高中數(shù)學必修二 8.6 空間直線、平面的垂直（精練）(含答案)

1、8.6 空間直線、平面的垂直(精練)【題組一 線面垂直】1(2021全國高一課時練習)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點當_時，D1E平面AB1F【答案】1【解析】連接A1B，則A1B是D1E在面ABB1A內的射影，AB1A1B，D1EAB1，于是D1E平面AB1F，又平面AB1F，所以D1EAF連接DE，則DE是D1E在底面ABCD內的射影D1EAF，因為，所以平面，又平面，所以DEAFABCD是正方形，E是BC的中點當且僅當F是CD的中點時，DEAF，即當點F是CD的中點時，D1E平面AB1F1時，D1E平面AB1F故答案為：1.2(2021

2、全國高一課時練習)如圖，四棱錐中，平面，底面是正方形，F(xiàn)為的中點.求證：平面.【答案】證明見解析.【解析】證明：平面，平面，.四邊形是正方形，又，平面，平面，平面，.，又，平面，平面.3(2021全國高一單元測試)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是邊長為2的等邊三角形，點D，E分別是BC，AB1的中點(1)證明：DE平面ACC1A1；(2)若BB11，證明：C1D平面ADE【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】(1)連接A1B，A1C，在直三棱柱ABCA1B1C1中，側面ABB1A1是矩形，因為點E是AB1的中點，所以點E是A1B的中點，又因為點D是BC的中點，所以DEA

3、1C，因為DE平面ACC1A1，A1C平面ACC1A1，所以DE平面ACC1A1(2)連接B1D，在直三棱柱ABCA1B1C1中，因為BB1平面ABC，AD平面ABC，所以 BB1AD，又因為底面ABC是等邊三角形，D為BC的中點，所以BCAD，又BCBB1B，所以AD平面B1BCC1，又C1D平面B1BCC1，所以ADC1D，由BC2，得BD1，又BB1CC11，所以，所以，所以C1DDB1，DB1ADD，所以C1D平面ADB1，即C1D平面ADE4(2021全國高一課時練習)如圖1，在直角梯形中，E是的中點，O是與的交點將沿折起到圖2中的位置，得到四棱錐求證：平面【答案】證明見解析【解析】

4、證明：在題圖1中，因為，E是的中點，所以所以在題圖2中，又，所以平面，又，所以平面5(2021廣西桂平市麻垌中學高一月考)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，ABC=60，PA平面ABCD，點M、N分別為BC、PA中點，且PA=AB=2.(1)證明：BC平面AMN；(2)求三棱錐N-AMC的體積；(3)在線段PD上是否存在一點E，使得MN平面ACE；若存在，求出PE的長；若不存在，說明理由.【答案】(1)詳解見解析；(2)；(3)存在點E為PD的中點，PE=【解析】(1)證明：因為ABCD為菱形，所以AB=BC，又ABC=60，所以AB=BC=AC，又M為BC中點，所以BCAM

5、，又PA平面ABCD，BC平面ABCD，故PABC又PAAM=A，所以BC平面AMN.(2)由(1)知為等邊三角形，AB=BC=AC=2又M為BC中點，則BM=CM=1，故因此，又PA平面ABCD，PA=2，N為PA的中點，故AN=1所以.(3)存在點E，取PD中點E，連接NE，EC，AE，如圖所示：因為N，E分別為PA，PD中點，所以，且，又在菱形ABCD中，且，所以，且，即MCEN是平行四邊形，故，又平面ACE，NM平面ACE，故平面ACE，即在PD上存在一點E，使得MN平面ACE，此時PE=PD=【題組二 面面垂直】1(2021全國高一單元測試)如圖，四棱錐的底面是邊長為a的菱形，平面平

6、面，為的中點.求證：平面平面.【答案】證明見解析【解析】如圖所示，設，連接，則.，.平面平面，平面平面，平面平面.又平面，故平面平面.2(2021山西省長治市第二中學校高一月考)如圖，在三棱錐中，平面(1)求證：平面平面(2)若，求二面角的正切值【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】(1)平面，平面 平面平面平面，平面平面.(2)設是的中點，過于，連接在中平面平面平面，平面又平面是二面角的平面角設，則在中，所以.3(2021內蒙古包頭高一期末)如圖，在四棱錐中，已知底面是菱形，且對角線與相交于點.(1)若，求證：平面平面；(2)設點為的中點，在棱上是否存在點，使得平面？請說明理由.【答案】(

