辯證唯物主義無(wú)限觀與諸流派無(wú)限思想分析

1、辯證唯物主義無(wú)限觀與諸流派無(wú)限思想分析摘 要：有限無(wú)限問(wèn)題是數(shù)學(xué)的基本問(wèn)題，也是哲學(xué)的基本問(wèn)題。基于辯證唯物主義無(wú)限觀對(duì)諸流派無(wú)限思想進(jìn)行了詳細(xì)分 析、評(píng)論，進(jìn)一步理清無(wú)限思想的發(fā)展歷程，推動(dòng)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的健康發(fā)展。關(guān)鍵詞：實(shí)無(wú)限；辯證唯物主義無(wú)限觀；無(wú)限交換悖論面對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的危機(jī)與統(tǒng)一，希爾伯特（Hilbert）、羅素 （Russell）、彭加勒（Henri Poincare）、布勞威爾（Brouwer）、維特 根斯坦（Wittgenstein）等數(shù)學(xué)大師和哲學(xué)大師都曾殫精竭慮， 提出了自己的哲學(xué)主張和解決方案，為此各學(xué)派之間展開(kāi)了 激烈的爭(zhēng)論。但真理越辯越明，各大學(xué)派數(shù)學(xué)思想都有可取 之處，現(xiàn)

2、在是應(yīng)該去甄別、歸納、統(tǒng)一、提升各學(xué)派數(shù)學(xué)思 想的時(shí)候了。一、辯證唯物主義無(wú)限觀筆者在論哲學(xué)無(wú)限與數(shù)學(xué)無(wú)限的異同點(diǎn)1中闡述了 哲學(xué)和數(shù)學(xué)中的四個(gè)無(wú)限概念（真無(wú)限、實(shí)無(wú)限、惡無(wú)限、 潛無(wú)限）。關(guān)于辯證唯物主義無(wú)限觀，作者表述如下：任何無(wú)限都是惡無(wú)限與真無(wú)限的辯證統(tǒng)一（統(tǒng)一體），是 一種客觀存在，無(wú)限性本身包含了有限無(wú)限矛盾，無(wú)限的客 觀存在性并不代表無(wú)限過(guò)程能夠結(jié)束、完成。真無(wú)限就是無(wú) 限事物內(nèi)在的質(zhì)的規(guī)定性，就是內(nèi)在聯(lián)系、規(guī)律、真理，而 惡無(wú)限就是無(wú)限進(jìn)展，沒(méi)有終止的重復(fù)、交替，深刻地體現(xiàn) 了有限無(wú)限矛盾；真無(wú)限可以認(rèn)識(shí)、完成，而惡無(wú)限不可以 認(rèn)識(shí)、不可以完成，惡無(wú)限（無(wú)限過(guò)程）是“有限無(wú)限矛

3、盾” 的具體表現(xiàn)而不是這種矛盾的解決，這就決定了有限無(wú)限矛 盾永恒不滅；真無(wú)限代表了無(wú)限的質(zhì)（本質(zhì)），而惡無(wú)限代表 了無(wú)限的量（運(yùn)動(dòng)和變化）；真無(wú)限離不開(kāi)惡無(wú)限，惡無(wú)限是 真無(wú)限的載體，真無(wú)限是惡無(wú)限的目標(biāo)和方向。真無(wú)限是現(xiàn) 實(shí)的、具體的、肯定的、積極的、理性的、完成的無(wú)限，是 自為的存在和理性的存在，是完成了的質(zhì)；而惡無(wú)限是可能 的、抽象的、否定的、消極的、不可完成的無(wú)限，是自在的 存在和知性的存在。無(wú)限存在而不可完成、不可穿越，無(wú)限是一個(gè)黑洞，但 無(wú)限可以揚(yáng)棄、可以超越。過(guò)程（惡無(wú)限）永遠(yuǎn)，規(guī)律（真無(wú)限） 永恒；過(guò)程是變量，規(guī)律是常量；無(wú)限不可穿越，但可以超 越，超越的結(jié)果是一個(gè)真無(wú)限。無(wú)

4、限的存在性與過(guò)程的不可 完成性是完全不同的兩個(gè)概念，是矛盾的兩個(gè)方面，不可相 互替代；正因?yàn)樗鼈兊拇嬖冢庞杏邢逕o(wú)限矛盾的存在；無(wú) 限，就像一個(gè)黑洞一樣，有進(jìn)無(wú)出，無(wú)窮無(wú)盡，永遠(yuǎn)不能結(jié) 束。辯證唯物主義無(wú)限觀堅(jiān)持這種矛盾的不滅性，認(rèn)為無(wú)限 客觀存在、可以認(rèn)識(shí)，但無(wú)限過(guò)程卻不可以完成，即有限無(wú) 限矛盾永恒不滅；而實(shí)無(wú)限觀則把無(wú)限的客觀存在性當(dāng)成無(wú) 限過(guò)程的完成性，用客觀代替主觀，用真無(wú)限代替惡無(wú)限， 徹底拋棄有限無(wú)限矛盾，從而認(rèn)為這種矛盾是可以終結(jié)、可 以解決，因而其思想是遵循了康德的先驗(yàn)的、主觀的、形而 上學(xué)的無(wú)限思想。二、亞里士多德的無(wú)限觀亞里士多德無(wú)限思想主要是：無(wú)限存在，但無(wú)限不能以 現(xiàn)

