決策理論和方法

1、決策理論和方法Decision Theory and Technology0-0 引言:1.講義: 陳 先生編著: 決策分析 科學(xué)出版社2.主要參考書: (1) 參考文獻中 書 * 56 60 68 111 112 118 120 論文 70 72 86 87 94 107 119 152 154 159 (2) Hwang,C.L. Group Decision under Multi-Criterion.(1987)Howard Raiffa The arts and science of Negotiation(1982) 中譯本: 談判的藝術(shù)與科學(xué) 湖北科技出版社,1986 以及 清華

2、大學(xué)出版社1989 (4) 決策科學(xué)手冊 天津科技翻譯出版公司, 1989 (5) Ralph F.Miles 主編 Systems ConceptsLecture on Contemporary Approaches to Systems 中譯本: 系統(tǒng)思想:當(dāng)代系統(tǒng)方法講座 走向未來叢書 四川人民出版社著 宣家冀 盧開譯 決策分析的目標(biāo)規(guī)劃 清華大學(xué)出版社 貴州人民出版社 決策科學(xué)叢書Simon,H. 現(xiàn)代決策理論的基石 北京經(jīng)濟學(xué)院出版社1991Simon,H. 管理行為 北京經(jīng)濟學(xué)院出版社 1988 3.講課方式與復(fù)習(xí) 講課內(nèi)容 根本概念的建立和難點: 多舉例 希望： 課堂內(nèi)隨時提問，

3、多討論，有意見及時反映 適當(dāng)預(yù)習(xí)，擴大閱讀范圍，擴大知識面 作業(yè)請自覺完成 注意課內(nèi)外學(xué)時之比1:2 目錄中帶*的可以跳過 考試與成績評定：考試占70%80% 平時作業(yè)20%，做即可得50% 4.各章節(jié)間關(guān)系 第一章 隨機性決策的根本概念1-0引論一、決策與決策分析的定義 1. Decision的本義:(牛津詞典) the act of deciding a conclusive judgment the conclusion arrived at; 2.蘇聯(lián)大百科全書: 決策是自由意志行動的必要元素和實現(xiàn)自由意志行動的手段。自由意志行動要求先有目的和行動的手段,在體力動作之前完成智力行動,要

4、考慮完成或反對這次行動理由等等，而這一智力行動以制訂一項決策而告終。 顯然 1. 決策是智力行動 2. 決策是意志行動，因此，決策與人的意志，主觀愿望，價值判斷有關(guān)： 即： 決策因人而異，不唯一。 3. 所謂決策就是在幾個可能方案中作一選擇。決策論：用以描述決策過程并使之合理化的許多概念和方法。 這一解釋源出： 4. 的“Decision Theory條：“所謂作決策，就是在假設(shè)干個可能的備選方案中進行選擇。決策論那么是為了對制訂決策的過程進行描述并使之合理化而開展起來的范圍很廣的概念和方法?！皬V義的決策論可以分為兩種： Prescriptive decision theory (標(biāo)準(zhǔn)化決策論

5、) 規(guī)定應(yīng)當(dāng)如何作決策。 Descriptive D.T.(描述性的決策論)研究人們實際上是如何作決策的。 行為科學(xué)家，社會科學(xué)家和哲學(xué)家力圖找到?jīng)Q策過程的更精細(xì)的描述性模型，以便為教學(xué)家、經(jīng)濟學(xué)家、戰(zhàn)略分析家、商業(yè)管理人員和其他人員提供更高級的規(guī)定性決策過程。 5.美國現(xiàn)代經(jīng)濟詞典 決策指公司或政府在確定其政策或?qū)嵤┈F(xiàn)行政策的有效方法時所進行的一整套活動，其中包括收集必要的事實，對某一建議作判斷，分析可以到達預(yù)期目的各種可供選擇的方法等等。 6.哈佛管理叢書： 決策是指考慮策略(或方法)來解決目前或未來問題的智力活動。 7.決策的政治含義:C. Lindblom : the policy-m

6、aking process綜上所述： 決策：從假設(shè)干可能的方案中，按某種標(biāo)準(zhǔn)(準(zhǔn)那么)選擇一個。 而這種標(biāo)準(zhǔn)可以是：最優(yōu)，滿意，合理等等。 決策分析：人們?yōu)榱说竭_某個目標(biāo)，從一些可能的方案(途徑)中進行選擇的分析過程， 是 在有風(fēng)險或不確定性情況下制訂決策的定量分析方法，是對影響決策的諸因素作邏輯判斷與權(quán)衡。二、開展簡史(參見1.3)1.人類存在即面臨決策 古代：田忌與齊王賽馬的故事, 既是對策(博弈)問題, 也是僵持問題.2.決策論的產(chǎn)生與賭博有關(guān) 16-17世紀(jì)法國宮廷沒有賭博參謀，他們是研究概率論，對策論的先驅(qū)，這是DT的先導(dǎo)。世紀(jì)30年代以后，決策論從對策論中別離： 對策論研究人與人之

7、間的對抗 決策論：人與非智能對手-自然界之間的關(guān)系在效用和主觀概率的根底上提出了Decision Theory 效用最初是Bernoulli(1738)提出的4. 40年代Von Neumann-Morgenstern 建立了效用的公理體系5. 近半個世紀(jì)以來，決策論的大局部內(nèi)容與標(biāo)準(zhǔn)性決策論有關(guān)，由于經(jīng)濟學(xué)家，數(shù)學(xué)家以及系統(tǒng)科學(xué)家的努力，決策分析日益廣泛地用于商業(yè)、經(jīng)濟、實用統(tǒng)計、法律、醫(yī)學(xué)、政治等各方面；而行為科學(xué)家對描述性決策和效用的測度興趣日增、排序、分等級、有界區(qū)間的度量技術(shù)等因此而獲得開展。6. 二次大戰(zhàn)開始后開展起來的運籌學(xué)在決策論的概念，方案的優(yōu)化，統(tǒng)計決策理論、決策方法中有著

