高中數(shù)學(xué)必修二 6.3.1 平面向量的基本定理（含答案）

1、 6.3.1平面向量的基本定理導(dǎo)學(xué)案編寫：廖云波 初審：孫銳 終審：孫銳 廖云波【學(xué)習(xí)目標】1.理解平面向量基本定理的內(nèi)容，了解向量的一組基底的含義.2.在平面內(nèi)，當(dāng)一組基底選定后，會用這組基底來表示其他向量.3.會應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問題【自主學(xué)習(xí)】知識點1 平面向量基本定理(1)定理：如果e1 HYPERLINK ，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2.(2)基底：把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底知識點2 兩向量的夾角與垂直(1)夾角：已知兩個非零向量a和b，如圖，作eq

2、 o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，則AOB (0180)叫做向量a與b的夾角范圍：向量a與b的夾角的范圍是0，180當(dāng)0時，a與b同向當(dāng)180時，a與b反向(2)垂直：如果a與b的夾角是90，則稱a與b垂直，記作ab.【合作探究】探究一 基底的概念 【例1】下面說法中，正確的是()一個平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；零向量不可作為基底中的向量；對于平面內(nèi)的任一向量a和一組基底e1，e2，使ae1e2成立的實數(shù)對一定是唯一的A BC D答案B解析因為不共線的任意兩個向量均可作為平面

3、的一組基底，故正確，不正確；由平面向量基本定理知正確綜上可得正確歸納總結(jié)：根據(jù)平面向量基底的定義知，判斷能否作為基底問題可轉(zhuǎn)化為判斷兩個向量是否共線的問題，若不共線，則它們可以作為一組基底；若共線，則它們不能作為一組基底.【練習(xí)1】設(shè)e1，e2是平面內(nèi)所有向量的一個基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是( )Ae1e2和e1e2 B3e14e2和6e18e2Ce12e2和2e1e2 De1和e1e2答案B解析：在B中，因為6e18e22(3e14e2)，所以(3e14e2)(6e18e2)所以3e14e2和6e18e2不能作為基底，其他三個選項中的兩組向量都不平行，故都可以作為一組基底探究二

4、 用基底表示向量【例2】如圖所示，在OAB中，eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，M、N分別是邊OA、OB上的點，且eq o(OM,sup6()eq f(1,3)a，eq o(ON,sup6()eq f(1,2)b，設(shè)eq o(AN,sup6()與eq o(BM,sup6()交于點P，用向量a、b表示eq o(OP,sup6().答案eq o(OP,sup6()eq f(1,5)aeq f(2,5)b.分析利用“表示方法的唯一性”確定參數(shù)，進而確定1，2.解eq o(OP,sup6()eq o(OM,sup6()eq o(MP,sup6()，eq o(OP,sup6

5、()eq o(ON,sup6()eq o(NP,sup6()，設(shè)eq o(MP,sup6()meq o(MB,sup6()，eq o(NP,sup6()neq o(NA,sup6()，則eq o(OP,sup6()eq o(OM,sup6()meq o(MB,sup6()eq f(1,3)am(beq f(1,3)a)eq f(1,3)(1m)amb，eq o(OP,sup6()eq o(ON,sup6()neq o(NA,sup6()eq f(1,2)(1n)bna.a與b不共線，eq blcrc (avs4alco1(f(1,3)1mn，,f(1,2)1nm，)eq blcrc (avs4

6、alco1(mf(2,5)，,nf(1,5).)eq o(OP,sup6()eq f(1,5)aeq f(2,5)b.歸納總結(jié)：將兩個不共線的向量作為基底表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運用向量的線性運算法則對待求向量不斷轉(zhuǎn)化，直至用基底表示為止；另一種是列向量方程組，利用基底表示向量的唯一性求解.【練習(xí)2】如圖所示，已知在平行四邊形ABCD中，E、F分別是BC、DC邊上的中點，若eq o(AB,sup6()a，eq o(AD,sup6()b，試以a，b為基底表示eq o(DE,sup6()、eq o(BF,sup6().答案eq o(DE,sup6()=aeq f(1,2)b; eq o

7、(BF,sup6()beq f(1,2)a解：四邊形ABCD是平行四邊形，E、F分別是BC、DC邊上的中點，eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()2eq o(BE,sup6()，eq o(CD,sup6()eq o(BA,sup6()2eq o(CF,sup6()，eq o(BE,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()eq f(1,2)b，eq o(CF,sup6()eq f(1,2)eq o(CD,sup6()eq f(1,2)eq o(BA,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)a.eq o(DE,sup6()eq