5、實(shí)的方式存在，也就是說(shuō)無(wú)限只能潛在；無(wú)限不能與感性 事物分離，不能單獨(dú)自身存在。亞里士多德承認(rèn)無(wú)限存在。在物理學(xué)中指出：“但 是，如果說(shuō)根本沒(méi)有無(wú)限，顯然許多說(shuō)不通的結(jié)論就會(huì)因而 產(chǎn)生，例如，時(shí)間就會(huì)有開(kāi)始和終結(jié)，量也就不能分成更 小的量，數(shù)也不會(huì)是無(wú)限的。”2185亞里士多德對(duì)“無(wú)限” 的涵義進(jìn)行了分析，認(rèn)為無(wú)限的本質(zhì)在于“此外永有”：“無(wú)限的真正涵義正好與平常大家理解的相反，不是此外全無(wú)，而是此外永有，而此外再無(wú) 的東西是完成的或完全的?！?2187在形而上學(xué) 一書(shū)中，亞里士多德認(rèn)為無(wú)限的本意就是不可窮盡；亞里士 多德是這樣描述無(wú)限的：“無(wú)限（無(wú)盡）或（甲）是不能達(dá)到盡 處的，因?yàn)樗谋拘?/p>

6、就是不可盡（這于聲音總是看不到的有 所類(lèi)似）或（乙）是容許無(wú)盡地進(jìn)行的，或是（丙）很難進(jìn)行到盡 處，或是（?。╇m則自然地可到盡處，卻從未到過(guò)盡處。 說(shuō)無(wú)限是一個(gè)可分離的獨(dú)立實(shí)是而又不可得見(jiàn)，這是不可能 的?！眮喞锸慷嗟抡J(rèn)為無(wú)限不是一種現(xiàn)實(shí)存在，也就是說(shuō)在人 類(lèi)主觀世界中不可能有真實(shí)的無(wú)限。指出：“沒(méi)有現(xiàn)實(shí)的無(wú) 限物體”邵5; “事物被說(shuō)成存在，一種指潛能的存在， 另一種是指現(xiàn)實(shí)的存在?，F(xiàn)在，如我們已經(jīng)說(shuō)過(guò)的，量 在現(xiàn)實(shí)上不是無(wú)限的，但分起來(lái)卻是無(wú)限的(駁斥不能再分 的線(xiàn)是不難的)，因此，只有潛能上的無(wú)限，但無(wú)限不 是這樣，不會(huì)有現(xiàn)實(shí)的無(wú)限?！鄙? “因此，既然沒(méi)有任何一 個(gè)感性的量是無(wú)限的，也

7、就不可能有一個(gè)超過(guò)一切已定量的 量?！鄙? “也很顯然，無(wú)限不能作為一個(gè)實(shí)現(xiàn)了的事物、一 個(gè)實(shí)體或根源。-2179亞里士多德認(rèn)為無(wú)限是潛在的、無(wú)限不可穿越，無(wú)限不 能與感性事物分離，不能單獨(dú)自身存在。在亞里士多德看 來(lái)，無(wú)限是一種關(guān)系或?qū)傩?，是客體存在的表現(xiàn)形式，即客 體的量的存在形式，因而也可以說(shuō)是客體的一種屬性，即客 體的量的屬性。如時(shí)間、空間具有無(wú)限屬性，也因此稱(chēng)時(shí)間 空間是無(wú)限的。亞里士多德指出：“無(wú)限是一種脫離感性事 物的自在的無(wú)限一這種說(shuō)法是不可能的?！?179 “總的說(shuō) 來(lái)，不可能有感性物體是無(wú)限的?！奔?亞里士多德認(rèn)為無(wú) 限是不可穿越的，“無(wú)限者一種是指不可能有穿越的事 物，另

8、一種是指，雖可以談得上穿越，但穿越不到盡頭 的()事物。278數(shù)學(xué)中的實(shí)無(wú)限思想實(shí)際上起源于古希臘哲學(xué)家柏拉圖 (Plato)?！暗@和無(wú)限是一個(gè)實(shí)現(xiàn)了的事物的說(shuō)法又有 矛盾，因?yàn)楹笳弑厝皇且粋€(gè)一定的量。因此，無(wú)限是作為 屬性屬于實(shí)體的”2|80o在柏拉圖看來(lái)，無(wú)限是一個(gè)可以完 成、實(shí)現(xiàn)的事物，也就是無(wú)限過(guò)程是可以完成的。柏拉圖認(rèn) 為無(wú)限是一種實(shí)在，“有些人，如畢達(dá)哥拉斯派和柏拉圖， 把無(wú)限看作為自在的實(shí)體，而非其它事物的屬性?！?|75;“可是柏拉圖則主張有兩個(gè)無(wú)限：大和小?！?76但柏拉圖 從來(lái)沒(méi)有使用過(guò)這種無(wú)限大、無(wú)限小。綜上所述，亞里士多德的無(wú)限思想是一種樸素的、唯物 主義的無(wú)限思想，

