小樣本及容量

1、一只鸚鵡大搖大擺地走進(jìn)酒吧，飛上吧臺。 “嘿，伙計！給我來一盤毛毛蟲！”鸚鵡嚷道。 “我們這里不賣毛毛蟲！”侍者有點生氣。 “什么破酒吧？”鸚鵡罵了一句，一搖一擺地走了。 第二天，鸚鵡又來了，躍上吧臺。 “喂，伙計！快給我來一盤毛毛蟲！”鸚鵡仿佛忘了昨天的事。 “你是不是不長記性！我們這里不賣毛毛蟲！”侍者十分惱火。 “到底是不是做生意的？”鸚鵡嘟噥著走了。 第三天，鸚鵡照舊來到酒吧，“撲哧”一聲竄上吧臺。 “伙計！來一盤毛毛蟲！”鸚鵡依舊老一套。 “你要是再敢要毛毛蟲，我就把你的嘴殼子釘在這吧臺上！” 說著侍者揮了揮拳頭. “暴脾氣！” 鸚鵡埋怨了一聲，急忙逃走了。 第四天，鸚鵡居然還是來到

2、酒吧。 它飛上吧臺，“伙計！給我來一盤釘子!” 鸚鵡終于改了說法. “滾開！我們這里沒有釘子！”侍者罵道。 “那么，給我來一盤毛毛蟲！” 1第三節(jié) 小樣本情形下的區(qū)間估計使用t分布的條件（p129)：正態(tài)總體、當(dāng)樣本容量n30，總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替總體標(biāo)準(zhǔn)差。T分布：2在討論大樣本的參數(shù)估計時，我們引用了中心極限定理，即把平均數(shù)的抽樣分布看成是正態(tài)分布。 3但中心極限定理是在極限意義上引進(jìn)的。如果樣本容量太小，而總體方差未知時，由于樣本標(biāo)準(zhǔn)差是有偏估計量，當(dāng)我們用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替（點估計）總體標(biāo)準(zhǔn)差時，就不能再認(rèn)為平均數(shù)的抽樣分布是N。即：當(dāng)n較小， 不再成立。 4 所以，當(dāng)我們

3、利用樣本標(biāo)準(zhǔn)差來代替總體標(biāo)準(zhǔn)差時，在對參數(shù)進(jìn)行估計時，就會人為地引入一個誤差來源，而我們又使用小樣本，更會影響我們估計的精度，為了保持我們需要的置信度，我們只有加寬置信區(qū)間。 從區(qū)間估計的公式中可以看到，s代替，n是我們選擇的樣本容量，不能再變，能變化的只有Z值了，而改變Z，除了改變置信度外，就要改變分布的形式，即認(rèn)為抽樣分布不服從正態(tài)分布。 5 經(jīng)過證明及推導(dǎo)，引出在小樣本的情況下，我們估計的臨界值服從自由度為（n-1）的t分布，臨界值用表示，置信區(qū)間為：()，6 特點(p106、130）: 關(guān)于y軸對稱;隨著自由度的逐漸增大,密度曲線逐漸接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度曲線.標(biāo)準(zhǔn)t分布表示方法：xt(0

4、, )，其密度曲線:Xf(x)7 t分布的 分位數(shù):Xf(x) 設(shè)Xt(n),對于給定(0)=,則稱為t(n)分布的水平的分位數(shù), 記為:例如. 設(shè)Xt(15),求(1)=0.005的上側(cè)分位數(shù);解(1)=t0.005(15),查表得=2.947t(n)8估計區(qū)間：9例題1： 某商場從一批袋裝食品中隨機(jī)抽取10袋，測得每袋重量（單位：克）分別為789、780、794、762、802、813、770、785、810、806，如果袋裝重量服從正態(tài)分布，要求以95%的把握程度，估計這批食品的平均每袋重量的區(qū)間范圍及其允許誤差。10分析： 在置信度不變的情況下，相同的面積在t 分布中包含的區(qū)間更長一些

5、。11例題2：從大學(xué)一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取12名學(xué)生，其閱讀能力得分（服從正態(tài)分布）為28，32，36，22，34，30，33，25，31，33，29，26。試評估一下大學(xué)一年級學(xué)生閱讀能力的總體平均分?jǐn)?shù)。要求置信度分別是95%和99%。12步驟：（1）計算樣本平均數(shù)： （2）計算樣本標(biāo)準(zhǔn)差（3）構(gòu)造分布，并確定自由度（4）計算平均誤差：（5）估計總體平均數(shù)置信區(qū)間：29.917 4.1 1.184 11 （27.311 32.523) 13習(xí)題1： 為管理的需要，銀行要測定在業(yè)務(wù)柜臺上每筆業(yè)務(wù)平均所需的時間。假設(shè)每筆業(yè)務(wù)所需時間服從正態(tài)分布，現(xiàn)隨機(jī)抽取樣本量為16，測得平均時間為13分鐘，標(biāo)準(zhǔn)

6、差為5.6分鐘，要求以99%的置信系數(shù)確定置信界限。若置信系數(shù)改為90%，其置信界限有什么區(qū)別？14 習(xí)題2：某出租汽車公司欲測定該公司汽車的每公升汽油能行駛的里程，該數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布。隨機(jī)抽取8輛車測定得數(shù)據(jù)如下：11.95,14.28,17.90,15.94,11.73,15.64,16.58,12.50。要求估計該公司所有汽車每公升汽油平均行駛里程的置信區(qū)間，置信系數(shù)為95%。15 習(xí)題3: 隨機(jī)地從一批釘子中抽取16枚，測得它們的直徑（單位：厘米），并求得其樣本均值為2.125,方差為0.01713 .設(shè)釘?shù)闹睆椒恼龖B(tài)分布,試求總體均值的置信系數(shù)為0.90的置信區(qū)間已知 ： 16第四

