高中數(shù)學(xué)必修二 8.3.2 圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積（含答案）

1、 8.3.2圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積導(dǎo)學(xué)案編寫：廖云波 初審：譚光垠 終審：譚光垠 廖云波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)求圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積和體積2.會(huì)求圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積3.了解球的體積和表面積公式【自主學(xué)習(xí)】知識(shí)點(diǎn)1圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積1圓柱的表面積(1)側(cè)面展開圖：圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，其中一邊是圓柱的母線，另一邊等于圓柱的底面周長(zhǎng)(2)面積：若圓柱的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則圓柱的側(cè)面積S側(cè)2rl，表面積S表2r(lr)2圓錐的表面積(1)側(cè)面展開圖：圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，扇形的半徑是圓錐的母線，扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)(2)面積：若圓錐的底面半徑為r，母線

2、長(zhǎng)為l，則圓錐的側(cè)面積S側(cè)rl，表面積S表r(lr)3圓臺(tái)的表面積(1)側(cè)面展開圖：圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，其側(cè)面積可由大扇形的面積減去小扇形的面積而得到(2)面積：圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r、r，母線長(zhǎng)為l，則側(cè)面積S側(cè)(rr)l，表面積S表(r2r2rlrl)4球的表面積若球的半徑為R，則它的表面積S4R2.知識(shí)點(diǎn)2圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的體積1圓柱的體積(1)圓柱的高是指兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點(diǎn)向另一個(gè)底面作垂線，這個(gè)點(diǎn)與垂足(垂線與底面的交點(diǎn))之間的距離(2)若圓柱的底面半徑為r，高為h，其體積Vr2h.2圓錐的體積(1)圓錐的高是指從頂點(diǎn)向底面作垂線，頂點(diǎn)與垂足(垂線與

3、底面的交點(diǎn))之間的距離(2)若圓錐的底面半徑為r，高為h，其體積Veq f(1,3)r2h.3圓臺(tái)的體積若圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r、r，高為h，其體積Veq f(1,3)h(r2rrr2)4球的體積若球的半徑為R，那么它的體積Veq f(4,3)R3.【合作探究】探究一 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算【例1】(1)圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側(cè)面積是16eq r(2)，則圓錐的體積是()A.eq f(64,3)B.eq f(128,3)C64D128eq r(2)(2)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為10 cm、20 cm，它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180，則圓臺(tái)的表面積為_cm2.(

4、結(jié)果中保留)【答案】(1)A(2)1 100分析(1)利用圓錐的軸截面得到圓錐的底面半徑和高，進(jìn)而求其體積；(2)利用圓弧與圓心角及半徑的關(guān)系得到圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，再利用表面積公式進(jìn)行求解解析(1)設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，圓錐的軸截面是等腰直角三角形，2req r(l2l2)，即leq r(2)r，由題意得，側(cè)面積S側(cè)rleq r(2)r216eq r(2)，解得r4，l4eq r(2)，圓錐的高h(yuǎn)eq r(l2r2)4，圓錐的體積Veq f(1,3)Sheq f(1,3)424eq f(64,3).故選A.(2)如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的上底面周長(zhǎng)為c cm，因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180，故cSA2

5、10 cm，所以SA20 cm.同理可得SB40 cm，所以ABSBSA20 cm，所以S表面積S側(cè)S上底S下底(1020)201022021 100(cm2)故圓臺(tái)的表面積為1 100 cm2.歸納總結(jié)：解決旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)問(wèn)題常需要畫出其軸截面圖，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決.對(duì)于與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體問(wèn)題，首先要弄清楚它是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的，然后根據(jù)條件分清各個(gè)簡(jiǎn)單幾何體底面半徑及母線長(zhǎng)，再分別代入公式求各自的表面積或體積【練習(xí)1】把長(zhǎng)、寬分別為4、2的矩形卷成一個(gè)圓柱的側(cè)面，求這個(gè)圓柱的體積解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l.如圖所示，當(dāng)2r4，l2時(shí)，req f(2,)，hl2，V

6、圓柱r2heq f(8,)，當(dāng)2r2，l4時(shí)，req f(1,)，hl4，V圓柱r2heq f(4,).綜上所述，這個(gè)圓柱的體積為eq f(8,)或eq f(4,).探究二 球的表面積和體積的計(jì)算【例2】(1)兩個(gè)球的體積之比為827，那么這兩個(gè)球的表面積之比為()A23B49C.eq r(2)eq r(3) D.eq r(8)eq r(27)(2)兩個(gè)半徑為1的鐵球，熔化成一個(gè)球，則這個(gè)大球的半徑為_(3)圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8 cm的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒(méi)最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是_cm.【答案】(1)B(2)eq r(3,2)(

