題型遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式習(xí)題

1、高考遞推數(shù)列題型分類歸納分析各種數(shù)列問(wèn)題在很多情況下，就是對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的求解。特別是在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問(wèn)題中，數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問(wèn)題常常是解決數(shù)列難題的瓶頸。我此刻總結(jié)出幾種求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，希望能對(duì)大家有幫助。種類1an1anf(n)解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)變成an1anf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。1例1.已知數(shù)列an滿足a，12anan12n1n，求a。n變式:已知數(shù)列an中a1，且a2k=a2kK,a2k+1=a2k+3k,此中k=1,2,3,.1+(1)1（I）求a3,a5；（II）求an的通項(xiàng)公式.種類2an1f(n)anan1fn，利用累乘法(逐商相乘法)求解

2、。解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)變成()an2n例1:已知數(shù)列an滿足a，an1an，求an。13n13n1例2:已知3a，an1an(n1)，求an。13n2變式:（2004，全國(guó)I,理15）已知數(shù)列an，滿足a1=1，ana12a23a3(n1)an1(n2)，則an的通項(xiàng)an1_nn12種類3an1paq（此中p，q均為常數(shù)，(pq(p1)0)）。n解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)變成：()an1tpant，此中tq1p，再利用換元法轉(zhuǎn)變成等比數(shù)列求解。例:已知數(shù)列a中，a11，an12an3，求an.n變式:（2006，重慶,文,14）在數(shù)列a中，若a11,an12an3(n1)，則該數(shù)列的通

3、項(xiàng)an_n變式:（2006.福建.理22.本小題滿分14分）已知數(shù)列*a滿足a11,an12an1(nN).n（I）求數(shù)列a的通項(xiàng)公式；nb11b21b1b*（II）若數(shù)列bn滿足44L4(a1)(nN),證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；nnn（）證明：n1aaan12n*.(nN).23aaa223n1種類4nnan1paq（此中p，q均為常數(shù)，(pq(p1)(q1)0)）。（或a1parq,此中p，q,r均為常數(shù)）。nnn解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以n1q，得：anpa11?引入輔助數(shù)列nn1nqqqqb（此中nanb），得：nnqp1bn1bn再待定qq系數(shù)法解決。例:已知數(shù)列an

4、中，5a,1611n1an1a()，求an。n32變式:（2006，全國(guó)I,理22,本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列a的前n項(xiàng)的和n412n1Sa2，n1,2,3,gggnn333（）求首項(xiàng)a與通項(xiàng)an；（）設(shè)T1nn2Sn，n1,2,3,ggg，證明：in1Ti32種類5遞推公式為an2pa1qa（此中p，q均為常數(shù)）。nn解法一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)變成()ansatasa2n1n1n此中s，t滿足ssttpq解法二(特色根法)：關(guān)于由遞推公式2pxqan2pa1qa，a1,a2給出的數(shù)列an，方程x0，叫做數(shù)列an的特色方程。nn若n1n1x1,x是特色方程的兩個(gè)根，當(dāng)x1x2時(shí)，數(shù)列

5、an的通項(xiàng)為anAxBx，此中A，B由a1,a2決定（即把a(bǔ)1,a2,x1,x2和212n1,2，代入n1n1anAxBx，獲取關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)12n1x1x時(shí)，數(shù)列an的通項(xiàng)為an(ABn)x，此中A，B由21a1,a2決定（即把a(bǔ)1,a,x,x和n1,2，代入212n1an(ABn)x，獲取關(guān)于A、B的方程組）。1解法一（待定系數(shù)迭加法）:數(shù)列a：3an25an12an0(n0,nN)，a1a,a2b，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。n例:已知數(shù)列變式:21a中，a11,a22,an2anan，求an。n1331.已知數(shù)列an滿足*a11,a23,an23an12an(nN).（I）證明：數(shù)

6、列aa是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列n1na的通項(xiàng)公式；n（III）若數(shù)列bbbb11211*b滿足44.4(a1)(nN),證明nnnnb是等差數(shù)列n2.已知數(shù)列21a中，a11,a22,ananann2133，求an3.已知數(shù)列an中，Sn是其前n項(xiàng)和，而且Sn14an2(n1,2,L),a11，設(shè)數(shù)列2(1,2,)bnan1ann，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；an設(shè)數(shù)列,(1,2,)cn，求證：數(shù)列cn是等差數(shù)列；求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和。nn2種類6遞推公式為S與an的關(guān)系式。(或Snf(an)n解法：這各種類一般利用S(n1)1an與anSnSn1f(an)f(an1)消去Sn(n2

