高中數(shù)學必修二 6.1平面向量的概念

1、6.1平面向量的概念一二三一、向量的概念1.思考(1)在物理上,位移和距離這兩個量有什么不同?提示位移既有大小又有方向,距離只有大小沒有方向.(2)力、質量、身高、長度、速度、加速度、面積、體積,這些量中,哪些量既有大小又有方向,哪些量只有大小沒有方向?提示力、速度、加速度既有大小,又有方向;質量、身高、長度、面積、體積這些量只有大小沒有方向.2.填空(1)向量:數(shù)學中,我們把既有大小,又有方向的量叫做向量.(2)數(shù)量:把那些只有大小,沒有方向的量,稱為數(shù)量.一二三二、向量的幾何表示1.思考(1)物理中是如何表示力這一向量的?請同學們畫示意圖:先畫一個豎直向下,大小為20 N的力;再畫一個水平

2、向右,大小為30 N的力(用1 cm的長度表示10 N).(2)我們曾經(jīng)在單位圓中用有向線段定義了三角函數(shù)線,那么線段與有向線段相同嗎?提示線段與有向線段不同,有向線段有長度、方向和起點與終點,而線段則只關乎端點與長度.一二三(3)向量可以用有向線段表示,那么向量與有向線段一樣嗎?有什么區(qū)別?提示向量與有向線段是有區(qū)別的:向量只有大小和方向兩個要素,與起點無關,只要大小和方向相同,則這兩個向量就是相同的向量;有向線段有起點、大小和方向三個要素,起點不同,盡管大小和方向相同,也是不同的有向線段.(4)如何用符號表示向量?提示用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示,例如用字母a,b,c,表示(印

3、刷用粗黑體表示),手寫用 來表示.一二三2.填空(1)具有方向的線段叫做有向線段.通常在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向.以A為起點、B為終點的有向線段記作 ,起點要寫在終點的前面.(2)有向線段的三個要素:起點、方向、長度.知道了有向線段的起點、方向和長度,它的終點就唯一確定了.(4)長度為0的向量叫做零向量,記作0.長度等于1個單位長度的向量,叫做單位向量.一二三3.做一做(1)下列說法正確的是()A.身高是一個向量B.溫度有零上溫度和零下溫度之分,故溫度是向量C.有向線段由方向和長度兩個要素確定(2)下列說法正確的是()A.向量的模是一個正實數(shù)B.零向量沒有方向C.單位向量的模等于1

4、個單位長度D.零向量就是實數(shù)0一二三答案:(1)D(2)C解析:(1)有向線段 的起點與終點互換,其方向相反,長度相等,故D項正確.(2)向量的模是一個非負實數(shù);零向量的方向是任意的,但它不是實數(shù)0,故A,B,D均錯,只有C項正確.一二三三、相等向量與共線向量1.思考(1)向量由其模和方向所確定.對于兩個向量a,b,就其模等與不等,方向同與不同而言,有哪幾種可能情形?提示有四種情形:模相等,方向相同;模相等,方向不相同;模不相等,方向相同;模不相等,方向不相同.一二三(2)如圖,a,b,c是一組平行向量,直線l是與a平行的一條直線,在l上任取一點O,你能把向量a,b,c都移動到直線l上,并且以

5、O為起點嗎?由此你會得出怎樣的結論?提示作圖如圖所示,可知任一組平行向量都可以移動到同一直線上,因此,平行向量也叫做共線向量.一二三(3)我們知道向量可以用有向線段來表示,那么,如何用有向線段表示兩個相等向量?提示任意兩個相等的非零向量,都可用同一條有向線段來表示,并且與有向線段的起點無關.在平面上,只要是兩個長度相等且指向一致的有向線段就表示同一個向量,因為向量完全由它的方向和模確定.(4)相等向量與平行向量有什么關系?提示相等向量一定是平行向量,但平行向量不一定是相等向量.(5)向量的平行、共線與有向線段的平行、共線有什么區(qū)別和聯(lián)系?提示兩向量平行,對應的有向線段可能平行,也可能共線.兩向

6、量的共線和兩向量平行是同一概念,但有向線段的平行和共線卻意義不同.一二三2.填空(1)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a,b平行,通常記作ab.(2)我們規(guī)定:零向量與任意向量平行,即對于任意向量a,都有0a.(3)長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.兩個向量a與b相等,記作a=b.一二三3.做一做下列說法正確的是()B.與實數(shù)類似,對于兩個向量a,b有a=b,ab,ab三種關系C.兩個向量平行時,表示向量的有向線段所在的直線一定平行D.若兩個向量是共線向量,則向量所在的直線可以平行,也可以重合答案:D解析:由相等向量和平行向量的定義知,D正確,A,B,C不正確.探究一探究二探究三

7、思維辨析隨堂演練平面向量的相關概念例1已知下列命題:若|a|=0,則a為零向量;若|a|=|b|,則a=b;若ab,則|a|=|b|;所有單位向量都是相等向量;兩個有共同起點,而且相等的向量,其終點必相同.其中正確的有()A.2個B.3個C.4個D.5個答案:A解析:正確;由|a|=|b|得a與b的模相等,但不確定方向,故錯誤;錯誤;所有單位向量的模都相等,都為1,但方向不確定,故不正確;正確.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟 明確向量及其相關概念的聯(lián)系與區(qū)別(1)區(qū)分向量與數(shù)量.向量既強調大小,又強調方向,而數(shù)量只與大小有關.(2)明確向量與有向線段的區(qū)別.有向線段有三要素,起點、

