三角形四心向量形式的充要條件（原卷版）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)必備考試技能高分領(lǐng)先方案

1、第PAGE 頁碼8頁/總NUMPAGES 總頁數(shù)8頁Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.專題09 三角形”四心“向量形式的充要條件一、結(jié)論1、三角形“四心”：重心，垂心，內(nèi)心，外心（1）重心中線的交點(diǎn)：重心將中線長度分成2：1；（2）垂心高線的交點(diǎn)：高線與對(duì)應(yīng)邊垂直；（3）內(nèi)心角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；（4）外心中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。2、設(shè)為所在平面上一點(diǎn),內(nèi)角,所對(duì)的邊分別為,則（1）為的外心.（2）為的重心.

2、（3）為的垂心.（4）為的內(nèi)心.3、奔馳定理奔馳定理：設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)，,的面積分別記作,則.說明：本定理圖形酷似奔馳的車標(biāo)而得名.奔馳定理在三角形四心中的具體形式：是的重心.是的內(nèi)心.是的外心.是的垂心.奔馳定理是三角形四心向量式的完美統(tǒng)一.二、典型例題1（2022四川西昌高二期末（理）在平面上有及內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（ ）A外心B內(nèi)心C重心D垂心【答案】B【解析】記點(diǎn)O到AB、BC、CA的距離分別為，因?yàn)?，則，即，又因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)P是ABC的內(nèi)心.故選：B【反思】設(shè)為所在平面上一點(diǎn),內(nèi)角,所對(duì)的邊分別為,則為的內(nèi)心.利用結(jié)論可直接得

3、到為的內(nèi)心.2（2021全國高一課時(shí)練習(xí)）已知O是ABC所在平面上的一點(diǎn)，若，則點(diǎn)O是ABC的（ ）A外心B內(nèi)心C重心D垂心【答案】C【解析】作BDOC，CDOB，連接OD，OD與BC相交于點(diǎn)G，則BG=CG(平行四邊形對(duì)角線互相平分)，又，可得=-，=-，A，O，G在一條直線上，可得AG是BC邊上的中線，同理，BO，CO也在ABC的中線上.點(diǎn)O為三角形ABC的重心.故選：C.【反思】設(shè)為所在平面上一點(diǎn),內(nèi)角,所對(duì)的邊分別為,則為的重心.利用結(jié)論可直接得到為的重心.3（多選）（2022全國高三專題練習(xí)）在所在平面內(nèi)有三點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）A滿足，則點(diǎn)是的外心B滿足，則點(diǎn)是的重心C滿足，

4、則點(diǎn)是的垂心D滿足，且，則為等邊三角形【答案】ABCD【解析】解：對(duì)于，因?yàn)?，所以點(diǎn)到的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以為的外心，故正確；對(duì)于B，如圖所示，為的中點(diǎn)，由得：，所以，所以是的重心，故B正確；對(duì)于C，由得：，即，所以；同理可得：，所以點(diǎn)是的垂心，故C正確；對(duì)于D，由得：角的平分線垂直于，所以；由得：，所以，所以為等邊三角形，故D正確故選：ABCD【反思】設(shè)為所在平面上一點(diǎn),內(nèi)角,所對(duì)的邊分別為,則（1）為的外心.（2）為的重心.（3）為的垂心.4.已知是的重心，且滿足，則= .【答案】【分析】要牢記前面的系數(shù)之比為1:1:1，求得三內(nèi)角的正弦比，再利用正、余弦定理求得.【解析】是的重心，由

5、正弦定理，由余弦定理， .【反思】利用奔馳定理在三角形四心中的具體形式：是的重心，可得到，通過進(jìn)一步利用三角形的正余弦定理，求出角.三、針對(duì)訓(xùn)練 舉一反三一、單選題1（2021寧夏銀川一中高三階段練習(xí)（理）中，abc分別是BCACAB的長度，若，則O是的（ ）A外心B內(nèi)心C重心D垂心2（2021山東棗莊高一期中）已知點(diǎn)G是三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則G點(diǎn)是三角形ABC的（ ）A垂心B內(nèi)心C外心D重心3（2021福建廈門市湖濱中學(xué)高二開學(xué)考試）若是平面上的定點(diǎn)，是平面上不共線的三點(diǎn)，且滿足（），則點(diǎn)的軌跡一定過的（ ）A外心B內(nèi)心C重心D垂心4（2021全國高一課時(shí)練習(xí)）若O是平面內(nèi)一定

6、點(diǎn)，A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足+(0，+)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的（ ）A外心B內(nèi)心C重心D垂心5（2022全國高三專題練習(xí)）設(shè)是平面上一定點(diǎn)，ABC是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的（ ）A外心B內(nèi)心C重心D垂心6（2022全國高三專題練習(xí)）在中，且，則點(diǎn)的軌跡一定通過的（ ）A重心B內(nèi)心C外心D垂心二、多選題7（2021廣東廣州高一期末）已知O，N，P，I在所在的平面內(nèi)，則下列說法正確的是（ ）A若，則O是外心B若，則P是垂心C若，則N是重心D若，則I是內(nèi)心8（2021重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校高一期中）對(duì)于給定的，其外心為O，重心為G，垂心為H，內(nèi)心為Q，則下列結(jié)論正確的是（ ）ABCD若三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)使9（2021廣東東莞市光明中學(xué)高一階段練習(xí)）點(diǎn)O在所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（ ）A若，則點(diǎn)O是的重心B若，則點(diǎn)O是的內(nèi)心C若，則點(diǎn)O是的外心D若，則點(diǎn)O是的垂心三、填空題10（2020四川遂寧中學(xué)高一階段練習(xí)）已知是平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的_