9、僅僅從量的方面分析了無(wú)限，但卻深刻的 揭露了惡無(wú)限的本質(zhì)。三、邏輯主義學(xué)派的無(wú)限觀其主要觀點(diǎn)：認(rèn)為能把全部數(shù)學(xué)化歸為邏輯，承認(rèn)實(shí)無(wú) 限觀點(diǎn)下的無(wú)限集理論，承認(rèn)無(wú)限性對(duì)象的存在性，從而承 認(rèn)實(shí)無(wú)限性研究對(duì)象在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的合理性，因此，就無(wú)限 觀而言，邏輯主義學(xué)派是實(shí)無(wú)限論者，羅素是其典型的人物 代表。就無(wú)限的存在性，這一點(diǎn)與辯證唯物主義無(wú)限觀是完 全一致的。辯證唯物主義無(wú)限觀認(rèn)為，無(wú)限是一種客觀存 在，承認(rèn)數(shù)學(xué)把無(wú)限性客體作為一個(gè)研究對(duì)象的合理性，認(rèn) 為無(wú)限客體的整體性與無(wú)限客體內(nèi)在的過(guò)程性是完全不同的 兩個(gè)概念(而邏輯主義學(xué)派卻沒(méi)能區(qū)分)，所反對(duì)的就是在具 體的數(shù)學(xué)方法、步驟中涉及無(wú)限過(guò)程的完

10、成性。然而，邏輯 主義學(xué)派面臨無(wú)窮公理、選擇公理的挑戰(zhàn)，為解決集合悖論 而發(fā)展了 “分支類(lèi)型論”，從而變相地回歸到潛無(wú)限思想上 去。因此，邏輯主義學(xué)派最終沒(méi)有能逃離惡無(wú)限，從某種程 度上也可以說(shuō)，回歸到辯證唯物主義無(wú)限觀的發(fā)展道路上。四、形式主義學(xué)派的無(wú)限觀形式主義學(xué)派的本質(zhì)是將系統(tǒng)形式化、公理化，認(rèn)為 數(shù)學(xué)是純粹的符號(hào)游戲，認(rèn)為數(shù)學(xué)的真理性在于形式系統(tǒng) 的無(wú)矛盾性，根本不關(guān)心數(shù)學(xué)的客觀實(shí)在性。以希爾伯特 (Hilbert)為代表的形式主義派在“無(wú)限問(wèn)題”上本身就是矛 盾的，一方面，承認(rèn)無(wú)限集理論，因而承認(rèn)“無(wú)限”的實(shí)在 性，是典型的實(shí)無(wú)限論者；另一方面，在具體的應(yīng)用中又堅(jiān) 持“有限主義原則”

11、，對(duì)實(shí)無(wú)限性的概念和方法的使用顧慮 重重，幾乎和直覺(jué)主義者一樣認(rèn)為可信性只能存在于有限之 中，認(rèn)為無(wú)限性對(duì)象是超越直覺(jué)而不可信的，因此又是一個(gè) “潛無(wú)限”論者。因此，朱梧槚先生生動(dòng)地把希爾伯特稱(chēng)之 為“幕前的實(shí)無(wú)限論者”和幕后的“有窮主義者”4|146O這 充分說(shuō)明了希爾伯特在無(wú)限問(wèn)題上的矛盾性，根本原因就在 于其沒(méi)有認(rèn)識(shí)到無(wú)限問(wèn)題的辯證性，沒(méi)有看到無(wú)限是真無(wú)限 與惡無(wú)限的矛盾統(tǒng)一體，也沒(méi)有看到無(wú)限的“存在性”和 “過(guò)程的完成性”是完全不同的兩個(gè)概念。因此，在“無(wú)限 性對(duì)象存在性問(wèn)題上，形式主義學(xué)派與邏輯主義學(xué)派是一 致的，并與直覺(jué)主義學(xué)派相對(duì)立；在具體的數(shù)學(xué)推理方法中 希爾伯特(Hilber

12、t)堅(jiān)持有限性原則，這又與直覺(jué)主義學(xué)派站 到了同一陣線(xiàn)上。因此可以講，希爾伯特是一個(gè)不那么堅(jiān)定 的實(shí)無(wú)限論者、一個(gè)矛盾的實(shí)無(wú)限論者，其無(wú)限思想更接近 辯證唯物主義無(wú)限觀。五、直覺(jué)主義學(xué)派的無(wú)限觀其主要觀點(diǎn)：堅(jiān)持潛無(wú)限而排斥實(shí)無(wú)限，“存在必須被 構(gòu)造”是其口號(hào)，堅(jiān)持從“可信性”考慮數(shù)學(xué)概念與方法， 認(rèn)為自然數(shù)集N永遠(yuǎn)處于構(gòu)造之中，認(rèn)為實(shí)無(wú)限性對(duì)象是不 可構(gòu)造的，不承認(rèn)無(wú)限作為一個(gè)客體的存在性，所以，其無(wú) 限觀是典型的潛無(wú)限，其哲學(xué)觀屬于典型的主觀唯心論。其典 型的人物代表有彭加勒、布勞威爾。彭加勒主張最基本的直 觀，無(wú)需再作進(jìn)一步的分析就可認(rèn)為是可信的，多次譴責(zé)實(shí)無(wú) 限集合觀念，主張潛無(wú)限概念；

