高中數(shù)學(xué)必修二 8.4 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（精講）(含答案)

1、8.4 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(精講)思維導(dǎo)圖常見考法考點(diǎn)一 平面及其性質(zhì)【例1】(2021上海松江)下列命題中是真命題的是( )A四邊形一定是平面圖形B空間一個(gè)點(diǎn)與一條直線可以確定一個(gè)平面C一個(gè)平面的面積可以為10D相交于同一點(diǎn)的四條直線最多可以確定6個(gè)平面【答案】D【解析】四邊形可以為平面圖形，也可以為空間四邊形，故A不正確；空間一條直線與直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，故B不正確；平面是無限延展的，所以平面的面積不可以為10，故C不正確；相交于同一點(diǎn)的四條直線，當(dāng)任三條直線不共面時(shí)，可以確定6個(gè)平面，故D正確.故選：D【一隅三反】1(2021上海金山高二期末)下列條件中能確定一個(gè)平

2、面的是( )A空間任意三個(gè)點(diǎn) B空間相交于一點(diǎn)的三條直線C兩條平行直線 D一條直線和一個(gè)點(diǎn)【答案】C【解析】對(duì)于A，若三點(diǎn)共線，則三點(diǎn)無法確定一個(gè)平面，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，空間中相交于一點(diǎn)的三條直線，可能確定一個(gè)平面，也可能確定三個(gè)不同的平面，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，兩條平行直線可以確定唯一的一個(gè)平面，C正確；對(duì)于D，若一個(gè)點(diǎn)在直線上，則無法確定一個(gè)平面，D錯(cuò)誤.故選：C.2(3021年廣東湛江)下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是()三角形是平面圖形； 四邊形是平面圖形；四邊相等的四邊形是平面圖形；圓是平面圖形A1 B2C3 D4【答案】B【解析】根據(jù)基本事實(shí)3可知正確，錯(cuò)誤故選B.3(2021全國(guó)課時(shí)練習(xí))經(jīng)過

3、一點(diǎn)可作_個(gè)平面，經(jīng)過兩點(diǎn)可作_個(gè)平面，經(jīng)過三點(diǎn)可作_個(gè)平面，經(jīng)過不共面的四點(diǎn)可作_個(gè)平面.【答案】無數(shù) 無數(shù) 一或無數(shù) 4四 【解析】經(jīng)過一點(diǎn)可作無數(shù)個(gè)平面，經(jīng)過兩點(diǎn)可作無數(shù)個(gè)平面，經(jīng)過三點(diǎn),若三點(diǎn)不在一條直線上，可作一個(gè)平面，若三點(diǎn)在一條直線上可作無數(shù)個(gè)平面，故經(jīng)過三點(diǎn)可作一或無數(shù)個(gè)平面經(jīng)過不共面的四點(diǎn)，任取3點(diǎn)可作一個(gè)平面，一共可作4個(gè)平面.故答案為：無數(shù)；無數(shù)；一或無數(shù)；4.考點(diǎn)二 數(shù)學(xué)符號(hào)的表示【例2】(2021四川射洪)如圖所示，點(diǎn)、線、面之間的數(shù)學(xué)符號(hào)語言關(guān)系為( )A，B，C，D，【答案】B【解析】由圖可知，.故選：B.【一隅三反】1(2021全國(guó)課時(shí)練習(xí))“直線a經(jīng)過平面外一

4、點(diǎn)P”用符號(hào)表示為( )A，BC，D，【答案】C【解析】“直線a經(jīng)過平面外一點(diǎn)P”用符號(hào)表示為，.故選：C.2(2021四川)若點(diǎn)在直線上，在平面內(nèi)，則，之間的關(guān)系可記作( )ABCD【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)Q(元素)在直線b(集合)上,所以.又因?yàn)橹本€b(集合)在平面(集合)內(nèi),所以.所以.故選：B3(2021全國(guó)課時(shí)練習(xí))下列關(guān)于點(diǎn)、線和面的關(guān)系表示錯(cuò)誤的是( )A點(diǎn)平面B直線平面C直線平面D平面平面【答案】A【解析】根據(jù)點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系的符號(hào)表示，可知A.錯(cuò)誤，應(yīng)改為點(diǎn)平面；BCD.正確.故選：A考點(diǎn)三 3個(gè)基本事實(shí)【例3】(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖，正方體中，分別為，的中點(diǎn)(