8、堅實的根底。使決策理論成為運籌學(xué)中的一支7.近年來，決策分析已經(jīng)成了工業(yè)、商業(yè)、政府部門制訂決策所使用的一種重要方法。一些標(biāo)準(zhǔn)性的決策方法，如本錢效益分析、資源分配、方案評審技術(shù)(PERT)，關(guān)鍵路徑法(CPM)等應(yīng)用日廣。多目標(biāo)問題的研究逐步深入，方法層出不窮.8.計算機的飛速開展與普及+決策理論的進展(信息處理、數(shù)據(jù)存貯與檢索手段的進步)(程序化決策方法能解決問題日益增加,非程序化決策方法研究深入)統(tǒng)計數(shù)據(jù)、研究資料迅速更新+決策模型的日臻完善(決策矩陣的迅速更新)+人工智能的開展、知識庫的形成根據(jù)新信息及時(自動)修政策略成為可能自動決策以及決策支持系統(tǒng)的產(chǎn)生9.模糊決策、序貫決策、群決

9、策和組織決策及其支持系統(tǒng)等新的研究領(lǐng)域不斷出現(xiàn).三、地位(與其他學(xué)科的關(guān)系)1.是運籌學(xué)的一支 見二 中國數(shù)學(xué)會運籌學(xué)會決策理論和方法專業(yè)委員會 IFORS下設(shè)對策與決策組2. 控制論的延伸 哈佛應(yīng)用科學(xué)系：控制與決策組 斯坦佛大學(xué)設(shè)“決策分析研究所 用控制論的方法研究決策，把反應(yīng)，靈敏度分析,系統(tǒng)分析等方法引入決策過程決策分析 .許多學(xué)者由控制論系統(tǒng)分析決策：陳珽 劉豹 . 學(xué)科：信息F自動化03系統(tǒng)工程03 : 決策理論, MIS&DSS3.管理科學(xué)的重要組成局部 .學(xué)科: 管理 G 管理理論01 決策01 .決策論的許多重要著作的作者是經(jīng)濟或管理科學(xué)方面的教授 , 如Simon、Buch

10、anan Arrow, Sage, Keeny, 其中前三個是諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎得主。 。圖書目錄的編排 決策(尤其多目標(biāo))屬管理科學(xué)類，中、美均如此 。Management Science中有大量決策方面的文章、專集4系統(tǒng)工程中的重要局部 。 系統(tǒng)是單元的集合，這些單元以整體完成某種目的，對系統(tǒng)的研究包括：規(guī)定概念、確定系統(tǒng)、獲取并運行系統(tǒng)。而確定系統(tǒng)即系統(tǒng)分析(設(shè)計、評價)是核心, 決策論為系統(tǒng)分析提供方法 系統(tǒng)分析側(cè)重客觀的分析判斷，決策分析強調(diào)價值判斷與偏好分析 。中有決策方面的文章和專集.5是社會科學(xué)與自然科學(xué)的交叉，典型的軟科學(xué) 自然科學(xué)研究客觀世界，事實元素，定量為主； 社會科學(xué)研究

11、人際關(guān)系，價值元素，定性為主。 軟科學(xué)用定量方法研究價值元素，即社會科學(xué)的定量化研究。 各類研究人員的研究內(nèi)容各有側(cè)重： 哲學(xué)家Philosopher：人如何決定什么是有價值的 行政管理人員Administrator：人們?nèi)绾问挂粋€組織為其目標(biāo)效勞 經(jīng)濟學(xué)家Economics：人如何在不同方案中決擇使之自己盡量滿足 心理學(xué)家Psychologist ：何為滿足? 人如何動腦筋解決問題 教學(xué)家 Mathematician：提供各種數(shù)學(xué)模型幫助解決這些問題 至于決策的程序化、民主化那么是政治問題1-1決策問題的根本特點與要素一、特點。決策人面臨選擇，行動不唯一。自然狀態(tài)的不確定性后果不確定。后果的

12、價值待定例： 1?；馂?zāi)保險 2。庫存問題：易腐品進貨(售量) 報販進貨(天氣、報紙內(nèi)容) 3。投資問題：油井鉆探 4。市場銷售：改良包裝(本錢與銷路) 5。加工方法：加工量事先不清楚：專用設(shè)備、通用 6。晴雨未卜，出門帶傘問題二、要素1。自然界狀態(tài)集 ，S2。行動(策略)集 A，D3。后果集 CU，V，L4。信息 ZX1-2決策問題的分類 分類是使事物(研究對象)條理化的方法 將試圖解決的問題，盡可能按你便于解決的需要細(xì)分為許多問題 R。Descarles (1596-1650) 笛卡爾的方法不切實際，因為劃分的藝術(shù)無法說明 G. W. Leibniz (1646-1716)一、按容易區(qū)分的因

13、素劃分單人決策, 多人決策單目標(biāo)決策, 多目標(biāo)決策單步?jīng)Q策,多步(序貫)決策確定性決策,風(fēng)險型決策,不確定型決策,模糊決策二、按涉及面的寬窄 戰(zhàn)略決策 管理(戰(zhàn)術(shù))決策 日常事務(wù)業(yè)務(wù)決策 決策權(quán) 集中 分散 信息 不全 較全 問題結(jié)構(gòu) 不良 良好 風(fēng)險 大 小 組織 復(fù)雜 簡單 程序 復(fù)雜 簡單 目標(biāo) 長期 短期三、個人事務(wù)決策與公務(wù)決策西方國家的資本的私有制決策論強調(diào)決策人的價值觀：對決策人的判斷、意見、感覺進行量化，由此進行符合邏輯的分析、推理作決策我國的行政部門、企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)的決策是公務(wù)決策應(yīng)強調(diào)客觀性和理性化由群眾、集體進行價值判斷1-3 決策人與決策分析人1問題的復(fù)雜性： 利益沖突、信息

