廣東金融學院金融工程遠期與期貨定價

1、金融工程Financial Engineering阮堅Email：truanjianTeleibo：/jrjl2金融系 阮堅遠期與期貨定價第三章3金融系 阮堅基礎知識一、利率有關問題（一）單利對利息不再計算利息，計算公式是：式中，I為利息額，A為本金現(xiàn)值，r為每期利率，n為計息期數(shù)，F(xiàn)為本利和（終值）4金融系 阮堅(1+r)n也稱為復利終值系數(shù)。復利是一種將上期利息轉(zhuǎn)為本金并一并計息的方法。假設金額A 以利率r 投資了n 期，投資的終值是：（二）復利例 假設某投資者將1000元存入銀行，存期5年，年利率10，按年復利計息，5年后的終值是1000(1+10)51610.

2、51元。5金融系 阮堅（三）連續(xù)復利一定期限內(nèi)提高計復利的頻率會對復利終值產(chǎn)生影響。若R為年利率，則式說明一年復利一次的計算，其中A為投資額（本金現(xiàn)值）。設一年內(nèi)計m次復利，年利率為R，投資期限為n年，則終值為：我們通常所說的利率為年利率。但每期不一定恰好是一年，一年可分為2期、4期等。此時，表示出的年利率為名義利率（每年復利m次的年利率）。有效利率6金融系 阮堅如果將計息次數(shù)m不斷擴大，即計息頻率不斷提高，直到變?yōu)闊o窮大，我們稱之為連續(xù)復利(continuous compounding)：若A=100, R0.10, n1，以連續(xù)復利計終值為：100e0.1110.52元。（與m365比較）

3、。7金融系 阮堅設本金A100元，年利率n10%，則年末終值如下表所示復利頻率100元在一年末的終值每年（m=1）110.00每半年（m2）110.25每季度（m=4）110.38每月（m12）110.47每周（m52）110.51每天（m365）110.52連續(xù)復利110.52因此，年利率10%（名義）保持不變，提高計復利的頻率使100元的年末終值增大。當m365時，終值F110.52元。 通常認為連續(xù)復利與每天計復利定價8金融系 阮堅（四）利率之間的轉(zhuǎn)換在計息利率（名義）相同時，以連續(xù)復利計息的終值最大；在終值相同時，連續(xù)復利的計息利率最小。如果Rc是連續(xù)復利的利率， Rm為與之等價每年計

4、m次復利的利率（以年利率表示），則有：所以9根據(jù)題意已知，m=2，Rm0.10，Rc2ln（1+0.1/2）0.09758，即連續(xù)復利的年息應為9.758例： 某特定金額的年息為10%，每半年復利一次（半年計息一次），求一個等價的連續(xù)復利的利率。例： 假設某債務人借款的利息為年息8，按連續(xù)復利計息。而實際上利息是一年支付一次。則一年計一次息（m1）的等價年利率為：即年利率為8.33，這說明，對于1000元的借款，該債務人在年底要支付83.3元的利息。 10金融系 阮堅二、現(xiàn)值與貼現(xiàn)現(xiàn)值的計算過程通常被稱作貼現(xiàn)，所用的利率稱為貼現(xiàn)率。（一）現(xiàn)值按貼現(xiàn)率r 計算，n 期后得到的金額F 的現(xiàn)值計算公

5、式為：被稱作現(xiàn)值系數(shù)。（二）連續(xù)復利現(xiàn)值在連續(xù)復利現(xiàn)值的情況下，按貼現(xiàn)率r 計算，n 年（期）后得到F 元的現(xiàn)值計算公式為：11金融系 阮堅1. 遠期價格與期貨價格12金融系 阮堅遠期價值、遠期價格與期貨價格交割價格（Delivery Price）遠期價值（Forward Value）遠期合約本身的價值多頭或空頭購買或出售合約本身給他們帶來的價值簽訂遠期合約時，如果信息是對稱的，而且合約雙方對未來的預期相同，對于一份公平的合約，多空雙方所選擇的交割價格應使遠期價值在簽署合約時等于零。 遠期合約簽訂后，由于交割價格不再變化，多空雙方的遠期價值將隨著標的資產(chǎn)價格的變化而變化。 13金融系 阮堅遠期