5、1)求證：，四點(diǎn)共面；(2)若，與平面交于點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】證明：(1)連接，在正方體中，分別為，的中點(diǎn)，是的中位線，又因?yàn)椋倪呅螢樘菪?，即，四點(diǎn)共面(2)在正方體中，是平面與平面的交線，又因?yàn)榻黄矫嬗邳c(diǎn)，是平面與平面的一個(gè)公共點(diǎn)因?yàn)閮善矫嫦嘟坏乃泄颤c(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上，三點(diǎn)共線【一隅三反】1(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))(多選)以下四個(gè)命題中，不正確的命題是( )A不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線B若點(diǎn)共面，點(diǎn)共面，則共面C若直線共面，直線共面，則直線共面D依次首尾相接的四條線段必共面【答案】BCD【解析】選項(xiàng)：若任意三點(diǎn)共線，則

6、由該直線與第四個(gè)點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)平面，則與四點(diǎn)不共面矛盾，則任意三點(diǎn)不共線，正確；選項(xiàng)：若三點(diǎn)共線，直線與直線異面，此時(shí)不共面，錯(cuò)誤；選項(xiàng)：共面，共面，此時(shí)可為異面直線，錯(cuò)誤；選項(xiàng)：依次首尾相接的四條線段可構(gòu)成空間四邊形，錯(cuò)誤.故選：BCD2(2021上海浦東新高二期中)下列命題：(1)若空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線；(2)若空間有三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)必共面；(3)若空間四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線，則此四點(diǎn)不共面；(4)若空間四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線.其中正確的命題有( )個(gè).A0B1C2D3【答案】C【解析】對(duì)于，空間四點(diǎn)共面，如平面四邊形，其中任何三點(diǎn)不共線；故錯(cuò)誤；對(duì)于，空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)

7、共線，根據(jù)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，得到此四點(diǎn)必共面；故正確；對(duì)于，空間四點(diǎn)中任何三點(diǎn)不共線，則此四點(diǎn)可能共面，如平面四邊形；故錯(cuò)誤；對(duì)于，空間四點(diǎn)不共面，如果任意三點(diǎn)有共線的，那么此四個(gè)點(diǎn)就共面，與已知矛盾故正確，所以正確的命題有2個(gè).故選：C.3(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖，不共面的四邊形ABBA，BCCB，CAAC都是梯形求證：三條直線AA，BB，CC相交于一點(diǎn)【答案】證明見解析【解析】因?yàn)樵谔菪蜛BBA中，ABAB，所以AA，BB在同一平面AB內(nèi)設(shè)直線AA，BB相交于點(diǎn)P，如圖所示同理BB，CC同在平面BC內(nèi)，CC，AA同在平面AC內(nèi)因?yàn)镻AA，AA平面AC，所以P平面AC同理點(diǎn)P

8、平面BC，所以點(diǎn)P在平面AC與平面BC的交線上，而平面AC平面BC=CC，故點(diǎn)P直線CC，即三條直線AA，BB，CC相交于一點(diǎn)4(2021山東鄒城高一期中)已知正方體，分別是棱，的中點(diǎn)()畫出平面與平面的交線，并說明理由；()設(shè)為直線與平面的交點(diǎn)，求證：，三點(diǎn)共線【答案】()答案見解析；()證明見解析.【解析】()如圖所示，直線即為平面與平面的交線，理由如下：在正方體中，分別是棱，的中點(diǎn)，平面，平面，且與不平行，在平面內(nèi)分別延長(zhǎng)，則與必相交于一點(diǎn)，不妨設(shè)為點(diǎn)，平面，平面，平面，平面，即為平面和平面的公共點(diǎn)，又為平面和平面的公共點(diǎn)，連接，直線即為平面與平面的交線()證明：如圖所示，在正方體中，且

