畢業(yè)論文-初等變換的應(yīng)用

1、 山東財(cái)經(jīng)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 山東財(cái)經(jīng)大學(xué)本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))題目： 初等變換的應(yīng)用The application of elementary transformation學(xué) 院 XXXXXXXXXX 專 業(yè) XXXXXXXXXXXXXXX 班 級(jí) XXXXXXX 學(xué) 號(hào) XXXXXXXX 姓 名 XXXX 指導(dǎo)教師 XXXXXX 山東財(cái)經(jīng)大學(xué)教務(wù)處制二一三年五月山東財(cái)經(jīng)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均

2、已在論文中作了明確的說明并表示了謝意。本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。學(xué)位論文作者簽名： 年 月 日山東財(cái)經(jīng)大學(xué)關(guān)于論文使用授權(quán)的說明本人完全了解山東財(cái)經(jīng)大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)士學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán)保留、送交論文的復(fù)印件，允許論文被查閱，學(xué)?？梢怨颊撐牡娜炕虿糠謨?nèi)容，可以采用影印或其他復(fù)制手段保存論文。指導(dǎo)教師簽名： 論文作者簽名： 年 月 日 年 月 日初等變換的應(yīng)用摘 要初等變換是高等代數(shù)中一種非常重要的思想方法,而通常計(jì)算中使用最多的就是矩陣的初等行變換.本論文主要研究的是初等行變換在高等代數(shù)各方面的應(yīng)用,討論了初等變換在高等代數(shù)許多理論中的應(yīng)用,如在多項(xiàng)式理論、矩陣?yán)碚?、線性方程

3、組理論、向量空間、線性變換、二次型理論等方面的應(yīng)用.本課題將對(duì)矩陣的初等變換在高等代數(shù)中的應(yīng)用進(jìn)行系統(tǒng)地探討,首先寫出矩陣的初等變換的定義,然后對(duì)其相關(guān)的各方面的應(yīng)用進(jìn)行探討.關(guān)鍵詞：多項(xiàng)式；矩陣；線性方程組；向量空間；線性變換；二次型The application of elementary transformationABSTRACTElementary transformation is a very important thinking method in Higher Algebra, and usually the most used is the elementary row t

4、ransformation of matrix in the calculations.This paper mainly studies the application of elementary row transformation in all aspects of Higher algebra, discusses the applications of elementary transformation in many theories of Higher algebra,such as in the polynomial theory,matrix theory, theory o

5、f linear equations, vector spaces, linear of transformation, the theory of quadratic form etc.This issue will make a systematic discussion of the application of elementary transformation of matrix in Higher Algebra, firstly write the definition of the application of elementary transformation of matr

6、ix, then explore the application of all aspects related to it. Keywords：polynomial；matrix；linear equations；vector spaces；linear of transformation；quadratic 目 錄TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc12558 一 前言 PAGEREF _Toc12558 1 HYPERLINK l _Toc17408 （一）選課的背景 PAGEREF _Toc17408 1 HYPERLINK l _Toc13261 （二）論文的結(jié)

7、構(gòu) PAGEREF _Toc13261 1 HYPERLINK l _Toc15278 二 初等變換的相關(guān)概念及結(jié)論 PAGEREF _Toc15278 1 HYPERLINK l _Toc27298 （一）初等變換的相關(guān)概念及性質(zhì) PAGEREF _Toc27298 1 HYPERLINK l _Toc25777 1、初等變換的相關(guān)概念 PAGEREF _Toc25777 1 HYPERLINK l _Toc4529 2、相關(guān)性質(zhì) PAGEREF _Toc4529 2 HYPERLINK l _Toc26967 （二）初等變換 PAGEREF _Toc26967 2 HYPERLINK l

8、_Toc30182 三 初等變換的應(yīng)用 PAGEREF _Toc30182 4 HYPERLINK l _Toc18277 （一）初等變換與行列式 PAGEREF _Toc18277 4 HYPERLINK l _Toc6222 （二）初等變換與矩陣的秩 PAGEREF _Toc6222 5 HYPERLINK l _Toc5266 1、矩陣的秩的定義 PAGEREF _Toc5266 5 HYPERLINK l _Toc21820 2、用初等變換求矩陣的秩 PAGEREF _Toc21820 5 HYPERLINK l _Toc11147 （三）初等變換與逆矩陣 PAGEREF _Toc11