13、而布勞威爾則旗幟鮮明提出了 “存在必須被構(gòu)造”的觀點(diǎn)，從而成為直覺(jué)主義的奠基人。因此，直覺(jué)主義無(wú)限觀與辯證唯物主義無(wú)限觀是完全背 道而馳的。辯證唯物主義無(wú)限觀既堅(jiān)持無(wú)限客體的存在性， 又堅(jiān)持無(wú)限過(guò)程的不可完成性，而直覺(jué)主義無(wú)限觀只機(jī)械 地看到無(wú)限過(guò)程不可完成(這一點(diǎn)與辯證唯物主義無(wú)限觀一 致)，并由此否定無(wú)限客體的存在；只看到量變，而看不到 質(zhì)變，只看到局部，而看不到整體，只看到人類(lèi)思維的有限 性，而看不到人類(lèi)思維的能動(dòng)性。因此，直覺(jué)主義者不能超 越惡無(wú)限過(guò)程而發(fā)現(xiàn)無(wú)限事物的真諦(即真無(wú)限)。關(guān)于“無(wú)限是否能被構(gòu)造”問(wèn)題，從辯證唯物主義無(wú) 限觀的角度來(lái)討論。由于無(wú)限性包含了有限無(wú)限矛盾，因 此

14、，無(wú)限的構(gòu)造問(wèn)題本質(zhì)就是一個(gè)有限無(wú)限問(wèn)題。所謂“構(gòu) 造”，首先是一個(gè)主觀行為，因而也是一個(gè)有限性的概念， 從這一點(diǎn)講，任何“構(gòu)造”必然陷入一個(gè)無(wú)限過(guò)程中、陷入 惡無(wú)限中，因而不可能完成，從而自然得出這一結(jié)論：無(wú)限 是不可能被構(gòu)造的。任何一個(gè)“構(gòu)造”，是對(duì)存在的判斷， 都是一種潛無(wú)限、一種無(wú)限過(guò)程，這充分體現(xiàn)了有限無(wú)限矛 盾。如果說(shuō)自然數(shù)集N是構(gòu)造的，那就是不完全的、不可完 成的；如果說(shuō)N “已構(gòu)造出來(lái)”，那也僅僅是想象的完成的 “無(wú)限”，而構(gòu)造過(guò)程仍然獨(dú)立存在著，所以，自然數(shù)集N 作為一個(gè)無(wú)限物是不可構(gòu)造的。同樣而言，關(guān)于羅素悖論， 應(yīng)該說(shuō)集合的構(gòu)造必須符合“潛無(wú)限原則”，構(gòu)造是對(duì)存在 的判斷

15、，是面向歷史、而不是面向未來(lái)；堅(jiān)持這一原則，則 可以清晰地解決羅素悖論問(wèn)題。從過(guò)程的角度即從惡無(wú)限角度解釋了無(wú)限是不可構(gòu)造 的。然而，由于無(wú)限既可以完成（共性、內(nèi)在聯(lián)系，作為真 無(wú)限）、又不能完成（從過(guò)程看，作為惡無(wú)限），因此，從真無(wú) 限的角度，無(wú)限又可以被構(gòu)造。從真無(wú)限的角度來(lái)構(gòu)造這個(gè) 集合，規(guī)定以下這一構(gòu)造規(guī)則：令n的“后繼”。這一構(gòu)造 自然數(shù)集N的規(guī)則是一個(gè)真無(wú)限，明確了任一元素與其“后 繼”的邏輯關(guān)系（前者是后者的條件），從而確定了所有自然 數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)定性。有了這樣的規(guī)則，再加上一個(gè) “原點(diǎn)”，同時(shí)明確經(jīng)此規(guī)則所生成的一切元素組成一個(gè)集 合，這樣一來(lái)，所需要的自然數(shù)集N也就構(gòu)

16、造出來(lái)了。這種構(gòu) 造方法，本質(zhì)是通過(guò)“共性”（即內(nèi)在聯(lián)系、規(guī)律，一個(gè)真無(wú) 限）來(lái)構(gòu)造一個(gè)具有“序結(jié)構(gòu)”的無(wú)限對(duì)象，因此這種構(gòu)造與 其叫做“構(gòu)造”，不如稱(chēng)之為“定義、規(guī)定或公理”，這樣可 能更恰當(dāng)一點(diǎn)。因此，從真無(wú)限的角度，也就是說(shuō)從內(nèi)在的聯(lián) 系、邏輯關(guān)系的角度，自然數(shù)集N是可以被構(gòu)造的，這也就承 認(rèn)了自然數(shù)集N作為一個(gè)無(wú)限客體存在的合理性。這正體現(xiàn)了 人類(lèi)思維的能動(dòng)性，實(shí)現(xiàn)了人類(lèi)對(duì)無(wú)限認(rèn)識(shí)的飛躍。然而這種 基于真無(wú)限思想對(duì)無(wú)限物的構(gòu)造，并不表示可以完成一個(gè)無(wú)限 過(guò)程，因?yàn)榇嬖诘臒o(wú)限不等于可以完成的無(wú)限。六、哲學(xué)大師維特根斯坦的無(wú)限觀維特根斯坦是20世紀(jì)最有影響力的哲學(xué)家之一，特別是 其數(shù)學(xué)哲學(xué)

