屆全國(guó)大聯(lián)考高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題解析

1、2020屆全國(guó)大聯(lián)考高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1已知會(huì)集Ax|x23x40，By|y2x3，則AUB（）A3,4)B(1,)C(3,4)D(3,)【答案】B【分析】分別求解會(huì)集A,B再求并集即可.【詳解】因?yàn)锳x|x23x40 x|1x4,By|y2x3y|y3,所以AUB(1,).應(yīng)選：B【點(diǎn)睛】本題觀察會(huì)集的運(yùn)算與二次不等式的求解以及指數(shù)函數(shù)的值域等.屬于基礎(chǔ)題.2若直線2xym0與圓x22xy22y30訂交所得弦長(zhǎng)為25，則m（）A1B2C5D3【答案】A【分析】將圓的方程化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)方程,再依據(jù)垂徑定理求解即可.【詳解】圓x22xy22y30的標(biāo)準(zhǔn)方程(x1)2(y1)25,圓

2、心坐標(biāo)為(1,1),半徑為5,因?yàn)橹本€2xym0與圓x22xy22y30訂交所得弦長(zhǎng)為25,因此直線2xym0過圓心,得2(1)1m0,即m1.應(yīng)選：A【點(diǎn)睛】本題觀察了依據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法,屬于基礎(chǔ)題.3拋物線x23ay的準(zhǔn)線方程是y1，則實(shí)數(shù)a（）第1頁(yè)共17頁(yè)3344ABCD4433【答案】C【分析】依據(jù)準(zhǔn)線的方程寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,再比較系數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)闇?zhǔn)線方程為y1,24y,因此3a4,即a4因此拋物線方程為x.3應(yīng)選：C【點(diǎn)睛】本題觀察拋物線與準(zhǔn)線的方程.屬于基礎(chǔ)題.4已知p:cosxsiny，q:xy則p是q的（）2A充分而不用要條件B必需而不充分條件C充

3、分必需條件D既不充分也不用要條件【答案】B【分析】依據(jù)引誘公式化簡(jiǎn)sinycosy再分析即可.2【詳解】因?yàn)閏osxsinycosy,因此q建立可以推出p建立,但p建立得不到q建立,2比方coscos5,而5,因此p是q的必需而不充分條件.3333應(yīng)選：B【點(diǎn)睛】本題觀察充分與必需條件的判斷以及引誘公式的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.5一個(gè)圓錐的底面和一個(gè)半球底面完整重合，假如圓錐的表面積與半球的表面積相等，那么這個(gè)圓錐軸截面底角的大小是（）A15B30C45D60【答案】D【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為R,再表達(dá)圓錐表面積與球的表面積公式,從而求得l2R即可得圓錐軸截面底角的大小.【詳解】第2頁(yè)

4、共17頁(yè)設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為R,則有R2RlR22R2,解得l2R,因此圓錐軸截面底角的余弦值是R160.l,底角大小為2應(yīng)選：D【點(diǎn)睛】本題觀察圓錐的表面積和球的表面積公式,屬于基礎(chǔ)題.6已知F是雙曲線C:kx2y24|k|（k為常數(shù)）的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為（）A2kB4kC4D2【答案】D【分析】分析可得k0,再去絕對(duì)值化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)形式,從而依據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】當(dāng)k0時(shí),等式kx2y24|k|不是雙曲線的方程；當(dāng)k0時(shí),kx2y24|k|4k,可化為y2x21,可得虛半軸長(zhǎng)b2,因此點(diǎn)F到雙曲4k4線C的一條漸近線的距離為2.應(yīng)選：D【點(diǎn)睛】

5、本題觀察雙曲線的方程與點(diǎn)到直線的距離.屬于基礎(chǔ)題.7關(guān)于函數(shù)f(x)sinx在區(qū)間,的單調(diào)性，以下表達(dá)正確的選項(xiàng)是（）62A單調(diào)遞加B單調(diào)遞減C先遞減后遞加D先遞加后遞減【答案】C【分析】先用引誘公式得f(x)sinxcosx,再依據(jù)函數(shù)圖像平移的63方法求解即可.【詳解】函數(shù)f(x)sinxcosx的圖象可由ycosx向左平移個(gè)單位得633到,以以下圖,f(x)在,上先遞減后遞加.2第3頁(yè)共17頁(yè)應(yīng)選：C【點(diǎn)睛】本題觀察三角函數(shù)的平移與單調(diào)性的求解.屬于基礎(chǔ)題.8在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、M分別是AB、AD、AA1的中點(diǎn)，又P、Q分別在線段AB、AD上，且APAQ

