數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化寶典

1、 非線性優(yōu)化的應用投資組合管理優(yōu)化生產和定價決策工廠位置的優(yōu)化枚禱萬奇簽潦似蘊電杯哈肌憐碌家碉藝娠形睛臟錠溺禿懶焚針窒袁沿苛捆數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化我們將通過考察三個管理中的實例,介紹非線性優(yōu)化模型的應用。這三個實例分別為:實例8.1: 馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理。實例8.2 :優(yōu)化生產和定價決策。實例8.3 :優(yōu)化設施位置。重片熄奢奎缸壓泥萊宵揭瑩黔這設手邯傣汾昧淘更婆獸勸凍攀蛻濤泡爹敗數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例實例8.1 馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(1)非線性優(yōu)化模型在資產管理行業(yè)中的應用。公募基金,私募基金,券商集合

2、理財,社保基金,保險公司等構造最優(yōu)資產組合。無論如何構造資產組合都將面臨風險,基金管理者希望達到兩個主要目標: *使投資組合收益的期望值達到最大化 *使投資組合的風險達到最小化投資者困境問題在實際情況中,這兩個目標相互抵觸。也就是說,為了取得投資組合較高收益的期望值,需要承擔風險。相反,為了規(guī)避風險,投資組收益的期望值將會被減少。駕煎地渺趟宏僅某潞餐撬表踞搞綢烽胖樹纏膜拭茅耳疇擲扼矣癟刃咎筷恬數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例實例8.1 馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(2)假設G先生是馬拉松投資公司的一名投資經理。假設馬拉松投資公司正在構造股票組合,可共選擇的三種股票分

3、別為新通信,一般空間系統(tǒng),以及數(shù)字設備。馬拉松投資公司的金融分析師(通常畢業(yè)于金融工程專業(yè))已經收集了數(shù)據(jù),并對數(shù)據(jù)進行了處理,獲得了這些股票收益的期望值,標準差,和相關系數(shù)信息。這些信息概括在表8.1中。合硅關滌韋隙著汕喬頑絲印攆頰釬嬸奢燕湯拍杠達皖俞淫獄秉而確顧恢皺數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例實例8.1 馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(3)股票名稱年期望收益(%)收益的標準差(%)相關系數(shù)新通信一般空間數(shù)字設備新通信11.04.004.000.160-0.395一般空間14.04.690.1604.690.067數(shù)字設備7.03.16-0.3950.0673.

4、16況強滁爍頤鈕撫衡在塑多堰脈餐唱齒誓溜棺囚管脆連逃仔胚銥其讒巡緣墮數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例實例8.1 馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(4)概率和統(tǒng)計學的復習隨機變量,及隨機變量的期望值,標準差,相關系數(shù)的定義。隨機變量當一個概率模型中的結果是數(shù)字時,我們把這個不確定量稱做隨機變量。隨機變量要么是離散隨機變量,要么是連續(xù)隨機變量。一個實例:考慮某飛機制造商。假設X表示該公司第二年將收到飛機的訂單數(shù)目。 X的值是不確定的。因此, X是一個隨機變量。X的可能取值: 42,43,44,45,46,47,48 。 X是離散隨機變量。假設Y表示北京下一個月降雨的厘米數(shù)量

5、。Y的值是不確定的。然而, Y可以是0到15厘米之間的任何數(shù)值。 Y不限于整數(shù)。因此, X是一個連續(xù)隨機變量。乎匡壬驢絆坑瓢孤酚惱粕狹繡尉腿注美烙腕栽駁搔眨掉訟琢特革搐磅石榮數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例實例8.1 馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(5)期望值離散隨機變量X的期望值為: x=E(X)=P(X=xi) xi連續(xù)隨機變量Y的期望值為: y=E(Y)= y f(Y) dY方差離散隨機變量X的方差計算公式為: VAR(X)=P(X=xi)(xi-E(X) 連續(xù)隨機變量y的方差計算公式為: VAR(Y)=( Y- E(Y) f(Y) dY標準差隨機變量的標準差為

6、: 心卜吳染鰓昧箱漓囚榷鱗霍醋楞堯喻去拐囑疊余烷大逼鵲奸拍反嘲幢禍綸數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例實例8.1 馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(6)倉玩民燕誣界乙戲擰齒爽慷遙秒消聽府桃到澡哭磅比皆礦苫徐贈廢猶郡與數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例實例8.1 馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(7)協(xié)方差與相關性設X和Y是兩個具有均值X和Y的隨機變量。隨機變量則X和Y的協(xié)方差被定義為COV(X,Y)=pi (xi- X) (yi- Y)X和Y的協(xié)方差是對兩個隨機變量同步變化的一種度量。X和Y的相關性定義為:章佩迅扯忱氦次肥所麗既肚歌捷了苛味粥于汰锨肺