14、不全、資源有限、環(huán)境復(fù)雜2經(jīng)濟人 微觀經(jīng)濟學(xué)和決策論關(guān)于經(jīng)濟人的假定：行為符合理性；有經(jīng)濟頭腦：知道自己的目標(biāo)和如何到達該目標(biāo)；通曉自然科學(xué)，至少精通運籌學(xué)；對決策環(huán)境十分了解，有很強的判斷能力和穩(wěn)定的選擇能力；能按照最經(jīng)濟、最有效的方式分配有限的資源去獲得最大的經(jīng)濟利益。3決策人和決策分析人的分工 建立復(fù)雜決策問題的適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型并用現(xiàn)代化的科學(xué)手段求解要有專門的知識和技巧，由具有豐富實際經(jīng)驗和卓越領(lǐng)導(dǎo)與管理才能的決策人對環(huán)境(形勢)進行分析、對后果作價值判斷, 而由決策分析人運用決策論和系統(tǒng)、科學(xué)的方法進行分析、推理、為決策人制訂正確決策提供合理的根底，使決策人更好地到達預(yù)期目標(biāo)。1-4

15、分析方法和步驟一、決策樹與抽獎1、決策樹：例1?；馂?zāi)保險問題圖中, EMBED Equation.2 :購置保險; EMBED Equation.2 : 不買 EMBED Equation.2 :發(fā)生火災(zāi); EMBED Equation.2 : 無火災(zāi)2。油田鉆探 EMBED Equation.2 :鉆井; EMBED Equation.2 : 不鉆 EMBED Equation.2 :有油; EMBED Equation.2 : 無油第二章 主觀概率和先驗分布Subjective Probability and Prior Distribution 本章主要參考文獻：60，52，上帝怎樣擲骰

16、子 2-1 根本概念 一、概率probability 1. 頻率 fn(A)=Na/N P (A)= EMBED Equation.2 fn(A) 古典概率的定義2. Laplace在?概率的理論分析?(1812)中的定義 P(A)=k/N 式中，k為A所含根本領(lǐng)件數(shù)， N為 根本領(lǐng)件總數(shù) 適用條件 1.根本領(lǐng)件有限 2.每個根本領(lǐng)件等可能 3.公理化定義 E是隨機試驗,S是E的樣本空間,對E的每一事件A,對應(yīng)有確定實數(shù)P(A),假設(shè)滿足: 非負(fù)性：0P(A)1 標(biāo)準(zhǔn)性： P(S)=1 可列可加性：對兩兩不相容事件Ak (k=1,2) (Ai Aj=) P(Ak)=P(Ak) 那么稱P(A)為

17、事件A發(fā)生的概率 二、主觀概率(subjective probability, likelihood) 1. 為什么引入主觀概率 。有的自然狀態(tài)無法重復(fù)試驗 如：明天是否下雨 新產(chǎn)品銷路如何 明年國民經(jīng)濟增長率如何 能否考上博士生 。試驗費用過于昂貴、代價過大 例：洲導(dǎo)彈命中率 戰(zhàn)爭中對敵方下一步行動的估計 2.主觀概率定義：合理的信念的測度 某人對特定事件會發(fā)生的可能的度量。 即他相信(認(rèn)為)事件將會發(fā)生的可能性大小的程度。 這種相信的程度是一種信念，是主觀的，但又是根據(jù)經(jīng)驗、各方而后知識，對客觀情況的了解進行分析、推理、綜合判斷而設(shè)定(Assignment)的，與主觀臆測不同。 例：考博士

18、生、擲硬幣、拋圖釘三、概率的數(shù)學(xué)定義對非空集，元素，即=，F(xiàn)是的子集A所構(gòu)成的-域(即F； 假設(shè)AF那么AF； 假設(shè)AiF i=1,2,那么AiF) 假設(shè)P(A)是定在F上的實值集函數(shù)，它滿足 非負(fù)性 P(A)0 標(biāo)準(zhǔn)性 P()=1 可列可加性 那么稱P(A)為直的(主以或客觀)概率測度，簡稱概率 為根本領(lǐng)件 A為事件 三元總體(，F(xiàn)，P)稱為概率空間 注意：主觀概率和客觀概率objective probability有相同的定義 四、主客觀概率的比擬(一) 根本屬性： O：系統(tǒng)的固有的客觀性質(zhì)，在相同條件下重復(fù)試驗時頻經(jīng)的極限 S：概率是觀察者而非系統(tǒng)的性質(zhì)，是觀察者對對系統(tǒng)處于某狀態(tài)的信任

19、程度 (二)拋硬幣：正面向上概率為 O：只要硬幣均勻，拋法類似，次數(shù)足夠多，正面向上的概率就是，這是簡單的定義。 S：這確是定義，DMer認(rèn)為硬幣是均勻的，正、反面出現(xiàn)的可能性(似然率)相同，是個主觀的量。 (三)下次拋硬幣出現(xiàn)正面的概率是 O：這種說法不對，不重復(fù)試驗就談不上概率 S：對DMer來說，下次出現(xiàn)正、反是等可能的。但是他不是說硬幣本身是公正的，它可能會有偏差，就他現(xiàn)有知識而言，沒有理由預(yù)言一面出現(xiàn)的可能會大于另一面，但屢次拋擲的觀察結(jié)果可以改變他的信念。 O、S：下次拋硬幣出現(xiàn)正面還是反面不能確定，但知道： 要么是正面，要么是反面。 2-2 先驗分布(Prior distribu