17、思想引來(lái)了曠日持久的爭(zhēng)論。其無(wú)限思想主要 是：反對(duì)實(shí)無(wú)限，反對(duì)無(wú)限的客觀存在，認(rèn)為無(wú)限是一種以 法則表示的無(wú)限可能性而不是現(xiàn)實(shí)性；反對(duì)一個(gè)無(wú)限集合與 自己的子集的一一對(duì)應(yīng)，反對(duì)使用康托的“對(duì)角線(xiàn)法”，因 而是一個(gè)典型的潛無(wú)限論者。維特根斯坦否認(rèn)無(wú)限的現(xiàn)實(shí)性。認(rèn)為無(wú)限的現(xiàn)實(shí)性是不 能證實(shí)的，符號(hào)不能表述無(wú)限的現(xiàn)實(shí)性。正如維特根斯坦在 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究中所說(shuō)，“它說(shuō)，實(shí)無(wú)限根本不能用數(shù)學(xué) 的符號(hào)系統(tǒng)來(lái)把握，因此它只能被描述出來(lái)而不能被表現(xiàn)出 來(lái)。這種描述或許是以類(lèi)似于下面這樣的方式將它把握住 的：對(duì)于不能全部拿在手中的大量的東西，人們是通過(guò)將其 打包放入箱子中的方式將其提起來(lái)的?！奔?0維特根斯坦反對(duì)

18、使用康托的“對(duì)角線(xiàn)法”，認(rèn)為有限不 能窮盡無(wú)限?！耙?yàn)槲覀冇腥缦抡?dāng)?shù)母杏X(jué)：在能夠談?wù)撟?后一個(gè)東西的地方，在那里便不能出現(xiàn)根本沒(méi)有最后一個(gè) 東西”即07 （請(qǐng)不要忘記：數(shù)學(xué)家們有關(guān)無(wú)窮的思考畢 竟都是有窮的思考。借此我想說(shuō)的是這點(diǎn)：它們都有一個(gè)盡 頭），51228維特根斯坦認(rèn)為無(wú)限、有限是完全不同的范疇，無(wú)限是 一種內(nèi)在的規(guī)定性。認(rèn)為無(wú)限不是數(shù)字，無(wú)限不是一種同 有限相競(jìng)逐的量的大小，而是一種內(nèi)在的規(guī)定性。指出，“ 無(wú)窮集合和有窮集合是兩個(gè)不同的邏輯范疇，可 以有意義地表述給一個(gè)范疇的東西不能有意義地表述給另一 個(gè)范疇?！?1206以數(shù)字n為例，數(shù)字n表達(dá)了一個(gè)與實(shí)際的 觀察相伴隨的無(wú)限的規(guī)

19、律，即數(shù)字n是一個(gè)規(guī)則。這實(shí)質(zhì)上 就是黑格爾的真無(wú)限思想。維特根斯坦認(rèn)為無(wú)限是一種可能性。認(rèn)為有限與無(wú)限不 是量的差別，而是一種邏輯上的區(qū)別；無(wú)限不是量也不是廣 延，無(wú)限是以法則表示的無(wú)限的可能性，無(wú)限本身不可比較 大小，因而其認(rèn)為的這種無(wú)限可能性實(shí)際上是一個(gè)變量、一 個(gè)過(guò)程（惡無(wú)限）而不是結(jié)果。因此，維特根斯坦又是一個(gè)潛 無(wú)限論者。因此，維特根斯坦的無(wú)限思想基本遵循了黑格爾的辯證 無(wú)限思想。唯一的欠缺是否認(rèn)無(wú)限的客觀存在，并與直覺(jué)主 義者為伍但是又超越了他們。然而，維特根斯坦的無(wú)限思想 最終沒(méi)有能夠上升到黑格爾辯證無(wú)限觀的層面，沒(méi)能把握無(wú) 限作為“自為無(wú)限”一真無(wú)限的哲學(xué)意義。七、對(duì)應(yīng)原則、

20、Cantor-Hilbert對(duì)角線(xiàn)法在Cantor的“超窮數(shù)理論”中有一個(gè)核心而基本的概 念，就是“一一對(duì)應(yīng)原則”，Cantor對(duì)無(wú)限的劃分就是根據(jù) “一一對(duì)應(yīng)原則”作出的判斷?？墒恰耙灰粚?duì)應(yīng)原則”本身在 “有限無(wú)限問(wèn)題”上就是一個(gè)需要解釋清楚的概念，我們何 以知道在有限范疇內(nèi)正確的概念會(huì)在無(wú)限范疇內(nèi)也正確呢？“一一對(duì)應(yīng)原則”在面對(duì)無(wú)限時(shí)，就必然遇到“惡無(wú)限”這個(gè) 問(wèn)題，而基于這個(gè)可疑概念的對(duì)無(wú)限的等級(jí)劃分，本身就變得 何其荒唐?！耙灰粚?duì)應(yīng)原則”是康托（Cantor） “實(shí)無(wú)限”思想的 根基，因此基于“有限”的“一一對(duì)應(yīng)原則”不能作為衡量“數(shù)學(xué)無(wú)限”間等價(jià)與否的根據(jù)。“一一對(duì)應(yīng)原則”或“一一映

21、射”本質(zhì)上是來(lái)自于、屬 于“有限”范疇內(nèi)的東西，在將其推至無(wú)限范疇時(shí)，這只能 是一種公理性的規(guī)定或假設(shè)，而不是事實(shí)上能“證明”或“推 斷”出來(lái)的“必然”，因?yàn)槲覀儾豢赡芨F盡一個(gè)無(wú)限對(duì)象。 從而，依賴(lài)于“一一對(duì)應(yīng)原則”而建立起來(lái)的“無(wú)限之間等價(jià) 性”這一概念已經(jīng)是問(wèn)題的中心和最值得懷疑的東西。有限與無(wú)限的一個(gè)重要區(qū)別還在于：有限是一個(gè)“閉區(qū) 間”，有始有終，而無(wú)限是一個(gè)“開(kāi)區(qū)間”，有始無(wú)終。這 深亥。的反映了有限范疇與無(wú)限范疇的重大區(qū)別。朱梧槚先生在其著作數(shù)學(xué)與無(wú)窮觀的邏輯基礎(chǔ)中， 也對(duì)將“一一對(duì)應(yīng)原則”應(yīng)用到無(wú)限集合上進(jìn)行了質(zhì)疑。 指出，“一一對(duì)應(yīng)原則用在無(wú)窮集合上，也是一種枚舉手 續(xù)，而枚舉

