菱形的判定專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)30題

1、菱形的判定專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)30 題（有答案）1如圖，梯形 ABCD 中，AD BC，BA=AD=DC=BC，點(diǎn)E 為 BC 的中點(diǎn)（1）求證：四邊形 ABED 是菱形；（2）過(guò) A 點(diǎn)作 AF BC 于點(diǎn) F，若BD=4cm，求AF 的長(zhǎng)2如圖，四邊形 ABCD 中，對(duì)角線(xiàn) AC、BD 相交于點(diǎn) O，且AC BD點(diǎn)M，N 分別在 BD、AC 上，且AO=ON=NC ，BM=MO=OD 求證：BC=2DN 3如圖，在ABC 中，AB=AC ，D，E，F(xiàn) 分別是 BC，AB ，AC 的中點(diǎn)（1）求證：四邊形 AEDF 是菱形；（2）若AB=12cm ，求菱形 AEDF 的周長(zhǎng)第1頁(yè)共21頁(yè)菱形的判定 -4

2、如圖，在? ABCD 中，EFBD，分別交 BC，CD 于點(diǎn) P，Q，交AB ，AD 的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) E，F(xiàn)已知BE=BP求證：（1）E=F；（2）? ABCD 是菱形5如圖，在ABC 中，D 是 BC 的中點(diǎn)，E 是 AD 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) A 作 AF BC，AF 與 CE 的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn) F，連接 BF（1）求證：AF=DC；（2）若BAC=90，求證：四邊形 AFBD 是菱形6已知平行四邊形 ABCD 中，對(duì)角線(xiàn) BD 平分 ABC ，求證：四邊形 ABCD 是菱形7如圖，在一個(gè)含 30的三角板 ABC 中，將三角板沿著 AB 所在直線(xiàn)翻轉(zhuǎn) 180得到 ABF ，再將三角板繞點(diǎn) C 順時(shí)針

3、方向旋轉(zhuǎn) 60得到 DEC，點(diǎn)F 在 AC 上，連接 AE第2頁(yè)共21頁(yè)菱形的判定 -（1）求證：四邊形 ADCE 是菱形（2）連接 BF 并延長(zhǎng)交 AE 于 G，連接 CG請(qǐng)問(wèn)：四邊形 ABCG 是什么特殊平行四 邊形？為什么？8如圖，已知四邊形 ABCD 是平行四 邊形，DEAB ，DFBC，垂足分別是為 E F，并且 DE=DF求證：四邊形 ABCD 是菱形9如圖，在ABC 中，DEBC，分別交 AB ，AC 于點(diǎn) D，E，以AD ，AE 為邊作ADFE 交 BC 于點(diǎn) G，H，且EH=EC求證：（1）B=C；（2）? ADFE 是菱形10如圖，在ABC 中，ACB=90，CD 是 AB

4、 邊上的高，BAC 的平分線(xiàn) AE 交 CD于 F，EGAB 于 G第3頁(yè)共21頁(yè)菱形的判定 -（1）求證：AEGAEC；（2）CEF 是否為等腰三角形，請(qǐng)證明你的結(jié)論；（3）四邊形 GECF 是否為菱形，請(qǐng)證明你的結(jié)論 11如圖，在ABC 中，AB=AC ，點(diǎn)D、E、F 分別是ABC 三邊的中點(diǎn)求證：四邊形 ADEF 是菱形12如圖，在四邊形 ABCD 中，AB=CD ，M 、N、E、F 分別為 AD 、BC、BD、AC 的中點(diǎn)，求證：四邊形 MENF 為菱形13已知：如圖，在梯形 ABCD 中，AD BC，AB=AD ，BAD 的平分線(xiàn) AE 交 BC 于點(diǎn) E，連接 DE求證：四邊形 A

5、BED 是菱形第4頁(yè)共21頁(yè)菱形的判定 -14如圖，在ABC 中，AB=AC ，M 、O、N 分別是 AB 、BC、CA 的中點(diǎn)求證：四邊形 AMON 是菱形15如圖：在ABC 中，BAC=90，AD BC 于 D，CE 平分ACB ，交AD 于 G，交AB于 E，EFBC 于 F求證：四邊形 AEFG 是菱形16如圖，矩形ABCD 繞其對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得矩形 AECF，AB 交 EC 于點(diǎn) N，CD交AF于點(diǎn)M求證：四邊形 ANCM 是菱形第5頁(yè)共21頁(yè)菱形的判定 -17如圖，四邊形 ABCD 、DEBF 都是矩形，AB=BF ，AD 、BE 交于 M ，BC、DF 交于N，那么四邊形 BM