6、m(0ma)，設(shè)平面MEFI111111平面MPQl，則以下結(jié)論中不行立的是（）Al/平面BDD1B1BlMCC當(dāng)maD當(dāng)m變化時(shí)，直線l的地址不變時(shí)，平面MPQMEF2【答案】C【分析】依據(jù)線面平行與垂直的判斷與性質(zhì)逐一分析即可.【詳解】因?yàn)镻Q/B1D1,EFABAD,EF/BD,A1PAQm,因?yàn)橐虼?因此、分別是、的中點(diǎn)因此PQ/EF,因?yàn)槊鍹EFI面MPQl,因此PQ/EF/l.選項(xiàng)A、D明顯建立；因?yàn)锽D/EF/l,BD平面ACC1A1,因此l平面ACC1A1,因?yàn)镸C平面ACC1A1,因此lMC,因此B項(xiàng)建立；易知AC平面MEF,AC平面MPQ,而直線AC1與AC不垂直,因此C項(xiàng)

7、不行立.111應(yīng)選：C【點(diǎn)睛】本題觀察直線與平面的地址關(guān)系.屬于中檔題.2|OF|19已知拋物線y2px(p0)F為拋物線的焦點(diǎn)且MN為過焦點(diǎn)的弦，若，|MN|8，則VOMN的面積為（）第4頁(yè)共17頁(yè)A22B32C42D322【答案】A【分析】依據(jù)|OF|1可知2y4x,再利用拋物線的焦半徑公式以及三角形面積公式求解即可.【詳解】由題意可知拋物線方程為y24x,設(shè)點(diǎn)Mx1,y1點(diǎn)Nx2,y2,則由拋物線定義知,MN|MF|NF|x1x22,|MN|8則x1x26.由y24x得y124x1,y224x2則y12y2224.又MN為過焦點(diǎn)的弦,因此y1y24,則y2y1y12y222y1y242,

8、因此SVOMN1y2y122.|OF|2應(yīng)選：A【點(diǎn)睛】本題觀察拋物線的方程應(yīng)用,同時(shí)也觀察了焦半徑公式等.屬于中檔題.10在VABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acosBbsinAc.若a2，VABC的面積為3(21)，則bc（）A5B22C4D16【答案】C【分析】依據(jù)正弦定理邊化角以及三角函數(shù)公式可得A4,再依據(jù)面積公式可求得bc6(22),再代入余弦定理求解即可.【詳解】VABC中,acosBbsinAc,由正弦定理得sinAcosBsinBsinAsinC,又sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB,sinBsinAcosAsinB,又sinB0,si

9、nAcosA,tanA1,又A(0,),A4.SVABC1bcsinA2bc3(21),24bc6(22),a2,由余弦定理可得a2(bc)22bc2bccosA,第5頁(yè)共17頁(yè)(bc)24(22)bc4(22)6(22)16,可得bc4.應(yīng)選：C【點(diǎn)睛】本題主要觀察認(rèn)識(shí)三角形中正余弦定理與面積公式的運(yùn)用,屬于中檔題.11存在點(diǎn)Mx0,y0在橢圓x2y21(ab0)上，且點(diǎn)M在第一象限，使得過a2b2x0 xy0y1垂直的直線經(jīng)過點(diǎn)0,b，則橢圓離心率點(diǎn)M且與橢圓在此點(diǎn)的切線2b22a的取值范圍是（）A0,22C0,3D3,1B,13223【答案】D【分析】依據(jù)題意利用垂直直線斜率間的關(guān)系建立

10、不等式再求解即可.【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)M橢圓的切線方程為x0 xy0y1,因此切線的斜率為b2x0,a2b2a2y0b23y0b22222由bx021,解得y02c2b,即b2c,因此ac2c,2x0y0a因此c3.a3應(yīng)選：D【點(diǎn)睛】本題主要觀察了建立不等式求解橢圓離心率的問題,屬于基礎(chǔ)題.12已知正三棱錐ABCD的全部極點(diǎn)都在球O的球面上，其底面邊長(zhǎng)為4，E、F、G分別為側(cè)棱AB，AC，AD的中點(diǎn).若O在三棱錐ABCD內(nèi)，且三棱錐ABCD的體積是三棱錐OBCD體積的4倍，則其余接球的體積與三棱錐OEFG體積的比值為（）A63B83C123D243【答案】D【分析】如圖，平面EFG截球O所得截面