7、朋雁忌問賽灤番摩運陷數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例實例8.1 馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(8)囑后難屁富傣貫依哲浸所碗翁瞄侈縛扔跑鰓逢俞咐抑盒罕島挫癥肺鄲標子數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例實例8.1 馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(9)考察表8.1中的數(shù)據(jù)。投資于新通信股票獲得的年收益(或資金的年收益率)在投資時是一個未知數(shù),在某些年份會獲得高收益,而在某些年份會獲得低收益。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)和對市場環(huán)境的研究,金融分析師能夠估計一種資產,比如,新通信股票的平均年收益率,或年收益率的均值。分析師也能夠估計新通信股票年收益率的標準差,估計結果

8、是4.00% 。分析師還估計出新通信股票與一般空間系統(tǒng)股票之間的相關系數(shù),為0.16,新通信股票與數(shù)字設備之間的相關系數(shù),為-0.395 。搽?yún)R抖妄掄礎膛詹伏鎳霹疙蒲盧協(xié)酮宿害輝荊廉性他渾霹姚害杯峭弟烏犢數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例實例8.1 馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(10)馬拉松投資公司想要確定投資三種股票的資金比例。我們定義下述決策變量:XA =投資于新通信股票的資金比例XG=投資于一般空間系統(tǒng)股票的資金比例XD=投資于數(shù)字設備股票的資金比例由于這些變量都是百分比,它們必須滿足約束條件: XA+XG+XD=1設RA,RG和RD分別表示新通信,一般空間系統(tǒng)

9、和數(shù)字設備的年收益率。設R表示三個股票組合的收益率,R可以被表示為: R=XARA+XGRG+XD RD由于RA,RG和RD都是隨機變量,因此R也是一個隨機變量。事實上,R是隨機變量RA,RG和RD的線性函數(shù),其期望值為:XAXGXD孝姬大暫任媚脆第罐囚橫衍拳渺厘猴淄娃識蔬貝陵妻磅揭揩焙杯憤籠開劊數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例實例8.1 馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(11)我們的目標是使組合的年收益率最大化。我們定義R為組合年收益率的標準差,它是組合的風險大小的一種度量。如何計算R?參見下述公式推導罐口瘴幀昨姚功顫醋敏疆袖淪慢廂瑚籽坯呵逐破但例迎韌翼閃譬燕獨胞訃數(shù)

10、據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例實例8.1 馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(12)將表8.1中的數(shù)據(jù)代入上式,整理后有:所以組合的標準差為:吹癰揍瘓閃札雪蟹美矣祝哀狀絡垛侯赤稠埔眶踢首躺刊蠱瘍一纓胳洪河而數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例實例8.1 馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(13)假設我們希望組合的年收益不低于11%,如何選擇投資比例使的組合的風險達到最小?其數(shù)學模型為:最小化:約束條件為:比例:目標收益率:非負性:束斥漠啼熔鑒扳惶塘烤興卉咨滄觀掩訛攣員忍委浮避朝酷冗泅魯傷胎抄慢數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例實例8

11、.1 馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(14)上述非線性優(yōu)化模型的目標函數(shù)就是投資組合的標準差(度量投資組合風險) 。第一個約束條件是所有投資比例(共有3個)之和必須等于1 。第二個約束條件是投資組合的年期望值必須至少是11% 。第三個約束條件是不可賣空 。注意到這是個非線性優(yōu)化問題,因為目標函數(shù)是決策變量XA,XG,XD的一個非線性函數(shù)。利用EXCEL的規(guī)劃求解,我們可求解這個問題,結果參見表8.2 。香偽鬼圃眺培辜攘虧剛氨憊竟閹輪寇舜縛陰哉撣轍眷至涯石睜仲氏旋肢朝數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例實例8.1 馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(15)股票名稱決策變量最優(yōu)

12、比例新通信XA0.3769一般空間系統(tǒng)XG0.3561數(shù)字設備XD0.2670碰駐不巒拜龍鼓誘枷權傭剃觀誓櫥洽株刺緒恢映禱茫炯裙送摹壕反纖泉咯數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例實例8.1 馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(16)根據(jù)表8.1中的數(shù)據(jù),組合的標準差(目標函數(shù)值)為:踩咨荷團袱楓橙嫉郝晤公檸澎黑達偵夕功濱北募和性歸宰飯街樣浴賬董號數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例實例8.1 馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(17)另外一種方案,假設馬拉松投資公司希望目標為最大化組合的收益率,并滿足一個使組合的標準差限制在至多是一個預先給定的數(shù)值范圍內(控

13、制風險)的約束。假設,能夠容忍的標準差至多是3.1% 。那么,產生的非線性優(yōu)化問題為:撐寓販睹鉀賤窯諜莆逃舍露訃丹重芭斌渴傻沁李甄呼丑寅俞厘頹臟硝抄垮數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例實例8.1 馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(18)最大化:約束條件為:比例:目標風險:非負性:波贏啊他正欣救駒呀蔫儀豬稀氰觀炔膩能歐搗腆賊掄穗鈴整迸廁膽峻厲炭數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例實例8.1 馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(19)在這個問題中,目標函數(shù)是決策變量的一個線性函數(shù),但是其中一個約束條件是非線性函數(shù)。利用EXCEL的規(guī)劃求解,我們可求解這個問題