9、147 6 HYPERLINK l _Toc30119 1、逆矩陣的相關(guān)定義 PAGEREF _Toc30119 6 HYPERLINK l _Toc11878 2、用初等變換求逆矩陣 PAGEREF _Toc11878 6 HYPERLINK l _Toc1123 （四）初等變換與線性方程組 PAGEREF _Toc1123 7 HYPERLINK l _Toc29044 1、初等變換求齊次線性方程組 PAGEREF _Toc29044 7 HYPERLINK l _Toc19994 2、用初等變換求非齊次線性方程組 PAGEREF _Toc19994 8 HYPERLINK l _Toc1

10、4795 （五）初等變換在整數(shù)和多項(xiàng)式中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc14795 10 HYPERLINK l _Toc27197 1、求兩個(gè)整數(shù)的最大公因式、最小公倍數(shù) PAGEREF _Toc27197 10 HYPERLINK l _Toc21766 2、初等變換與多項(xiàng)式 PAGEREF _Toc21766 11 HYPERLINK l _Toc23615 （六）初等變換與矩陣方程 PAGEREF _Toc23615 13 HYPERLINK l _Toc31748 1、當(dāng),可逆時(shí)線性矩陣方程的解 PAGEREF _Toc31748 13 HYPERLINK l _Toc6101 2、

11、當(dāng),不可逆時(shí)線性矩陣方程的解 PAGEREF _Toc6101 14 HYPERLINK l _Toc16564 （七）初等變換在向量組的線性相關(guān)性中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc16564 15 HYPERLINK l _Toc18451 1、向量組的線性相關(guān)性 PAGEREF _Toc18451 15 HYPERLINK l _Toc1839 2、初等行變換在求列項(xiàng)組的極大線性無關(guān)組中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc1839 17 HYPERLINK l _Toc30880 3、列向量組的線性關(guān)系 PAGEREF _Toc30880 17 HYPERLINK l _Toc19630 4、

12、等價(jià)向量組的判定 PAGEREF _Toc19630 18 HYPERLINK l _Toc31062 （八）初等變換與方陣的特征值 PAGEREF _Toc31062 19 HYPERLINK l _Toc21275 （九）初等變換與矩陣對(duì)角化 PAGEREF _Toc21275 20 HYPERLINK l _Toc22531 （十）初等變換在化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc22531 23 HYPERLINK l _Toc15956 四 結(jié)語 PAGEREF _Toc15956 24 HYPERLINK l _Toc26929 參考文獻(xiàn) PAGEREF _Toc2692

13、9 26 PAGE 26PAGE 26PAGE 1一 前言（一）選課的背景本文主要總結(jié)了初等行變換在學(xué)習(xí)高等代數(shù)時(shí)有哪些應(yīng)用,以及它在高等代數(shù)中的作用和地位.矩陣的初等變換起源于解線性方程組,是高等代數(shù)中的一個(gè)基本概念.由于矩陣的初等變換計(jì)算簡潔,便于應(yīng)用,是研究代數(shù)問題的一個(gè)重要工具.對(duì)如何巧妙地運(yùn)用初等變換去解決高等代數(shù)中有些運(yùn)算復(fù)雜的問題會(huì)起到事半功倍的效果.之所以把初等行變換特別拿出來討論,首先是因?yàn)樗谡麄€(gè)科目中的無所不在的作用力.只要我們小小思考一下,不難發(fā)現(xiàn),初等行變換幾乎貫通整個(gè)高等代數(shù).它是研究高等代數(shù)不可缺少的工具,換句話說,如果沒有初等變換的存在,我們?cè)诟叩却鷶?shù)中可以說是

14、寸步難行.其次,初等行變換提供給我們?cè)谘芯烤仃?、行列式方面的另一個(gè)思考方向,開辟了另一個(gè)更廣闊的空間.再次,初等行變換使得矩陣和行列式的運(yùn)算更為直觀又簡便,符合數(shù)學(xué)領(lǐng)域的高追求,等等.（二）論文的結(jié)構(gòu)歸納總結(jié)初等變換在高等代數(shù)中的一些基本應(yīng)用并舉例說明.通過對(duì)初等變換及應(yīng)用的加以討論加深對(duì)初等變換的理解,從而能更加靈活的運(yùn)用初等變換解決一些具體的問題.本篇論文結(jié)構(gòu)安排如下:（1）簡單介紹初等變換的的研究背景及論文的結(jié)構(gòu)安排.（2）總結(jié)歸納初等變換的相關(guān)概念及結(jié)論.（3）總結(jié)初等變換的應(yīng)用領(lǐng)域,并舉例說明.其中包括在矩陣的秩、逆矩陣、多項(xiàng)式、線性方程組、矩陣對(duì)角化、矩陣方程、向量組的線性相關(guān)性、