20、tion)及其設(shè)定 在決策分析中，尚未通過試驗收集狀態(tài)信息時所具有的信息叫先驗信息，由先驗信息所確定的概率分布叫先驗分布。 設(shè)定先驗分布是Bayesean分析的需要.一、設(shè)定先驗分布時的幾點假設(shè) 1.連通性(Connectivity)，又稱可比性 即事件A和B發(fā)生的似然性likelihood是可以比擬的： AL B或A L B或BL A 必有一種也僅有一種成立. * AL B讀作 A 發(fā)生的似然性大于B 發(fā)生的似然性, A L B 讀作 A 發(fā)生的似然性與B 發(fā)生的似然性相當(dāng)。 2.傳遞性(Transitivity) 假設(shè)對事件A，B，C , A L B， B L C 那么A L C 3. 局

21、部小于全體：假設(shè)AB那么BL A 例：設(shè)定明年國民經(jīng)濟增長率時：A：811% B：1215% C：1520% 假設(shè) A L B， B L C ， 那么 A L C A：811% D：810% 必有D L A 二、離散型隨機變量先驗分布的設(shè)定1.對各事件加以比擬確定相對似然率 例1. 考博士生 E：考取 E：考不取 假設(shè)P(E)=2P(E) 那么P(E)=2/3 P(E)=1/3 例2。某地氣候狀況：正常年景1，旱2，澇3 正常與災(zāi)年之比：32 那么P 水旱災(zāi)之比11 P(2)=P( 該法適用于狀態(tài)數(shù)較少的場合2.打賭法設(shè) 事件E發(fā)生時收入P，0 P 1 且 Ec(1P)調(diào)整P，使決策人感到兩者

22、無差異為止, 那么：P(E)=P三、連續(xù)型RV的先驗分布的設(shè)定1.直方圖法該法適用于取值是實軸的的某個區(qū)間的情況步驟：,將區(qū)間劃分子區(qū)間i離散化 設(shè)定每個子區(qū)間的似然率(i)賦值 變換成概率密度曲線例如：明年國民經(jīng)濟的增長率缺點：子區(qū)間的劃分沒有標(biāo)準(zhǔn) 賦值不易 尾部誤差過大2.相對似然率法適用范圍：同1 步驟：離散化 賦值：給出各區(qū)間似然的相比照值 標(biāo)準(zhǔn)化： 例如：同1A. 相對似然率R 似然率(A) 子區(qū)間89% 10 10R 78 9 9R 9RB. 決策者給出每二個狀態(tài)似然率的比例關(guān)系 aij= pi/pj (1)應(yīng)有 aij= 1/aji (2) aij=aik.akj (3)在(3)

23、式不滿足時，可用最小二乘法估計決策人心目中真正的主觀概率分布Pi i=1,，n即求規(guī)劃問題 min(aijpj - pi) s.t. pi= 1 , pi0*用拉格朗日乘數(shù)法,構(gòu)造拉格朗日函數(shù) L EMBED Equation.2 上式對 EMBED Equation.2 ，i=1,2n求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，得： EMBED Equation.2 l=1,2,n. 與 EMBED Equation.2 聯(lián)列，構(gòu)成n+1階齊次方程組，求得Pi, i=1,，n3.區(qū)間對分法適用范圍：可以是開區(qū)間步驟：求中位 確定上、下四分位點(quartile fractile) 由于誤差積累,最多確定八分位點(

24、Eighth fractile) 例：產(chǎn)品銷售量(預(yù)計明年) 缺點：精度差4.與給定形式的分布函數(shù)相匹配 這是最常用，且常常被濫用的方法步驟：選擇一個與先驗信息匹配得最好的函數(shù) 如正態(tài)，泊松，e-Cauchy分布等例：a)在單位時間以恒常的平均比率入出現(xiàn)，那么在T單位長度時間內(nèi)該事件出現(xiàn)的次數(shù)服從Poisson分布 2-4 b)假設(shè)影響某一隨機變量的因素很多而每一因素的作用均不顯著，那么該變量服從正態(tài)分布。例如，測量誤差，彈落點，人的生理特征的度量，農(nóng)作物產(chǎn)量等均服從正態(tài)分布。 c)事件A出現(xiàn)的概率為P，n次獨立試驗出現(xiàn)r次A的概率b(p,r,n)= EMBED Equation.2 . 即服

25、從二項分布。 參數(shù)估計： A.矩法：N(,) Be(，) 缺點：尾部估計不準(zhǔn)，但對矩的影響卻很大 B.分位數(shù)：利用幾個分位點和現(xiàn)成的概率密度 函數(shù)分位數(shù)表，估計參數(shù)并檢驗。5. 概率盤法(dart) 用園盤中的扇形區(qū)表示抽獎事件, 透用于西方管理人員注意：狀態(tài)的概率或概率分布不是也不應(yīng)富由決策分析人員來設(shè)定，而應(yīng)當(dāng)由決策人和有關(guān)問題專家提供根本信息。 理由：2-3 無信息先驗分布一、為什么要研究無信息先驗Bayesean法需要有先驗分布，貝葉斯法的簡明性使人在無信息時也想用它。二、如何設(shè)定無信息先驗分布1.位置參數(shù) 隨機變量X的概率密度函數(shù)形如f(x-)時 稱為位置參數(shù) 其無信息先驗 ()必為