6、DN 是菱形嗎？如果是，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；如果不是，說(shuō)明理由18已知如圖所示，AD 是ABC 的角平分 線(xiàn)，DEAC 交 AB 于 E，DFAB 交 AC 于 F，四邊形 AEDF 是菱形嗎？說(shuō)明理由19已知：如圖所示，BD 是ABC 的角平分 線(xiàn)，EF 是 BD 的垂直平分 線(xiàn)，且交 AB 于 E，交BC 于點(diǎn) F求證：四邊形 BFDE 是菱形第6頁(yè)共21頁(yè)菱形的判定 -20如圖，在平行四邊形 ABCD 中，O 是對(duì)角線(xiàn) AC 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) O 作 AC 的垂線(xiàn)與邊 AD 、BC 分別交于 E、F求證：四邊形 AFCE 是菱形21如圖，在矩形 ABCD 中，EF 垂直平分 BD（1）判斷四邊形

7、 BEDF 的形狀，并說(shuō)明理由（2）已知BD=20 ，EF=15，求矩形 ABCD 的周長(zhǎng)22如圖所示，在? ABCD 中，點(diǎn) E 在 BC 上，AE 平分 BAF ，過(guò)點(diǎn) E 作 EFAB 求證：四邊形 ABEF 為菱形23已知，如圖，矩形 ABCD 中，AB=4cm，AD=8cm ，作CAE= ACE 交 BC 于 E，作ACF= CAF 交 AD 于 F（1）求證：AECF 是菱形；（2）求四邊形 AECF 的面積第7頁(yè)共21頁(yè)菱形的判定 -24如圖，平行四邊形 ABCD 的對(duì)角線(xiàn) AC 的垂直平分 線(xiàn)與邊 AD 、BC 分別交于 E、F問(wèn)四邊形 AFCE 是菱形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由25如圖：

8、在平行四邊形 ABCD 中，E、F 分別是邊 AB 、CD 的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且BE=DF，連接 EF 交 AC 于 O（1）AC 與 EF 互相平分 嗎？為什么？（2）連接 CE、AF ，再添加一個(gè)什么條件，四邊形 AECF 是菱形？ 為什么？26已知：如圖，ABC 和DBC 的頂點(diǎn)在 BC 邊的同側(cè)，AB=DC ，AC=BD 交于 E， BEC 的平分線(xiàn)交 BC 于 O，延長(zhǎng) EO 到 F，使EO=OF求證：四邊形 BFCE 是菱形27如圖，在ABC 中，D 是 BC 邊的中點(diǎn)，F(xiàn)，E 分別是 AD 及其延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，CFBE第8頁(yè)共21頁(yè)菱形的判定 -（1）求證：BDECDF；（2）請(qǐng)連接

9、 BF，CE，試判斷四邊形 BECF 是何種特殊四 邊形，并說(shuō)明理由；（3）在（2）下要使BECF 是菱形，則ABC 應(yīng)滿(mǎn)足何條件？并 說(shuō)明理由28如圖，在ABC 中，ACB=90，BC 的垂直平分 線(xiàn) DE 交 BC 于 D，交AB 于 E， F 在 DE 上，并且 AF=CE （1）求證：四邊形 ACEF 是平行四 邊形；（2）當(dāng)B 的大小滿(mǎn)足什么條件 時(shí)，四邊形 ACEF 是菱形？ 請(qǐng)回答并證明你的結(jié)論 29如圖，在ABC 中，AD 是BAC 的平分線(xiàn)，EF 垂直平分 AD 交 AB 于 E，交AC于 F求證：四邊形 AEDF 是菱形30如圖，ABC 中，點(diǎn) O 是邊 AC 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