15、二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形等方面的應(yīng)用.（4）總結(jié)本篇論文所存在的不足及初等變換的重要性,并歸納出初等變換法在求解各類題型中的一些優(yōu)勢.二 初等變換的相關(guān)概念及結(jié)論（一）初等變換的相關(guān)概念及性質(zhì)1、初等變換的相關(guān)概念定義1【1】：矩陣的下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：(1) 交換矩陣的兩行(交換 ,兩行,記作 )；(2) 以一個(gè)非零的數(shù) 乘矩陣的某一行(第 行乘數(shù) ,記作)；(3) 把矩陣的某一行的 倍加到另一行(第 行乘 加到 行,記為 ）；把上述中“行”變?yōu)椤傲小奔吹镁仃嚨某醯攘凶儞Q（相應(yīng)記號(hào)中把 換成）.初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.注:初等變換的逆變換仍是初等變換,且變換類型相同.例如

16、,變換 的逆變換即為其本身,變換的逆變換為,的逆變換為.定義2【1】：如果矩陣經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣,就稱矩陣與矩陣等價(jià),記作（或）.注：在理論表述或證明中,常用記號(hào)“”,在對(duì)矩陣作初等變換運(yùn)算的過程中常用記號(hào)“”.一般地,稱滿足下列條件的矩陣為行階梯形矩陣:（1）零行（元素全為零的行）位于矩陣的下方；（2）各非零行的首非零元（從左至右的一個(gè)不為零的元素）的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增大而嚴(yán)格增大（或說是其列表一定不小于行標(biāo)）.一般地,稱滿足下列條件的矩陣為行最簡形矩陣：各非零行的首非零元都是1；每個(gè)首非零元所在列的其余元素都是零. 一般地,矩形的標(biāo)準(zhǔn)形具有如下特點(diǎn)： 的左上角是一個(gè)單位矩陣,其余元素

17、為0.2、相關(guān)性質(zhì) 矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列基本性質(zhì)：（1）反身性 ；（2）對(duì)稱性 若,則；（3）傳遞性 若,則.定理1【1】：任一矩陣總可以經(jīng)過有限次等行變換化為行階梯形矩陣,并進(jìn)而化為行最簡形矩陣.定理2【1】：任一矩陣可以經(jīng)過有限次初等變換,可以化為下列標(biāo)準(zhǔn)形矩陣 . 推論2【1】：如果為可逆矩陣,則矩陣經(jīng)過有限次初等變換,可化為單位矩陣,即.（二）初等變換定義3【1】：對(duì)單位矩陣實(shí)施一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣. 三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣：互換兩行（列）：（2）把某行（列）乘以一非零常數(shù)：其中（3）把第行（列）加上第 行（列）的 倍：初等矩陣及時(shí)將上述3種變換應(yīng)用于一單位

18、矩陣的結(jié)果.以下只討論對(duì)某行的變換,列變換可以此類推.互換兩行：這一變換 ,將一單位矩陣的第行的所有元素與第行互換. 性質(zhì)：逆矩陣即自身：.因?yàn)閱挝痪仃嚨男辛惺綖?,故. 與它相同大小的方陣 亦有以下性質(zhì)：.把某行乘以一非零常數(shù)：這一變換 ,將第行的所有元素乘以一非零常數(shù) . 性質(zhì)：逆矩陣為 .此矩陣及其逆矩陣均為對(duì)角矩陣.其行列式 .故對(duì)于一等大方陣有 .（3）把第 行加上第行的 倍：這一變換,將第 行加上第行的倍. 性質(zhì)：逆矩陣具有性質(zhì) . 此矩陣及其逆矩陣均為三角矩陣. .故對(duì)于一等大方陣有. 注【1】：設(shè)是一個(gè)階的矩陣,對(duì)做一次初等行變換,相當(dāng)于矩陣左乘階矩陣,對(duì)做一次初等列變換,相當(dāng)

19、于矩陣左乘階矩陣.三 初等變換的應(yīng)用（一）初等變換與行列式我們?cè)谟?jì)算行列式時(shí),也經(jīng)常會(huì)用到初等變換,只是它對(duì)變換的要求更嚴(yán)格一些.因?yàn)槌醯茸儞Q對(duì)矩陣來說,只要矩陣等價(jià)就能放心使用,而對(duì)行列式來說,不僅僅是要求等價(jià),還有保證兩個(gè)行列式值相等.所以,在行列式的計(jì)算中,初等變換有了一定的限制.以初等行變換為例,我們首先來看看,初等行變換在行列式的規(guī)定：性質(zhì)1 行列互換,行列式不變.性質(zhì)2 一行的公因子可以提出去,或者說以一數(shù)乘以行列式的一行就相當(dāng)于用這個(gè)數(shù)乘此行列式.（如果行列式中有一行為零,那么行列式為零.）性質(zhì)3 如果某一行是兩組數(shù)的和,那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式的和,這兩個(gè)行列式除這以行以

