北京市清華大學(xué)附中全國(guó)高校自主招生考試數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：第一講不等式

1、數(shù)學(xué)自主招生講義（講義僅供參考,講課過程中有補(bǔ)充內(nèi)容,以實(shí)際講課為準(zhǔn)）第一講 不等式一、學(xué)問擴(kuò)展 1. 均值不等式2 a 12 a 2n2 a na 1a 2na nna 1a 2an1n1.1a 1a 2a n2. 柯西不等式設(shè)a i,b iR , i2,1 ,n,就2 b 22 a n2 b n,a 2,a nan2a 1 b 1a 2b 2a nb n22 a 12 a 22 a n2 b 1當(dāng)且僅當(dāng)a 1a2ani時(shí),等號(hào)成立 . b 1b2bna 1推論（ 1）當(dāng)b 1b 2nb1時(shí),n2 a 12 a 2可以推出2 a 12 a 22 a na 1a2an.a 1a 2Rnnn2（

2、2）當(dāng)b 11,b 21,bn1時(shí),a 1a2a na21112 a 1a22n2 a 12 a 22 a na 2a n2（3）如ai,b iRi,12,n,就a 1a 1a 2a nb 1b 2b nb 1b 2b n3. 排序不等式：兩組實(shí)數(shù)a 1a 2a n,b 1b 2a 1b 1b n,a nb n,遞序和 就有a 1 b na 2b n1an b 1a 1 bj1a 2bj2a nbjna 2b 2亂序和 次序和 . 4. 琴生不等式：如xfx是a,b上的凸函數(shù),就.nfx 1fx2fx nfx 1x2nn5. 含有立方的幾個(gè)不等式：a,b ,cR2cb2c2abbcac ;（1

3、）a3b 3a2 bab 2;ca（2）a3b3c33abc,a33 b3 c3 abc ab（3）3abcabcabcaba33 ab3c3;333b（4）abbcac1abc2（c時(shí)取等號(hào)）36. 常用不等式放縮法（1）1n11nn11 11nn11 1111n2n1n1. n2nnnnnn（2）1n1nn1nn12二、例題解析 、不等式解析例 1（2022 年復(fù)旦高校千分考）設(shè)zn 是一個(gè)正整數(shù),就函數(shù)x1n在x軸正nx半軸上的最小值是（）Cnn1Dnn1Ann1Bn2n1例 2：（2022 清華）已知x0 ,y,00,a,b ,c是x ,y,z的一個(gè)排列,求證：abc3xyz例 4：（

4、山東 2022 預(yù)賽）如x10 ,y0,z0,且xyz1. m0求證：111x11y12. z例 5：（34 屆俄羅斯競(jìng)賽）設(shè)a,b,c是 ABC 三邊長(zhǎng),且求征：aambbmccmx 1x2xn0 ,且in1x i1例 6：（同學(xué)練, 35 屆俄羅斯）設(shè)i求證：in2 ix1x 1,x 2,x 3,nxn124. 1例 7：（2022 浙江高校）小于 1 的正數(shù) . 且x 1x 2nx1. 求證：x 113 x 1x13 x 23 x nx n2例 8：（2022 復(fù)旦）設(shè)a 1,a 2,a 3,a n是各不相同的正自然數(shù)a2. 求證：求證：1a1aa1a2. 1a 1a2知a3,x 2,anx n1.10.2022北約 已:x 1x 3,x nR且x x22x 12x 22x nn2,1n. nn1xnexx2.11（2022 華約） 7. 已知：Nxn 求證：n、不等式與方程例 9：