26、一常數(shù)2.標(biāo)度參數(shù) X的密度函數(shù)為1/f(x/)稱為標(biāo)度密度稱為標(biāo)度參數(shù) 其無信息先驗()=1/2.4 利用過去的數(shù)據(jù)設(shè)定先驗分布一、有的統(tǒng)計數(shù)據(jù) 為能獲得的觀察值i i=1,n的數(shù)據(jù)，那么可： 通過直方圖勾劃出先驗分布 選取可能的函數(shù)形式作為先驗分布，再定參數(shù) 求頻率(離散RV)二、狀態(tài)不能直接觀察時 假設(shè)直接觀察的只是與 EMBED Equation.2 有關(guān)的 EMBED Equation.2 (通常都是如此)那么要從 EMBED Equation.2 中獲取 EMBED Equation.2 的先驗信息很困難： EMBED Equation.2 的分布是隨邊緣分布m(.)而定的： m(

27、x)= EMBED Equation.2 或m(x)= EMBED Equation.2 X、的聯(lián)合密度是h(x,)=f(x)() 由 EMBED Equation.2 估計m(x)不難，但即使f(x)，由此估計()就難得多。第三章 效用、損失和風(fēng)險(Utility,Loss and Risk)本章主要參考文獻：60，56，86，87，92，129，156，169，183，18431 效用的定義和公理系統(tǒng)一、引言為什么要引入效用 決策問題的特點：自然狀態(tài)不確定以概率表示； 后果價值待定： 以效用度量。1.無形后果，非數(shù)字量(如信譽、威信、出門帶傘問題的后果)需以數(shù)值度量；2.即使是數(shù)值量(例如

28、貨幣)表示的后果，其價值仍有待確定，后果的價值因人而異。例一：同是100元錢，對窮人和百萬富翁的價值絕然不同；對同一個人，身無分文時的100元，與已有10000元再增加100元的作用不同，這是錢的邊緣價值問題。例二： 上圖作為商業(yè)、經(jīng)營中實際問題的數(shù)學(xué)模型有普遍意義有人認(rèn)為打賭不如禮品,即 *由上面兩個例子可知：在進行決策分析時，存在如何描述(表達)后果的實際價值，以便反映決策的人偏好次序(preference order)的問題 *偏好次序是決策人的個性與價值觀的反映，與決策人所處的社會、經(jīng)濟地位，文化素養(yǎng)，心理和生理(身體)狀態(tài)有關(guān)。 * 除風(fēng)險偏好之外，還時間偏好。 i, 折扣率 ii,

29、其他 而效用(Utility)就是偏好的量化，是數(shù)(實值函數(shù)).Daniel Bernoulli 在1738年指出： 假設(shè)一個人面臨從給定行動集(風(fēng)險性展望集)中作選擇的決策問題，如果他知道與給定行動有關(guān)的將來的自然狀態(tài)，且這些狀態(tài)出現(xiàn)的概率或可以估計，那么他應(yīng)選擇對各種可能后果的偏好的期望值最高的行動。 二、效用的定義 1.符號 i,AB(即APB)讀作A優(yōu)于B：(Prefer(ed) A to B) AB(即ARB) A不劣于B AB(即AIB) A無差異于B (Indifference) ii, 展望(prospect): 可能的前景 即各種后果及后果出現(xiàn)概率的組合 P=( EMBED

30、Equation.2 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 ) 既考慮各種后果 (consequence) 又考慮了各種后果的概率(probability or likelihood)分布 所有P的集合記作p iii,抽獎(lottery)與確定當(dāng)量 EMBED Word.Picture.6 假設(shè) EMBED Equation.2 ( EMBED Equation.2 ; EMBED Equation.2 )那么稱 確定性后果 EMBED Equation.2 為抽獎 ( EMBED Equation.2 ; EMBED Equation.2 ) 確實定當(dāng)量2.效

31、用的定義(A) 在集合p上的實值函數(shù)u，假設(shè)它和p上的優(yōu)先關(guān)系一致，即: 假設(shè) EMBED Equation.2 p , EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 iff u( EMBED Equation.2 )u( EMBED Equation.2 ) 那么稱u為效用函數(shù)三、效用存在性公理 理性行為公理 Von Neumann-Morenstern, 1994 169公理1 連通性 (Connectivity)又稱可比性 EMBED Equation.2 p, 那么 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 or EMBED Equati

32、on.2 EMBED Equation.2 or EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 公理2 傳遞性 (Transitivity) EMBED Equation.2 p, 假設(shè) EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 那么 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 公理3 替代性公理 ( 加等量時優(yōu)先關(guān)系不變) 假設(shè) EMBED Equation.2 p, EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 且 0 1 那

33、么 對任何 EMBED Equation.2 p ,必有 EMBED Equation.2 +(1-) EMBED Equation.2 +(1-) EMBED Equation.2 或者表達成： EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 , 那么 EMBED Equation.2 +(1-) EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 +(1-) EMBED Equation.2 即二種后果中，決策人所偏好的后果出現(xiàn)時機較大的情況是決策人所喜愛的。公理4 連續(xù)性公理 - 偏好的有界性假設(shè) EMBED Equation.2 EMBED Equa

34、tion.2 EMBED Equation.2 那么 存在 01, 01, 使 EMBED Equation.2 +(1-) EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 +(1-) EMBED Equation.2 由 EMBED Equation.2 +(1-) EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 可知 EMBED Equation.2 不是無窮劣,即 u( EMBED Equation.2 ) 由 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 +(1-) EMBED Equati