8、方向、長度.只要起點不同,另外兩個要素相同也不是同一條有向線段,但決定向量的要素只有兩個,大小和方向,與表示向量的有向線段的起點無關.(3)零向量和單位向量都是通過模的大小來確定的,零向量的方向是任意的.(4)平行向量也叫共線向量,當兩共線向量的方向相同且模相等時,兩向量為相等向量.(5)向量之間不能比較大小,但它們的?？梢员容^大小.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓練1給出以下說法:直角坐標平面上的x軸、y軸都是向量;零向量的長度為零,方向是任意的;若a,b都是單位向量,則a=b;有向線段就是向量;單位向量大于零向量.其中正確說法的序號是.答案:解析:直角坐標平面上的x軸、y軸是數(shù)軸,

9、但不是向量,故錯誤;由零向量的定義可知正確;若a,b都是單位向量,則它們的模相等,但不一定方向相同,故錯誤;有向線段可以用來表示向量,但它不是向量,故錯誤;單位向量的模大于零向量的模,但不能說單位向量大于零向量,向量之間不能比較大小,故錯誤.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練平面向量的表示例2在如圖所示的坐標紙上(每個小方格的邊長均為1),用直尺和圓規(guī)畫出下列向量:分析先確定起點,再根據(jù)大小和方向確定出終點,即可畫出向量. 探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟 1.準確畫出向量的方法是先確定向量的起點,再確定向量的方向,最后根據(jù)向量的大小確定向量的終點.2.注意事項:書寫有向線段時,要注

10、意起點和終點的不同;在書寫字母表示時不要忘了字母上的箭頭.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓練2如圖,B,C是線段AD的三等分點,分別以圖中各點為起點和終點,可以寫出個向量.答案:12 解析:由向量的幾何表示可知,可以寫出12個向量,它們分別是探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練相等向量與共線向量角度1相等向量與共線向量的內(nèi)在關系例3判斷下列命題是否正確,說明理由.(3)兩個共線向量,若它們的起點不同,則終點也一定不同;(4)若向量a與向量b平行,則a與b的方向相同或相反;(5)兩個起點相同而且相等的向量,其終點必相同;(6)兩個有共同終點的向量,一定是共線向量.分析根據(jù)共線向量、相等向量

11、的概念進行判斷分析.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練解:(1)錯誤,共線向量也叫做平行向量,所以兩個共線向量不一定在同一條直線上;(3)錯誤,共線向量的長度不一定相等,當它們起點不同時,終點可以相同;(4)錯誤,零向量的方向是任意的,而零向量與任意向量都平行;(5)正確,由相等向量的定義可知;(6)錯誤,任意兩個向量的終點都可以是相同的,可以不是共線向量.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練角度2向量在平面幾何中的應用 探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟 1.尋找相等向量:先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量,再確定哪些同向共線.2.尋找共線向量

12、:先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段,再找同向與反向的向量.注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點,起點為終點的向量.3.對于共線向量所在直線的位置關系的判斷,要注意直線平行或重合兩種情況.4.證明或判斷線段相等,只需證明或判斷相應向量的長度(模)相等.5.證明線段平行,先證明相應的向量共線,再說明線段不共線.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓練3(1)(多選題)給出下列命題,其中正確的是()A.兩個向量,當且僅當它們的起點相同,終點相同時才相等B.若平面上所有單位向量的起點移到同一個點,則其終點在同一個圓上D.若a=b,b=c,則a=c(2)如圖,已知四邊形ABCD

13、中,M,N分別是BC,AD的中點,探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練(1)答案:BCD解析:兩個向量相等只要模相等且方向相同即可,而與起點和終點的位置無關,故A不正確;單位向量的長度為1,當所有單位向量的起點在同一點O時,終點都在以O為圓心,1為半徑的圓上,故B正確;C、D顯然正確.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練關于一道向量模的問題的辨析典例已知A1,A2,A8是圓O上的八個等分點,則在以A1,A2,A8以及圓心這九個點中的任意兩點為起點與終點的向量中,模等于半徑長的向量有多少個?模等于半徑長 倍的向量有多少個?探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究

14、二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓練如圖,四邊形ABCD是邊長為3的正方形,把各邊三等分后,共有16個交點,從中選取2個交點組成向量,則與 平行且長度為2 的向量個數(shù)是.答案:8解析:圖中有4個邊長為2的正方形,每個正方形中有2個符合條件的向量.共計8個.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練1.下列各量中是向量的是()A.時間B.速度C.面積D.長度答案:B解析:速度既有大小又有方向,是向量,其余均是數(shù)量.2.給出命題:零向量的長度為零,方向是任意的;若a,b都是單位向量,則a=b;向量 相等;若兩個向量是相等向量,則它們一定是共線向量.以上命題中,正確命題的序號是()A.B.C.D.答案:A解析:根據(jù)零向量的定義可知正確;根據(jù)單位向量的定義,單位向量的模相等,但方向不同,