāo)上式中為圓弧的線密度 又其中，將代入得解式得通解微振動(dòng)周期3.1

17、7解 如題3.17.1圖所示，點(diǎn)為極軸的原點(diǎn)，極軸過點(diǎn)，所以在桿上任意一點(diǎn)。設(shè)。設(shè)的坐標(biāo)為再來(lái)求瞬心的軌跡。由于點(diǎn)速度沿弧面，點(diǎn)的速度沿桿。現(xiàn)分別作與的垂線交于點(diǎn)，則即為瞬心（見題3.17.1圖）。當(dāng)點(diǎn)的極角為時(shí)，易知點(diǎn)的極角，故點(diǎn)的極徑易證明為等腰三角形。有又因?yàn)?，所?。所以點(diǎn)軌跡位于軸上方，半徑為的半圓，如圖虛線所示。3.18解 如題3.18.1圖所示。由于圓盤作無(wú)滑滾動(dòng)，所以為圓盤的瞬心，故，設(shè)圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，則因?yàn)辄c(diǎn)的速度沿地面水平向右，分別作和的垂線交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為桿的瞬心。且得由幾何知識(shí)可知與豎直方向夾角為，又知又，所以 又。即：得由解得：3.19解 如題3.19.1圖，

18、固定坐標(biāo)系。桿從水平位置擺到豎直位置過程中只有重力做功，故機(jī)械能守恒。設(shè)此時(shí)的角速度為，則右邊第一項(xiàng)為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)動(dòng)能，第二項(xiàng)為桿繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能。解上式得：在桿脫離懸點(diǎn)后，根據(jù)動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理：式中為桿繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為沿過質(zhì)心平行于軸的合力矩，易知，又，代入式得即桿將作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。解得所以質(zhì)心的軌跡為一拋物線。故當(dāng)時(shí)，桿的質(zhì)心下降，代入式得故時(shí)間內(nèi)桿的轉(zhuǎn)數(shù)3.20解 如題3.20.1圖，設(shè)圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為，設(shè)它受到地面的摩擦力為，由動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理知：對(duì)于滑塊。由動(dòng)量定理知：以為基點(diǎn)：假設(shè)繩不可拉伸。則。故由解得：3.22解 如題3.22.1圖。軸與速度方向一致，軸垂直紙面向外。設(shè)

19、球的半徑為，則球繞任一直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理可知：由得：設(shè)球與板的接觸點(diǎn)為，則時(shí)刻點(diǎn)的速度為：球由滑動(dòng)變?yōu)闈L動(dòng)的條件是： 由解得： 3.23解 如題3.23.1圖所示。設(shè)圓柱的半徑為，與木板之間的摩擦力為，彈力為，木板受地面的摩擦力為，彈力為，對(duì)木板由動(dòng)量定理得：對(duì)圓柱，由角動(dòng)量定理和動(dòng)量定理得：其中為圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，所以無(wú)滑滾動(dòng)的條件： 由式解得3.24解 如題3.24.1圖，坐標(biāo)不與圓柱固連，是固定坐標(biāo)系。由于，所以圓柱與斜面接觸的邊緣有相對(duì)與斜面向上的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，所以斜面對(duì)圓柱的摩擦力沿斜面向下。對(duì)圓柱：由式得設(shè)從到的過程中，圓柱的速度從變到，角速度從變到，所以3.

20、25解 如題3.25.1圖。設(shè)大球和小球的半徑分別為，。分別為大球和小球的球心，為方向豎直向下的定線，為小球上的一動(dòng)線。當(dāng)小球位于大球頂端時(shí)，與重合。設(shè)，與豎直方向的夾角為，根據(jù)無(wú)滑條件：從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖示位置過程中，機(jī)械能守恒，即由解得坐標(biāo)系。設(shè)桿的長(zhǎng)度為，質(zhì)量為。受到墻和地面的作用力分別為，當(dāng)桿與地面的傾斜角為時(shí)，質(zhì)心的坐標(biāo)為：對(duì)上兩式求時(shí)間導(dǎo)數(shù)，的質(zhì)心的速度和加速度：由得對(duì)式求時(shí)間導(dǎo)數(shù)得又由動(dòng)量定理當(dāng)桿脫離墻時(shí)，有由得所以3.30解 如題3.30.1土 圖以為軸。為軸。建立與碾輪一起轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)系，設(shè)碾輪繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，水平軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為。所以點(diǎn)的合角速度為又因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)的速度為0，所

