1.4.1充分條件與必要條件 課件-高一上學期數(shù)學人教A版(2019)必修第一冊

1、1.4.1 充分條件與必要條件 邏輯用語是數(shù)學語言的重要組成部分，是數(shù)學表達和交流的工具，學習一些常用邏輯用語，可以使我們正確理解數(shù)學概念、合理論證數(shù)學結(jié)論、準確表達數(shù)學內(nèi)容. 邏輯用語也是日常交往、學習和工作中必不可少的工具，正確使用邏輯用語是每一位公民應具備的基本素養(yǎng). 本章我們將通過常用邏輯用語的學習，理解使用邏輯用語表達數(shù)學對象、進行數(shù)學推理的方法，體會邏輯用語在表述數(shù)學內(nèi)容和論證數(shù)學結(jié)論中的作用，學會使用集合和邏輯語言表達和交流數(shù)學問題，提升交流的邏輯性和準確性.命題：一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題.命題的真假：判斷為真的語句是真命題，判斷為假的

2、語句是假命題.命題的形式：許多命題可以寫成“若p則q”，“如果p，那么q”等形式，其中p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.命題的概念練習:下列語句中，命題的個數(shù)為（ ）（1）中國航天人真?zhèn)ゴ螅。?）空集是任何集合的真子集；（3） （4）把門關(guān)上；（5）自然數(shù)是偶數(shù)；（6）垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？（7）在2030年之前，人類能登上火星.(1)是感嘆句，不能判斷真假，不是命題(2)可以判斷真假，是命題(3)其中含有未知數(shù)x不能判斷真假，不是命題(4)是祈使句，不能判斷真假，不是命題(5)可以判斷真假，是命題(6)是疑問句，不能判斷真假，不是命題(7)雖然目前還不能確定真假，但隨著時間的

3、推移，總能判斷他的真假，故也是命題3個思考下列“若p，則q”形式的命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？（1）若平行四邊形的對角線互相垂直，則這個平行四邊形是菱形；（2）若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等；（3）（4）若平面內(nèi)兩條直線a和b均垂直于直線l，則a/b.在命題（1）（4）中由條件p通過推理可以得出結(jié)論q，所以它們是真命題；在命題（2）（3）中由條件p不能得出結(jié)論q，所以它們是假命題。概念：一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q. 這時我們就說由p可以推出q，記作 ，并且說p是q的充分條件，q是p的必要條件；如果“若p，則q”為假命題，那么由條件p不能推出結(jié)

4、論q，記作 . 此時，我們就說p不是q的充分條件，q不是p的必要條件./必要條件：如果q不成立，則p一定不成立，所以q對于p成立而言是必要的，請舉例說明必要條件的含義.上述命題（1）（4）中的p是q的充分條件，q是p的必要條件，而命題（2）（3）中的p不是q的充分條件，q不是p的必要條件.例1 下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？（1）若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；（2）若兩個三角形的三邊成比例，則這兩個三角形相似；（3）若四邊形為菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；（4）（5）若a=b，則ac=bc；（6）若x，y為無理數(shù)，則xy為無理數(shù).解

5、：（1）這是一條平行四邊形的判定定理， ， 所以p是q的充分條件；（2）這是一條相似三角形的判定定理， ， 所以p是q的充分條件；（3）這是一條菱形的性質(zhì)定理， ，所以p是q的充分條件；（4）由于 ，所以 p不是q的充分條件； （5）由等式的性質(zhì)知， ，所以p是q的充分條件；（6） 為無理數(shù)，但 為有理數(shù)，所以p不是q的充分條件./舉反例是判斷一個命題是假命題的重要方法.思考：例1中命題（1）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，即“四邊形的兩組對角分別相等”. 這樣的充分條件唯一嗎？如果不唯一，那么你能再給出幾個不同的充分條件嗎？ 我們說p是q的充分條件，是指由條件p可以推出結(jié)論q，但