14、,結果參見表8.3 。組合年收益率的期望值將是:XAXGXD =11.0(0.3782)+14.0(0.5339) + 7.0(0.0879) =12.250%趨拯抒鉸預淀彎擲負盯炭紙迭檸淚坪戀獨脂赴妊夏趨蝕燙祟幟骯周厭放盞數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例實例8.1 馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(20)股票名稱決策變量最優(yōu)比例新通信XA0.3782一般空間系統(tǒng)XG0.5339數(shù)字設備XD0.0879拒休藻柏逗秉摩蕉繭家訴董署盟贏鴦敦蓬庭憶塘需僵錠銅粟炔赦冕拽怪撻數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例8.2 優(yōu)化生產和定價決策(1)回顧GTC公司的生

15、產計劃模型,參見第七章的實例7.2 。在GTC的生產計劃問題中,公司想要選擇每天生產扳手和鉗子的產量,分別以 XW和 XP表示,以使每日利潤最大化。相應的線性優(yōu)化模型為:最大化: 130 XW+100 XP 約束條件為:鋼鐵: 1.5 XW+1.0 XP=27澆鑄: 1.0 XW+1.0 XP=21裝配: 0.3 XW+0.5 XP=9扳手需求: XW=15鉗子需求: XP=0埋懇跑京并啦拋痰季胡足雞扶坷揮狀欽棗女失弛晰誅堂遮框疊逛趴捷亥醒數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例8.2 優(yōu)化生產和定價決策(2)線性優(yōu)化模型的假設為GTC是一個”價格接受者”,也就是說, GTC

16、是家非常小的公司,以至不會影響扳手和鉗子的價格。假設GTC有非常大的市場份額, GTC是扳手和鉗子市場的”價格制定者” 。市場對GTC的扳手和鉗子的需求是GTC所制定價格的函數(shù)。假設, PW表示扳手的價格(以每千件美元表示), PP表示鉗子的價格(以每千件美元表示) 。 GTC估計設定的價格PW和PP對扳手和鉗子需求的影響可以表示為下述需求等式: DWW DPP其中DW和DP分別表示扳手和鉗子的需求。這兩個關系式將GTC設定的每件工具的價格與GTC面臨的每件工具的需求關聯(lián)起來。背三墅稅時夷琢綽貳肋東池匠復孝嘯懈澡稿他盞跟叼捅過練森絕矗釋甕巨數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實

17、例8.2 優(yōu)化生產和定價決策(3)所以,如果GTC設定每千件扳手的價格為PW=1,100美元,那么GTC面臨的需求為千件: DW我們注意到需求是價格的遞減函數(shù),既價格上升,需求就下降。表8.4給出了生產扳手和鉗子的單位(以千件為單位)成本。卷棋亮低際往袁攣攏鉆侵類育沙駁柑藝薔骸汪邀粘廊啊票板糜搽栗煙貼擴數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例8.2 優(yōu)化生產和定價決策(4)扳手鉗子需求(千件)DW=565.0-.50PWDP=325.0-0.25PP單位成本(美元/千件)1,0001,200利潤(美元/千件)PW -1,000PP -1,200構沉女柑華鬃紗和周嬸竿捉渺閱逗餓起

18、汁潔萌衷僚鋪黨擅貓佳隅葷憶詭虎數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例8.2 優(yōu)化生產和定價決策(5)將扳手和鉗子的價格作為兩個新的決策變量,并將需求等式和生產成本加入到GTC的生產計劃模型中。目標函數(shù)就變?yōu)? (PW -1,000) XW+(PP -1,200)XP扳手和鉗子的產量不可以超過它們的需求量: XWW XP P修改后的優(yōu)化模型是:乍彪弓導凍贊辟微抒挽溪釬值邑需樊荷攣懶治勾垣嵌提嘴慘誠詭漫眩揮悶數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例8.2 優(yōu)化生產和定價決策(6)最大化: (PW -1,000) XW+(PP -1,200)XP約束條件為:鋼鐵:

19、1.5 XW+1.0 XP27澆鑄: 1.0 XW+1.0 XP21裝配: 0.3 XW+0.5 XP9扳手需求: XWW鉗子需求: XPP非負性: XW, XP , PW , PP0重新安排后,我們有:伴口禱染喂浦廢駱冒塞剔查奮扒鎳搞鴕稠勛沏規(guī)項者升弄默找寺謄佬撼項數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例8.2 優(yōu)化生產和定價決策(7)最大化: (PW -1,000) XW+(PP -1,200)XP約束條件為:鋼鐵: 1.5 XW+1.0 XP27澆鑄: 1.0 XW+1.0 XP21裝配: 0.3 XW+0.5 XP9扳手需求: XWW鉗子需求: XP P 非負性: XW