6、價格（Forward Price）：使得遠期價值為零的交割價格（理論交割價格）一份公平合理的遠期合約在簽訂的當天應使交割價格等于遠期價格。如果實際交割價格不等于這個理論上的遠期價格，該遠期合約價值對于多空雙方來說就都不為零 ，實際上隱含了套利空間。在遠期合約簽訂以后，交割價格已經(jīng)確定，遠期合約價值不一定為零，遠期價格也就不一定等于交割價格。14金融系 阮堅期貨價格（Futures Prices）為使得期貨合約價值為零的理論交割價格。對于期貨合約來說，一般較少談及“期貨合約價值”這個概念?；谄谪浀慕灰讬C制，投資者持有期貨合約，其價值的變動來源于實際期貨報價的變化。由于期貨每日盯市結(jié)算、每日結(jié)清

7、浮動盈虧，因此期貨合約價值在每日收盤后都歸零。 15金融系 阮堅遠期價格與期貨價格的關系當無風險利率恒定且對所有到期日都相同時，其他條件相同的遠期價格和期貨價格相等。當標的資產(chǎn)價格與利率呈很強的正相關關系時，期貨價格高于遠期價格利率上升，標的資產(chǎn)價格上升時，期貨價格通常也會隨之升高，期貨合約的多頭將因每日結(jié)算制而立即獲利，并可按高于平均利率的利率將所獲利潤進行再投資。利率下跌，標的資產(chǎn)價格下跌時， 期貨合約的多頭將因每日結(jié)算制而立即虧損，但是可按低于平均利率的利率從市場上融資以補充保證金。相比之下，遠期合約的多頭將不會因利率的變動而受到上述影響。在此情況下，期貨多頭比遠期多頭更具吸引力，期貨價

8、格自然就大于遠期價格。當標的資產(chǎn)價格與利率呈很強的負相關關系時，遠期價格高于期貨價格16金融系 阮堅遠期價格和期貨價格的差異幅度還取決于合約有效 期的長短。當有效期只有幾個月時，兩者的差距通常很小。此外，稅收、交易費用、保證金的處理方式、違約風險、流動性等方面的因素或差異都會導致遠期價格和期貨價格的差異。遠期價格與期貨價格的定價思想在本質(zhì)上是相同的，其差別主要體現(xiàn)在交易機制和交易費用的差異上，在很多情況下常常可以忽略，或進行調(diào)整。因此在大多情況下，我們可以合理地假定遠期價格與期貨價格相等，并都用F來表示。17金融系 阮堅2. 遠期合約定價18金融系 阮堅基本假設沒有交易費用和稅收市場參與者能以

9、相同的無風險利率借入和貸出資金遠期合約沒有違約風險允許現(xiàn)貨賣空行為當套利機會出現(xiàn)時，市場參與者將參與套利活動，從而使套利機會消失，其理論價格就是無套利機會下的均衡價格。期貨合約的保證金帳戶支付同樣的無風險利率。這意味著任何人無需成本就可取得遠期和期貨的多頭和空頭地位。 這些假設的含義是： 市場價格就是無套利機會時的價格。19金融系 阮堅主要符號T： 遠期和期貨合約的到期時刻，單位為年。t： 當前時刻，單位為年。T - t 代表遠期和期貨合約中以年為單位的距離到期的剩余時間。S： 遠期（期貨）標的資產(chǎn)在時間t 時的價格。ST： 遠期（期貨）標的資產(chǎn)在時間T 時的價格（在t 時刻此為未知變量）。K

10、： 遠期合約中的交割價格。f： 遠期合約多頭在t 時刻的價值，即t 時刻的遠期價值。F： t 時刻的理論遠期價格和理論期貨價格.r： T 時刻到期的以連續(xù)復利計算的t 時刻的無風險利率（年利率）。20金融系 阮堅思考題假設黃金現(xiàn)貨價格為1000美元，市場普遍認為1年后黃金現(xiàn)貨價格會漲到2000美元，請問：1年期黃金期貨目前的價格應為1000美元左右還是2000美元左右？現(xiàn)貨價格+持有成本21金融系 阮堅什么是套利？套利是指利用一個或多個市場存在的各種價格差異，在不冒任何損失風險且無需投資者自有資金的情況下有可能賺取利潤的交易策略（或行為）。嚴格套利的三大特征：無風險/復制/零投資在套利無法獲取