7、3)4分析利用球的表面積和體積公式以及圓柱的體積公式進(jìn)行求解解析(1)兩個(gè)球的體積之比為827，根據(jù)體積比等于相似比的立方，表面積之比等于相似比的平方，可知兩球的半徑比為23，從而這兩個(gè)球的表面積之比為49，故選B.(2)兩個(gè)小鐵球的體積為2eq f(4,3)13eq f(8,3)，設(shè)大鐵球的半徑為R，則大鐵球的體積eq f(4,3)R3eq f(8,3)，所以大鐵球的半徑為eq r(3,2).(3)設(shè)球的半徑為r，放入3個(gè)球后，圓柱液面高度變?yōu)?r.則有r26r8r23eq f(4,3)r3，即2r8，所以r4 cm.歸納總結(jié)：求球的表面積與體積的一個(gè)關(guān)鍵和兩個(gè)結(jié)論1關(guān)鍵：把握住球的表面積公

8、式S球4R2，球的體積公式V球eq avs4al(f(4,3)R3)是計(jì)算球的表面積和體積的關(guān)鍵，半徑與球心是確定球的條件.把握住公式，球的體積與表面積計(jì)算的相關(guān)題目也就迎刃而解了.2兩個(gè)結(jié)論：兩個(gè)球的表面積之比等于這兩個(gè)球的半徑比的平方；兩個(gè)球的體積之比等于這兩個(gè)球的半徑比的立方.【練習(xí)2】一個(gè)球內(nèi)有相距9 cm的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為49 cm2和400 cm2，求球的表面積解：當(dāng)截面在球心同側(cè)時(shí)，如圖所示為球的軸截面，由球的截面性質(zhì)知AO1BO2，且O1，O2為兩截面圓的圓心，則OO1AO1，OO2BO2.設(shè)球的半徑為R，O2B249，O2B7 cm，同理，得O1A20 cm.設(shè)

9、OO1x cm，則OO2(x9) cm，在RtO1OA中，R2x2202，在RtOO2B中，R272(x9)2, 聯(lián)立可得x15，R25.S球4R22 500 cm2，故球的表面積為2 500 cm2.當(dāng)截面在球心的兩側(cè)時(shí)，如圖所示為球的軸截面，由球的截面性質(zhì)知，O1AO2B，且O1，O2分別為兩截面圓的圓心，則OO1O1A，OO2O2B.設(shè)球的半徑為R，O2B249，O2B7 cm，O1A2400，O1A20 cm，設(shè)O1Ox cm，則OO2(9x) cm.在RtOO1A中，R2x2400，在RtOO2B中，R2(9x)249.x2400(9x)249，解得x15，不合題意，舍去綜上所述，球

10、的表面積為2 500 cm2.探究三 幾何體的“切”“接”問(wèn)題【例3】(1)若球的外切圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r，R，則球的表面積為()A4(rR)2B4r2R2C4rR D(Rr)2(2)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上若AB4，AC3，ABAC，AA112，則球O的半徑為()A.eq f(3r(17),2)B2eq r(10)C.eq f(13,2)D3eq r(10)【答案】(1)C(2)C分析(1)作出球與圓臺(tái)相切的軸截面(2)利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形即可求得球O的半徑解析(1)如圖為球與圓臺(tái)的軸截面，過(guò)D作DEBC，設(shè)球的半徑為

11、r1，則在RtCDE中，DE2r1，CERr，DCRr，由勾股定理得4req oal(2,1)(Rr)2(Rr)2，解得r1eq r(Rr)(舍負(fù))故球的表面積為S球4req oal(2,1)4Rr.(2)如圖，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AMeq f(1,2)BCeq f(5,2)，OMeq f(1,2)AA16，所以球O的半徑ROAeq f(13,2).歸納總結(jié)：解決幾何體與球相切或相接的策略1要注意球心的位置，一般情況下，由于球的對(duì)稱性，球心在幾何體的特殊位置，比如幾何體的中心或長(zhǎng)方體對(duì)角線的中點(diǎn)等.2解決此類問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是根據(jù)幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù)求球的直徑或半徑，關(guān)鍵

12、是根據(jù)“切點(diǎn)”和“接點(diǎn)”，作出軸截面圖，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)計(jì)算【練習(xí)3】如圖在底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4的圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為eq r(3)的圓柱，求圓柱的表面積解：設(shè)圓錐的底面半徑為R，圓柱的底面半徑為r，表面積為S.則ROC2，AC4，AOeq r(4222)2eq r(3).如圖所示，易知AEBAOC，eq f(AE,AO)eq f(EB,OC)，即eq f(r(3),2r(3)eq f(r,2)，r1.S底2r22，S側(cè)2rh2eq r(3).SS底S側(cè)22eq r(3)(22eq r(3).課后作業(yè)A組 基礎(chǔ)題一、選擇題1面積為Q的正方形，繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的側(cè)面積為