8、 o(DA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BE,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BE,sup6()baeq f(1,2)baeq f(1,2)b.eq o(BF,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CF,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(CF,sup6()beq f(1,2)a.探究三 平面向量基本定理的應(yīng)用【例3】如圖所示，在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD為BC邊上的高，M為AD的中點，若eq o(AM,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()，則的值為()

9、A.eq f(5,3) B.eq f(1,2)C.eq f(1,2) D.eq f(2,3)答案D解析在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD為BC邊上的高，在ABD中，BDeq f(1,2)AB1.又BC3，BDeq f(1,3)BC，eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6().M為AD的中點，eq o(AM,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,6)eq o(BC,sup6().eq o(AM

10、,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()，eq f(1,2)，eq f(1,6)，eq f(2,3).歸納總結(jié)：應(yīng)用平面向量基本定理解題時，關(guān)鍵在于選取合適的基底，要注意與已知條件的聯(lián)系.【練習(xí)3】如圖，在ABC中，點M是BC的中點，點N在AC上，且AN2NC，AM與BN相交于點P，求AP : PM與BP : PN的值答案 AP:PM4:1，BP:PN3:2解：設(shè)eq o(BM,sup6()e1，eq o(CN,sup6()e2，則eq o(AM,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(CM,sup6()3e2e1，eq o(BN,sup6()eq o(

11、BC,sup6()eq o(CN,sup6()2e1e2.因為點A，P，M和點B，P，N分別共線，所以存在實數(shù)，使得eq o(AP,sup6()eq o(AM,sup6()e13e2，eq o(BP,sup6()eq o(BN,sup6()2e1e2.故eq o(BA,sup6()eq o(BP,sup6()eq o(PA,sup6()eq o(BP,sup6()eq o(AP,sup6()(2)e1(3)e2.又eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()2e13e2，由平面向量基本定理，得eq blcrc (avs4alco1(22，,33，)解得e

12、q blcrc (avs4alco1(f(4,5)，,f(3,5)，)所以eq o(AP,sup6()eq f(4,5)eq o(AM,sup6()，eq o(BP,sup6()eq f(3,5)eq o(BN,sup6()，所以AP:PM4:1，BP:PN3:2.課后作業(yè)A組 基礎(chǔ)題一、選擇題1等邊ABC中，eq o(AB,sup6()與eq o(BC,sup6()的夾角是()A30 B45 C60 D120答案D2若e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是()Ae1e2，e2e1 B2e1e2，e1eq f(1,2)e2C2e23e1,6e14e2 De1e2，

13、e1e2答案D3下面三種說法中，正確的是()一個平面內(nèi)只有一對 HYPERLINK 不共線向量可作為表示該平面所有向量的基底；一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可作為該平面所有向量的基底；零向量不可作為基底中的向量A B C D答案B4若a、b不共線，且ab0(，R)，則()Aa0，b0 B0C0，b0 Da0，0答案B5.如圖所示， HYPERLINK 平面內(nèi)的兩條直線OP1和OP2將平面分割成四個部分，(不包括邊界)，若eq o(OP,sup6()aeq o(OP1,sup6()beq o(OP2,sup6()，且點P落在第部分，則實數(shù)a，b滿足()Aa0，b0 Ba0，b0Ca0 Da0，b

14、0答案C解析當(dāng)點P落在第部分時，eq o(OP,sup6()按向量eq o(OP1,sup6()與eq o(OP2,sup6()分解時，一個與eq o(OP1,sup6()反向，一個與eq o(OP2,sup6()同向，故a0.6下列說法中，正確說法的個數(shù)是( )在ABC中，eq o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()可以作為基底；能夠表示一個平面內(nèi)所有向量的基底是唯一的；零向量不能作為基底A0 B1 C2 D3答案C解析：正確，錯誤7如圖，設(shè)O是ABCD兩對角線的交點，有下列向量組：eq o(AD,sup6()與eq o(AB,sup6()；eq o(DA,sup6()與eq