6、這并不意味著只能由這個條件才能推出結(jié)論q. 一般來說對給定結(jié)論q，使得q成立的條件p是不唯一的. 例如，我們知道，下列命題均為真命題：（1）若四邊形的兩組對邊分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；（2）若四邊形的一組對邊平行且相等，則這個四邊形是平行四邊形；（3）若四邊形的兩條對角線互相平分，則這個四邊形是平行四邊形. 所以,”四邊形的兩組對邊分別相等”，”四邊形的一組對邊平行且相等”，”四邊形的兩條對角線互相平分”，都是”四邊形是平行四邊形”的充分條件.不唯一，如四邊形的兩組對邊分別平行；四邊形的兩條對角線互相平分. 事實上，例1中命題（1）及上述命題均是平行四邊形的判定定理. 所以，平行四邊

7、形的每一條判定定理都給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，即這個條件能充分保證四邊形是平行四邊形. 類似地，平行線的每一條判定定理都給出了“兩直線平行”的一個充分條件，例如，“內(nèi)錯角相等”這個條件就充分保證了“兩條直線平行”.一般地，數(shù)學中的每一個判定定理都給出了相應數(shù)學結(jié)論成立的一個充分條件.例2 下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？（1）若四邊形為平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角分別相等；（2）若兩個三角形相似，則這兩個三角形的三邊成比例；（3）若四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形是菱形；（4）（5）若ac=bc ，則a=b ；（6）若xy為無理數(shù)，則x

8、，y為無理數(shù).解：（1）這是平行四邊形的一條性質(zhì)定理， ， 所以q是p的必要條件；（2）這是三角形相似的一條性質(zhì)定理， ，所以q是p的必要條件；（3）如圖1.4-1，四邊形ABCD的對角線互相垂直，但它不是菱形， ，所以q不是p的必要條件；（4）顯然 ，所以q是p的必要條件； （5）由于（-1）0=10，但-11， ，所以q不是p的必要條件；（6）由于 為無理數(shù)，但1， 不全是無理數(shù)， ，所以q不是p的必要條件./圖1.4-1 一般地，要判斷“若p，則q”形式的命題中q是否為p的必要條件，只需判斷是否有 “ ”，即“若p，則q”是否為真命題.思考:例2中命題（1）給出了“四邊形是平行四邊形”的

9、一個必要條件，即“這個四邊形的兩組對角分別相等”. 這樣的必要條件是唯一的嗎？如果不唯一，你能給出“四邊形是平行四邊形”的幾個其他必要條件嗎？ 我們說q是p的必要條件，是指以p為條件可以推出結(jié)論q，但這并不意味著由條件p只能推出結(jié)論q. 一般來說，給定條件p，由p可以推出的結(jié)論q是不唯一的. 例如，下列命題都真命題：若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩組對邊分別相等；若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的一組對邊平行且相等；若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩條對角線互相平分.不唯一，如四邊形的兩組對邊分別相等；四邊形的兩組對比分別平行. 這表明，“四邊形的兩組對邊分別相等”，“四邊形的一組

10、對邊平行且相等”，“四邊形的兩條對角線互相平分”都是“四邊形是平行四邊形”的必要條件. 我們知道,例2中命題(1)及上述命題均為平行四邊形的性質(zhì)定理. 所以，平行四邊形的每條性質(zhì)定理都給出了“四邊形是平行四邊形”的一個必要條件. 類似地，平行線的每條性質(zhì)定理都給出了“兩直線平行”的一個必要條件，例如“同位角相等”是“兩直線平行”的必要條件，也就是說，如果同位角不相等，那么就不可能有“兩直線平行”.一般地，數(shù)學中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應數(shù)學結(jié)論成立的一個必要條件.練習1. 下列若p，則q形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件?（1）若平面內(nèi)點P在線段AB的垂直平分線上，則PA=PB；（2）若兩個三角形的兩邊及一邊所對的角分別相等，則這兩個三角形全等；（3）若兩個三角形相似，則這兩個三角形的面積比等于周長比的平方.下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？（1）若直線l與圓O有且僅有一個交點，則l為圓O的一條切線；（2）若 是無理數(shù)，則 也是無理數(shù).（1）是（2）不是（3）是（1）l為圓O的一條切線是直線l與圓O有且僅有一個交點的必要條件；（2） 是無理