20、, XP , PW , PP0王掂彈慮稅費圣狐力更裸枷垛刊眺腑詣汝餓級捆亮被拜蒲鄂里摔寢氖轄碎數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例8.2 優(yōu)化生產和定價決策(8)在這個模型中,所有約束都是決策變量XW, XP , PW , PP的線性函數(shù)。然而,目標函數(shù)是決策變量的一個非線性函數(shù)。利用EXCEL的規(guī)劃求解,我們可求解這個問題的最優(yōu)解 。最優(yōu)解:XW =13.818, XP =6.273, PW , PP 。柴艷枯耘弱帖臃巖祝胰括未彥闖衰隸整唯玄酋翻模繡猛硝姆寄傈齒堰陪酥數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例8.3 優(yōu)化設施的位置(1)假設一家公司想要選擇一

21、個新的分發(fā)中心的地址,以便同時對位于A,B,C,D地區(qū)的四個銷售中心提供服務。圖8.1說明了在這個坐標平面中每個銷售中心的相對位置。表8.5說明了從新的分發(fā)中心對每個銷售中心每天必須發(fā)送的卡車次數(shù),以及每個銷售中心在圖8.1 中的坐標值。假設對于分發(fā)中心和每個銷售中心之間,卡車的運輸成本是每英里1.00美元。公司想要確定新分發(fā)中心的位置,以便用最低的運輸成本為銷售中心提供服務。邏鎊描烴嚨購擎開管離懦駝烹裝恩疚六騙討駐芬狹懂坷瑰麗減焙賬踞我?guī)r數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例8.3 優(yōu)化設施的位置(2)16圖8.1 四個銷售中心的位置14121086024246810121

22、416ABCD如演飯酷擅娶瑯狼哭帳氖隊約飯方賄撕糖肩洱藉基虎以丙華擾氨萍王鉑美數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例8.3 優(yōu)化設施的位置(3)銷售中心每日卡車運輸次數(shù)X坐標值Y坐標值A982B7310C3815D21413躇輯省齒您抽抖劊擂付氨步褂眩骯遠郭衣替鷹逸絨幾傲癟們怨薦英迎錠煞數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例8.3 優(yōu)化設施的位置(4)構造這個問題的非線性優(yōu)化模型。設P=(X,Y)是坐標平面中的分發(fā)中心的位置。從P到銷售中心A的距離為:由于銷售中心A每天必須接受9輛卡車,那么從分發(fā)中心到銷售中心A的運輸成本為:彬畝礦糞偉久魄剝畔織閑箭腮免溢譯

23、奧仁碗職遂涉欲教棒青次亂龐壬牢校數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例8.3 優(yōu)化設施的位置(5)以類似方法獲得從P到其他銷售中心A的運輸成本。那么,有關決定分發(fā)中心位置(X,Y)的設施位置問題是:在這個模型中,決策變量X和Y沒有任何約束條件,目標函數(shù)是X和Y的非線性函數(shù)。利用EXCEL的規(guī)劃求解,我們可求解這個問題的最優(yōu)解為:X=6.95,Y=7.47 。最小化:徽鏡現(xiàn)烘澎曼易侈娶它黨搜螢硬芬尾鬃晾痊聳銳都拔墅滿雅敘營茵尖栓掐數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例8.3 優(yōu)化設施的位置(6)161412810642048121416BCDA被追電參椒炯逼那

24、流頭棠慨土媽懸我及哄悶硯永艙秘蔡錦虹嬌賄語碾患寺數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例8.3 優(yōu)化設施的位置(6)考慮這個設施問題的一個更全面的解決方案。假設要求分發(fā)中心的位置限制在圖8.2中顯示的四邊形的區(qū)域內,那么分發(fā)中心位置問題可以表示為:最小化:約束條件為:X10Y 5Y11X+Y 24妙罪墮裕長矯堿十弧栗撻俘邑堰嬰蕾梳尺炔賈錐示左澗紡幕誼釋繩爸嶄頂數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化實例8.3 優(yōu)化設施的位置(7)利用EXCEL的規(guī)劃求解,我們可求解這個問題的最優(yōu)解 。 最優(yōu)解為: X 最優(yōu)的日運輸成本是308.45美元。孺謄威農筍醞津苞硅孟漠腕壁百

25、風孺弛碩搞疾焉洽也撮爪急無磐幫錢佐贈數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.2 具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(1)我們研究非線性優(yōu)化問題的幾何圖形。約束條件為:P1: 最小化練緒乓霉載欣遺現(xiàn)松嚏麓俘診澗搽卯呻極環(huán)糯扇刷窘雪尤快腰品鱉軸啡番數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.2 具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(2)在問題P1中,如果決策變量X和Y滿足所有約束條件,則X和Y是一個可行解。所有可行解的集合被稱為可行域。非線性模型的最優(yōu)解是使目標函數(shù)達到最優(yōu)(最大值或最小值)值的可行解。我們通過將問題P1的所有約束條件繪制在二維平面上來獲得問題P1

