數(shù)學建模之主成分分析法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)主成分分析主成分分析的主要目的是希望用較少的變量去解釋原來資料中的大部分變量，將我們手中許多相關性很高的變量轉(zhuǎn)化成彼此相互獨立或不相關的變量。通常是選出比原始變量個數(shù)少，能解釋大部分資料中的變異的幾個新變量，即所謂主成分，并用以解釋資料的綜合性指標。1、主成分分析的應用（1）我國各地區(qū)普通高等教育發(fā)展水平綜合評價。（2）投資效益的分析和排序等。2、主成分分析法的步驟對原始數(shù)據(jù)進行標準化處理用表示主成分分析指標的m個變量，評價對象有n個，表示第i個評價對象對應于第j個指標

2、的取值。將每個指標值轉(zhuǎn)化為標準化指標，即式中：， 相應地，標準化指標變量為計算相關系數(shù)矩陣R其中：，是第i個指標和第j指標之間的相關系數(shù)。計算相關系數(shù)矩陣的特征值與特征向量解特征方程，得到特征值；再求出相對應的特征值的特征向量，其中,由特征向量組成的m個新的指標變量為其中：為第1主成分，為第1主成分，為第m主成分選擇p（pm）個主成分，計算綜合評價值。（1）計算特征值的信息貢獻率和累積貢獻率用表示主成分的信息貢獻率，則有用表示主成分的累積貢獻率，則有若接近于1（一般的范圍為85%95%）時，則用前個指標變量作為個主成分，代替原來個指標變量，再對個主成分進行綜合分析。 計算綜合得分用表示第j個主

3、成分的信息貢獻率，則有根據(jù)綜合得分值進行評價。例題：高等教育是依賴高等院校進行的，高等教育的發(fā)展狀況主要體現(xiàn)在高等院校的相關方面。遵循可比性原則，從高等教育的五個方面選取十項評價指標，具體如圖1。中國統(tǒng)計年鑒，1995和中國教育統(tǒng)計年鑒，1995除以各地區(qū)相應的人口數(shù)得到十項指標值見表1。其中：為每百萬人口高等院校數(shù)；為每十萬人口高等院校畢業(yè)生數(shù)；為每十萬人口高等院校招生數(shù)；為每十萬人口高等院校在校生數(shù)； 為每十萬人口高等院校教職工數(shù)；為每十萬人口高等院校專職教師數(shù)；為高級職稱占專職教師的比例；為平均每所高等院校的在校生數(shù)；為國家財政預算內(nèi)普通高教經(jīng)費占國內(nèi)生產(chǎn)總值的比重；為生均教育經(jīng)費。圖1

4、 高等教育的十項評價指標表1 我國各地區(qū)普通高等教育發(fā)展狀況數(shù)據(jù)請對各地區(qū)高教發(fā)展水平進行綜合評價值及排序。解：定性考察反映高等教育發(fā)展狀況的五個方面十項評價指標，可以看出，某些指標之間可能存在較強的相關性。比如每十萬人口高等院校畢業(yè)生數(shù)、每十萬人口高等院校招生數(shù)與每十萬人口高等院校在校生數(shù)之間可能存在較強的相關性，每十萬人口高等院校教職工數(shù)和每十萬人口高等院校專職教師數(shù)之間可能存在較強的相關性。為了驗證這種想法，計算十個指標之間的相關系數(shù)?？梢钥闯瞿承┲笜酥g確實存在很強的相關性，如果直接用這些指標進行綜合評價，必然造成信息的重疊，影響評價結果的客觀性。主成分分析方法可以把多個指標轉(zhuǎn)化為少數(shù)

5、幾個不相關的綜合指標，因此，可以考慮利用主成分進行綜合評價。 利用MATLAB軟件對十個評價指標進行主成分分析，相關系數(shù)矩陣的前幾個特征根及其貢獻率如表2。表2 主成分分析結果可以看出，前兩個特征根的累計貢獻率就達到90%以上，主成分分析效果很好。下面選取前四個主成分（累計貢獻率就達到98%）進行綜合評價。前四個特征根對應的特征向量見表3。表3 標準化變量的前4個主成分對應的特征向量由此可得四個主成分分別為：從主成分的系數(shù)可以看出，第一主成分主要反映了前六個指標（學校數(shù)、學生數(shù)和教師數(shù)方面）的信息，第二主成分主要反映了高校規(guī)模和教師中高級職稱的比例，第三主成分主要反映了生均教育經(jīng)費，第四主成分

6、主要反映了國家財政預算內(nèi)普通高教經(jīng)費占國內(nèi)生產(chǎn)總值的比重。把各地區(qū)原始十個指標的標準化數(shù)據(jù)代入四個主成分的表達式，就可以得到各地區(qū)的四個主成分值。分別以四個主成分的貢獻率為權重，構建主成分綜合評價模型： 把各地區(qū)的四個主成分值代入上式，可以得到各地區(qū)高教發(fā)展水平的綜合評價值以及排序結果如表4。表4 排名和綜合評價結果分析：各地區(qū)高等教育發(fā)展水平存在較大的差異，高教資源的地區(qū)分布很不均衡。北京、上海、天津等地區(qū)高等教育發(fā)展水平遙遙領先，主要表現(xiàn)在每百萬人口的學校數(shù)量和每十萬人口的教師數(shù)量、學生數(shù)量以及國家財政預算內(nèi)普通高教經(jīng)費占國內(nèi)生產(chǎn)總值的比重等方面。陜西和東北三省高等教育發(fā)展水平也比高。貴州、廣西