學(xué)年人教A必修第二冊73復(fù)數(shù)的三角表示學(xué)案

1、學(xué)年人教A版必修第二冊7.3復(fù)數(shù)的三角表示教案學(xué)年人教A版必修第二冊7.3復(fù)數(shù)的三角表示教案學(xué)年人教A版必修第二冊7.3復(fù)數(shù)的三角表示教案73復(fù)數(shù)的三角表示考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心涵養(yǎng)復(fù)數(shù)的三角形式認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)的三角形式，認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)的代數(shù)數(shù)學(xué)抽象表示與三角表示之間的關(guān)系復(fù)數(shù)三角形式乘、除運(yùn)算的認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)三角表示及其幾何意義何意義運(yùn)算問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P83P89的內(nèi)容，思慮以下問題：1復(fù)數(shù)zabi的三角形式是什么？2復(fù)數(shù)的輻角、輻角的主值是什么？3復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運(yùn)算公式是什么？4復(fù)數(shù)三角形式乘、除運(yùn)算的幾何意義是什么？1復(fù)數(shù)的三角表示式及復(fù)數(shù)的輻角和輻角的主值一般地

2、，任何一個(gè)復(fù)數(shù)zabi都可以表示成r(cosisin)的形式，此中，r是復(fù)數(shù)z的模；是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量OZ所在射線(射線OZ)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)zabi的輻角，我們規(guī)定在02范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值，平常記作argz.r(cosisin)叫做復(fù)數(shù)zabi的三角表示式，簡稱三角形式abi叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱代數(shù)形式名師點(diǎn)撥(1)任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無窮多個(gè)值，且這些值相差2的整數(shù)倍(2)復(fù)數(shù)0的輻角是任意的(3)在02范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值，平常記作argz，且0argz2.(4)兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等2復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運(yùn)算

3、若復(fù)數(shù)z1111222212，則r(cosisin)，zr(cosisin)，且zz121(cos1isin12(cos22(1)zzr)risin)r1r2cos(12)isin(12)1r1（cos1isin1）z(2)z22（cos22）risinr1r2cos(12)isin(12)即：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”(1)復(fù)數(shù)的輻角是獨(dú)一的()(2)zcosisin是復(fù)數(shù)的三角形式()(3)z2(cosisin)是復(fù)

4、數(shù)的三角形式()(4)復(fù)數(shù)zcosisin的模是1，輻角的主值是.()答案：(1)(2)(3)復(fù)數(shù)z1i的三角形式為(4)z_分析：r2，cos12，22又由于1i對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，因此arg(1i)4.因此1i2cos.isin442cos答案：isin44isin的代數(shù)形式為_復(fù)數(shù)6cos22分析：66cos6isincos2isin26i.22答案：6i6cosisin4cosisin_；3366_6cosisin4cosisin6336分析：64cos3isincosisin63624cos36isin3624i.6cos3isin4cos6isin366cosisin436363

5、isin2cos663334i.4答案：33324i4i4復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化角度一代數(shù)形式化為三角形式把以下復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化成三角形式：(1)3i；(2)22i.【解】(1)r312，由于3i對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，因此cos3，即，263i2.因此cosisin662r222，cos2，又由于22i對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，7因此4.因此27isin7.2i2cos44復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化三角形式的步驟(1)先求復(fù)數(shù)的模(2)決定輻角所在的象限(3)依據(jù)象限求出輻角(4)求出復(fù)數(shù)的三角形式提示一般在復(fù)數(shù)三角形式中的輻角，常取它的主值這既使表達(dá)式簡單，又便于運(yùn)算，但三角形式輻角不必定取主值角度

6、二三角形式化為代數(shù)形式分別指出以下復(fù)數(shù)的模和輻角的主值，并把這些復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式isin；(1)4cos663(2)2(cos60isin60)；(3)2cos3isin3.(1)復(fù)數(shù)4cos.【解】6isin的模r4，輻角的主值為664cos4cos6isin4isin66614242i232i.33(2)2(cos60isin60)的模r2，輻角的主值為60.331332(cos60isin60)2222i33i.44(3)2cos3isin32cos2isin23325isin5.cos33因此復(fù)數(shù)的模r2，輻角的主值為53.2cos5isin52cos52isin5333313222

7、2i13i.復(fù)數(shù)的三角形式zr(cosisin)一定滿足“模非負(fù)、余正弦、相連、角一致、i跟sin”，不然就不是三角形式，只有化為三角形式才能確立其模和輻角，如本例(3)以下復(fù)數(shù)是否是復(fù)數(shù)的三角形式？假如不是，把它們表示成三角形式1(1)2cos4isin4；1(2)isin；2cos3313icos3；(3)2sin44(4)cos7isin7；551(5)2cos2isin6.解：依據(jù)復(fù)數(shù)三角形式的定義可知，(1)、(2)、(3)、(5)不是，(4)是復(fù)數(shù)的三角形式(1)原式1cosisin；244(2)原式1cosisin2331442cos3isin3；(3)原式1cos3isin32

8、24241cosisin；2441(5)原式4cos2isin2.復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運(yùn)算計(jì)算：(1)8cos4isin44cos5isin5；3366(2)3(cos225isin225)2(cos150isin150)；(3)4cos4isin4.【解】(1)84isin445isin5cos33cos6632cos45isin4536363213isin13cos6632cosisin663231i2216316i.(2)3(cos225isin225)2(cos150isin150)3cos(225150)isin(225150)262(cos75isin75)66262i244623