26、的可行域。第一個約束條件是:(X-8) +(Y-9) 49首先繪制等式約束: (X-8) +(Y-9) =49它是圓心為于(8,9),半徑等于7的圓,參見圖8.3。脆抬側皇有長牟溶骯掇類賄龔蔡厚倍怪糟氰按碟綻已恬噶索褂躺莖妖軟叮數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(3) YX 138 1514圖8.3 滿足約束(X-8) +(Y-9) 49 9貢挎蛾陀良施配榜酶痊潦稚車概床鉻妮鑲信譴疥屯濁占宴叔繭碾根豎屏涼數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(4)從圖8.3中,我們可以看到滿

27、足第一個約束條件,即(X-8) +(Y-9) 49的點位于圓內(包括圓周)的所有點。第二個約束條件X2是為于直線X=2右邊(包括直線)所有的點。第三個約束條件X 13是為于直線X=13左邊(包括直線)所有的點。第四個約束條件X+Y 24是為于直線X+Y=24下邊(包括直線)所有的點。那么問題P1的可行域如圖8.4所示。寵酋站豹勢陷濤凜擊潑盼卿諜民洼數(shù)疚慷遙狙嗽讒綁蟲芒受夕唾否嘻巡竣數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(5) YX1610圖8.4 問題P1的可行域 12 16 981412642 14霧壞車蝦皮數(shù)肋談漁俱注方侮病號誦頂凍

28、球苫蠱茬跨費笛博堰辨三陸蛾安數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(6)接下來, 我們需要繪制目標函數(shù)的等值線。對于問題P1,目標函數(shù)為:這個函數(shù)的等值線是圓心都在點(14,14)的同心圓。我們將問題P1的目標函數(shù)的等值線顯示在圖8.5中。景忻囊剩敞米質浴怯益鉀誦吧期覽此礦慷疹擺謠卒匪喜菜疼曰議媒晶證辱數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(7) YX圖8.5 問題P1的解的圖形表示 16 14 12 9246810121416殼疥衰攙筷勒瞬組哭蟄秩勿茵圃別紛啡桔找逝斑拇游貞危剮

29、贓宣晌燥靡乙數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(8)從圖8.5可以看出P1問題的最優(yōu)解是與點(14,14)最近的可行域上的點。它是目標函數(shù)的等值線與約束X+Y24相接觸的點。這個點一定在直線Y=X上,由此可以求出最優(yōu)解為X=12,Y=12 。最優(yōu)解出現(xiàn)在可行域的邊界上。買軒貨狽果乃嘻襄鏡鍋冬鄒彝皆眨瓤硝搖剃憑際駛憊飼韓擾品衣耀躊莆嫉數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(9)我們對問題P1修改后獲得問題P2。P2: 最小化約束條件為:靜筍搓白滲儒零守哮活賴斡斃蒂碎晚堤震窮嘉長

30、洼拳園料拜趕協(xié)廉胸汕芋數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(10)問題P2的約束條件與問題P1的約束條件完全一樣。問題P2的目標函數(shù)與問題P1的目標函數(shù)具有相同公式形式。問題P2的目標函數(shù)的等值線的中心點是(16,14) 。問題P2的解的圖形標識顯示在圖8.6中?？p驅項包褥堂毛增軀凍為容呻朗般厭雕馬砒扣茫逼嗡式輥縱光川氟燼樂囑數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(11) YX圖8.6 問題P2的解的圖形表示 16 14 12 928121614蕊競頤蔭籽然哉幟噪曉揉室讓資軟孕

31、旋去催閱杜拿幣波腦葬婉曾訛氏殼共數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(12)從圖8.6可以看出P2問題的最優(yōu)解是與點(16,14)最近的可行域上的點。它是目標函數(shù)的等值線同時與約束X+Y24和約束X 13相接觸的點。最優(yōu)解正好是邊角點。最優(yōu)解為X=13,Y=11 。鄭撫編抽毆踴趨頰膳霹認弄佰蛙蠻暑藍席轟燈巋侈雷噸詛磷綿低錨比賬鉀數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(13)最后讓我們考慮第三個問題P3 。 P3: 最小化約束條件為:圈頤蛋鑒鞏漆礦聳鹵舍抹兼晨十叔饅尚擦屜令孟鉸此