20、外全與原來行列式的對(duì)應(yīng)的行一樣.性質(zhì)4 如果行列式中有兩行相同,那么行列式為零.所謂兩行相同就是說兩行的對(duì)應(yīng)元素都相等.性質(zhì)5 如果行列式中兩行成比例,那么行列式為零.性質(zhì)6 把一行的倍數(shù)加到另一行,行列式不變.性質(zhì)7 對(duì)換行列式中的兩行位置,行列式反號(hào).例：計(jì)算級(jí)行列式 解：這個(gè)行列式的特點(diǎn)是每一行有一個(gè)元素是,其余個(gè)元素是.根據(jù)性質(zhì)6,把第二列加到第一列,行列式不變,再把第三列加到第一列,行列式也不變直到把第列也加到第一列,即得 ,把第二行到第行都分別加上第一行的-1倍,就有這是一個(gè)上三角形的行列式,則有.一般格式：經(jīng)過將行列式等行變換化為上三角形 .（二）初等變換與矩陣的秩矩陣的秩是矩陣

21、的一個(gè)重要的數(shù)值特征,是反映矩陣本質(zhì)屬性的一個(gè)不變的量.它在線性方程組等問題的研究中起著非常重要的作用.下面我們介紹一下矩陣秩的求解方法.1、矩陣的秩的定義如果矩陣中有一個(gè)不等于零的階子式，而所有的階子式（如果存在的話）全為0,那么為矩陣的一個(gè)最高階非零子式.數(shù)稱為矩陣的秩,記作或,并規(guī)定零矩陣的秩為0.由定義可得： （1）如,則中至少有一個(gè)階子式，所有子式全為零階,且更高階子式均為零,是中不為零的子式的最高階數(shù),是唯一的. （2）有行列式的性質(zhì),. （3）如果為的方陣,且,則.反之,如,則.因此,方陣可逆的充要條件是. （4）,.2、用初等變換求矩陣的秩定理1【1】：的充要條件是中存在一個(gè)階

22、子式不為零,而所有高于階的子式皆為零.定理2【1】：階梯型矩陣的秩等于它的非零行元素的行數(shù).定理3【1】：對(duì)矩陣施行初等行（列）變換,所得矩陣與原矩陣有相同的秩.推論：設(shè)是任一矩陣,、分別是階、階可逆（滿秩）矩陣,則必有. 例：,求. 解： 所以. 求矩陣的秩方法：（1）利用初等行變換化矩陣為階梯形矩陣. （2）數(shù)階梯形矩陣非零行的行數(shù)即為矩陣的秩.（三）初等變換與逆矩陣 1、逆矩陣的相關(guān)定義 定義1【1】：階方陣稱為可逆的,如果有階方陣,使得,這里是階單位矩陣. 定義2【1】：矩陣同樣適合,那么就稱為的逆矩陣,記為. 定義3【1】：設(shè)是矩陣中元素的代數(shù)余子式,矩陣 稱為的伴隨矩陣. 定理1【

23、2】：矩陣可逆的充要條件是是非退化的,而. 定理2【2】：設(shè)為階可逆矩陣,為階單位矩陣,若對(duì)階矩陣做一系列初等行變換,使它變?yōu)?則. 定理3【2】：階矩陣可逆的充要條件是可以表示為若干初等矩陣的乘積.2、用初等變換求逆矩陣初等矩陣是可逆的,且其逆矩陣仍是初等矩陣, ,.方陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)為有限個(gè)初等矩陣的積.等價(jià)地說,可經(jīng)過一系列初等行（列）變換化為單位矩陣： .由此得到用初等變換求,的方法： （1）用行初等變換求逆矩陣：. （2）用行初等變換求逆矩陣：. （3）用行初等變換求：. （4）用列初等變換求：.例：已知矩陣滿足恒等式,求.解： 于是 .（四）初等變換與線性方程組 1、初等變換求齊次線