22、手續(xù)在沒(méi)有窮舉該枚舉手續(xù)之前，永遠(yuǎn)是一 種現(xiàn)在進(jìn)行式（going），從而它所面對(duì)和指稱(chēng)的必然是潛無(wú) 限”41211。在這篇著作的第七章的最后部分，又進(jìn)一步強(qiáng)化 了這一思想，“事實(shí)上，在傳統(tǒng)集合論中，對(duì)于勢(shì)這一概念 的建立，完全決定于對(duì)應(yīng)原則，而對(duì)應(yīng)原則的使用，除了給出一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則（或?qū)?yīng)函數(shù)）之外，剩下的就 只有對(duì)集合中元素的任意遞歸枚舉了，但任意遞歸枚舉集合 之元素至多只能是一個(gè)潛無(wú)限進(jìn)程，從而至多只能適用于潛 無(wú)限彈性集合?？低袑⒒谌我膺f歸枚舉的一一對(duì)應(yīng)原則任 意應(yīng)用到實(shí)無(wú)限剛性集合上是沒(méi)有根據(jù)的，特別是任意應(yīng)用 到不可數(shù)集合上就更無(wú)根據(jù)了，因?yàn)榧词乖趥鹘y(tǒng)集合論觀念 下，也都承認(rèn)任意遞歸

23、枚舉至多到可數(shù)無(wú)窮，既然如此，試 問(wèn)立足于任意遞歸的一一對(duì)應(yīng)原則，又如何能去決定不可數(shù) 實(shí)無(wú)窮集合的勢(shì)呢？所以用一一對(duì)應(yīng)原則來(lái)決定各種各樣 實(shí)無(wú)窮剛性集合的勢(shì)是很有局限性的。”印湖關(guān)于“無(wú)限之間的大小問(wèn)題”，黑格爾給出了明確的論 述。黑格爾認(rèn)為無(wú)限大小是可比較的，而且只有在真無(wú)限的 意義上才可以比較大小，即在無(wú)限的質(zhì)的規(guī)定性意義上比較 大小。僅僅處于比例中的東西不再是定量，而是質(zhì)的規(guī)定，“與此相反，質(zhì)的東西恰恰只是在它與一個(gè)他物相區(qū)別那樣 的東西。因此，那些無(wú)限的大小不僅是可以比較的，而且只 有作為比較或比例的環(huán)節(jié)比例中的兩個(gè)無(wú)限，是兩個(gè) 無(wú)限進(jìn)展，而它們的變化率就是一種真無(wú)限，體現(xiàn)了一個(gè)質(zhì)

24、的大小規(guī)定性。關(guān)于“Cantor-Hilbert對(duì)角線(xiàn)法”這種具有“實(shí)無(wú)限”思想 論證方法的有效性，朱梧槚先生也給出了旗幟鮮明的質(zhì)疑叫“Cantor-Hilbert對(duì)角線(xiàn)法”本質(zhì)上與對(duì)應(yīng)原則”相同，也是一種潛無(wú)限性、過(guò)程性的方法，是一種不可完成 的方法，不可以用來(lái)證明“實(shí)無(wú)限”（整體無(wú)限）的整體性性 質(zhì)。在處理“Hilbert旅館問(wèn)題”時(shí)，如果基于同樣的實(shí)無(wú) 限思想，將會(huì)得到“無(wú)限交換悖論”。把自然數(shù)集N作為一 個(gè)整體的方法本質(zhì)是一個(gè)有限性的方法，如同N的冪集定義 一樣，這都是有限性、整體性的方法。兩個(gè)不同的無(wú)限， 除非事先知道它們之間的“關(guān)系”（即內(nèi)在的質(zhì)的聯(lián)系），否 則將無(wú)法把它們區(qū)分；如

25、自然數(shù)集N與它的冪集P（N）存在著 冪集關(guān)系，正是基于這種關(guān)系，才能區(qū)分它們、比較其大 小。只能在“真無(wú)限”的意義上比較不同無(wú)限之間的大小， 即在不同無(wú)限的內(nèi)在質(zhì)之間的聯(lián)系上比較大小；也就是說(shuō)， 有內(nèi)在聯(lián)系的不同無(wú)限才可以比較大小，沒(méi)有內(nèi)在聯(lián)系的不 同無(wú)限不可以比較大小，正是基于這一點(diǎn)，才認(rèn)為選擇公理 的正確性。八、無(wú)限交換悖論所謂“無(wú)限交換悖論”是指使用實(shí)無(wú)限思想一也就 是認(rèn)為無(wú)限過(guò)程可以完成的思想，可以將兩個(gè)等價(jià)（具有 “一一映射”關(guān)系）的無(wú)限變換成相互不等價(jià)的無(wú)限。這深 刻地揭露了實(shí)無(wú)限思想存在的內(nèi)在缺陷，它將矛盾推移到無(wú) 限遠(yuǎn)處，可是矛盾從沒(méi)有消失。也就是說(shuō)無(wú)限過(guò)程根本不可 能完成，從