11、的圖形為圓面，計(jì)算AH4OH，由勾股第6頁(yè)共17頁(yè)定理解得R6，其余接球的體積為246，三棱錐OEFG體積為2，獲取33答案.【詳解】如圖，平面EFG截球O所得截面的圖形為圓面.正三棱錐ABCD中，過A作底面的垂線AH，垂足為H，與平面EFG交點(diǎn)記為K，連接OD、HD.依題意VABCD4VOBCD，因此AH4OH，設(shè)球的半徑為R，在RtVOHD中，ODR，HD3BC43，OH1ROA，33332由勾股定理：R243R332，解得R6，其余接球的體積為246，3因?yàn)槠矫鍱FG/平面BCD，因此AH平面EFG，球心O到平面EFG的距離為KO，則KOOAKAOA1AHR2RR6，2333因此三棱錐O

12、EFG體積為1134262，34433因此其余接球的體積與三棱錐OEFG體積比值為243.應(yīng)選：D.【點(diǎn)睛】本題觀察了三棱錐的外接球問題，三棱錐體積，球體積，意在觀察學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.第7頁(yè)共17頁(yè)二、填空題x2y21(a0,b0)的兩條漸近線斜率分別為k1，k2，若k1k23，13若雙曲線22ab則該雙曲線的離心率為_.【答案】2【分析】由題得k1k2b23,再依據(jù)b2e21求解即可.a2a2【詳解】雙曲線x2y21的兩條漸近線為ybx,可令k1b,k2b,則a2b2aaak1k2b23,因此b2e213,解得e2.a2a2故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題觀察雙曲線漸近線求離心率的問題

13、.屬于基礎(chǔ)題.14已知在等差數(shù)列an中，a717，a1a3a515，前n項(xiàng)和為Sn，則S6_.【答案】39【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為d,從而求得首項(xiàng)為a1,再利用基本量法列式求解公差與首項(xiàng)S6即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d,首項(xiàng)為a1,依據(jù)題意可得a7a16d17,解得a1a12da14d15a11161d,因此S665339.32故答案為：39【點(diǎn)睛】本題觀察等差數(shù)列的基本量計(jì)算以及前n項(xiàng)和的公式,屬于基礎(chǔ)題.15已知拋物線y22pxp0的焦點(diǎn)和橢圓x2y21的右焦點(diǎn)重合，直線過拋43第8頁(yè)共17頁(yè)物線的焦點(diǎn)F與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)和橢圓交于A、B兩點(diǎn)，M為拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，滿足PFMF8

14、，MFP，當(dāng)VMFP面積最大時(shí)，直線AB的方程3為_.【答案】y3x1【分析】依據(jù)均值不等式獲取PFMF16，MFP43，依據(jù)等號(hào)建立條件得S到直線AB的傾斜角為，計(jì)算獲取直線方程.3【詳解】由橢圓x2y21，可知c1，p1，p2，y24x，432SMFP1PFMFsin3PFMF，2348PFMF2PFMF，PFMF16，SMFP3PFMF31643（當(dāng)且僅當(dāng)PFMF4，等號(hào)建立），44QMF4，F(xiàn)1F2，F(xiàn)MF1，MFF1，63直線AB的傾斜角為，直線AB的方程為y3x1.3故答案為：y3x1.【點(diǎn)睛】本題觀察了拋物線，橢圓，直線的綜合應(yīng)用，意在觀察學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.16已知三

15、棱錐PABC，PAPBPC，VABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，D，E分別是PA、AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C除外），CDE，若異面72直線AC與DF所成的角為，且cos，則CF_.10第9頁(yè)共17頁(yè)【答案】52【分析】取AC的中點(diǎn)G，連接GP，GB，取PC的中點(diǎn)M，連接DM，MF，DF，直線AC與DF所成的角為MDF，計(jì)算MF2a22a2，DF2a24a10，依據(jù)余弦定理計(jì)算獲取答案?！驹斀狻咳C的中點(diǎn)G，連接GP，GB，依題意可得ACGP，ACGB，因此AC平面GPB，因此ACPB，因?yàn)镈，E分別PA、AB的中點(diǎn)，因此DE/BP，因?yàn)镃DE2，因此PBCD，因此BP平面PAC，故BPA

