線性代數(shù)計(jì)算方法下

1、計(jì)算方法主講：1第六章 最小二乘法與曲線擬合23 當(dāng)數(shù)據(jù)量特別大時(shí)一般不用插值法。這是因?yàn)閿?shù)據(jù)量很大時(shí)所求插值曲線中的未知參數(shù)就很多，而且數(shù)據(jù)量很大時(shí)，多項(xiàng)式插值會(huì)出現(xiàn)高次插值（效果不理想）或分段低次插值（精度不高）；另外，測(cè)量數(shù)據(jù)本身往往就有誤差，所以，使插值曲線刻意經(jīng)過這些點(diǎn)也不必要。 而曲線擬合是，首先根據(jù)物理規(guī)律或描點(diǎn)畫草圖確定一條用來擬合的函數(shù)曲線形式，也可選擇低次多項(xiàng)式形式（所含參數(shù)比較少），然后按最小二乘法求出該曲線，它未必經(jīng)過所有已知點(diǎn)，但它能反映出數(shù)據(jù)的基本趨勢(shì)，且誤差最小，效果比較好。4 一.定義若秩(A|b)秩(A)，則(6.1)無解，此時(shí)稱（6.1） 為矛盾方程組。 6

2、.1 矛盾方程組與最小二乘法設(shè)有線性方程組5二、最小二乘法法 因(6.1)無解，故偏差(殘量)678 (6.3)是n階方程組,稱為原矛盾方程組對(duì)應(yīng)的正規(guī)方程組(或正則方程組,法方程組).故矛盾方程組的最小二乘解一定是相應(yīng)的正規(guī)方程組的解,反之結(jié)論是否成立呢?三.理論討論 1. 不難理解,偏差總量 無最大值,但有最小值,又 只有一個(gè)駐點(diǎn)(偏導(dǎo)為零的點(diǎn)),故該駐點(diǎn)一定就是最小值點(diǎn),亦即法方程組(6.3)的解一定就是矛盾方程組的最小二乘解.當(dāng)然,也可從數(shù)學(xué)上更嚴(yán)格推證這個(gè)結(jié)論(略)。96.2 多項(xiàng)式擬合101112131415基本要求:1.熟悉曲線擬合的定義和幾何意義;2.會(huì)用最小二乘法求矛盾方程組

3、的最小二乘解;3.會(huì)用多項(xiàng)式曲線擬合給定數(shù)據(jù);4.會(huì)用參數(shù)是線性形式的曲線擬合給定數(shù)據(jù).作業(yè):作業(yè)集B 第六章 1,2,3,4.16第七章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 17187.1 Newton-Cotes求積公式1920212223242526基本要求:1. 熟悉插值型求積公式;2. 熟悉常用的兩個(gè)Newton-Cotes求積公式即兩點(diǎn)梯型公式及三點(diǎn)Simpson公式及其誤差；3. 熟悉求積公式的代數(shù)精確度.作業(yè):作業(yè)集A 第七章 1,2(不推導(dǎo),只畫圖說明幾何意義) 3.27提高求積精度增加節(jié)點(diǎn) 分段使用節(jié)點(diǎn)少的Newton-Cotos公式 即所謂的復(fù)化求積公式 整體使用節(jié)點(diǎn)多的N-C公式。原因

4、： 高次插值有時(shí)出現(xiàn)Runge 現(xiàn)象，誤差更大； 節(jié)點(diǎn)增多，Ak有正有負(fù)，不能保證穩(wěn)定性。7.2復(fù)化求積公式28一常用復(fù)化求積公式 293031323334353637387.3 Romberg求積算法 394041基本要求:1.熟悉復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式;2.熟悉復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式的截?cái)嗾`差；3.會(huì)編程上機(jī)使用Romberg算法.作業(yè):作業(yè)集(A) 第七章 4,5.427.4 Gauss型求積公式434445464748495051525354555657第八章 常微分方程初值問題的數(shù)值解法 58598.1 Euler法與梯形法 606162636465666

5、76869707172基本要求:1.熟悉Enter顯格式,梯形法及Enter預(yù)校法;2.熟悉局部截?cái)嗾`差及絕對(duì)穩(wěn)定性.作業(yè):作業(yè)集(B) 第八章 1,2.73Taylor展開法與Runge-Kutta 方法8.2高階單步法的構(gòu)造74757677787980818283基本要求:1.熟悉用Taylor展開式建立高階單步法;2.熟悉二階中點(diǎn)公式;3.會(huì)編程在計(jì)算機(jī)上使用變步長的R-K方法.作業(yè):作業(yè)集(B) 第八章 3.84 83 線性多步法只用到初值就可循環(huán)計(jì)算。缺點(diǎn)提高精度時(shí)，需增加f(x,y)在其它一些點(diǎn)處值，每步計(jì)算量偏大，每步要標(biāo)若干個(gè)f值。 本節(jié)介紹：線性多步法計(jì)算用到每步計(jì)算量不大，但又能提高精度。(819）前述方法：單步法計(jì)算，給定、一般形式85 （819）每步只需計(jì)算一次f值，然后進(jìn)行線性運(yùn)算計(jì)算很簡單，單恰當(dāng)選取參數(shù)可提高誤差階。 出發(fā)值計(jì)算：多步法不能自動(dòng)開始計(jì)算，一般先由同階R-K單步法求出所需初值。二、線性多步法的構(gòu)造 數(shù)值積分法和Taylor展開法數(shù)值積分法 868788892.Taylor展開