立體幾何中二面角的求法(教師版)

1、 /4高二文科數(shù)學(xué)培優(yōu)：立體幾何中二面角的求法編寫：林洪兵2016-1-6一、定義法：例1:如圖1,設(shè)正方形ABCD-ABCD中，E為CC中點(diǎn)，求截面ABD和EBD所成二面角的度數(shù)。111!11分析與解：本題可用定義法直接作出兩截面ABD、EBD所成二面角的平面角，設(shè)AC、BD交于O,連EO,AO,由EB=ED,AxB=AD即知E0丄丄BD,AOXBD,故ZEOA為所求二面角的平面角。1111內(nèi)一點(diǎn)P作PA丄a于A,作AB丄l于B,連接PB,由三垂線定理得PB丄1,則ZPBA為二面角a_l-卩的平面角，故稱此法為三垂線法.最重要的是在“變形（形狀改變）”和“變位（位置變化）”中能迅速作出所求二

2、面角的平面角，再在該角所在的三角形（最好是直角三角形，如圖3中的RtAPAB）中求解.對(duì)于鈍二面角也完全可以用這種方法，銳角的補(bǔ)角不就是鈍角嗎？例2如圖3,設(shè)三棱錐V-ABC中，VA丄底面ABC,AB丄BC,DE垂直平分VC,-且分別交AC、VC于D、E,又VA=AB,VB=BC，求二面角E-BD-C的度數(shù)。分析與解本題應(yīng)用垂線法作出二面角的平面角，因VBC為等腰三角形，E為VC中點(diǎn)，故BE丄VC,又因DE丄VC,故VC丄平面BED,所以BD丄VC,又VA丄平面ABC,故VAIBD,、從而BD丄平面VAC。闍2a白A1則在RtA1EF中，sinZA1FE=A1EA1F變式1：正方體ABCD-A

3、1B1C1D1中，求二面角A-BD-C的正切值為,分析與略解：“小題”不必“大做”，由圖1知所求二面角為二面角C-BD-C的“補(bǔ)角”.教材中根本就沒有“二面角的補(bǔ)角”這個(gè)概念,但通過幾何直觀又很容易理解其意義,這就叫做直覺思維，在立體幾何中必須發(fā)展這種重要的思維能力.易知zcoq是二面角C-BD-C的平面角，且tanZCOC12。將題目略作變化，二面角A1-BD-C1的余弦值為.在圖1中是二面角A1-BD-C1的平面角，設(shè)出正方體的棱長(zhǎng)，用余弦定理易求得cosZA1OC1=1113二、三垂線法這是最典型也是最常用的方法,當(dāng)然此法仍扎“根”于二面角平面角的定義.此法最基本的一個(gè)模型為：圖3例3（

4、2006年陜西試題）如圖4,平面a丄平面卩,aG卩=1,Aea,Be0,點(diǎn)A在直線1上的射影為A1，點(diǎn)B在1的射影為B1，已知AB=2,AA1=1,BB1=；2,（I）略；（II）二面角A1-AB-B1的正弦值.分析與略解：所求二面角的棱為AB,不像圖3的那樣一看就的狀態(tài)，但本質(zhì)卻是一樣的，對(duì)本質(zhì)的觀察能力反映的是思維的深刻性作AE丄AB于AB1于E,則可證A1E丄平面ABB.過E作EF丄A圖4B交AB于F,連接A1F，則得A1F丄ABZAE就是所求二面角的平面角.23依次可求得AB1=B1B；I2,AB=*3,AE=,A1F=,所以ZHMF為所求二面角A-EC-D的平面角。1（2）要求二面角

5、A-EC-D的大小，先要作出二面角的平面角，本題可用三垂線法，因FHt底面ABCD于H,過H作HM丄EC于M,連FM,則由三垂線定理知FM丄EC。三、垂面法：例3如圖6,設(shè)正方體ABCD-ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)。111111（1）求證：A、E、C、F四點(diǎn)共面；1（2）求二面角A-EC-D的正切值的大小。1分析與證明（1）要證A、E、C、F四點(diǎn)共面，可證：A、F/EC，取DC中點(diǎn)H,連bH、FH,貝V例4空間的點(diǎn)P到二面角a-1-卩的面a、0及棱l的距離分別AHEC,又為4、3、239，求二面角a-1-卩的大小.分析與略解：如圖5,分別作PA丄a于A,PB丄0于B,則易知1丄平

6、面PAB,設(shè)1G平面PAB=C,連接PC,則1PC.分別在RtAPAC、RtPBC中，PC=239,PA=4,PB=3,貝VAC=I,BC=三.333因?yàn)镻、A、C、B四點(diǎn)共圓，且PC為直徑，設(shè)PC=2R,二面角a-1-0的大小為0.分別在PAB、AABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos0=PA2+PB2-2PAPBcos（兀一0）,則可解得cos0=-,0=1200,二面角a-1-0的大小為1200.四、延伸法FHAA。故AF/AH,即AF/EC,111從而A、E、C、F四點(diǎn)共面。例4.如圖10，設(shè)正三棱柱ABC-ABC各棱長(zhǎng)均為a,D為Cq中點(diǎn)，求平面ABD與平面ABC所成二面角的度數(shù)。分析與解由圖，平面ABD與平面ABC只出現(xiàn)一個(gè)交點(diǎn)，故延長(zhǎng)AD交AC延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，連BF，則BF為所求二面角的棱。因CD=CD,則AC=CF=BC=AC，所以ZABF=90。，取BF中點(diǎn)E，連DE，則CE丄BF，又DC丄平面ABF，即DE丄BF,從而ZDEC為所求二面角的平面角。分析與解：本題應(yīng)用“射影法”求截面BDM與底面ABCD所成二面角容易。它可以不作出所求二面角的平面角。因是正方體，所以B、D、M在底面射影分別為B