16、P，故PAPBPC22，故PA,PB,PC兩兩垂直。取PC的中點(diǎn)M，連接DM，MF，DF，因?yàn)镈M/AC，因此直線AC與DF所成的角為MDF，設(shè)CFa0a4，則MF2MC2CF22MCCFcosa22a2，4DF2DP2PF228a2222a2a24a10，2因此cos122a6a7a24a102a24a10，410化簡(jiǎn)得6a412a50，解得a552，即CF.2故答案為：5.2【點(diǎn)睛】本題觀察了依據(jù)異面直線夾角求長(zhǎng)度，意在觀察學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.三、解答題第10頁(yè)共17頁(yè)17在數(shù)列an和等比數(shù)列bn中，a10，a32，bn2an1nN*.（1）求數(shù)列bn及an的通項(xiàng)公式；（2）若c

17、n1anbn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn.2【答案】（1）ann1，bn2n（2）Sn2(n2)2n【分析】(1)依據(jù)a10與a32可求得b12,b3238再依據(jù)等比數(shù)列的基本量求解即可.(2)由(1)可得cn(n1)2n1,再利用錯(cuò)位相減乞降即可.【詳解】解：（1）依題意b12,b3238,設(shè)數(shù)列b的公比為q,由bn2an10,可知q0,n由b3b1q22q28,得q24,又q0,則q=2,故bnb1qn122n12n,又由2an12n,得ann1.（2）依題意cn(n1)2n1.Sn020121222(n2)2n2(n1)2n1,則2Sn021122223(n2)2n1(n1)2n,-得Sn

18、21222n1(n1)2n22n(n1)2n,12即Sn2(2n)2n,故Sn2(n2)2n.【點(diǎn)睛】本題主要觀察了等比數(shù)列的基本量求解以及錯(cuò)位相減乞降等.屬于中檔題.18如圖，在四棱錐SABCD中，平面SAD平面ABCD，SD1，cosASD5，5底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱DC，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱SC靠近點(diǎn)C的四均分點(diǎn).第11頁(yè)共17頁(yè)求證：（1）直線SAP平面EFG；2）直線AC平面SDB.【答案】（1）見分析（2）見分析【分析】(1)連接AC、BD交于點(diǎn)O,交EF于點(diǎn)H,連接GH,再證明SAGH即可.(2)證明ACBD與SDAC即可.【詳解】1）連接AC、BD交于點(diǎn)

19、O,交EF于點(diǎn)H,連接GH,因此O為AC的中點(diǎn),H為OC的中點(diǎn),由E、F為DC、BC的中點(diǎn),再由題意可得CGCH1,因此在三角形CAS中CSCA4SAGH,SA平面EFG,GH平面EFG,因此直線SAP平面EFG.（2）在VASD中,SD1,AD2,cosASD5,由余弦定理5得,AD2SA2SD22SASDcosASD,即22SA2122SA15,解得5SA5,由勾股定理逆定理可知SDDA,因?yàn)閭?cè)面SAD底面ABCD,由面面垂直的性質(zhì)定理可知SD平面ABCD,因此SDAC,因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,因此ACBD,因?yàn)镾DIBDD,因此AC平面SDB.【點(diǎn)睛】本題觀察線面平行與垂直的證明.需要依

20、據(jù)題意利用等比率以及余弦定理勾股定理等證明.屬于中檔題.19設(shè)拋物線C:y22px(p0)過點(diǎn)(m,2m)(m0).（1）求拋物線C的方程；uuuruuur（2）F是拋物線C的焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若BF2FA，|AB|的值.第12頁(yè)共17頁(yè)【答案】（1）y24x（2）92【分析】(1)代入(m,2m)計(jì)算即可.(2)設(shè)直線AB的方程為yk(x1),再聯(lián)立直線與拋物線的方程,消去x可得y的一元二,uuuruuur,.次方程再依據(jù)韋達(dá)定理與BF2FA求解k從而利用弦長(zhǎng)公式求解即可【詳解】解：1C:y22px(p0),4m2pm,p2,（）因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)(m,2m)因此因此拋物