11、無風險超額收益的狀態(tài)下，市場達到無套利均衡，此時得到的價格即為無套利價格。無套利分析法是衍生資產(chǎn)定價的基本思想和重要方法，也是金融學區(qū)別于經(jīng)濟學“供給需求分析”的一個重要特征。22金融系 阮堅無套利定價原理(APT, Arbitrage pricing theory)無套利定價法的基本思路為：構建兩種投資組合，讓其終值相等，則其現(xiàn)值一定相等；否則就可以進行套利，即賣出現(xiàn)值較高的投資組合，買入現(xiàn)值較低的投資組合，并持有到期末，套利者就可賺取無風險收益。眾多套利者這樣做的結(jié)果，將使較高現(xiàn)值的投資組合價格下降，而較低現(xiàn)值的投資組合價格上升，直至套利機會消失，此時兩種組合的現(xiàn)值相等。這樣，我們就可根據(jù)

12、兩種組合現(xiàn)值相等的關系求出遠期價格。套利的理論基礎在于經(jīng)濟學中所謂“一價定律”，即忽略交易費用的差異，同一商品只能有一個價格。 23金融系 阮堅類型典型代表1.無收益資產(chǎn)(1)貼現(xiàn)債券(2)不支付股利的股票2.支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)(1)付息債券(2)支付已知現(xiàn)金紅利的股票(3)貴金屬3.支付已知收益率資產(chǎn)(1)貨幣：收益率為無風險利率，利率遠期或外匯遠期(2)股票指數(shù)資產(chǎn)的分類24金融系 阮堅無收益資產(chǎn)的遠期價值I無收益資產(chǎn)是指在遠期到期前不產(chǎn)生現(xiàn)金流的資產(chǎn)，如貼現(xiàn)債券。構建組合： 組合A ： 一份遠期合約多頭加上一筆數(shù)額為 的現(xiàn)金（無風險投資） 組合B ： 一單位標的資產(chǎn)。25金融系 阮堅2

13、6金融系 阮堅無收益資產(chǎn)的遠期價值II遠期合約到期時，兩種組合都等于一單位標的資產(chǎn)，因此現(xiàn)值必須相等。兩種理解：無收益資產(chǎn)遠期合約多頭的價值等于標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格與交割價格現(xiàn)值的差額。一單位無收益資產(chǎn)遠期合約多頭可由一單位標的資產(chǎn)多頭和 無風險負債組成。27金融系 阮堅現(xiàn)貨-遠期平價定理遠期價格：F 就是使合約價值f 為零的交割價格K 。 無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠期平價定理：對于無收益資產(chǎn)而言，遠期價格等于其標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格的無風險終值。TtSer(T-t)S28金融系 阮堅反證法運用無套利原理對無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠期平價定理的反證 29金融系 阮堅案例3.1 I6 個月期的無風險年利率為4.17%

14、 。市場上正在交易一份標的證券為一年期零息債、剩余期限為6 個月的遠期合約多頭，其交割價格為970 元，該債券的現(xiàn)價為960 元。請問對于該遠期合約的多頭和空頭來說，遠期價值分別是多少？30金融系 阮堅案例3.1 II根據(jù)題意，有 S = 960; K = 970; r = 4.17%; T t = 0:5該遠期合約多頭的遠期價值f 為：該遠期合約空頭的遠期價值為 f = 10.02 元31金融系 阮堅例：期限為3個月的股票遠期合約的價格為39美元。3個月后到期的無風險年利率為5%，股票當前價格為40美元，不付紅利。問：是否存在套利機會，如何套利？已知：判斷： 期貨價格被低估套利：0時刻T時刻

15、1.賣空現(xiàn)貨：402.按年利率r進行期限為T投資：-403.購買遠期合約：01.投資得本利和 ：40.502.交割遠期合約，支付：-393.再用期貨交割中所得的證券沖抵原來的現(xiàn)貨空頭部位。合計：0合計：40.50-39=$1.5032遠期價格的期限結(jié)構遠期價格的期限結(jié)構描述的是不同期限遠期價格之間的關系。 案例3.3 33金融系 阮堅已知現(xiàn)金收益的資產(chǎn)已知現(xiàn)金收益的資產(chǎn)在到期前會產(chǎn)生完全可預測的現(xiàn)金流的資產(chǎn)例子正現(xiàn)金收益的資產(chǎn)：附息債和支付已知現(xiàn)金紅利的股票負現(xiàn)金收益的資產(chǎn)：黃金、白銀（支付存儲成本）令已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值為I ，對黃金、白銀來說， I 為負值。34金融系 阮堅支付已知現(xiàn)金收益資