13、()AQB2QC3QD4Q【答案】B正方形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，得到的是圓柱，其側(cè)面積為S2rl2eq r(Q)eq r(Q)2Q.故選B2一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)等于上、下底面半徑和的一半，且側(cè)面積是32，則母線長(zhǎng)為()A2B2eq r(2)C4D8【答案】C圓臺(tái)的軸截面如圖， 由題意知，leq f(1,2)(rR)，S圓臺(tái)側(cè)(rR)l2ll32，l4.3圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，母線長(zhǎng)為3，圓臺(tái)的側(cè)面積為84，則圓臺(tái)較小底面的半徑為()A7B6 C5D3【答案】A設(shè)圓臺(tái)較小底面半徑為r，則另一底面半徑為3r.由S(r3r)384，解得r7.4如果三個(gè)球的半徑之比是123，那么最大球的表

14、面積是其余兩個(gè)球的表面積之和的()Aeq f(5,9)倍Beq f(9,5)倍C2倍D3倍【答案】B設(shè)小球半徑為1，則大球的表面積S大36，S小S中20，eq f(36,20)eq f(9,5).5把半徑分別為6 cm,8 cm,10 cm的三個(gè)鐵球熔成一個(gè)大鐵球，這個(gè)大鐵球的半徑為()A3 cmB6 cm C8 cmD12 cm【答案】D由eq f(4,3)R3eq f(4,3)63eq f(4,3)83eq f(4,3)103，得R31 728，檢驗(yàn)知R12.6將直徑為2的半圓繞直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)半周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為()A2B3 C4D6【答案】B由題意知，該幾何體為半

15、球， 表面積為大圓面積加上半個(gè)球面積， S12eq f(1,2)4123.7將棱長(zhǎng)為2的正方體削成一個(gè)體積最大的球，則這個(gè)球的體積為()Aeq f(16,3) Beq f(4,3) Ceq f(32,3)D4【答案】B根據(jù)題意知，此球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，所以球的直徑等于正方體的棱長(zhǎng)，故r1，所以Veq f(4,3)r3eq f(4,3).8已知某圓柱的底面周長(zhǎng)為12，高為2，矩形ABCD是該圓柱的軸截面，則在此圓柱側(cè)面上，從A到C的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為()A2eq r(10)B2eq r(5) C3D2【答案】A圓柱的側(cè)面展開圖如圖，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，且矩形的長(zhǎng)為12，寬為2，則在此圓

16、柱側(cè)面上從A到C的最短路徑為線段AC，ACeq r(2262)2eq r(10).故選A9用平行于圓錐底面的平面截圓錐，所得截面面積與底面面積的比是13，這截面把圓錐母線分為兩段的比是()A13B1 (eq r(3)1)C19 Deq r(3)2【答案】B由面積比為13，知小圓錐母線與原圓錐母線長(zhǎng)之比為1eq r(3)，故截面把圓錐母線分為1(eq r(3)1)兩部分，故選B10已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()A Beq f(3,4) Ceq f(,2) Deq f(,4)【答案】B設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R1，由圓柱兩個(gè)底面

17、的圓周在同一個(gè)球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形req r(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(2)eq f(r(3),2).圓柱的體積為Vr2heq f(3,4)1eq f(3,4).故選B二、填空題11若一個(gè)球的表面積與其體積在數(shù)值上相等，則此球的半徑為_【答案】3設(shè)此球的半徑為R，則4R2eq f(4,3)R3，R3.12如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq f(V1,V2)的值是_【答案】eq f(3,2)設(shè)球O的半徑為R，球O與圓柱O1O2的上、下底

18、面及母線均相切，圓柱O1O2的高為2R，底面半徑為R.eq f(V1,V2)eq f(R22R,f(4,3)R3)eq f(3,2).13表面積為3的圓錐，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面直徑為_【答案】2設(shè)圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r，由題意可知，rlr23，且l2r.解得r1，即直徑為2.14我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著數(shù)書九章中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中積水深九寸，則平地降雨量是_寸(注：平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；一尺等于十寸)【答案】3圓臺(tái)的軸截面是下底長(zhǎng)為12寸，上底長(zhǎng)為28寸

19、，高為18寸的等腰梯形，雨水線恰為中位線，故雨水線直徑是20寸，所以降水量為eq f(f(,3)102106629,142)3(寸)15圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10 cm和20 cm，它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角是180(如圖)，那么圓臺(tái)的體積是_【答案】eq f(7 000,3)eq r(3) cm3180eq f(2010,l)360，l20，h10eq r(3)，Veq f(1,3)(req oal(2,1)req oal(2,2)r1r2)heq f(7 000r(3),3) (cm3)三、解答題16若圓錐的表面積是15，側(cè)面展開圖的圓心角是60，求圓錐的體積解設(shè)圓錐的底面半徑為r，母