7、1)證明見解析；(2)存在，理由見解析.【解析】證明：(1)連接，底面為菱形，. 又又平面. 平面，平面平面. (2)棱上存在點，且為的中點，使得平面，證明如下：連接. 是的中點， 平面，平面,平面4(2021廣東白云高一期末)如圖，垂直于所在的平面，為的直徑，點為線段上一動點.(1)證明：平面平面；(2)當點移動到點時，求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)證明：因為垂直于所在的平面，即平面，平面，所以，又為的直徑，所以，因為，所以平面，又平面，所以，因為，所以平面，又平面，所以平面平面.(2)解：因為，所以，又，所以，由，可得，如圖，過點作交于點，則，可得

8、，又，所以，所以，設點到平面的距離為，由，可得，解得，所以當點移動到點時，與平面所成角的正弦值為.5(2021江蘇吳江汾湖高級中學高一月考)如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，分別為，的中點(1)求證：平面；(2)若，求證：平面平面【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】(1)連結，由已知，為和的中點，又為的中點，平面，平面，平面(2)，平面平面，平面平面，平面平面6(2021山西太原市第五十六中學校高一月考)在四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，以BD的中點O為球心，BD為直徑的球面交PD于點M.(1)求直線BD與平面PAD所成的角的正切值；(2)求證：平面平面PCD.【答案

9、】(1)；(2)證明見解析.【解析】(1) 平面ABCD，平面ABCD， PABA，又底面ABCD是矩形，BAAD，又PA，AD平面PAD，, BA平面PAD， 直線BD與平面PAD內的投影為AD， 即為直線BD與平面PAD所成的角，又 AB=2，AD=4， ； 直線BD與平面PAD所成的角的正切值為，(2)證明：依題設，M在以BD為直徑的球面上，則，由(1)得平面PAD，又平面 ，AB，BM平面ABM， 平面ABM，又平面 平面平面PCD.7(2021江蘇如皋高一月考)如圖，在四棱錐中，經過AB的平面與PDPC分別交于點E與點F，且平面平面PCD，平面ABFE.(1)求證：；(2)求證：平面

10、平面PCD.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】(1)平面ABFE，平面PCD，平面平面同理.(2)由(1)知，平面平面PCD，平面平面，平面ABFE平面PCD，又平面PAD中，平面平面.8(2021江蘇濱?？h八灘中學高一期中)如圖，在三棱錐中，分別為棱的中點，已知，且(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】(1)證明：分別為中點，為的中位線，且，又F為中點，為的中位線，又，又，平面又平面，所以平面平面(2)由(1)知平面，又平面，平面平面因為為中點，又平面平面，所以平面為直線與平面所成角，在直角中，所以9(2021江蘇如皋

11、高一月考)在直三棱柱中，是的中點，是上一點，線段與相交于點，且平面.(1)證明：點為線段的中點；(2)若，證明：平面平面.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】(1)設，連接，因為平面，平面，平面平面所以，在直三棱柱中，四邊形為平行四邊形所以因為，所以，即點為線段的中點.(2)在直三棱柱中，因為為線段的中點，所以又因為，是的中點，所以，因為，所以在直三棱柱中，平面，平面所以，因為，平面，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.【題組三 線線垂直】1(2021安徽六安市裕安區(qū)新安中學高一期末)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有( )A2條B4條C6條D

12、8條【答案】D【解析】在長方體ABCDA1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8條故選：D.2(2021全國高一課時練習)如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，EF=求證：ADBC【答案】證明見解析【解析】證明：如圖所示，取BD的中點H，連接EH，F(xiàn)H因為E是AB的中點，且AD=2，所以EHAD，EH=1同理FHBC，F(xiàn)H=1所以EHF(或其補角)是異面直線AD，BC所成的角因為EF=，所以EH2+FH2=EF2，所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜邊，所以EHF=90，即AD與BC所

13、成的角是90，所以ADBC3(2021全國高一單元測試)如圖，已知矩形CDEF和直角梯形ABCD，ABCD，ADC90，DEDA，M為AE的中點.(1)求證：AC平面DMF；(2)求證：BEDM.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】(1)如圖，連結EC交DF于點N，連結MN.因為CDEF為矩形，所以EC，DF相互平分，所以N為EC的中點.又因為M為EA的中點，所以MNAC.又因為AC平面DMF，且MN平面DMF.所以AC平面DMF.(2)因為矩形CDEF，所以CDDE.又因為ADC90，所以CDAD.因為DEADD，DE，AD平面ADE，所以CD平面ADE.又因為DM平面ADE