16、產(chǎn)的遠期價值I構建組合： 組合A ： 一份遠期合約多頭加上一筆數(shù)額為 的現(xiàn)金。 組合B ： 一單位標的證券加上利率為無風險利率、期限為從現(xiàn)在到現(xiàn)金收益派發(fā)日、本金為I 的負債。遠期合約到期時，兩組合都等于一單位標的資產(chǎn)： 35金融系 阮堅支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠期價值II兩種理解：支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠期合約多頭價值等于標的證券現(xiàn)貨價格扣除現(xiàn)金收益現(xiàn)值后的余額與交割價格現(xiàn)值之差。一單位支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠期合約多頭可由一單位標的資產(chǎn)和 單位無風險負債構成。由于使用的是I 的現(xiàn)值，所以支付一次和多次現(xiàn)金收益的處理方法相同。36金融系 阮堅支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨遠期平價公式根據(jù)F 的定義

17、，可從上式求得：公式的理解：支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠期價格等于標的證券現(xiàn)貨價格刪除已知現(xiàn)金收益現(xiàn)值后的無風險終值。Tt(S-I)er(T-t)SII1I2由于使用的是 I 的現(xiàn)值，所以支付一次和多次現(xiàn)金收益的處理方法相同。37金融系 阮堅案例3.5假設黃金現(xiàn)貨價為每盎司733 美元，其存儲成本為每年每盎司2 美元，一年后支付，美元一年期無風險利率為4% 。那么一年期黃金期貨的理論價格為其中， ，故38金融系 阮堅支付已知收益率的資產(chǎn)支付已知收益率的資產(chǎn)在遠期到期前將產(chǎn)生與該資產(chǎn)現(xiàn)貨價格成一定比率的收益的資產(chǎn)支付已知收益率資產(chǎn)的遠期合約外匯遠期和期貨：外匯發(fā)行國的無風險利率股指期貨：市場平均紅利

18、率或零，取決于股指計算方式遠期利率協(xié)議：本國的無風險利率39金融系 阮堅支付已知收益率的資產(chǎn)I建立組合： 組合A ： 一份遠期合約多頭加上一筆數(shù)額為 的現(xiàn)金； 組合B ： 單位證券并且所有收入都 再投資于該證券，其中q 為該資產(chǎn) 按連續(xù)復利計算的已知收益率。兩種組合現(xiàn)值相等： 40金融系 阮堅支付已知收益率的資產(chǎn)II兩種理解：支付已知紅利率資產(chǎn)的遠期合約多頭價值等于 單位證券的現(xiàn)值與交割價現(xiàn)值之差。一單位支付已知紅利率資產(chǎn)的遠期合約多頭可由 單位標的資產(chǎn)和 單位無風險負債構成。41金融系 阮堅支付已知收益率的資產(chǎn)III因此支付已知收益率資產(chǎn)的遠期價格為42金融系 阮堅案例3.62007 年9

19、月20 日，美元3 個月期無風險年利率為3.77% ，S&P500 指數(shù)預期紅利收益率為1.66% 。當S&P500 指數(shù)為1518.75 點時，2007 年12 月到期的S&P500 指數(shù)期貨SPZ7 相應的理論價格應為多少？由于S&P500 指數(shù)期貨總在到期月的第三個星期五到期，故此剩余期限為3 個月，SPZ7 理論價格應為43金融系 阮堅投資性資產(chǎn)的遠期定價：小結(jié)價格為S，到期日為 T 的某個投資資產(chǎn)合約小結(jié)T 年期間的無風險利率為 r資產(chǎn)無收益有已知收益,現(xiàn)值為 I已知紅利收益率為 q遠期/期貨價格交割價格為K的遠期合約多頭的價值44金融系 阮堅3. 遠期與期貨價格的一般結(jié)論（了解）45金融系 阮堅計算遠期價格，總是將標的資產(chǎn)中遠期多頭到期時無法獲得的確定性收益刪除，對標的資產(chǎn)價格的剩余部分以風險利率計算終值，得到理論的遠期價格。46金融系 阮堅持有成本I持有成本（Cost of Carry）= 保存成本+ 利息成本 標的資產(chǎn)在合約期限內(nèi)的收益47金融系 阮堅持有成本II48金融系 阮堅持有成本III遠期和期貨定價中的持有成本（ c ）概念：49金融系 阮堅非完美市場上的定價公式I存在交易成本：假定每一筆交易的費率為Y ，那么不存在套利機會的遠期價格就不再是確定的值，而是一個區(qū)間：50金融系 阮堅非完美市場上的定價公式II借貸存在利差：