高中數(shù)學(xué)必修二 6.2.4 向量的數(shù)量積 第1課時 向量的數(shù)量積的物理背景和數(shù)量積 導(dǎo)學(xué)案

1、6.2.4 向量的數(shù)量積第1課時 向量的數(shù)量積的物理背景和數(shù)量積1.理解并掌握平面向量的數(shù)量積的定義、投影向量；2.會求平面向量的數(shù)量積、投影向量；3.熟記平面向量數(shù)量積的性質(zhì)；4.能運(yùn)用數(shù)量積的性質(zhì)解決問題；1.教學(xué)重點：平面向量數(shù)量積的定義及投影向量；2.教學(xué)難點：平面向量數(shù)量積的定義的理解和對數(shù)量積的應(yīng)用。1向量的夾角的定義：已知兩個非零向量，O是平面上的任意一點，作則叫做向量的 。顯然，當(dāng)時， ；當(dāng)時， 。2.向量的數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，我們把數(shù)量 叫做a與b的 (或 )，記作 ，即 規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為 投影向量的定義：如圖(1)設(shè)是兩個零向量,

2、我們考慮如下的變換:過AB的起點A和終點B,分別作CD所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到，我們稱上述變換為向量在向量投影 (project).,叫做向量在向量上的 。如圖(2),我們可以在平面內(nèi)任取一點O,作，過點M作直線ON的垂線,垂足為M1，則 就是向量在向 量上的 。4.向量的數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a與b都是非零向量，為a與b的夾角(1)ab (2)當(dāng)a與b同向時，ab ；當(dāng)a與b反向時，ab (3)aa 或|a|eq r(aa) .(4)|ab| .探索新知思考1： 一個物體在力F 的作用下產(chǎn)生的位移s，那么力F 所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計算？思考2：功是一個矢量還是標(biāo)量？它的大小由那些量確定

3、？1.向量的夾角的定義：已知兩個非零向量，O是平面上的任意一點，作則叫做向量的 。顯然，當(dāng)時， ；當(dāng)時， 。如果的夾角是，我們就說垂直，記作。思考3：如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個一般向量，其結(jié)果又該如何表述？2.數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做向量的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為 。說明：（1）兩向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量，符號由夾角決定.中間的“”在向量運(yùn)算中不能省略掉，也不能換成“”；運(yùn)用數(shù)量積公式時，一定注意兩向量的夾角范圍是 0，180。思考4.向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候為正，什么時候為負(fù)？結(jié)論：

4、數(shù)量積符號由的符號所決定。例1.已知的夾角，求。投影向量的定義：如圖(1)設(shè)是兩個零向量,我們考慮如下的變換:過AB的起點A和終點B,分別作CD所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到，我們稱上述變換為向量在向量投影 (project).,叫做向量在向量上的 。如圖(2),我們可以在平面內(nèi)任取一點O,作，過點M作直線ON的垂線,垂足為M1，則 就是向量在向 量上的 。探究1：如圖，設(shè)與方向相同的單位向量為，與的夾角為，那么與之間有怎樣的關(guān)系？探究2：兩個非零向量相互平行或垂直時，投影向量具有特殊性，你能得出向量的數(shù)量積的特殊性質(zhì)嗎？牛刀小試：已知在當(dāng)時，試判斷的形狀。1在ABC中，BC5，A

5、C8，C60，則eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()()A20 B20 C20eq r(3) D20eq r(3)2設(shè)e1，e2是兩個平行的單位向量則下面的結(jié)果正確的是()Ae1e21Be1e21C|e1e2|1D|e1e2|13在ABC中，eq o(AB,sup6()a，eq o(BC,sup6()b，且ba0，則ABC是()A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D無法確定4.已知為單位向量，且的夾角為，求向量在 上的投影向量。這節(jié)課你的收獲是什么？ 參考答案：思考1.思考2.標(biāo)量，大小由力、位移及它們的夾角確定。思考3.功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。思考4.當(dāng)0 90時，為正；當(dāng)90 180時，為負(fù)；當(dāng) =90時，為零。例1.探究1.。綜上可得，對于任意的，都有。探究2.設(shè)是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則：（1），（3）當(dāng)向量共線同向時，； 當(dāng)向量共線反向時，。特別地，或。 （4）牛刀小試：當(dāng)為鈍角三角形；當(dāng)為直角三角形。達(dá)標(biāo)檢測1.【解析】eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()|eq o(BC,sup6()|eq o(CA,sup6()|cos 12058eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,