7、節(jié):抽樣容量的確定（p141) 所謂必要的抽樣數(shù)目，也就是指為了使抽樣誤差不超過給定的允許范圍至少應(yīng)抽取的樣本單位數(shù)目。17影響抽樣容量的因素：（1）總體方差2（或總體標(biāo)準(zhǔn)差）。其他條件不變下，總體單位的差異程度大，則應(yīng)多抽，反之可少抽一些。（2）允許誤差范圍 或 。（書中用E表示）（3）置信度（ ）。（4）抽樣方法（是否重復(fù)抽樣）。（5）抽樣組織方式。18影響區(qū)間寬度的因素1、數(shù)據(jù)的離散程度，用 來測度2、樣本容量，3、置信水平 (1 - )，影響 Z 的大小與總體方差成正比與允許誤差成反比與可靠性系數(shù)成正比19重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣估計總體均值時樣本容量的確定 20根據(jù)均值區(qū)間估計公式可得樣本

8、容量n為因此：21根據(jù)比例區(qū)間估計公式可得樣本容量n為估計總體比例時樣本容量的確定(P143) 若總體比例P未知時，可用樣本比例 來代替 p22樣本量的確定（實例1）需要多大規(guī)模的樣本才能在 90% 的置信水平上保證均值的誤差在 5 之內(nèi)? 前期研究表明總體標(biāo)準(zhǔn)差為 45.nZE=222222(1645)(45)(5)219.2220.向上取整23【例2】一家廣告公想估計某類商店去年所花的平均廣告費(fèi)有多少。經(jīng)驗表明，總體方差約為1800000元。如置信度取95%，并要使估計在總體平均值附近500元的范圍內(nèi)，這家廣告公司應(yīng)抽多大的樣本？24解:已知2=1800000，=0.05， Z/2=1.9

9、6，=500 應(yīng)抽取的樣本容量為25例題4： 某食品廠要檢驗本月生產(chǎn)的10000袋產(chǎn)品的重量，根據(jù)上月資料，這種產(chǎn)品每袋重量的標(biāo)準(zhǔn)差為25克。要求在95.45%的概率保證程度下,平均每袋重量的誤差范圍不超過5克,應(yīng)抽查多少袋產(chǎn)品?26不重復(fù)抽樣：2728一個結(jié)論： 不重復(fù)抽樣的效率高于重復(fù)抽樣。29習(xí)題4: 某超級市場欲估計每個顧客平均每次購物的金額，根據(jù)過去的經(jīng)驗，標(biāo)準(zhǔn)差大約為160元，現(xiàn)要求以95%的置信度估計每個顧客的購物金額，并要求允許誤差不超過20元，應(yīng)抽多少顧客作樣本？30 習(xí)題5: 某養(yǎng)雞專業(yè)戶養(yǎng)了1000只小雞，一個月后欲估計這批小雞的總重量，要求估計誤差不超過2公斤（2000

10、克），而每只雞重量的方差約為49 ，要求置信度為95%應(yīng)抽多少只雞作樣本？3132 習(xí)題6：某果園有1000株果樹，在采摘前欲估計果園的總產(chǎn)量，隨機(jī)抽選了10株，產(chǎn)量分別為161，68，45，102，38，87，100，92，76，90公斤。假設(shè)果樹的產(chǎn)量服從正態(tài)分布，試以95%的置信水平估計該果園的總產(chǎn)量，若要求置信區(qū)間縮小一半，應(yīng)抽多少株果樹作樣本？33總體方差未知時樣本容量的確定(P142、143)例7：某商場經(jīng)理預(yù)估計消費(fèi)者每次來商場購物所花費(fèi)的金額，以往經(jīng)驗表明，一般消費(fèi)者最多花費(fèi)356元，最低花費(fèi)68元，如想以95%的把握，使估計的誤差不大于30元，應(yīng)該抽取多少樣本容量？34簡單隨

11、機(jī)抽樣下估計總體比例時樣本容量的確定式中的總體比例可以通過以下方式估計：根據(jù)歷史資料確定通過試驗性調(diào)查估計取為0.5。35 【例4】某品牌電腦公司，準(zhǔn)備將電腦銷售市場轉(zhuǎn)入拉美地區(qū)，事先派出有關(guān)人員到該地區(qū)查詢資料，以便估計一下該地區(qū)有電腦的家庭所占的比例。公司希望這一比例的估計允許誤差不超過0.05，且置信度為95%。問：要抽取多大容量的樣本？（事先對總體一無所知） 。36解: 已知=0.05，=0.05，Z/2=1.96，當(dāng)p未知時用最大方差0.25代替 應(yīng)抽取的樣本容量為37 例題6：某企業(yè)對一批產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢查，這批產(chǎn)品的總數(shù)為5000件，過去幾次同類調(diào)查所得的產(chǎn)品合格率為93%、95%、和96%，為了使合格率的允許誤差不超過3%，在99.73%的概率下應(yīng)抽查多少件產(chǎn)品?38例8：某調(diào)查機(jī)構(gòu)想調(diào)查某市家庭擁有電腦的比率，如果客戶要求的把握程度是90%，誤差不大于2%，應(yīng)抽取多大的樣本？39練習(xí)7：從我校新入學(xué)的名單中得知，新生中年齡最大的22歲，最小的17歲，如果想以95%的把握使估計的平均年齡不超過0.5歲，應(yīng)抽取多大的樣本？40為了考察我校英