15、o(BC,sup6()；eq o(CA,sup6()與eq o(DC,sup6()；eq o(OD,sup6()與eq o(OB,sup6().其中可作為該平面內(nèi)所有向量基底的是( )A BC D答案B解析：eq o(AD,sup6()與eq o(AB,sup6()不共線，eq o(DA,sup6()eq o(BC,sup6()，eq o(CA,sup6()與eq o(DC,sup6()不共線，eq o(OD,sup6()eq o(OB,sup6()，則可以作為該平面內(nèi)所有向量的基底8M為ABC的重心，點D，E，F(xiàn)分別為三邊BC，AB，AC的中點，則eq o(MA,sup6()eq o(MB,

16、sup6()eq o(MC,sup6()等于()A6eq o(ME,sup6() B6eq o(MF,sup6() C0 D6eq o(MD,sup6()答案C解析eq o(MA,sup6()eq o(MB,sup6()eq o(MC,sup6()eq o(MA,sup6()2eq o(MD,sup6()eq o(MA,sup6()eq o(AM,sup6()0.二、填空題9.設(shè)e1、e2是不共線的兩個向量，給出下列四組向量：e1與e1e2；e12e2與e22e1；e12e2與4e22e1；e1e2與e1e2.其中能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的序號是_(寫出所有滿足條件的序號)答案解析對于4

17、e22e12e14e22(e12e2)，e12e2與4e22e1共線，不能作為基底10.如圖，已知eq o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b，eq o(BD,sup6()3eq o(DC,sup6()，用a，b表示eq o(AD,sup6()，則eq o(AD,sup6()_.答案eq f(1,4)aeq f(3,4)b解析eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(3,4)eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(3,4)(eq o(AC,sup6()eq o(AB,su

18、p6()eq f(1,4)eq o(AB,sup6()eq f(3,4)eq o(AC,sup6()eq f(1,4)aeq f(3,4)b.11設(shè)向量m2a3b，n4a2b，p3a2b，若用m，n表示p，則p_.答案eq f(7,4)meq f(13,8)n解析設(shè)pxmyn，則3a2bx(2a3b)y(4a2b)(2x4y)a(3x2y)b，得eq blcrc (avs4alco1(2x4y3,3x2y2)eq blcrc (avs4alco1(xf(7,4)，,yf(13,8).)12在ABC中，eq o(AB,sup6()c，eq o(AC,sup6()b.若點D滿足eq o(BD,su

19、p6()2eq o(DC,sup6()，則eq o(AD,sup6()_.(用b、c表示)答案eq f(2,3)beq f(1,3)c解析eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(2,3)(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AC,sup6()eq f(2,3)beq f(1,3)c.13已知向量e1、e2不共線，實數(shù)x、y滿足(3x4y)e1(2x

20、3y)e26e13e2，則xy3.答案3解析：e1、e2不共線，eq blcrc (avs4alco1(3x4y6，,2x3y3，)解得eq blcrc (avs4alco1(x6，,y3，)xy3.14.如圖，平面內(nèi)有 HYPERLINK 三個向量eq o(OA,sup6()、eq o(OB,sup6()、eq o(OC,sup6().其中eq o(OA,sup6()與eq o(OB,sup6()的夾角為120，eq o(OA,sup6()與eq o(OC,sup6()的夾角為30，且|eq o(OA,sup6()|eq o(OB,sup6()|1，|eq o(OC,sup6()|2eq r

21、(3)，若eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(，R)，則的值為_答案6解析如圖，以O(shè)A、OB所在射線為鄰邊，OC為對角線作平行四邊形ODCE，則eq o(OC,sup6()eq o(OD,sup6()eq o(OE,sup6().在RtOCD中，|eq o(OC,sup6()|2eq r(3)，COD30，OCD90，|eq o(OD,sup6()|4，|eq o(CD,sup6()|2，故eq o(OD,sup6()4eq o(OA,sup6()，eq o(OE,sup6()2eq o(OB,sup6()，即4，2，6.15設(shè)D，E分別是A

22、HYPERLINK BC的邊AB，BC上的點，ADeq f(1,2)AB，BEeq f(2,3)BC，若eq o(DE,sup6()1eq o(AB,sup6()2eq o(AC,sup6()(1，2為實數(shù))，則12的值為_答案eq f(1,2)解析易知eq o(DE,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,6)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AC,sup6().所以12e