10、過(guò) O 作直線(xiàn) MN BC，設(shè) MN 交BCA 的平分線(xiàn)于點(diǎn) E，交BCA 的外角平分 線(xiàn)于點(diǎn) F第9頁(yè)共21頁(yè)菱形的判定 -（1）探究：線(xiàn)段 OE 與 OF 的數(shù)量關(guān)系并加以 證明；（2）當(dāng)點(diǎn)O 運(yùn)動(dòng)到何處，且ABC 滿(mǎn)足什么條件 時(shí)，四邊形 AECF 是正方形？（3）當(dāng)點(diǎn)O 在邊 AC 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形 BCFE 會(huì)是菱形 嗎？若是，請(qǐng)證明，若不是，則說(shuō)明理由矩形的判定 專(zhuān)項(xiàng)練習(xí) 30 題參考答案：11）證明：點(diǎn) E 為 BC 的中點(diǎn)，BE=CE= BC，BA=AD=DC= BC，2AO=ON ，BM=MO ，四邊形AB=BE=ED=AD ，AMND 是平行四 邊形，四邊形 ABED 是菱

11、形；ACBD，平行四邊形 AMND 是菱形，MN=DN ，（2）解：過(guò)點(diǎn) D 作 DH BC，垂足為 H，ON=NC，BM=MO ，MN= BC，CD=DE=CE，BC=2DNDEC=60，3（1）D，E 分別是 BC，AB 的中點(diǎn)，DBE=30，DEAC 且 DE=AF= AC在 RtBDH 中，BD=4cm，同理 DFAB 且 DF=AE= AB DH=2cm，又AB=AC ，DE=DF=AF=AE ，AF=DH ，四邊形 AEDF 是菱形AF=2cm第10頁(yè)共21頁(yè)菱形的判定 -（2）E 是 AB 中點(diǎn)，AE= AB=6cm ，因此菱形 AEDF 的周長(zhǎng)為 46=24cm4（1）BE=B

12、P，E=BPE，BCAF ，BPE=F，E=F（2）EFBD，E=ABD ，F(xiàn)=ADB ，ABD= ADB ，AB=AD ，四邊形 ABCD 是平行四 邊形，ABCD是菱形51）證明：E 是 AD 的中點(diǎn)，AE=DE ，AFBC，1=2，在AEF 和DEC 中，AFE DCE（AAS ），AF=DC ；（2）證明：D 是 BC 的中點(diǎn)，DB=CD=BC，菱形的判定 -AF=CD ，AF=DB ，AF BD ，四邊形 AFBD 是平行四 邊形，BAC=90，D 為 BC 中點(diǎn)， AD= CB=DB ，四邊形 AFBD 是菱形6對(duì)角線(xiàn) BD 平分 ABC ，1=2，四邊形 ABCD 是平行四 邊形

13、，AB DC，3=1，3=2，DC=BC ，又四邊形 ABCD 是平行四 邊形，四邊形 ABCD 是菱形第11頁(yè)共21頁(yè)7（1）三角板 ABC 中，將三角板沿 為AC中點(diǎn)，E著 AB 所在直線(xiàn)翻轉(zhuǎn) 180得到 ABF ， ，DE ACABC ABF ，且AE=EC ，BAC= BAF=30，AGBC，F(xiàn)AC=60，EAG= ECB，AGE= EBC，AD=DC=AC ，AEG CEB，又ABC EFC，（分）AG=BC7CA=CE，四邊形 ABCG 是平行四 邊形，又ECF=60，ABC=90AC=EC=AE ，四邊形 ABCG 是矩形AD=DC=CE=AE ，四邊形 ADCE 是菱形；8在A

14、DE 和CDF 中，（2）四邊形 ABCD 是平行四 邊形，證明：由（1）可知：ACD ，AFC 是等A= C，邊三角形，ACB AFB ，DEAB ，DFBC，EDC=BAC= FAC=30，且AED= CFD=90ABC 為直角三角形，又DE=DF，BC= AC，ADE CDF（AAS ）EC=CB，DA=DC ，EC= AC ，平行四 邊形 ABCD 是菱形第12頁(yè)共21頁(yè)菱形的判定 -9（1）在? ADFE 中，AD EF，（2）解：CEF 是等腰三角形理由如EHC=B（兩直線(xiàn)平行，同位角相下：等）CD 是 AB 邊上的高，EH=EC（已知），CDAB （等邊對(duì)等角），又EGAB ，E