35、on.2 可知 EMBED Equation.2 不是無窮優(yōu), 即 u( EMBED Equation.2 ) EMBED Equation.2 即使是死亡，亦不至于無窮劣例：i,過馬路 假設(shè)死亡為無窮劣，那么不能過馬路 ii,狂犬病疫苗 上述公理看來是符合理性的，事實上并不盡然.例：Allais 悖論Paradox 例如，1953年Allais在一次學(xué)術(shù)會議上提出如下問題，請效用理論權(quán)威Svage答復(fù)Savage的答復(fù)是A組寧擇i， B組寧擇ii，Allais指出：B組的i, ii, 均以的$500,000 取代的 $0，即與A組的i,ii,相對應(yīng)，照公理3、A、B兩組中i,ii,的優(yōu)先關(guān)系

36、應(yīng)當(dāng)不變。 Savage當(dāng)時語塞。效用的公理化定義 在上述公理系統(tǒng)中，假設(shè)p上存在實值函數(shù)u，使i, 當(dāng)且僅當(dāng) u() u() ii. u(, ; 1-, )= u() +(1-)u()iii, 對滿足上述條件的 , 必有 () =b( )+c , 其中 b, c , b0那么u(P)稱為(基數(shù))效用函數(shù)*關(guān)于線性：將ii. u(, ; 1-, )= u() +(1-)u() 推廣到一般,假設(shè)p ;0 , i=1,2,m; =1; 那么 u( )= u()四、基數(shù)效用與序數(shù)效用 (Cardinal & Ordinal Utility)基數(shù)：實數(shù)：1，2，3,序數(shù)：第一，二，4，3，2，1區(qū)別：

37、1.基數(shù)效用定義在展望集p上(考慮后果及其概率分布),是實數(shù); 序數(shù)效用定義在后果集C上，不涉及概率，可以是整正數(shù)2.基數(shù)效用反映偏好強度：(正線性變換下唯一) 原數(shù)列可變換為:b+c, 2b+c, 3b+c, b+c; 其中 b, c EMBED Equation.2 , b0.而序數(shù)效用不反映偏好強度，(保序變換下唯一), 原序數(shù)列可變換為 16,9,4,1;或 8,6,4,2,或10,7,6,1等.序數(shù)效用的存在性公理1.連通性(可比)2.傳遞性3.對任何確定的后果x，優(yōu)勢集與劣勢集均為閉集。(教材：P29 3.1)3.2 效用函數(shù)的構(gòu)造一、離散型的概率分布 后果元素有限各后果效用設(shè)定的

38、步驟 NM法 由公理4: 假設(shè) EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 ,那么可找到 01, 使 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 +(1-) EMBED Equation.2 第一步： 選定 EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 C , 使 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 令 u( EMBED Equation.2 )=0, u( EMBED Equation.2 )=1 所選擇的 EMBED Equation.2 、 EMBE

39、D Equation.2 應(yīng)使比擬易于進行.第二步：對 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 ,求(01), 使 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 +(1-) EMBED Equation.2 那么 u( EMBED Equation.2 )=u( EMBED Equation.2 +(1-) EMBED Equation.2 )= u( EMBED Equation.2 )+(1-)u( EMBED Equation.2 )第三步：假設(shè) EMBED Equation.2 EMBED Equati

40、on.2 , 求(01), 使 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 +(1-) EMBED Equation.2 那么u( EMBED Equation.2 )=u( EMBED Equation.2 +(1-) EMBED Equation.2 )=u( EMBED Equation.2 )+(1-)u( EMBED Equation.2 ) u( EMBED Equation.2 )=/(-1)第四步：假設(shè) EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 , 求(0 0 u在x 處凹, 風(fēng)險厭惡 EMBED Equation.2 r(x)

41、=-u(x)/u(x) = 0 u在x 處線性, 風(fēng)險中立 0 在x處有遞減的邊緣價值 m(x)=-v(x)/v(x)=0 在x處有不變的邊緣價值 0時u(x)通常是凹的 遞減的邊緣價值 風(fēng)險厭惡 x0與x0的形狀不同, 負(fù)債較多有追求風(fēng)險的傾向.2.錢的效用曲線的構(gòu)成 設(shè)某人現(xiàn)有1000元存款(某商店有資產(chǎn)10萬，企業(yè)有1000萬等等) i, NM法(見3.2) 利用 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 +(1-) EMBED Equation.2 ii,修正的NM法 利用 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 EMBED Equ

42、ation.2 例: 設(shè)u(0)=0), u(1000)=1 有300 又125 550 由00.5+0.5 設(shè) a=-250 那么 -2500.5+0.5原因：i,價值函數(shù)是S型 ii,在一定范圍內(nèi)相對風(fēng)險態(tài)度不變 iii,負(fù)債到一定程度以上有冒險傾向 Friedmann-Savage 效用曲線(1948): 3.4 損失、風(fēng)險和貝葉斯風(fēng)險一、損失函數(shù)L 有些文獻采用損失函數(shù)進行分析 u(c)=u(,a) l(,a)-u(,a) 那么損失函數(shù)與效用作用相同 為了使損失值非負(fù)，可取 l(,a)= u(,a)-u(,a) 二、風(fēng)險函數(shù) 自然狀態(tài)集 -參數(shù)空間 行動集 A -決策空間 觀察值集 X

43、 -測度空間 決策規(guī)那么 :xa , EMBED Equation.2 , 為策略空間 損失l(,a)=l(,(x) 由于X是隨機變量，對給定的，采用決策規(guī)那么時定義風(fēng)險函數(shù) R(,)= EMBED Equation.2 l(,(x) = EMBED Equation.2 l(,(x) f (x |) dx 或 EMBED Equation.2 l(,(x) p (x |)三、貝葉斯風(fēng)險 r(，)ER(,)含義：的先驗分布為，決策規(guī)那么為時風(fēng)險函數(shù)的期望值叫貝葉斯風(fēng)險即: r(，)= EMBED Equation.2 R(,) = EMBED Equation.2 l(,(x) f (x |)

