初三《圓》知識點及定理

1、一、圓的概念圓學(xué)問點及定理外離（圖 1）無交點dRr；Rr；外切（圖 2）有一個交點dRr；相交（圖 3）有兩個交點Rrd集合形式的概念： 1 、 圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；內(nèi)切（圖 4）有一個交點dRr； 2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；內(nèi)含（圖 5）無交點dRr； 3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心,定長為半徑drdRrdr圖 4dRrR圖 2的圓；（補充 ） 2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線圖1（也叫中垂線） ； 3、角的平

2、分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；d 4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；RrR 5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直圖 3線距離都相等的一條直線；圖5二、點與圓的位置關(guān)系r點 C 在圓內(nèi)；ABrrdddO五、垂徑定理D21、點在圓內(nèi)dr垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的??；2、點在圓上dr點 B 在圓上；推論 1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條?。?、點在圓外dr點 A在圓外；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對的兩條弧；（3）平分弦所對的一條弧的直

3、徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧三、直線與圓的位置關(guān)系無交點；C以上共 4 個定理, 簡稱 2 推 3 定理：此定理中共5 個結(jié)論中,只要知道其中1、直線與圓相離d個即可推出其它3 個結(jié)論,即：2、直線與圓相切dr有一個交點； AB 是直徑 ABCD CEDE 弧 BC弧 BD 弧 AC弧 AD3、直線與圓相交dr有兩個交點；中任意 2 個條件推出其他3 個結(jié)論；rdd=r推論 2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等；A弧 AC即：在 O 中, AB CDCOD弧 BDABOCEE四、圓與圓的位置關(guān)系六、圓心角定理OBFD圓心角定理：同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弦相等,所對的弧相等,弦心距

4、相等；此定理也稱1 推 3 定理,- 1 - / 4 ACB即上述四個結(jié)論中,3 個結(jié)論,九、切線的性質(zhì)與判定定理只要知道其中的1 個相等,就可以推出其它的（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；即： AOB DOE；AB DE； OC OF； 弧BA 弧 BD兩個條件：過半徑外端且垂直半徑,二者缺一不行即： MN MN 是 O的切線OA且MN過半徑OA外端七、圓周角定理BDOCA（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）MON1、圓周角定理： 同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半；推論 1：過圓心垂直于切線的直線必過切點；即：AOB和ACB是弧AB所對的圓心角和

5、圓周角推論 2：過切點垂直于切線的直線必過圓心；AOB2ACBC以上三個定理及推論也稱二推肯定理：A2、圓周角定理的推論：即：過圓心；過切點；垂直切線,三個條件中知推論 1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中, 相等的圓道其中兩個條件就能推出最終一個；周角所對的弧是等?。患矗涸?O 中,C 、D 都是所對的圓周角CBBOC十、切線長定理BPOECBOECD切線長定理：A從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長推論 2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧相等,這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角；是半圓,所對的弦是直徑；BOO即： PA 、 PB是的兩條切線CA兩即：在 O 中

6、, AB 是直徑或C90A PAPBC90 AB 是直徑PO 平分BPAD推論 3：如三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形C十一、圓冪定理（1）相交弦定理 ：圓內(nèi)兩弦相交, 交點分得的是直角三角形；即：在ABC中,OCOAOB條線段的乘積相等；PA ABC 是直角三角形或C90A即：在 O中,弦 AB 、 CD 相交于點 P ,是它分注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上 PA PBPC PD的中線等于斜邊的一半的逆定理；（2）推論：假如弦與直徑垂直相交,那么弦的一半八、圓內(nèi)接四邊形D直徑所成的兩條線段的比例中項；BODAA即：在 O 中,直徑ABCD ,圓的

7、內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補,外角等于它的內(nèi)對角；即：在 O 中,CE2AE BE四邊形 ABCD 是內(nèi)接四邊形CBAD180BD180DAECA（3）切割線定理 ：從圓外一點引圓的切線和割PDO線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長BCBE- 2 - / 4 的比例中項；即：在 O 中, PA是切線, PB 是割線PA2PC PBCB（3）正六邊形AlD1同 理 , 六 邊 形 的 有 關(guān) 計 算 在 Rt OAB 中 進(jìn) 行 ,（4）割線定理 ：從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條AB OB OA1:3 : 2.O線段長的積相等（如上圖）；即：在 O

8、中, PB、 PE 是割線B PC PBPD PEA十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)運算公式十二、兩圓公共弦定理1、扇形：（1）弧長公式：ln R；B圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓180的的公共弦；A（2）扇形面積公式：S2 n R1lROS如圖：O O 垂直平分 AB ；O1O23602即：O 、O 相交于 A 、 B 兩點Bn ：圓心角R ：扇形多對應(yīng)的圓的半徑l ：扇形弧長S：扇形面積O O 垂直平分 AB2、圓柱：AD十三、圓的公切線A（1）圓柱側(cè)面綻開圖兩圓公切線長的運算公式：CS 表S 側(cè)2S 底=2rh2r2BC底面圓周長母線長O1C1（1）公切線長：Rt O O

9、C 中,AB2CO 122 O O 2CO 22；O2（2）外公切線長：CO 是半徑之差；內(nèi)公切線長：CO 2A（2）圓柱的體積：V2 r hB1（2）圓錐側(cè)面綻開圖是半徑之和；C十四、 圓內(nèi)正多邊形的運算（1） S 表S 側(cè)S 底=Rrr2O（1）正三角形Rt BOD中進(jìn)O（2）圓錐的體積：V12 r hR在 O 中ABC是正三角形,有關(guān)運算在行：OD:BD OB1:3 : 2；BD3十六、圓中常見的幫助線ACrB（2）正四邊形 同 理 , 四 邊 形 的 有 關(guān) 計 算 在 Rt OAE 中 進(jìn) 行 ,B1）作半徑,利用同圓或等圓的半徑相等2）作弦心距,利用垂徑定理進(jìn)行證明或運算,或利用“

10、 圓心、弧、弦、弦心距”間的關(guān)系進(jìn)行證明OE:AE OA1:1:2：O3）作半徑和弦心距,構(gòu)造由“ 半徑、半弦和弦心距” 組成的直角三角形進(jìn)行運算4）作弦構(gòu)造同弧或等弧所對的圓周角AED- 3 - / 4 5 作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對的圓周角直角A B C DCM6 遇到切線,作過切點的弦,構(gòu)造弦切角7 遇到切線,作過切點的半徑,構(gòu)造直角例 3 如圖 23-12 ,在半徑為4 的 O中, AB、CD是兩條直徑, M為 OB的中點,延長8 欲證直線為圓的切線時,分兩種情形：1 如知道直線和圓有公共點時,常連結(jié)交 O于 E,且 EMMC,連結(jié) OE、DE,公共點和圓心證明直線垂直；2 不知道直線和

11、圓有公共點時,常過圓心向直線作垂線,證明垂線段的長等于圓的半徑求： EM的長9 遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點例 4 如圖 23-13 , AB是 O的直徑, PB切 O于點 B,PA交 O于點 C, PF分別交10 遇到三角形的內(nèi)心,常作：1 內(nèi)心到三邊的垂線；2 連結(jié)內(nèi)心和三角形的頂AB、BC于 E、D,交 O于 F、G,且 BE、BD恰好是關(guān)于 x 的方程 其中 m為實數(shù) 的兩根1 求證： BEBD；點11 遇相交兩圓,常作：1 公共弦； 2 連心線12 遇兩圓相切,常過切點作兩圓的公切線13 求公切線經(jīng)常過小圓圓心向大圓半徑作垂線,將公切線平移成直角三角形的一 條直角邊2 如,求