24、性方程組定義：形如 （1）的線性方程組稱為齊次線性方程組,也可記為,其中是上面方程組的系數(shù)矩陣,為所求未知量組成的列向量.定理：齊次線性方程組有非零解,即系數(shù)矩陣的秩小于方程組未知變量的個(gè)數(shù).對(duì)于齊次線性方程組,判斷其解有方法：個(gè)方程的元齊次線性方程組有非零解的充要條件是.推論：線性方程組有非零解的充要條件是.例：求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系. 解： 方程組的系數(shù)矩陣,對(duì)其進(jìn)行初等行變換,使其成為階梯形,得 （1）因?yàn)?故原方程組有非零解.由（1）得原方程組的同解方程組所以,求得原方程組的基礎(chǔ)解系為 , . 2、用初等變換求非齊次線性方程組 定義：形如 （2）的線性方程組稱為非齊次線性方程組

25、,也可記為,其中是上面方程組的系數(shù)矩陣,為所求未知量組成的列向量.定理【3】：非齊次線性方程組（2）有解的充分必要條件為它的系數(shù)矩陣 與增廣矩陣 有相同的秩.對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組是非齊次方程組（2）的導(dǎo)出組.非齊次方程組（2）的通解由它的齊次方程組的解和它的一個(gè)特解表示.定理：如果是方程組（2）的一個(gè)特解,是其對(duì)應(yīng)的齊次方程組的解,那么非齊次方程組（2）的任一解都可以表成 （*）,因此對(duì)于方程組（2）的任一個(gè)特解,當(dāng)取遍它的導(dǎo)出組的全部解時(shí),（*）就給出（2）的全部解.判斷非齊次線性方程組的解有如下方法：元線性方程組：有解的充要條件是；（2）有唯一解的充要條件是；（3）有無窮多解的充要條件是(

26、其中為的增廣矩陣).注：（1）的逆否命題為：線性方程組無解的充要條件是.一般地,對(duì)于一個(gè)元線性方程組,當(dāng)它的系數(shù)行列式不為零時(shí),只要對(duì)方程組的增廣矩陣施以適當(dāng)?shù)男谐醯茸儞Q,使它成為以下形式：那么矩陣的最后一列元素就是方程組的解,即,.例：求非齊次線性方程組的通解.解：原方程組的增廣矩陣為,利用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形,則故,所以方程組有解而且有唯一解.（五）初等變換在整數(shù)和多項(xiàng)式中的應(yīng)用1、求兩個(gè)整數(shù)的最大公因式、最小公倍數(shù)在初等數(shù)論中,要求兩個(gè)整數(shù),的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)通常是先求兩整數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式,在此結(jié)果上再求,的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù).這種方法的弊端是當(dāng),的絕對(duì)值較大時(shí),對(duì)它們

27、進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)分解是非常復(fù)雜的.下面介紹一種矩陣求法, 即應(yīng)用矩陣初等變換的方法來求兩個(gè)整數(shù),的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù).命題1【4】：:設(shè),，,則存在整數(shù)矩陣,且,使得,其中,.證明：由,則存在,使.若令,則,.記,則,.從而可以構(gòu)造整數(shù)矩陣,.命題2【4】：矩陣左（右）乘一個(gè)可逆的整數(shù)矩陣相當(dāng)于對(duì)進(jìn)行一系列的整數(shù)行（列）初等變換.由命題1、命題2可得出求兩整數(shù),的最大公因式與最小公倍數(shù)的矩陣求法：構(gòu)造矩陣,對(duì)實(shí)施整數(shù)初等變換,把化成階梯形矩陣,則為最大公因式,為最小公倍數(shù).例：已知,求,.解：如前述方法構(gòu)造矩陣,并對(duì)其實(shí)施整數(shù)初等變換： 所以有,.命題3【4】：設(shè)是個(gè)不全為0的整數(shù),它們的最大公因

28、數(shù),則存在可逆方陣,使得.由命題3 可得求的最大公因數(shù)的方法：在行向量 下方添加一個(gè) 階單位陣,構(gòu)成 階矩陣,對(duì)實(shí)施整數(shù)初等列變換直到其第一行化為,則其下方的單位陣便化成了可逆方陣,即 .例：求230,1140,1870的最大公因式.解：如前述方法構(gòu)造矩陣,并對(duì)其實(shí)施整數(shù)初等變換： 所以有. 2、初等變換與多項(xiàng)式把命題1加以推廣,可以得到多項(xiàng)式的最大公因式、最小公倍數(shù)的矩陣初等變換求法.命題4【4】：設(shè),是 中的非零多項(xiàng)式,若,存在可逆的多項(xiàng)式矩陣使得,其中,.證明：由, 是 中的非零多項(xiàng)式,則存在,使得.令,其中,為,的首項(xiàng)系數(shù).則有 ,而 .所以可逆,命題得證.命題5【4】：每個(gè)可逆的多項(xiàng)