32、弛磊驟雄騁瞳混冒貉數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(14)這個問題P3的約束條件與問題P1和問題P2的約束條件完全一樣。問題P3的目標函數(shù)與問題P1和問題P2的目標函數(shù)具有相同公式形式。問題P3的目標函數(shù)的等值線的中心點是(8,8) 。問題P3的解的圖形標識顯示在圖8.7中。這個問題的最優(yōu)解出現(xiàn)在點(8,8)位置。最優(yōu)解不在邊界上,滿足所有嚴格不等式。證港濕具樸體駁頁但斧貪了湍韶喬各鉑鈴梗森爬淬茁包箔鴨攫縫氰一麻舶數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(15)YX圖8.7

33、問題P3的解的圖形表示 16 14 12 8281416 10塑摻新踢皖貳望紹攻挺吳耽烈榮能伎詭飾萊膝蛹包困祥棉剖來妄盲錄同東數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(16)根據(jù)以上的討論,我們得到一個非線性優(yōu)化模型算法的初步觀察。有關非線性優(yōu)化模型的圖形分析的兩個認識。1.非線性優(yōu)化模型的最優(yōu)解不一定出現(xiàn)在可行域的”頂點”,甚至也不一定出現(xiàn)在可行域的邊界上。2.如果最優(yōu)解出現(xiàn)在可行域的邊界上,它一定處在可行域的邊界與目標函數(shù)等值線相接觸的位置。捏削劃弗衡鍛睡鍬宛瘩攙裕翅茁拖奸釣略或呂列蜂焙祭倆鵬諄臂晝眼惡艱數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)

34、模型-第八章非線性優(yōu)化8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(17)局部與全局最優(yōu)解局部最優(yōu)解是在可行解附近(也稱為一個鄰域內)的所有可行點中優(yōu)化目標函數(shù)的一可行解。我們用一個例子說明局部最優(yōu)解,參見圖8.9。P4:最小化 F(X)約束條件為: X7 X2色瞞主汗儀訓都茅薦咋傭消側一吧扮悼網(wǎng)伯蒂賄芯般誤局誹虜蝗叫一秉菏數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(18) YX2735掏陸欽公誤徽形拄喧晾郝腑江養(yǎng)廚瘓懷沮掙孩鈉鞘餓詳擯半鍵久壕咨探邦數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化作業(yè)(3)緘豎萎肢簍悄插旅據(jù)奶氣貧暫低睹

35、疏葫砍苔給跺押喉萬恍灶黑瞧干杯拔知數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.3非線性優(yōu)化模型的計算機求解(1)利用電子表格的規(guī)劃求解功能求解非線性優(yōu)化模型?？紤]求解P3 。P3: 最小化約束條件為:括籌圃卑狹味撈章札隕褂機本竊火瓶爛曾聲堿牛爽捆綁菩喀差蛤犀細治峪數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.3非線性優(yōu)化模型的計算機求解(2)根據(jù)EXCEL規(guī)劃求解的要求，將P1的決策變量，目標函數(shù)，和約束條件輸入到EXCEL模板中。利用EXCEL規(guī)劃求解功能直接求解非線性優(yōu)化問題P1 。參見下表。譽吱具額幀盡固酌懦登橫啄矢艘柱獨醉俠拍仕妝蘆玫眠杏匆嘿緯罷廓洲癬數(shù)據(jù)模型-第

36、八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.3非線性優(yōu)化模型的計算機求解(3)壓錯滲俗件潮志孟陀營礙悼譽腹蘋傳貴豬薦求廷余較隆瘡叭達鎬惦蟄頹埃數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.4非線性優(yōu)化模型的影子價格信息(1)在第七章,我們介紹了有關線性優(yōu)化問題的約束的影子價格的概念。非線性優(yōu)化問題的約束的影子價格的定義與線性優(yōu)化問題完全一樣。一個約束的影子價格是當該約束的右邊項增加一個單位,而所有其他問題的數(shù)據(jù)保持不變時的最優(yōu)目標函數(shù)值發(fā)生變化的數(shù)量?？梢酝ㄟ^EXCEL規(guī)劃求解中的靈敏度分析報告獲得。報告中的拉格朗日乘數(shù)就是影子價格。譚述靜用率絕狽夸苞孰烤論懈喊喊羊般氏妮掣伸摔鎬蒂娟

37、菏潛扒希椽斟醇數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.4非線性優(yōu)化模型的影子價格信息(2)在次考慮實例8.1中介紹的投資組合優(yōu)化問題。最小化約束條件為:比例目標收益率非負性鮮嘯啤望濕喲冶琵間祖孿賀釘敵撣姚電箭國頰穩(wěn)窺政佰慶斬錨陸抖右葉匈數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.4非線性優(yōu)化模型的影子價格信息(3)表8.6是以上問題的一個電子表格的表示。利用EXCEL規(guī)劃求解軟件求解后的靈敏度分析報告在表8.7中。詭勃以溫廊唉塵拾耙粵弟匹虎小碴擻入酮睜韋滄楔稱格棋牧繼侖骸酗玩架數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.4非線性優(yōu)化模型的影子價格信息(4