21、線的方程為y24x（2）由題意知直線AB的斜率存在,可設(shè)直線AB的方程為uuuruuur2y1,聯(lián)立yk(x1)yk(x1),Ax1,y1,Bx2,y2.因?yàn)锽F2FA,因此y2y24x,化簡(jiǎn)得24442yy40,因此y1y2,yy4,因此y1,y2解得121,kkkk22,因此|AB|11y1y224y1y2992818.k2【點(diǎn)睛】本題觀察拋物線的方程以及聯(lián)立直線與拋物線求弦長(zhǎng)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.屬于基礎(chǔ)題.20已知在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，PAAB，在四邊形ABCD中，DAAB，AD/BC，ABAD2BC2，E為PB的中點(diǎn)，連接DE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，連接AF.1）求證：AFPB.2

22、）求二面角AECD的余弦值.【答案】（1）見分析；（2）217第13頁(yè)共17頁(yè)【分析】（1）連接AE，證明PBAD，AEPB獲取PB面ADE，獲取證明.（2）以PA，AB，AD所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，r1,1,2為平面AEC的法向量，平面DEC的一個(gè)法向量為urnm3,1,2，計(jì)算夾角獲取答案.【詳解】（）連接AE，在四邊形ABCD中，DAAB，PA平面ABCD，1AD面ABCD，ADPA，PAIABA，AD面PAB，又QPB面PAB，PBAD，又Q在直角三角形PAB中，PAAB，E為PB的中點(diǎn)，AEPB，ADAEA，PB面ADE，AF面ADE，AFPB.（2）以

23、PA，AB，AD所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，P2,0,0，B0,2,0，E1,1,0，C0,2,1，A0,0,0，D0,0,2，ruuuruuurvuuuv00,2,1nAC設(shè)nx,y,z為平面AEC的法向量，AC，AE1,1,0，vuuuv，nAE02yz01，則y1，z2，r1,1,2xy，令xn，0同理可得平面DEC的一個(gè)法向量為urm3,1,2.urrcos31421，設(shè)向量m與n的所成的角為，6147由圖形知，二面角AECD為銳二面角，因此余弦值為21.7第14頁(yè)共17頁(yè)【點(diǎn)睛】本題觀察了線線垂直，二面角，意在觀察學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.21已知函數(shù)f

24、(x)4lnx1x2.2（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；f(x)b1x零點(diǎn)的個(gè)數(shù).（2）談?wù)揼(x)x2【答案】（1）見分析（2）見分析【分析】(1)求導(dǎo)后分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)再判斷單調(diào)性即可.(2)g(x)4lnxbx,g(x)有零點(diǎn)等價(jià)于方程4lnxbx0實(shí)數(shù)根,再換元將原xx方程轉(zhuǎn)變成b2lnt,再求導(dǎo)分析h(t)2lnt的圖像數(shù)形結(jié)合求解即可.tt【詳解】（1）f(x)的定義域?yàn)?0,),f(x)4xx24,當(dāng)0 x2時(shí),f(x)0,所xx以yf(x)在(0,2)單調(diào)遞減；當(dāng)x2時(shí),f(x)0,因此yf(x)在(2,)單調(diào)遞增,因此yf(x)的減區(qū)間為(0,2),增區(qū)間為(2,).（2）g(x

25、)4lnxbx,g(x)有零點(diǎn)等價(jià)于方程4lnxxxbx0實(shí)數(shù)根,令2lnt,2(1lnt).x2t(t0)則原方程轉(zhuǎn)變成b2lnt,h(t)t令h(t)tt2令h(t)0,te,t(0,e),h(t)0,t(e,),h(t)0,h(t)maxh(e)21h(t)2e0,當(dāng)te時(shí),h(t)0.,當(dāng)t時(shí),ee如圖可知第15頁(yè)共17頁(yè)當(dāng)b0時(shí)h(t)有獨(dú)一零點(diǎn)即有獨(dú)一零點(diǎn)；,g(x)當(dāng)0b2g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；時(shí),h(t)有兩個(gè)零點(diǎn),即e當(dāng)b2時(shí),h(t)有獨(dú)一零點(diǎn),即g(x)有獨(dú)一零點(diǎn)；eb2時(shí),h(t)此時(shí)無(wú)零點(diǎn),即g(x)此時(shí)無(wú)零點(diǎn).e【點(diǎn)睛】本題主要觀察了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性的方法,同時(shí)也觀察了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)零點(diǎn)的問題,屬于中檔題