44、 dx () d 或 EMBED Equation.2 l(,(x) p (x |) ()第四章 貝葉斯分析Bayesean Analysis引言一、決策問題的表格表示損失矩陣 對無觀察(No-data)問題 a= 可用表格(損失矩陣)替代決策樹來描述決策問題的后果(損失): ()()()或 ()()()損失矩陣直觀、運算方便 二、決策原那么 通常，要根據(jù)某種原那么來選擇決策規(guī)那么，使結(jié)果最優(yōu)(或滿意)，這種原那么就叫決策原那么，貝葉斯分析的決策原那么是使期望效用極大。本章在介紹貝葉斯分析以前先介紹芙他決策原那么。三、決策問題的分類：1.不確定型(非確定型) 自然狀態(tài)不確定,且各種狀態(tài)的概率無

45、法估計.2.風(fēng)險型 自然狀態(tài)不確定,但各種狀態(tài)的概率可以估計.四、按狀態(tài)優(yōu)于： I, 且至少對某個i嚴(yán)格不等式成立, 那么稱行動按狀態(tài)優(yōu)于4.1 不確定型決策問題一、極小化極大(wald)原那么(法那么、準(zhǔn)那么) l ( , ) 或 例:1087941921316121469810 各行動最大損失: 13 16 12 14 其中損失最小的損失對應(yīng)于行動. 采用該原那么者極端保守, 是悲觀主義者, 認(rèn)為老天總跟自己作對.二、極小化極小 l ( , ) 或 例:1087941921316121469810 各行動最小損失: 4 1 7 2 其中損失最小的是行動. 采用該原那么者極端冒險，是樂觀主義

46、者，認(rèn)為總能撞大運。三、Hurwitz準(zhǔn)那么上兩法的折衷，取樂觀系數(shù)入 l ( , )1 l ( , )例如 時 : 2 0.5 3.5 1 1: 6.5 8 6 7 兩者之和： 8.5 8.5 9.5 8其中損失最小的是：行動四、等概率準(zhǔn)那么(Laplace) 用 來評價行動 的優(yōu)劣 選 上例： : 33 34 36 35 其中行動 的損失最小五、后梅值極小化極大準(zhǔn)那么(svage-Niehans)定義后梅值 EMBED Equation.2 = EMBED Equation.2 - EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 其中 EMBED Equation.2

47、EMBED Equation.2 為自然狀態(tài)為 時采取不同行動時的最小損失.構(gòu)成后梅值(時機本錢)矩陣 S= EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 ,使后梅值極小化極大,即: EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 例:損失矩陣同上, 后梅值矩陣為: 3 1 0 2 3 0 8 1 1 4 0 2 0 3 2 4各種行動的最大后梅值為: 3 4 8 4 其中行動a1 的最大后梅值最小,所以按后梅值極小化極大準(zhǔn)那么應(yīng)采取行動1.六、Krelle準(zhǔn)那么：使損失是效用的負(fù)數(shù)(后果的效用化),再用等概率(Laplace)準(zhǔn)那么.七、莫爾諾(Mo

48、lnor)對理想決策準(zhǔn)那么的要求 (1954) 1.能把方案或行動排居完全序； 2.優(yōu)劣次序與行動及狀態(tài)的編號無關(guān)； 3.假設(shè)行動 EMBED Equation.2 按狀態(tài)優(yōu)于 EMBED Equation.2 ，那么應(yīng)有 EMBED Equation.2 優(yōu)于 EMBED Equation.2 ； 4.無關(guān)方案獨立性：已經(jīng)考慮過的假設(shè)干行動的優(yōu)劣不因增加新的行動而改變； 5.在損失矩陣的任一行中各元素加同一常數(shù)時，各行動間的優(yōu)劣次序不變； 6.在損失矩陣中添加一行，這一行與原矩陣中的某行相同，那么各行動的優(yōu)劣次序不變。4.2 風(fēng)險型決策問題的決策原那么一、最大可能值準(zhǔn)那么 令 ( EMBED

49、 Equation.2 )=max( EMBED Equation.2 ) 選 EMBED Equation.2 使 l( EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 )= EMBED Equation.2 l( EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 )例：( ) EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 76 EMBED Equation.2 345 EMBED Equation.2 410 ( EMBED Equation.2 ) 概率

50、最大, 各行動損失為 3 4 5 應(yīng)選行動 EMBED Equation.2 二、貝葉斯原那么使期望損失極?。?EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 l( EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 ) ( EMBED Equation.2 ) 上例中,各行動的期望損失分別為 4.1 3.6 3.7, 對應(yīng)于 EMBED Equation.2 的期望損失最小應(yīng)選 EMBED Equation.2 .三、貝努利原那么損失函數(shù)取后果效用的負(fù)值,再用Bayes原那么求最優(yōu)行動.四、EV(均值方差)準(zhǔn)那么 假設(shè) EMBED Equation.2

51、 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 且 EMBED Equation.2 那么 EMBED Equation.2 優(yōu)于 EMBED Equation.2 通常不存在這樣的 EMBED Equation.2 上例中: EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 V( EMBED Equation.2 不存在符合EV準(zhǔn)那么的行動, 這時可采用f(,)的值來判斷(為效益型后果的期望) - f( ，)= - EMBED Equation.2 -( EMBED Equation.