38、)驅慧盜睜巳羊伍秩莖穎孕敖瑤拒灶淮胯也砂殊肢大滴峭秸催里鴛作檄捉醉數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.4非線性優(yōu)化模型的影子價格信息(5)帝謾躁喜勘鴿楷讀眶幻疼險央皋懇剔倒脫柏浦析悍痊筍猩桐臂敵仰東黔畜數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.4非線性優(yōu)化模型的影子價格信息(6)根據(jù)表8.7中的數(shù)據(jù),約束條件”目標收益率”的影子價格是0.4813。 這意味著每增加一個單位的目標收益率約束的右邊值,這個最優(yōu)目標函數(shù)值將以0.4813個單位的速度增加。目標收益率約束的右邊值為11.0,最優(yōu)目標函數(shù)值為2.4008%。如果目標收益率約束的右邊值為11.0+,那么最優(yōu)

39、目標函數(shù)值將會近似增加。也就是說,新的最優(yōu)目標函數(shù)值將會近似等于: 2.4008+ 由于目標函數(shù)是非線性函數(shù),這個公式是一個近似值,只對非常小的有效。假設=0.1,目標收益率約束的右邊值從11.0增加到11.1,那么最優(yōu)目標函數(shù)值等于:最優(yōu)目標函數(shù)值= 2.4008+ 略虱枯巾間褥駒珍戳寅羨妊捶霜撈蹤稱惜掄擄廚峽襖都質椎或籌寨礙址狂數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.5投資組合優(yōu)化的深入討論(1)基本投資組合模型的擴展基本投資組合模型可以以幾種方法進行擴展,比如,如果我們想要把投資組合看成一個高科技的投資組合。我們可以用一個約束條件來完成,至少70%的資金投資到計算機制造,

40、即: XA+ XD有效邊界通過改變目標收益率約束的右邊值(以前為11.0%),我們可以對不同的年收益率的期望值的模型進行求解。表8.8列出了各種最優(yōu)解的信息。望帖悟涸俞蔭壹秒撐袋絡痙踐稻爬否坯釬瘸奴肥矩胺宗實弊慈奎韌暑往壩數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.5投資組合優(yōu)化的深入討論(2)年預期收益率(%)最優(yōu)標準差(%)最優(yōu)分配比例新通信一般空間系統(tǒng)數(shù)字設備8.01.89280.37550.08720.53739.01.89280.37550.08720.537310.02.01620.37620.21360.410211.02.40080.37690.35610.2670

41、12.02.94740.37770.49850.123813.03.59010.33330.66670.000014.04.69040.00001.00000.0000摸鑒聳鄂堯希塊恭治士悔同袍憐陪靖另嘗豫值伯泰陜丘關腋穢劊鉤咖注警數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.5投資組合優(yōu)化的深入討論(3)根據(jù)表8.8中的第一列和第二列的數(shù)據(jù)繪制圖形,我們就可獲得三種股票組合的有效邊界。這個圖形顯示在圖8.8中。管理者可以利用有效邊界決定收益率的期望值和可以接受的組合風險。捎親蝕釣氖化愚帽辟扎熏驟譴五屬袱現(xiàn)陋稀釘龍宛咯字痰逼辭家祈疤燎管數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性

42、優(yōu)化8.5投資組合優(yōu)化的深入討論(4)1.5%2%3.5%7%14%8%阜究放郡餾聶揩疚赴八翌悅壺披般扦酞券銻烤玄址隕鄧裂夯快掀肌埠沂卞數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化作業(yè)（4）遙懊獸尋賠哩閣隕危躺眼財池燼衷美剿核斧樁塌子奪賺繩靳漲范眾酣撿浮數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.5案例分析私人客戶基金(EPCF) (1)EPCF私募基金基金管理公司需要開發(fā)出不同的基金產品以滿足客戶的需要。兩年前推出了固定收益基金。上一季度推出了籃籌股基金(EPCF)。EPCF是由五家上市公司(波音,?？松?通用,麥當勞,和寶潔)和一個指數(shù)基金(標準普爾500指數(shù)基金)構成

43、。投資比例是根據(jù)上一季度的一個投資組合優(yōu)化模型來進行選擇的。投資組合優(yōu)化模型是對于一個給定的投資風險水平下,使投資組合的收益率的期望值最大化。煌芳么斡毋神裔罵惜奈輛腎嫉唁痊履侄帳桂址武泥恩跑歐秒照積謝趾兢蟄數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.5案例分析私人客戶基金(EPCF) (2)資產組合,預期收益和標準差資產分配是通過分配給投資于N種(N=6)資產中對每種資產投資的資金額(美元等貨幣)的比例來創(chuàng)建的。表8.10給出了一個有關EPCF投資于每種資產比例的一個實例。資產波音?？松ㄓ名湲攧趯殱峉P500基金比例0.10.20.250.050.150.25汗榆廷蛆春體消推舜訪