26、而進(jìn)一步佐證了辯證唯物主義無(wú)限觀。該悖論具體如下：已知“一一映射”了 ：NtW，其中N為自然數(shù)集， / =何*2, 是一個(gè)可數(shù)無(wú)限集。對(duì)有 f（n） = an =Wa下面進(jìn)行一系列連續(xù)的變換，并且我們認(rèn)為這個(gè)無(wú)限過(guò) 程可以完成、終結(jié)。令T代表變換，T（n）代表第n個(gè)變換：T（1）：將自然數(shù)1、2的“象”交換，使得1對(duì)應(yīng)于a?,而 2對(duì)應(yīng)于aloT（1）完成之后，進(jìn)行變換T（2）：即將2、3的“象”交換， 使得2對(duì)應(yīng)著a3，而3對(duì)應(yīng)于a1；。到變換T（n）時(shí)，它發(fā)生在變換T（n-1）之后，即將n、n+1 的“象”進(jìn)行交換，使得n對(duì)應(yīng)于ag,而n+1對(duì)應(yīng)于a】；以 此類(lèi)推，直到無(wú)限，并且我們認(rèn)為這

27、個(gè)無(wú)限過(guò)程可以完成。在這無(wú)限個(gè)連續(xù)的變換結(jié)束之后，我們將會(huì)發(fā)現(xiàn)以下矛 盾：即我們?cè)僖舱也坏侥囊粋€(gè)自然數(shù)，使得它對(duì)應(yīng)于W的元 素街了。這就是“無(wú)限交換悖論-。九、非標(biāo)準(zhǔn)分析常量的無(wú)限大、無(wú)限小是非標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)模型中的概念， 不是標(biāo)準(zhǔn)模型下的實(shí)數(shù)，因此其存在性?xún)H僅是相對(duì)的這種存在性?xún)H僅指其“理論存在性”，不同于客觀存在 性或物理存在性。在標(biāo)準(zhǔn)模型下，無(wú)限大、無(wú)限小不是一個(gè) 實(shí)體，而只是一個(gè)變量。在哲學(xué)層面，固定的無(wú)限大、無(wú)限 小是無(wú)法給予理性解釋的，本身就具有內(nèi)在矛盾性。所以， 也可以說(shuō)，常量的無(wú)限大、無(wú)限小都是數(shù)學(xué)的抽象，是非標(biāo) 準(zhǔn)分析中的“想象的數(shù)量”。現(xiàn)實(shí)世界是第一性的，而數(shù)學(xué) 抽象是第二性的。

28、這種常量的無(wú)限小、無(wú)限大只有在非標(biāo)準(zhǔn) 分析下才有意義。無(wú)限大、無(wú)限小在標(biāo)準(zhǔn)分析、非標(biāo)準(zhǔn)分析下本質(zhì)相同 在標(biāo)準(zhǔn)分析下，無(wú)限小dx是一個(gè)變量；在非標(biāo)準(zhǔn)分析下，無(wú)限小dx是一個(gè)常量，但實(shí)際上還是一個(gè)變量。正是基于這樣 的一種解釋?zhuān)庞袠?biāo)準(zhǔn)分析與非標(biāo)準(zhǔn)分析作用等價(jià)一說(shuō)。把 “無(wú)限小”看成常量或變量，不改變數(shù)學(xué)的真無(wú)限的本質(zhì)。在非標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)模型中，有無(wú)限多個(gè)無(wú)限大（無(wú)限?。瑹o(wú) 限大（無(wú)限?。?shí)際上是一個(gè)相對(duì)的常量，代表了一群無(wú)限大 （無(wú)限?。蛘哒f(shuō)是代表無(wú)限大（無(wú)限?。┑淖兞浚且粋€(gè)相對(duì) 的固定的變量（與其說(shuō)是常量，不如說(shuō)是變量）。在非標(biāo)準(zhǔn)分 析中，沒(méi)有最小的無(wú)限大（這不同于Cantor的超窮序數(shù)）。

29、因 此，這種無(wú)限大數(shù)a是我們想象的、任意定義的、抽象的， 不是具體的，正如惡無(wú)限是抽象的一樣。所以，這個(gè)a看似 是一個(gè)“常量”，實(shí)際上代表一群數(shù)，代表了所有的無(wú)限 大；a僅僅是這些無(wú)限大中的一個(gè)代表，或者說(shuō)就是一個(gè)無(wú) 限大的變量。這就是說(shuō)a具有相對(duì)性（相對(duì)的靜止），體現(xiàn)了運(yùn) 動(dòng)和靜止的辯證關(guān)系。所以，a的物理實(shí)在性得不到可靠的 證明，這與具體的標(biāo)準(zhǔn)模型下的實(shí)數(shù)、特別是自然數(shù)的實(shí)在 性是根本不同的。前者是虛無(wú)縹緲的、相對(duì)的常量，而后者 是真正的常量，或者說(shuō)前者根本就不是一個(gè)常量。用相同的 辦法，還可以構(gòu)造“二級(jí)無(wú)限大” “二級(jí)無(wú)限小”、多級(jí)無(wú) 限大和多級(jí)無(wú)限小。這就如同Cantor（康托）所定義