14、，所以CDDM.又因為ABCD，所以ABDM.因為ADDE，M為AE的中點，所以AEDM.又因為ABAEA，AB，AE平面ABE，所以MD平面ABE.因為BE平面ABE，所以BEMD.4(2021天津紅橋高一學業(yè)考試)如圖，在三棱錐P- ABC中，PA底面ABC，BCAC，M、N分別是BC、PC的中點.(1)求證：MN/平面PAB；(2)求證：BCPC.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】(1)因為M、N分別是BC、PC 的中點，所以，又平面，平面，則平面(2)因為PA底面ABC，且 平面ABC，所以，又，且，平面所以平面，又平面，所以BCPC.5(2021全國高一課時練習)如

15、圖，在三棱錐中，底面分別是的中點(1)求證：；(2)求證：平面；(3)求證：【答案】(1) 證明見解析；(2)證明見解析 ；(3) 證明見解析【解析】(1)在三棱錐中，因為分別是的中點，根據(jù)三角形的中位線定理，可得(2)由(1)知，因為平面，且平面，根據(jù)線面垂直的判定定理，可得平面(3)因為平面，且平面，所以，又因為，且，所以平面，又由平面，所以6(2021廣西桂平市麻垌中學高一月考)如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PA=AB，點E是PD的中點求證：(1)ACPB；(2)PB/平面AEC.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】(1)四

16、棱錐P-ABCD中，因PA平面ABCD，AC平面ABCD，于是得ACPA，而ABAC，平面PAB，從而得AC平面PAB，又PB平面PAB，所以ACPB；(2)連接BD交AC于點O，連接EO，如圖， 因底面ABCD為平行四邊形，則有O是BD中點，又E是PD中點，于是得EO/PB，而EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB/平面AEC.【題組四 線線角】1(2021黑龍江嫩江市第一中學校高一期末)如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC8，BD6，M，N分別為AB，CD的中點，并且異面直線AC與BD所成的角為90，則MN( )A3B4C5D6【答案】C【解析】取AD的中點P，連接PM，PN，則BDPM

17、，ACPN，MPN或其補角即異面直線AC與BD所成的角，MPN90，PNAC4，PMBD3，MN5故選：C.2(2021全國高一課時練習)已知正四棱錐P-ABCD，PA2，AB，M是側棱PC的中點，且BM，則異面直線PA與BM所成角為_【答案】45【解析】如圖，連接AC，BD交于點O，連接OM，則OMB為異面直線PA與BM所成角由O，M分別為AC，PC中點，得OMPA1在RtAOB中，易得OBABtan451又BM，即OB2OM2BM2，所以OMB為直角三角形，且OMB45故答案為：45.3(2021全國高一課時練習)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB，AA1AC若ABACAA11

18、，BC，則異面直線A1C與B1C1所成的角為_【答案】60【解析】依題意，得BCB1C1，故異面直線A1C與B1C1所成的角即BC與A1C所成的角連接A1B，在A1BC中，BCA1CA1B，故A1CB60，即異面直線A1C與B1C1所成的角為60故答案為：60.4(2021全國高一課時練習)在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AB的中點，則在所有的棱中與直線CD和AA1都垂直的直線有_【答案】AB，A1B1【解析】由正三棱柱的性質可知與直線CD和AA1都垂直的直線有AB，A1B1故答案為：AB，A1B1.5(2021全國高一課時練習)若AOB135，直線aOA，a與OB為異面直線，則a和OB所

19、成的角的大小為_.【答案】45【解析】因為直線OA，a與OB為異面直線，所以的補角為a與OB所成角，又,所以a與OB所成角的大小為.故答案為：6(2021全國高一課時練習)如圖，在四面體中，與所成的角為，、分別為、的中點，則線段的長為_【答案】或【解析】取的中點，連接、，、分別為、的中點，且，同理可得且，為異面直線與所成的角或其補角，則或.在中，.若，則為等邊三角形，此時，；若，由余弦定理可得.綜上所述，或.故答案為：或.7(2021全國高一課時練習)如圖所示，空間四邊形中，兩條對邊，分別是另外兩條對邊上的點，且，則異面直線和所成角的大小為_.【答案】【解析】如圖，過點作，交于點，連接則 異面