29、式矩陣可以表示為一些初等多項(xiàng)式矩陣的乘積,而對(duì)一個(gè)多項(xiàng)式矩陣左乘一個(gè)初等多項(xiàng)式矩陣相當(dāng)于對(duì)該多項(xiàng)式實(shí)施一次初等行變換.據(jù)命題4及命題5可得多項(xiàng)式的最大公因式與最小公倍數(shù)的求法：由已知的,構(gòu)造多項(xiàng)式矩陣,對(duì)實(shí)施初等行變換化為上三角矩陣,其中,的首項(xiàng)系數(shù)為1.則分別是,的最大公因式與最小公倍數(shù).例：已知,求,的最大公因式與最小公倍數(shù).解：如前述方法構(gòu)造矩陣,并對(duì)其實(shí)施整數(shù)初等變換： 所以,.（六）初等變換與矩陣方程1、當(dāng),可逆時(shí)線性矩陣方程的解我們知道的解為.實(shí)際上就是計(jì)算的矩陣乘積,因?yàn)? 所以經(jīng)過行初等變換可使化為,也即對(duì)矩陣作初等行變換,當(dāng)處變成單位矩陣時(shí),處得到的矩陣就是.例：求解矩陣方程

30、,其中 ,.解: . 因此 . 2、當(dāng),不可逆時(shí)線性矩陣方程的解當(dāng),不可逆時(shí)我們將要用到新的初等變換法來解這種矩陣方程.定理 1【5】：如果矩陣方程有解,且可逆矩陣使,那么該矩陣方程的通解為,其中為的前行組成的矩陣,中的元素可以任意取值. 以上定理可給出求解矩陣方程的具體方法:（1）把,放到一起,組成一個(gè)矩陣,然后對(duì)其做初等行變換,使得經(jīng)過行變換后得到矩陣,其中是上階三角矩陣,從而可確定矩陣和矩陣的秩,判斷方程是否有解,同時(shí)取的前面行作成,它滿足,且為的前行. （2）如果上述方程有解,則對(duì)作初等列變換.經(jīng)過列變換后變成其中,必有.（3）從而由定理1可知,的通解公式為.例：設(shè),求矩陣方程的通解.

31、解：根據(jù)求解矩陣方程的步驟,首先將放到一起,組成一個(gè)矩陣,如下: .然后對(duì)其作一系列初等行變換,使得為上三角矩陣, 即.很明顯,矩陣和矩陣的秩都是2,故該方程有解.取=,有=,接下來對(duì)作初等列變換,經(jīng)過列變換后我們可得到.從而,由定理1知,該方程的通解為,其中是任意的矩陣.矩陣方程的通解公式和解法與上面類似,應(yīng)用矩陣的初等變換來求解矩陣方程具有很大優(yōu)點(diǎn),不但通俗易懂,而且容易掌握.（七）初等變換在向量組的線性相關(guān)性中的應(yīng)用1、向量組的線性相關(guān)性 在求列向量的極大線性無關(guān)組前，我們先了解向量組的線性相關(guān)性：矩陣與向量的關(guān)系：通常把維數(shù)相同的一組向量簡稱為一個(gè)向量組,維行向量組可以排列成一個(gè)分塊矩

32、陣,其中為由的第行形成的子塊,稱為的行向量組.維列向量組可以排成一個(gè)矩陣,其中為由的第列形成的子塊,稱為的列向量組.定義1：向量組稱為線性相關(guān)的,如果有不全為零的數(shù),使.反之，如果只有在時(shí)上式才成立,就稱線性無關(guān).當(dāng) 是行向量組時(shí),它們線性相關(guān)就是指有非零的矩陣使 . 當(dāng)為列向量時(shí),它們線性相關(guān)就是指有非零的矩陣,使 .定義2：向量稱為向量組的一個(gè)線性組合,或者說可由向量組線性表出,如果有常數(shù),使 也記.也可用矩陣形式表示：若所給向量均為行向量,則有 . 若所給向量均為列向量,則有 . 2、初等行變換在求列項(xiàng)組的極大線性無關(guān)組中的應(yīng)用例：已知一個(gè)列向量組,求其極大無關(guān)組.解：設(shè)則運(yùn)用初等行變換