9、，四邊形為平行四邊形，為直線與平面的交點(diǎn)，又平面，平面，又平面，平面平面，三點(diǎn)共線5(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))在三棱錐中，分別是線段的中點(diǎn)，分別是線段上的點(diǎn)，且.求證:(1)四邊形是梯形；(2)三條直線相交于同一點(diǎn).【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】(1)分別是邊的中點(diǎn)，由得：，且，且，四邊形是梯形.(2)由(1)知：相交，設(shè)，平面，平面，同理可得：平面，又平面平面，和的交點(diǎn)在直線上，三條直線相交于同一點(diǎn).考點(diǎn)四 點(diǎn)線面的位置關(guān)系【例4】(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知，是平面，是直線，若，則( )ABCD【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，由，可得且，所以且，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)

10、A正確，選項(xiàng)B不正確；因?yàn)椋?、有公共點(diǎn)，故選項(xiàng)C不正確；因?yàn)?，所以，因?yàn)椋耘c有公共點(diǎn)，故選項(xiàng)D不正確；故選：A.【一隅三反】1(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))在三棱錐A-BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，若EFHG=P，則點(diǎn)P( )A一定在直線BD上 B一定在直線AC上C在直線AC或BD上 D不在直線AC上，也不在直線BD上【答案】B【解析】如圖，EF平面ABC，HG平面ACD，EFHG=P，P平面ABC，P平面ACD又平面ABC平面ACD=AC，PAC.故選：B2(2021全國(guó)高三專題練習(xí))正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點(diǎn)，

11、則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是( )A相交B異面C平行D垂直【答案】A【解析】如圖所示，連接與交于點(diǎn)F，由題意，易得四邊形是平行四邊形，在平行四邊形中，E，F(xiàn)分別是線段的中點(diǎn)，又且共面，則直線與直線相交.故選：A.3(2021重慶合川高二開學(xué)考試)下面表述與結(jié)論都正確的是( )A，B，C，D，【答案】C【解析】對(duì)，所以直線在平面內(nèi)，即，故錯(cuò)誤；對(duì)，直線在平面內(nèi)，應(yīng)為，故錯(cuò)誤；對(duì)，故正確；對(duì)，有可能，故錯(cuò)誤故選：4(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))在空間四邊形中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在，上，若直線與相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P與直線的關(guān)系是_.【答案】【解析】由題意，而面，面，面，面，而面面，.故答案為：考

12、點(diǎn)五 異面直線所成的角【例5】(2021四川眉山)在正四面體中，E，F(xiàn)分別為SCAB的中點(diǎn)，那么異面直線EF與SA所成的角等于( )A30B45C60D90【答案】B【解析】取AC中點(diǎn)G，連接EG，GF，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為SCAB的中點(diǎn)，所以 ，GEF為異面直線EF與SA所成的角，因?yàn)?，所以，又，所以，所以GEF為等腰直角三角形，故GEF=45故選：B.【一隅三反】1(2021遼寧沈陽 )已知在正四面體中，為的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為( )ABCD【答案】C【解析】如圖，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，取的中點(diǎn)，連接，是的中點(diǎn)，是直線與所成的角(或其補(bǔ)角)，設(shè)的中點(diǎn)為，則，在中，直線與所成角的余弦值為故選：C2(2021遼寧沈陽)在正方體中，是棱AB上的點(diǎn)，且，G，F(xiàn)分別是棱，BC的中點(diǎn)，則異面直線與EF所成角的余弦值為( )ABCD【答案】D【解析】由題設(shè)，若為底面中心，分別是的四等分點(diǎn)，且，如下圖示：由正方體的性質(zhì)易知：必過點(diǎn)且，連接有，直線與E