20、直線和所成角即為或其補角在中，又 異面直線和所成角的大小為故答案為：8(2021全國高一課時練習)如圖所示，AB是圓O的直徑，點C是弧AB的中點，D、E分別是VB、VC的中點，求異面直線DE與AB所成的角.【答案】45.【解析】因為D、E分別是VB、VC的中點，所以BCDE，因此ABC是異面直線DE與AB所成的角，又因為AB是圓O的直徑，點C是弧AB的中點，所以ABC是以ACB為直角的等腰直角三角形，于是ABC45，故異面直線DE與AB所成的角為45.【題組五 線面角】1(2021黑龍江雞西實驗中學高一期中)如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，底面，(1)證明：ACCD；(2)若E是棱PC的中點，

21、求直線AD與平面PCD所成的角【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：因為底面，底面，所以，因為，所以，平面，所以平面，因為平面，所以(2)由(1)平面，平面，所以，因為，為的中點，所以，因為，平面，所以平面，所以即為直線與平面所成的角，因為，所以，所以，所以，因為，所以，即直線與平面所成的角為；2(2021全國高一課時練習)如圖，在棱長均為1的直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中點.(1)求證:AD平面BCC1B1;(2)求直線AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1平面ABC，BB1AD

22、，AB=AC，D是BC的中點，ADBC.又BCBB1=B，AD平面BCC1B1.(2)連接C1D.由(1)AD平面BCC1B1，則AC1D即為直線AC1與平面BCC1B1所成角.在中，AD=，AC1=，sinAC1D=，即直線AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值為.3(2021全國高一課時練習)如圖在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側面底面，且，設分別為的中點(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求直線與平面所成角的大小【答案】(1)證明見解析 ；(2) 證明見解析；(3) 【解析】(1)因為四邊形為正方形，連接，則為中點，為中點，所以在中，且平面，平面，所以平面(2)因為平面平面，

23、平面平面，且四邊形為正方形，所以平面，所以平面，所以，又，所以是等腰直角三角形，且，即，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面(3)因為，所以直線與平面所成角的大小等于直線與平面所成角的大小，因為側面底面，所以就是直線與平面所成角，在中，所以，所以直線與平面所成角的大小為4(2021浙江鎮(zhèn)海中學高一期中)如圖，在直三棱柱中，(1)求證：；(2)若與的所成角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值【答案】(1)證明見解析；(2)或【解析】(1)將棱分別向下延長，使得，連接，如圖：，與的交點為的中點，又，平面，取的中點，連接，,平面，,又，平面，又為的中點，(2)由(1)知與的所成角即與的所成角，取的中

24、點，連接，與平面所成的角即為與平面所成的角，當時，設，則，由(1)知，為的中點，故，令，則，又，則，又為等腰三角形，所以，又，易得為與平面所成的角，；當時，設，則，則，；故與平面所成角的正弦值為或5(2021河北邢臺高一月考)如圖，在直三棱柱中，底面是的等腰直角三角形，是邊的中點(1)證明：平面(2)求直線與平面所成角的正弦值【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】(1)證明：因為，為的中點，所以又平面，平面，則因為，平面，所以平面；(2)解：由(1)知，平面，平面，所以可求出，所以，設點到平面的距離為，由，得，即，解得，即點到平面的距離為設與平面所成角為，則，即與平面所成角的正弦值為【題組六

25、 二面角】1(2021全國高一課時練習)如圖所示，在中，平面垂直平分，且分別交于點D，E，求二面角的大小【答案】【解析】E為的中點，且，又，面，又面，面，面，又，面，面，即，即為二面角的平面角設由，得在中，即，在中，故，即二面角的大小為2(2021廣東揭東高一期末)如圖，是圓的直徑，點是圓上異于，的點，直線平面(1)證明：平面平面；(2)若點是的中點，在上找一點使得直線平面，并說明理由(3)設，求二面角的余弦值【答案】(1)證明見解析；(2)點為的中點，證明見解析；(3)【解析】(1)證明：是圓的直徑，又平面，平面，且，平面，平面，又平面，平面平面；(2)為的中點，證明如下：證明：取的中點，由

26、于點為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面；(3)平面，平面，過作于，連結，且，平面，平面，從而得，為二面角的平面角，在中，則，二面角的余弦值為3(2021河北衡水市第十四中學高一期末)在四棱錐中，平面，分別為，的中點，(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)由題意，設，則，又平面，面，則在中，在中，則，又面，有，又，故有面，又，分別為，的中點，即，面，又面，則平面平面；(2)過作，易知為中點，若是中點，連接，故面，即是二面角的平面角，由圖知：二面角為，易知，則面，面，所以，在中，則，則二面角的余弦值為.4(2021湖南武岡市第二中學高一月考)如圖，在四棱錐中，為銳角，平面平面.(1)證明：平面；(2)若與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)證明：