21、以即為瞬時(shí)軸。設(shè)與地面成夾角，由于沿瞬時(shí)軸方向，所以：故4.1解如題4.1.1圖所示.坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于轉(zhuǎn)動(dòng)的固定點(diǎn)，軸沿軸與角速度的方向一致，即設(shè)點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)的相對(duì)速度為則有題意得：故在點(diǎn)時(shí)的絕對(duì)速度設(shè)與軸的夾角為，則故與邊的夾角為，且指向左上方。點(diǎn)時(shí)絕對(duì)速度設(shè)的夾角為，則,故與邊的夾角為，且指向左下方。4.2解 如題4.2.1圖所示，以轉(zhuǎn)動(dòng)的方向?yàn)闃O角方向建立坐標(biāo)系。軸垂直紙面向外，設(shè)點(diǎn)相對(duì)速度設(shè)絕對(duì)速度的量值為常數(shù)，則：對(duì)式兩邊同時(shí)球時(shí)間導(dǎo)數(shù)得：依題意故解得通解當(dāng)時(shí)，將其帶入式游客的知：時(shí)，即最后有4.3解 如題4.3.1圖所示，直角坐標(biāo)的原點(diǎn)位于圓錐頂點(diǎn)軸過圓錐的對(duì)稱軸.點(diǎn)在軸上對(duì)應(yīng)的一點(diǎn)，

22、且有，所以點(diǎn)的絕對(duì)加速度：最后有4.4解 如題4.4.1圖所示，坐標(biāo)系是以的一段，在任意一點(diǎn)處，假設(shè)某質(zhì)點(diǎn)在此處?kù)o止，則該質(zhì)點(diǎn)除了受重力、鋼絲的約束力之外，還會(huì)受慣性離心力的作用，方向沿軸正向，在作用下，致信處于平衡狀態(tài)，則有 有得 又因?yàn)橛械脤⒋氲姆醋饔昧?.5以直管為參照系，方向沿管，沿豎直軸建立坐標(biāo)系，則小球受力為：故沿方向運(yùn)動(dòng)的微分方程為：有初始條件：可得式解為故當(dāng)邱剛離開管口時(shí)，即得所以此時(shí)：故當(dāng)球剛要離開管口時(shí)的相對(duì)速度為，絕對(duì)速度為，小球從開始運(yùn)動(dòng)到離開管口所需時(shí)間為4.6解 以光滑細(xì)管為參考系，沿管，沿水平軸建立坐標(biāo)系，如題4.6.1圖所示， 則小球受力為：故沿方向運(yùn)動(dòng)的微分

23、方程為：方程的通解而方程的特解為：故方程的通解為：初始條件為當(dāng)時(shí)，故可得所以質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于管的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：4.7解 以水平細(xì)管為參考系，沿管，沿豎直轉(zhuǎn)動(dòng)軸向上建立坐標(biāo)系則易得質(zhì)點(diǎn)反方向的運(yùn)動(dòng)微分方程為： 將方程作簡(jiǎn)單變換可得：化簡(jiǎn)得其通解為：初始條件為：故可得：故4.8解 以拋物線形金屬絲為參照物沿拋物線在頂點(diǎn)的切線方向，沿豎直軸建立坐標(biāo)系，則小環(huán)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：故代入得化簡(jiǎn)即得4.9解一當(dāng)小環(huán)相對(duì)平衡時(shí)，由上題可知即要求為常數(shù)，故故解二 以地面為參照系，則小球受力為固定地面的坐標(biāo)系，故平衡時(shí)有：4.10解 以地面為參考系，則小環(huán)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：其中為與圓心的連線和通過點(diǎn)的直徑間所夾的角化簡(jiǎn)得

24、桿受理想約束，在滿足題意的約束條件下桿的位置可由桿與水平方向夾角所唯一確定。桿的自由度為1，由平衡條件：即mgy =0變換方程y=2rcossin-= rsin2故代回式即因在約束下是任意的，要使上式成立必須有：rcos2-=0又由于 cos=故cos2= 代回式得三球受理想約束，球的位置可以由確定，自由度數(shù)為1，故。得由虛功原理 故因在約束條件下是任意的，要使上式成立，必須故又由 得： 由可得5.3解 如題5.3.1圖，在相距2a的兩釘處約束反力垂直于虛位移，為理想約束。去掉繩代之以力T，且視為主動(dòng)力后采用虛功原理，一確定便可確定ABCD的位置。因此自由度數(shù)為1。選為廣義坐。由虛功原理：w又取變分得代入式得：化簡(jiǎn)得設(shè)因在約束條件下任意，欲使上式成立，須有：由此得5.6解 如題5.6.1圖.平面運(yùn)動(dòng)，一個(gè)自由度.選廣義坐標(biāo)為，廣義速度因未定體系受力類型，由一般形式的拉格朗日方程在廣義力代入得：在極坐標(biāo)系下：故 將以上各式代入式得又由于所以取坐標(biāo)原點(diǎn)為零勢(shì)面 拉氏函數(shù)代入保守系拉格朗日方程得代入保守系拉格朗日方程得5.8解：如圖5.8.1圖.(1)由于細(xì)管以勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，因此=可以認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)的自由度為1.(2)取廣義坐標(biāo).(3)根據(jù)極坐標(biāo)系中的動(dòng)能