33、將矩陣化成階梯形,將階梯形矩陣的列向量組中線性無關(guān)的列向量取出,則所得到的列向量組則為原向量組的極大無關(guān)組.即本題所求的極大無關(guān)組為：.3、列向量組的線性關(guān)系判定一個(gè)列向量組的線性相關(guān)性,可以通過將列向量組合成一個(gè)矩陣,再求此矩陣的秩：若所求得的秩小于原列向量組的向量個(gè)數(shù),則原列向量組線性相關(guān)；若所求得的秩等于原向量組向量的個(gè)數(shù),則原向量組線性無關(guān). 例：設(shè)已知一個(gè)列向量組,求它的線性相關(guān)性.解： 設(shè),則對(duì)其進(jìn)行初等行變換將其化為階梯形, 則求得.故合成矩陣的秩等于列向量組的向量個(gè)數(shù),所以此列向量組是線性無關(guān)的. 4、等價(jià)向量組的判定定義：如果向量組中每一個(gè)向量都可以經(jīng)向量組線性表出.如果兩個(gè)

34、向量組互相可以線性表出,它們就稱為等價(jià).定義：向量組的極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩.推論：任意兩個(gè)等價(jià)向量組的極大線性無關(guān)組也等價(jià),所以,等價(jià)的向量組必有相同的秩.由以上定義和推論,我們可以得出這樣一個(gè)結(jié)論： 當(dāng)和是等價(jià)的向量組. 顯然,判定向量組之間是否等價(jià)可以運(yùn)用初等行變換求得各個(gè)合成矩陣的秩,然后判定得是否相等,若相等則等價(jià),否則不等價(jià).例：判定向量組,和,是否等價(jià).解：設(shè),則對(duì)矩陣,進(jìn)行初等行變換,得到它們的秩： ；故 ；故 ；故所以,.由上面的結(jié)論可知,向量組和是等價(jià)向量組.（八）初等變換與方陣的特征值定義1【1】：設(shè)是階矩陣,如果數(shù)和維非零列向量使關(guān)系式成立,則稱數(shù)為

35、矩陣的一個(gè)特征值,非零列向量稱為矩陣的屬于（或?qū)?yīng)于）特征值的特征向量.定義2【1】：設(shè)是數(shù)域上一階矩陣,是一個(gè)數(shù)字.矩陣的行列式稱為的特征多項(xiàng)式,這是數(shù)域上的一個(gè)次多項(xiàng)式.定義3【1】：設(shè),是兩個(gè)階矩陣,如果存在上的階可逆矩陣,使得,則稱相似于,記作.定理1【1】：若階矩陣與相似,則與的特征多項(xiàng)式相同,從而與的特征值亦相同.定理2【1】：任一個(gè)階復(fù)矩陣都相似于一個(gè)上三角矩陣.在高等代數(shù)中,求一個(gè)階矩陣的特征值時(shí).常用的方法是求解的特征多項(xiàng)式的根.而當(dāng)比較大時(shí),若中的元素含非零元素比較多,這時(shí)求特征多項(xiàng)式有時(shí)也比較復(fù)雜.進(jìn)一步,即使是我們求出的特征多項(xiàng)式,但當(dāng)比較大時(shí),比如時(shí),是一個(gè)一元高次方

36、程,沒有具體的求根公式,求解根往往比較困難.但是我們都知道,相似矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式,因而具有相同的特征值.所以我們也可以將其轉(zhuǎn)化為相似矩陣來求解.求矩陣的特征值可用初等變換的方法按如下步驟進(jìn)行【6】：（1）對(duì)矩陣進(jìn)行成對(duì)的行初等變換和列初等變換.在對(duì)進(jìn)行初等變換時(shí),若對(duì)交換兩行,則必須同時(shí)交換兩列；若把第行元素成一個(gè)非零數(shù),則必須同時(shí)把的第列元素乘一個(gè)數(shù)；若把的第行元素的倍加到第行,則必須同時(shí)把的第列元素的倍加到第列.（2）按照第一的規(guī)則進(jìn)行,可以把矩陣化為上三角矩陣,而相似于矩陣,所以的主對(duì)角上的元素就為所求的矩陣的特征值.例：設(shè)矩陣,求矩陣的特征值. 解：對(duì)矩陣做相似變換, 所以矩陣