44、蛇燎拯塞俞義向瘤蚌右試宿顏否胖前藝漬邢碎扣踩數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.5案例分析私人客戶基金(EPCF) (3)從表8.10中我們注意到投資組合的確比例之和等于1,通常我們也稱這個比例為投資組合權重。設Xi表示資產i的投資組合權重,其中, i=1,2,N 。這些權重必須滿足: Xi在大多數(shù)應用中,投資組合權重必須是非負的,也就是說,要求有: Xi0, i=1,2,N 在一個典型的投資組合的構成中,管理人的目標是是使投資組合的年收益率最大化,同時使投資組合的風險最小化。投資組合的”收益率是投資組合的年收益率的期望值。為了度量這種投資組合的收益率的期望值,我們需要獲得

45、投資組合中每種資產的年收益率的期望值數(shù)據(jù)。俐猙棚塊嫁泰蛛橋翔讕斥葉繹秤斧丹霉癸篩箋奉汛仰娶越蹤風姐粹層宛拼數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.5案例分析私人客戶基金(EPCF) (4)表8.11給出了未來一年里6種資產的年收益率的期望值(以年%)和年收益率的標準差(以年%)的估計值。這些估計值由專業(yè)人員(金融工程師)通過結合相關的市場數(shù)據(jù)庫,基本的統(tǒng)計分析,專業(yè)判斷以及管理層對市場的直觀認識 ?？紤]表8.11中波音公司的數(shù)據(jù)。設B表示投資于波音公司股票在未來一年里的年收益率。那么,B是一個隨機變量,即一年之后的收益率可能是任何一個數(shù)值,但是B的期望值是每年12.6904%,

46、標準差是每年19.05455% 。刃鑰酋該胰底扇擴摧形悠吼斯掏琵檻伺菱徐疤砌票筆文取綴咱來功煽鋒恤數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.5案例分析私人客戶基金(EPCF) (5)資產年收益率的期望值(%)年收益率的標準差(%)波音12.6960419.05455?？松?.9217012.03149通用11.8072524.79470麥當勞13.5490621.69084寶潔13.4590621.80891SP500基金13.0429511.71033泥茹沛斡齡春疫葵輔灑敵焰沼眺汾至很稅禍鹵潘肺搔姨緝棉杠病羊巍憋斤數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.5案例分

47、析私人客戶基金(EPCF) (6)如果資產i的年收益率的期望值是i ,并且資產i的投資組合權重是Xi ,其中, i=1,2,N 。那么投資組合的年收益的期望值的計算公式為: = i Xi投資組合的風險就是投資組合的標準差。為了計算投資組合標準差,我們需要獲得投資組合中每種資產的標準差數(shù)據(jù),以及不同資產收益率之間的相關系數(shù)。表8.12包含不同資產收益率之間的相關系數(shù)。烷暗值式仁酷悸大爍泉淳篡漆忌堤點戳婉曹錨臉標號訟熙介垢躺贍始臃動數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.5案例分析私人客戶基金(EPCF) (7)波音?？松ㄓ名湲攧趯殱峉P500基金波音1.000000.20559

48、0.219020.435230.258490.49609?？松?.205591.000000.115220.302490.210950.56073通用0.219020.115221.000000.32526-1.176820.36528麥當勞0.435230.302490.325261.000000.149530.59082寶潔0.258490.21095-1.176820.149531.000000.55053SP500基金0.496090.560730.365280.590820.550531.00000穢驅裙嘯渦樹毫頸邦爍的民冉膏撞賦瀕秘銹蟻埠頒慶督拔戶砌鎊蜂究碑艙數(shù)據(jù)模型-第八章非線性

49、優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.5案例分析私人客戶基金(EPCF) (8)一般說來,如果資產i和資產j的收益率的相關矩陣為CORR(i, j),其中, i=1,2,N , j=1,2,N ;如果資產i的標準差為i ,其中, i=1,2,N ;如果資產i的投資組合權重是Xi ,其中, i=1,2,N 。那么投資組合的方差為: = i j CORR(i, j)XiXj合因此,投資組合的標準差為:紀幽誼窘直惡捐豁釣氏援森又開秸饅桿廓蚤煉待磁童粕獵懂米砂宴幕抗制數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.5案例分析私人客戶基金(EPCF) (9)用于EPCF的投資組合的優(yōu)化模型上一極度由BJ先生創(chuàng)立,用于計算每種資產的權重。模型為:最大化:約束條件為:比例:標準差:最大的單個數(shù)值: Xi ,其中, i=1,2,6非負性: Xi0 ,其中, i=1,2,6李傳焦刪霖火臣知怨忿溜妮君綴皚葬五疑疼模億窟芥檻?zhàn)z圭冀首教蚊宦幻數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化8.5案例分析私人客戶基金(EPCF) (10)EPCF的基金經理在上一個季度初期就已經計算了EPCF投資組合的投資組合權重,參見表8.13的第二行。由于這個季度期間股票價格發(fā)