23、q f(1,2).三、解答題16.如圖所示，在ABC中，點M為AB的中點，且ANeq f(1,2)NC，BN與CM相交于點E，設(shè)eq o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b，試以a，b為基底表示eq o(AE,sup6().解eq o(AN,sup6()eq f(1,3)eq o(AC,sup6()eq f(1,3)b，eq o(AM,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)a，由N，E，B三點共線知存在實數(shù)滿足eq o(AE,sup6()eq o(AN,sup6()(1)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)b(1)a.由C，E，

24、M三點共線知存在實數(shù)滿足eq o(AE,sup6()eq o(AM,sup6()(1)eq o(AC,sup6()eq f(,2)a(1)b.eq blcrc (avs4alco1(1f(,2)，,1f(,3)，)解得eq blcrc (avs4alco1(f(3,5)，,f(4,5).)eq o(AE,sup6()eq f(2,5)aeq f(1,5)b.17.如圖所示，在ABC中，點M是BC的中點，點N在邊AC上，且AN2NC，AM與BN相交于點P，求證：APPM41.證明設(shè)eq o(AB,sup6()b，eq o(AC,sup6()c，則eq o(AM,sup6()eq f(1,2)be

25、q f(1,2)c，eq o(AN,sup6()eq f(2,3)eq o(AC,sup6()，eq o(BN,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(AN,sup6()eq f(2,3)cb.eq o(AP,sup6()eq o(AM,sup6()，eq o(BP,sup6()eq o(BN,sup6()，存在，R，使得eq o(AP,sup6()eq o(AM,sup6()，eq o(BP,sup6()eq o(BN,sup6()，又eq o(AP,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(AB,sup6()，eq o(AM,sup6()eq o(BN,sup6()eq

26、o(AB,sup6()，由eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)bf(1,2)c)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)cb)b得eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(2,3)cb.又b與c不共線eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)1，,f(1,2)f(2,3)0.)解得eq blcrc (avs4alco1(f(4,5)，,f(3,5).)故eq o(AP,sup6()eq f(4,5)eq o(AM,sup6()，即APPM41.18在平行四邊形ABCD中，eq o(

27、AB,sup6()a，eq o(AD,sup6()b，(1)如圖1，如果E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點，試用a，b分別表示eq o(BF,sup6()，eq o(DE,sup6().(2)如圖2，如果O是AC與BD的交點，G是DO的中點，試用a，b表示eq o(AG,sup6().解(1)eq o(BF,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CF,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(CD,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)ab.eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()

28、eq o(CE,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()aeq f(1,2)b.(2)eq o(BD,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()ba，O是BD的中點，G是DO的中點，eq o(BG,sup6()eq f(3,4)eq o(BD,sup6()eq f(3,4)(ba)，eq o(AG,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BG,sup6()aeq f(3,4)(ba)eq f(1,4)aeq f(3,4)b.B組 能力提升一、選擇題1.如圖，在梯形ABCD中，AB/CD，ABAD，AB2AD2DC

29、，E是BC的中點，F(xiàn)是AE上一點，2，則（）ABCD【答案】C【解析】由梯形ABCD中，ABCD，ABAD，AB2AD2DC，E是BC的中點，F(xiàn)是AE上一點，2，則；故選：C2.在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若，則（ ）ABCD【答案】B【解析】如圖，可知=，選B.3.中，、分別是、上的點，且，與交于點，則下列式子正確的是（ ）ABCD【答案】D【解析】如下圖所示：連接，則，因此，.故選：D.4.如圖，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC，E為BC邊上一點，BC=3EC，F(xiàn)為AE的中點，則BF=（ ）A13AB-23ADB-2

30、3AB+13ADC-13AB+23ADD23AB-13AD【答案】B【解析】由圖可知：BF=12BA+12BE，BE=23BC，BC=ACAB，AC=AD+DC，DC=12AB，BF=12AB+13（AD+12ABAB）=23AB+13AD，故選B5.如圖，正方形中，是的中點，若，則（ ）ABCD【答案】B【解析】以為坐標原點建立平面直角坐標系，設(shè)正方形邊長為，由此，故，解得.故選B.6.如圖四邊形ABCD為平行四邊形，若，則的值為（ ）ABCD1【答案】D【解析】選取為基底，則，又，將以上兩式比較系數(shù)可得故選D7.如圖，在平行四邊形中，為的中點，為的中點，若，則( )ABCD【答案】C【解析】因為為的中點，所以，而，即有，又，所以故選：C二、填空題8.如圖，在中，點在線段上移動（不含端點），若，則的取值范圍是