52、2 + EMBED Equation.2 ) f越大越優(yōu).五、不完全信息情況下的決策原那么(Hodges-Lehmann原那么) 狀態(tài)概率分布不可靠時, 可采用: ( EMBED Equation.2 )= EMBED Equation.2 + EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 i=1,2, ,m j=1,2,n 越大越優(yōu).貝葉斯定理一、條件概率、B為隨機試驗E中的兩個事件 P(AB)=P(AB)/P(B)由全概率公式: EMBED Equation.2 j=1,2,n 是樣本空間的一個劃分, P(B)= EMBED Equation.2 P(B| EMBED

53、 Equation.2 )P( EMBED Equation.2 )得Bayes公式 P( EMBED Equation.2 |B)=P(B| EMBED Equation.2 )P( EMBED Equation.2 )/P(B) = P(B| EMBED Equation.2 )P( EMBED Equation.2 )/ EMBED Equation.2 P(B| EMBED Equation.2 )P( EMBED Equation.2 )2. 對,兩個隨機變量條件概率密度 f(| x)=f(x |)f()/f(x) 在主觀概率論中 (| x)=f(x |)()/m(x)其中：()是的

54、先驗概率密度函數(shù) f(x)是出現(xiàn)時，x的條件概率密度,又稱似然函數(shù). m(x)是x的邊緣密度, 或稱預(yù)測密度. m(x)= EMBED Equation.2 f(x |)() d 或 EMBED Equation.2 p(x| EMBED Equation.2 )( EMBED Equation.2 ) (x)是觀察值為x的后驗概率密度。例：A 壇中白球30%黑球70% B 壇中白球70%黑球30%兩壇外形相同，從中任取一壇，作放回摸球12次,其中白球4次，黑球8次，求所取為A壇的概率.解：設(shè)觀察值4白8黑事件為x，記取A壇為 EMBED Equation.2 , 取B壇為 EMBED Equ

55、ation.2 在未作觀察時，先驗概率p( EMBED Equation.2 )=p( EMBED Equation.2 那么在作觀察后，后驗概率 P( EMBED Equation.2 |x)=p(x| EMBED Equation.2 )p( EMBED Equation.2 ) EMBED Equation.2 p(x| EMBED Equation.2 )p( EMBED Equation.2 )+p(x| EMBED Equation.2 )p( EMBED Equation.2 ) = EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 EMBED Equation

56、.2 ( EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 0.5+ EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 0.5) = EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 ( EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 ) EMBED Equation.2 顯然, 通過試驗、觀察、可修正先驗分布.4.4 貝葉斯分析的正規(guī)型與擴展型一、正規(guī)型分析由Baysean原那么：先驗分布為()時，最優(yōu)的決策規(guī)那么是貝葉斯規(guī)那么 EMBED Equation.2 ,使貝葉斯風(fēng)險 r(, EMBED Equation.2

57、 )= EMBED Equation.2 r(,(x)其中：r(,(x)= EMBED Equation.2 R(,(x) = EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 l(,(x) = EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 l(,(x) f(x |)dx() d (1) 據(jù)(1)式，選 EMBED Equation.2 使r(，)到達極小，這就是正規(guī)型的貝葉斯分析。 在解實際問題時，求使(1)式極小的(x)往往十分困難，尤其在狀態(tài)和觀察值比擬復(fù)雜時，集中的策略數(shù)目很大，窮舉所有的(x)有困難，且計算量頗大。實際上可用下法：二、擴展型貝葉

58、斯分析(Extensive Form Analysis)在(1)式中因l(,)-，f(x)，()均為有限值。由Fubini定理，積分次序可換即r(,(x)= EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 l(,(x) f(x |)dx() d = EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 l(,(x) f(x |)() ddx (2)顯然，要使(2)式到達極小，應(yīng)當(dāng)對每個xX，選擇，使 EMBED Equation.2 l(,(x) f(x |)() d 2為極小(x)=a 假設(shè)對給定的x,選a，使 EMBED Equation.2 l(,(x)

59、 f(x |)() d 為極小亦即，使 l(,a) f(x |)() d =l(,a) (|x) d 或 l(,a)p(|x) (3) 達極小，即可使(1)式為極小.結(jié)論： 對每個x，選擇行動a，使之對給定x時的后驗分布(x)的期望損失為極小，即可求得貝葉斯規(guī)那么。 這種方法叫貝葉斯分析的擴展型，由此確定的貝葉斯規(guī)那么叫formal Bayesean Rule Raiffa Sehlaifer,1961年提出。Note使(3)式達極小的行動可能不只一個，即可能有多個貝葉斯規(guī)那么；擴展型比正規(guī)型更直觀，也容易計算，故更常用；許多分析人員只成認(rèn)擴型，理由是： i，(x)描述了試驗后的的分布，比()

60、更客觀，因此，只要損失函數(shù)是由效用理論導(dǎo)出的(即考慮了DMer的價值判斷、風(fēng)險偏好)，在評價行動a的優(yōu)劣時就應(yīng)當(dāng)用后驗期望損失。 ii, r(，)是根據(jù)()求出的，而用先驗分布()來確定行動a并不一定適當(dāng)。 從根本上講，這種觀點是正確的。無論從何種觀點來進行貝葉斯分析，從理論上講，結(jié)果是一樣的，所以采用何種方法可視具體問題，據(jù)計算方便而定。已經(jīng)證明，形式貝葉斯分析對一類非隨機性決策規(guī)那么是成立的，也可以證明它對隨機性決策規(guī)那么同樣成立。使所有x上后驗期望損失極小的貝葉斯規(guī)那么也是隨機性規(guī)那么集*中的Bayes規(guī)那么，因此，總可以找到一驗期望損失極小的非隨機性規(guī)那么。三、例(先看無觀察問題)農(nóng)民