15、HC=CB=C（等量代換）；EGCD，（2）DEBC（已知），CFE= GEA ， 又由（1）知，RtAEGRtAEC，AED=C ADE=BB=C，GEA= CEA，AED= ADE ，CEA= CFE，即CEF=CFE，AD=AE ，CE=CF，即CEF 是等腰三角形；?ADFE 是菱形（3）解：四邊形 GECF 是菱形理由如101）證明：ACB=90，下：ACEC由（1）知，RtAEGRtAEC，則又EGAB ，AE 是BAC 的平分線(xiàn)，GE=EC；由（2）知，CE=CF，GE=CEGE=EC=FC在 RtAEG 與 RtAEC 中，又EGCD，即GEFC，四邊形 GECFR 是菱形Rt

16、AEGRtAEC（HL ）；第13頁(yè)共21頁(yè)菱形的判定 -11D、E、F 分別是ABC 三邊的中點(diǎn)，DEAC ，EFAB ，四邊形 ADEF 為平行四邊形又AC=AB ，DE=EF四邊形 ADEF 為菱形12M 、E、分別為 AD 、BD 、的中點(diǎn)，ME AB ，ME= AB ，同理：FHAB ，F(xiàn)H= AB ，BAE DAE （SAS） （2 分）BE=DE ， （3 分）AD BC，DAE= AEB ， （4 分）BAE= AEB ，AB=BE ， （5 分）AB=BE=DE=AD ， （6 分）四邊形 ABED 是菱形四邊形 MENF 是平行四 邊形，M F 是 AD ，AC 中點(diǎn)，MF

17、= DC，AB=CD ，MF=ME ，四邊形 MENF 為菱形13AE 平分 BAD ，BAE= DAE ， （1 分）在BAE 和DAE 中，菱形的判定 -14AB=AC ，M 、O、N 分別是 AB 、BC、CA 的中點(diǎn)，AM=AB= AC=AN ，M0AC，NOAB ，且MO= AC=AN ，NO= AB=AM （三角形中位線(xiàn)定理），AM=MO=AN=NO ，四邊形 AMON 是菱形（四條邊都相等的四邊形是菱形）15證法一：AD BC，ADB=90，BAC=90，第14頁(yè)共21頁(yè)B+BAD=90，BAD+ CAD=90，B=CAD ，CE 平分ACB ，EFBC，BAC=90（EACA）

18、，AE=EF（角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩 邊的距離相等），CE=CE，由勾股定理得：AC=CF ，ACG 和FCG 中，ACGFCG，CAD= CFG，B=CAD ，B=CFG，GFAB ，AD BC，EFBC，AD EF，即 AG EF，AEGF，四邊形 AEFG 是平行四 邊形，菱形的判定 -AE=EF，平行四 邊形 AEFG 是菱形證法二：AD BC，CAB=90 ，EFBC，CE 平分 ACB ，AD EF，4=5，AE=EF，1=180904，2=180905，1=2，AD EF，2=3，1=3，AG=AE ，AE=EF，AG=EF ，AGEF，四邊形 AGFE 是平行四 邊形，AE=EF

19、，平行四 邊形 AGFE 是菱形第15頁(yè)共21頁(yè)16CDAB ，F(xiàn)MC= FAN ，NAE= MCF （等角的余角相等），在CFM 和AEN 中，CFMAEN （ASA ），CM=AN ，四邊形 ANCM 為平行四邊形，在ADM 和CFM 中，ADM CFM （AAS ），AM=CF ，四邊形 ANCM 是菱形17四邊形 BMDN 是菱形AM BC，AMB= MBN ，BM FNMBN= BNF，AMB= BNF，又A= F=90，AB=BF ，菱形的判定 -ABM BFN，BM=BN ，同理，EMD CND ，DM=DN ，ED=BF=AB ，E=A=90，AMB= EMD ，ABM EDM