9、62388i333i.44(3)4cos4isin434(cos0isin0)4isincos44cosisin442222i.(1)乘法法規(guī)：模相乘，輻角相加(2)除法法規(guī)：模相除，輻角相減(3)復(fù)數(shù)的n次冪，等于模的n次冪，輻角的n倍計(jì)算：2(1)2cos3isin3；11(2)2(cos75isin75)22i；13(3)2cosisin.22i332解：(1)2cos3isin3(2)22isin2cos3321322i13i.11222(2)22i222i2cos7isin7，244因此2(cos75isin75)1122i5isin52772cos12122cos4isin4257

10、5722cos124isin124cos26isin261212cos6isin631i.132isin2，(3)由于22icos33因此132cosisin322i3cos2isin22cosisin33331cos2isin22333312cos3isin31344i.復(fù)數(shù)三角形式乘、除運(yùn)算的幾何意義在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)33i對應(yīng)的向量分別按逆時(shí)針溫順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，求3所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)【解】由于33i2331i22111123cos6isin6因此211isin11isincos333cos6623cosisin1111363623cos13isin136623cos6isin633i，2

11、3cos11isin11cos3isin66323cos1111isin3636323cos2isin223i.故把復(fù)數(shù)3獲取的復(fù)數(shù)為33i，按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)3i對應(yīng)的向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得33到的復(fù)數(shù)為23i.兩個(gè)復(fù)數(shù)z1，z2相乘時(shí)，先分別畫出與z1，z2對應(yīng)的向量OZ1，OZ2，而后把向量OZ1繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角221繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角|2(假如0，就要把OZ|)，再把它的模變成本來的r2倍，獲取向量OZ，OZ表示的復(fù)數(shù)就是積z1z2.在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)333i對應(yīng)的向量繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋44轉(zhuǎn)2倍，求與所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)(用代數(shù)形式表示)，而后將其長度伸長為本來的3解：333

12、3cos4i2isin，由題意得4663cos2cos2isin63isin6332cosisin263633cos2isin23i，即與所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3i.1復(fù)數(shù)13i的輻角的主值是()A.5B.233C.5D.36分析：選A.由于13i213cos5isin5，因此13i輻角的主值為22i2335.32復(fù)數(shù)9(cosisin)的模是_答案：93arg(2i)_答案：324計(jì)算：(1)(cos75isin75)(cos15isin15)；(2)2(cos300isin300)2cos3isin3.44解：(1)(cos75isin75)(cos15isin15)cos(7515)isi

13、n(7515)cos90isin90i.(2)2(cos300isin300)2cos3isin3442cos5isin52cos3isin333442cos53isin5334342cos11isin11121213312i.2A基礎(chǔ)堅(jiān)固1復(fù)數(shù)13i的三角形式是()22AcosisinBcosisin33335Ccosisin3Dcos3isin361355分析：選A.22icos3isin3cos2isin233cosisin33.2復(fù)數(shù)sin50isin140的輻角的主值是()A150B40C40D320分析：選D.sin50isin140cos(27050)isin(180140)co

14、s320isin320.3復(fù)數(shù)sin4icos4的輻角的主值為()34A4B.2C2454D.2分析：選D.sin4icos4cos524isin524.4若復(fù)數(shù)cosisin和sinicos相等，則的值為()5A.4B.4或4C2k4(kZ)Dk4(kZ)分析：選D.由于cosisinsinicos，因此cossin，即tan1，因此4k，(kZ)5假如，那么復(fù)數(shù)(1i)(cosisin)的三角形式是()29isin9A.2cos44B.2cos(2)isin(2)2cos4isin42cos3isin344分析：選A.由于1i2cosisin，44cosisincos(2)isin(2)，

15、因此(1i)(cosisin)2cos2isin2442cos9isin9.446已知zcos2isin2，則argz2_33分析：由于argz2，因此argz22argz224333.4答案：37把復(fù)數(shù)1i對應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所獲取的向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是_2分析：(1i)isincos222coscosisin2isin4422cos42isin422cosisin1i.44答案：1i18設(shè)復(fù)數(shù)12z的輻角的主值是_z13i，z3i，則z2分析：由題知，z12coscosisin，z22isin，3366因此z1的輻角的主值為6.z362答案：69設(shè)復(fù)數(shù)z3i，復(fù)數(shù)z2且argz滿足|z

16、|2，已知zz的對應(yīng)點(diǎn)在虛軸的負(fù)半軸上，122122(0，)，求z2的代數(shù)形式2解：由于z1cosisin，設(shè)z2166222(cosisin)，(0，)，因此zz8cos2isin2.由題設(shè)知22k3(kZ)，因此k266623(kZ)，又(0，)，因此2，因此z22cos2isin213i.3331i2i，z1227，若z12A，10已知zizz0，argz12，z在復(fù)平面內(nèi)分別對應(yīng)點(diǎn)B，且|AB|2，求z和z.12解：由題設(shè)知z1i，由于|AB|2，即|z1z2|2，2，又argz27，因此|z1z2|zz2z2|(1i)z2z2|iz2|z2|12因此z22cos7isin7，1212122isin27isin72cos5isin5.zzz(1i)z2cos44cos121266B能力提高11若復(fù)數(shù)z(ai)2的輻角的主值是3，則實(shí)數(shù)a的值是()2A1B1C2D3分析：選B.由于z(ai)2(a21)2ai，argz3，2a210因此，因此a1，應(yīng)選B.a05isin2cos212設(shè)4，則復(fù)數(shù)cosisin的輻角的主值為()A23B32C3D3分析：選B.cos2isin2cos2isin2cos3isin3.cosisincos（）isin（）515由于4，因此334，因此320)，可求出r2，即1i.22i(2)|z|322cos4.由于