30、的超窮序 數(shù)。這就是為什么A.Robinson認(rèn)為非標(biāo)準(zhǔn)分析中的無(wú)限大、 無(wú)限小的實(shí)在性并不代表無(wú)限小量具有真實(shí)性或客觀性，認(rèn) 為引進(jìn)無(wú)限小量的意義只在于使形式化的數(shù)學(xué)推演得以順利 進(jìn)行，并不涉及無(wú)限小量是否真的存在這種本體論問(wèn)題。這 是他非?？茖W(xué)而理性的思考，從辯證唯物觀的角度看，無(wú)疑 他比誰(shuí)都看得更清楚。正如他所說(shuō)，“我們這個(gè)理論，與其 說(shuō)是引進(jìn)了新的數(shù)學(xué)的對(duì)象（entities）,不如說(shuō)是引進(jìn)了新的 演推過(guò)程”件魯濱遜（A.Robinson ）繼承和發(fā)展了萊布尼茲（Leibniz）的無(wú) 限思想，他們的無(wú)限觀點(diǎn)本質(zhì)是一致的，因而他倆都是潛 無(wú)限論者。A.Robinson非常認(rèn)同Leibni

31、z對(duì)于無(wú)限大、無(wú)限小 的評(píng)價(jià)：“它們只是一種虛構(gòu)，但是有用的虛構(gòu)” 8|325O在 非標(biāo)準(zhǔn)分析中，A.Robinson直接引用了Leibniz的原話(huà)： “老實(shí)說(shuō)，我不十分相信，除了把無(wú)限大和無(wú)限小看作是理 想的東西，看成確有根據(jù)的假定而外，還有什么必要去考慮 它們。我相信，決沒(méi)有什么生物凌駕于其他無(wú)限多的生物之 上，但我決不相信有無(wú)限大，也不相信會(huì)有無(wú)限小，這我相 信是能夠證明的”81306； “我將向他們作證：我不相信會(huì)有 真的無(wú)限大和真的無(wú)限小量；它們只是一種虛構(gòu)，但對(duì)于縮 短論證和在一般敘述中，是有用的虛構(gòu)?！币?6A.Robinson最后這樣分析，“目前，大多數(shù)的數(shù)學(xué)家， 都保持著Ca

32、ntor的觀點(diǎn)。但是，歷史的回顧，也許給我們 這樣的啟發(fā)：如果說(shuō)在十八世紀(jì)中獲得勝利的微積分，在 它以后的一百年內(nèi)，仍須另打基礎(chǔ)，那末，未來(lái)世代里的數(shù) 學(xué)家，即使承認(rèn)集合論的形式結(jié)果，也許要拋棄它的柏拉圖 （Platonistic）色彩?！币?5因此，從某種程度上，可以說(shuō)萊布尼茲 和魯濱遜都是想拋棄Cantor集合論的“柏拉圖色彩”，也就是 說(shuō)要拋棄Cantor自認(rèn)為抓住了 “實(shí)在的無(wú)限”的思想。因此，可以說(shuō)，魯濱遜完全繼承了萊布尼茲的無(wú)限思 想，認(rèn)為無(wú)限大、無(wú)限?。ㄗ鳛槌Ａ浚┦且粋€(gè)實(shí)用的工具、一 種有用的虛構(gòu)，而不是真實(shí)的存在。即使是集合論、超窮 序數(shù)的創(chuàng)立者Cantor先生，一個(gè)典型的實(shí)無(wú)

33、限論者，也否認(rèn) 無(wú)限小數(shù)，并聲稱(chēng)他能用他的理論證明無(wú)限小數(shù)不存在。 只是，他們承認(rèn)了無(wú)限作為一個(gè)客體的存在，并想用一個(gè) “數(shù)”去表達(dá)這種存在性，因而才有了無(wú)限大、無(wú)限小作為 一個(gè)存在的常量的設(shè)想。作為無(wú)限小量，dy/dx仍是表示在無(wú)限小的一段區(qū)間內(nèi)的 均量，這與現(xiàn)代極限理論仍然是一致的，把“無(wú)限小”看成 常量或變量，不改變數(shù)學(xué)的真無(wú)限的本質(zhì)。常量無(wú)限的哲學(xué)錯(cuò)誤在于，把“無(wú)限整體”看成一個(gè)固 定的數(shù)，把無(wú)限當(dāng)成有限，拋棄了有限無(wú)限矛盾（惡無(wú)限）， 實(shí)際上是用靜止而非運(yùn)動(dòng)的眼光來(lái)看待事物。a和3就像一 個(gè)純粹在有限彼岸的無(wú)限，與有限（無(wú)限進(jìn)程）沒(méi)有內(nèi)在的聯(lián) 系，有限、無(wú)限分屬于兩個(gè)不同的世界，這正是黑格爾、康 德所堅(jiān)決反對(duì)的實(shí)無(wú)限。無(wú)論標(biāo)準(zhǔn)、還是非標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)模型，都沒(méi)有擺脫“惡無(wú) 限問(wèn)題”（有限無(wú)限矛盾問(wèn)題），也就是說(shuō)惡無(wú)限是一個(gè)根本 問(wèn)題實(shí)無(wú)限論者從來(lái)就離不開(kāi)惡無(wú)限。其實(shí)，Cantor先生在 其集合論中，一直在使用惡無(wú)限，比如說(shuō)，超窮序數(shù)3的 生成過(guò)程，從任一普通自然數(shù)n出發(fā)，是到達(dá)不