20、 ，BM=DM ，MB=MD=DN=BN ，四邊形 BMDN 是菱形18如圖，由于DEAC，DFAB ，所以四邊形 AEDF 為平行四邊形DEAC，3=2，又1=2，1=3，AE=DE ，平行四邊形 AEDF 為菱形19EF 是 BD 的垂直平分 線(xiàn)，EB=ED ，EBD= EDB第16頁(yè)共21頁(yè)是的角平分 線(xiàn)，方法二：同方法一，證得AOECOF5（BDABCEBD= FBD分）FBD= EDB，AE=CFEDBF四邊形 AFCE 是平行四 邊形（8分）同理，DFBE，又EF 是 AC 的垂直平分 線(xiàn)，四邊形 BFDE 是平行四 邊形EA=EC ，又EB=ED，四邊形AFCE是菱形（ 分）10

21、四邊形 BFDE 是菱形方法三：同方法二，證得四邊形 AFCE是平行四 邊形（8分）又 EFAC，（9分）四邊形 AFCE 為菱形20方法一：AEFC21（1）四邊形 BEDF 是菱形EAC= FCA（2分）在DOF 和BOE 中，又AOE= COF，AO=CO，F(xiàn)DO=EBO，OD=OB ，AOECOF（5分）DOF=BOE=90，EO=FO所以 DOFBOE，又 EFAC，所以 OE=OFAC 是 EF 的垂直平分 線(xiàn)（8分）又因?yàn)?EFBD，OD=OB，AF=AE ，CF=CE，所以四邊形 BEDF 為菱形又EA=EC，（5 分）AF=AE=CE=CF 四邊形 AFCE 為菱形（10 分

22、）第17頁(yè)共21頁(yè)菱形的判定 -（2）如圖，在菱形 EBFD 中，BD=20，EF=15，則 DO=10，EO=7.5由勾股定理得 DE=EB=BF=FD=12.5 S 菱形 EBFD = EF?BD=BE?AD，即所以得 AD=12 根據(jù)勾股定理可得AE=3.5，有AB=AE+EB=16 由 2（AB+AD ）=2（16+12）=56，故矩形 ABCD 的周長(zhǎng)為 5622四邊形 ABCD 是平行四 邊形，AFBE，又EFAB ，四邊形 ABEF 為平行四邊形，AE 平分 BAF ，BAE= FAE ，F(xiàn)AE= BEA ，BAE= BEA ，BA=BE ，平行四 邊形 ABEF 為菱形菱形的判

23、定 -23（1）證明：在矩形ABCD 中，AB CD，BAC= DCA ，又CAE= ACE，ACF= CAF，EAC= FCAAECF四邊形 AECF 為平行四邊形，又CAE= ACE，AE=EC ?AECF 為菱形（2）設(shè) BE=x ，則 EC=AE=8x ，在 RtABE 中，AB 2+BE2=AE 2，即 4222（x）+x = 8解之得 x=3，所以 EC=5，即 S 菱形 AECF =EC AB=5 4=2024四邊形 AFCE 是菱形，理由是：四邊形 ABCD 是平行四 邊形，AD BC， =，第18頁(yè)共21頁(yè)AO=OC ，OE=OF，四邊形 AFCE 是平行四 邊形，EFAC，

24、平行四 邊形 AFCE 是菱形25（1）AC 與 EF 互相平分，連接 CE，AF，平行四 邊形 ABCD ，AB CD，AB=CD ，又BE=DF，AB+BE=CD+DF ，AE=CF，AECF，AE=CF，四邊形 AECF 是平行四 邊形，AC 與 EF 互相平分；（2）條件：EFAC，EFAC，又四邊形 AECF 是平行四 邊形，平行四 邊形 AECF 是菱形26AB=DC AC=BD BC=CB ，ABC DCB，DBC= ACB ，BE=CE，又BEC 的平分線(xiàn)是 EF，EO 是中線(xiàn)（三線(xiàn)合一），BO=CO，四邊形 BFCE 是平行四 邊形（對(duì)角線(xiàn)互相平分），又BE=CE，四邊形 BFCE 是菱形27（1）證明：CFBE，EBD= FCD，是 BC 邊的中點(diǎn)，則 BD=CD ，BDE= CDF，BDECDF（2）如圖所示，由（1）可得CF=BE，又CFBE，所以四邊形 BECF 是平行四 邊形；第19頁(yè)共21頁(yè)菱形的判定 -（