37、的特征值為-3，-1,7,1.（九）初等變換與矩陣對(duì)角化如果數(shù)域上,對(duì)階矩陣存在一個(gè)可逆矩陣使 為對(duì)角形矩陣,則稱矩陣在數(shù)域上可對(duì)角化；當(dāng)可對(duì)角化時(shí),我們說將對(duì)角化,即指求矩陣使 為對(duì)角形矩陣.若矩陣在數(shù)域上可對(duì)角化,則有上可逆矩陣使為對(duì)角形矩陣.于是的對(duì)角線上的元素即為的全體特征值,并可表示為,其中為初等矩陣,.于是,又也是初等矩陣,由初等矩陣與矩陣的初等變換的關(guān)系,即知相當(dāng)于對(duì)實(shí)施了一次初等行變換與一次初等列變換,稱此種初等變換為對(duì)實(shí)行了一次相似變換.顯見,可對(duì)實(shí)行一系列的相似變化為.又由,可如下進(jìn)行初等變換,則可將化為對(duì)角形矩陣,且可求得:,對(duì)只施行其中的初等列變換.當(dāng)不可對(duì)角化時(shí),也可

38、經(jīng)過相似變換化簡為后,求得其特征值,判斷它可否對(duì)角化.類似地,可由,作如下初等變換,則可將化為對(duì)角形矩陣,可求得或由求的特征值,判定可否對(duì)角化：,對(duì)只施行其中的初等行變換.并且在施行相似變換時(shí),不必施行一次行變換后接著施行一次列變換,可施行若干次行（或列）變換后再施行若干次相應(yīng)列（或行）變換,只要保持變換后所得的矩陣與相似即可.而當(dāng)不宜用相似變換化簡判定時(shí),可先求出特征值,再用相似變換.定理1【1】：為階對(duì)稱矩陣,則必有正交矩陣,使得,其中是以的個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角陣.定理2【1】：,是對(duì)稱陣的兩個(gè)特征值,是對(duì)應(yīng)的特征向量,若,則與正交.推論1：為階對(duì)稱矩陣,是的特征值方程的重根,則矩陣的秩

39、,從而對(duì)應(yīng)特征值恰有個(gè)線性無關(guān)的特征向量.根據(jù)定理及結(jié)論,我們有下述把對(duì)稱陣對(duì)角化的步驟【7】：求出全部互不相等的特征值,它們的重?cái)?shù)依次為.（2）對(duì)每個(gè)重特征值求方程的基礎(chǔ)解系,則得個(gè)線性無關(guān)的特征向量,再把它們正交化、單位化得個(gè)兩兩正交的單位特征向量.因,故可得個(gè)兩兩正交的單位正交向量.（3）把這個(gè)兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交矩陣,使得（注意中對(duì)角元的排列順序應(yīng)與中列向量的排列順序相對(duì)應(yīng)）.例：判定是否可對(duì)角化,若可以,將其對(duì)角化.解：（1）用初等變換求解： 由上式知,可對(duì)角化.且取 ,則.（2）利用上述定理及結(jié)論求解： 知的特征值是4,6，-1，-1.解齊次線性方程組得一基礎(chǔ)解系,解齊次

40、線性方程組得一基礎(chǔ)解系,解齊次線性方程組得一基礎(chǔ)解系,.于是可知,可對(duì)角化,且取 ,則.（十）初等變換在化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形中的應(yīng)用對(duì)任意二次型一定存在可逆非退化線性替換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形,即為對(duì)稱矩陣找一個(gè)可逆矩陣,使得為對(duì)角矩陣,而可逆矩陣可以寫成若干個(gè)初等矩陣的乘積,所以存在初等矩陣有,從而有是一個(gè)對(duì)角矩陣.由上式可得到用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟如下:首先,寫出二次型的矩陣,構(gòu)造矩陣,然后對(duì)矩陣每進(jìn)行一次行初等變換后,就對(duì)進(jìn)行一次同樣的列初等變換,當(dāng)矩陣化為對(duì)角矩陣時(shí),單位矩陣將化為可逆矩陣,此時(shí),最后得到可逆矩陣和非退化線性變換,在這個(gè)變換下二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.例：化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫出所用的非退化線性替換.解：題中二次型的矩陣為,由上面的初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟可知: = ,從而非退化線性替換為,原二次型化為在運(yùn)用矩陣初等變換來化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的關(guān)鍵: 對(duì)矩陣進(jìn)行的行初等變換和列初等變換必須是一致.四 結(jié)語 本文主要從十個(gè)方面總結(jié)了初等行變換在高等代數(shù)中的應(yīng)用,著重講述了初等行變換在這些知識(shí)點(diǎn)上是如何使用的,以及在解決這些方面的問題時(shí),初等行變換在其中究竟扮演了什么角色.初等行變換在矩陣線性方程組的理論研究中占有非常重要的地位,它們的共同作用是能夠化繁為簡、化多為少、化大為小,它們的共同特點(diǎn)是在變換過程中保持原矩陣和原方程組的某些重要性質(zhì)不變.在