7、)或與Snf(SnSn1)(n2)消SS(n2)nn1去a進(jìn)行求解。n例：已知數(shù)列a前n項(xiàng)和n1Sn4a.nn22（1）求an1與an的關(guān)系；（2）求通項(xiàng)公式an.（2）應(yīng)用種類4（nan1paq（此中p，q均為常數(shù)，(pq(p1)(q1)0)）的方法，上式兩邊同乘以nn1得：2n1a2na22n1n1nan22(1)2由12a1S4aa1.于是數(shù)列2n是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，因此annn11122變式:（2006，陜西,理,20本小題滿分12分)annn21已知正項(xiàng)數(shù)列an，其前n項(xiàng)和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)an變式:(2

8、005,江西,文,22本小題滿分14分）13n1n且SS求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足SnSn32=3()(),11,2,22種類7apaanbn1(p1、0，a0)n解法：這各種類一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令an(1)(n)，與已知遞推式比較，解出x,y,從而轉(zhuǎn)變成1xnypaxnyanxny是公比為p的等比數(shù)列。例:設(shè)數(shù)列a：a14,an3an12n1,(n2)，求an.n變式:（2006，山東,文,22,本小題滿分14分）已知數(shù)列1a中，a1、點(diǎn)（n、2a1a）在直線y=x上，此中n=1,2,3nnn2()令bnan1an3,求證數(shù)列bn是等比數(shù)列；()求數(shù)

9、列an的通項(xiàng)；()設(shè)Sn、Tn分別為數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和,能否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列STnnn為等差數(shù)列若存在試求出不存在,則說(shuō)明原由.種類8ran1pa(p0,an0)n解法：這各種類一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)變成apaqn1，再利用待定系數(shù)法求解。n例：已知數(shù)列a中，n12a1,anan(a0)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.11a變式:（2005，江西,理,21本小題滿分12分）1已知數(shù)列a的各項(xiàng)都是正數(shù),且滿足:a01,an1an(4an),nN.n2（1）證明anan12,nN;（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an.變式:（2006,山東,理,22,本小題滿分14分）已知a1=2，點(diǎn)(an,an+1

10、)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，此中=1，2，3，（1）證明數(shù)列l(wèi)g(1+an)是等比數(shù)列；（2）設(shè)Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an)，求Tn及數(shù)列an的通項(xiàng)；記bn=1anan12，求bn數(shù)列的前項(xiàng)和Sn，并證明Sn+23Tn1=1種類9f(n)an解法：這各種類一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)變成an1panq。1gnahnna()()nan1a例：已知數(shù)列an滿足：an,1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。13a1n1變式:（2006，江西,理,22,本大題滿分14分）1.已知數(shù)列an滿足：a1323na，且ann1（，）n2nN2an1n1（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）證明：關(guān)于全

11、部正整數(shù)n，不等式a1a2an2n！112、若數(shù)列的遞推公式為￥，則求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。a3,2(n)1aan1n3、已知數(shù)列a滿足a11,n2時(shí)，an1an2an1an，求通項(xiàng)公式。nan1a4、已知數(shù)列aan滿足：,1n13a1n1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。5、若數(shù)列a中，a1=1，an1=n2anan2nN，求通項(xiàng)an種類10an1panranqh解法：假如數(shù)列a滿足以下條件：已知a1的值且關(guān)于nN，都有npaqnan1（此中p、q、r、h均為常數(shù)，且rahnhphqr,r0,a1），r那么，可作特色方程pxq1x,當(dāng)特色方程有且僅有一根x0時(shí),則rxhaxn0axn1是等差數(shù)列;當(dāng)特色

12、方程有兩個(gè)相異的根x1、x2時(shí)，則axn2是等比數(shù)列。a4n例：已知數(shù)列a滿足性質(zhì)：關(guān)于nN,a1,且a13,求an的通項(xiàng)公式.nna23n13a25例：已知數(shù)列na滿足：關(guān)于nN,都有a.nna13n（1）若5,a求an;（2）若a13,求an;（3）若a16,求an;（4）當(dāng)a1取哪些值時(shí)，無(wú)量數(shù)列an不存在1變式:（2005，重慶,文,22,本小題滿分12分）1數(shù)列an滿足a11且8an1an16an12an50(n1).記(1).bnn1an2（）求b1、b2、b3、b4的值；（）求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式及數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Sn.種類11aapnqn1或nnanapq1n解法：這各種類一般可轉(zhuǎn)變成a與a2n是等差或等比數(shù)列求解。2n1例：（I）在數(shù)列a中，a11,an16nan，求an（II）在數(shù)列an中，nna1,31a，求annan1種類12歸納猜想法解法：數(shù)學(xué)歸納法變式:（2006，全國(guó)II,理,22,本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2anxan0有一根為Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通項(xiàng)公式種類13雙數(shù)列型解法：依據(jù)所給兩個(gè)數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈巧采納累加、累乘、化歸等方法求解。