20、線為l，則2req f(1,3)l，得l6r.又S圓錐r2r6r7r215，得req r(f(15,7)，圓錐的高h(yuǎn)eq r(blc(rc)(avs4alco1(6r(f(15,7)eq sup12(2)blc(rc)(avs4alco1(r(f(15,7)eq sup12(2)5eq r(3)，Veq f(1,3)r2heq f(1,3)eq f(15,7)5eq r(3)eq f(25r(3),7).17如圖是一個(gè)底面直徑為20 cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為6 cm，高為20 cm的圓錐形鉛錘，且水面高于圓錐頂部，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降多少？解因?yàn)閳A

21、錐形鉛錘的體積為eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(6,2)eq sup12(2)2060(cm3)，設(shè)水面下降的高度為x cm，則小圓柱的體積為eq blc(rc)(avs4alco1(f(20,2)eq sup12(2)x100 x.所以有60100 x，解此方程得x0.6.故杯里的水將下降0.6 cm.18某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r1，l3，試求該組合體的表面積和體積解該組合體的表面積S4r22rl41221310.該組合體的體積Veq f(4,3)r3r2leq f(4,3)13123eq f(13,3).19已

22、知過(guò)球面上A，B，C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB18，BC24，AC30，求球的表面積和體積解因?yàn)锳BBCAC182430345，所以ABC是直角三角形，B90.又球心O到截面ABC的投影O為截面圓的圓心，也是RtABC的外接圓的圓心，所以斜邊AC為截面圓O的直徑(如圖所示)，設(shè)OCr，OCR，則球半徑為R，截面圓半徑為r，在RtOCO中，由題設(shè)知sinOCOeq f(OO,OC)eq f(1,2)，所以O(shè)CO30，所以eq f(r,R)cos 30eq f(r(3),2)，即Req f(2,r(3)r，(*)又2rAC30r15，代入(*)得R10eq r(3).所以球的表

23、面積為S4R24(10eq r(3)21 200.球的體積為Veq f(4,3)R3eq f(4,3)(10eq r(3)34 000eq r(3). B組 能力提升一、選擇題1.如圖所示，半徑為4的球O中有一內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與圓柱的側(cè)面積之差為()A24B28C32 D36【答案】C由題意知球的半徑R4，所以球的表面積為4R264.設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則r2eq blc(rc)(avs4alco1(f(h,2)eq sup12(2)42，得4r2h264，即h2644r2，所以圓柱的側(cè)面積S2rh2eq r(r2h2)2eq r(r2644r2)4eq r

24、(r216r2)4eq r(r28264)(0r4)，所以當(dāng)r28，即r2eq r(2)時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，最大值為32.此時(shí)球的表面積與圓柱的側(cè)面積之差是643232.2如果一個(gè)球的外切圓錐的高是這個(gè)球的半徑的3倍，則圓錐的側(cè)面積和球的表面積之比為()A43B31C32D94【答案】C作圓錐的軸截面，如圖，設(shè)球半徑為R，則圓錐的高h(yuǎn)3R，圓錐底面半徑req r(3)R，則leq r(h2r2)2eq r(3)R，所以eq f(S圓錐側(cè),S球) eq f(rl,4R2)eq f(r(3)R2r(3)R,4R2)eq f(3,2).3已知圓柱的側(cè)面展開圖矩形面積為S，底面周長(zhǎng)為C，它的體積是(

25、)Aeq f(C3,4S) Beq f(4S,C3)Ceq f(CS,2) Deq f(SC,4)【答案】D設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，則eq blcrc (avs4alco1(ChS，,C2r，)req f(C,2)，heq f(S,C).Vr2heq blc(rc)(avs4alco1(f(C,2)eq sup12(2)eq f(S,C)eq f(SC,4).二、填空題4如圖，已知底面半徑為r的圓柱被一個(gè)平面所截，剩下部分母線長(zhǎng)的最大值為a，最小值為b.那么圓柱被截后剩下部分的體積是_【答案】eq f(r2ab,2)采取補(bǔ)體方法，相當(dāng)于一個(gè)母線長(zhǎng)為ab的圓柱截成了兩個(gè)體積相等的部分，所以剩

26、下部分的體積Veq f(r2ab,2).圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)是10eq r(2) cm，圓柱的側(cè)面展開圖為矩形，此矩形的面積是100 cm2，則圓柱的底面半徑為_cm，高為_cm.【答案】510設(shè)圓柱底面半徑為r cm，高為h cm，如圖所示，則圓柱軸截面長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)等于它的內(nèi)接長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，則：eq blcrc (avs4alco1(2r2h210r(2)2，,2rh100，)所以eq blcrc (avs4alco1(r5，,h10.)即圓柱的底面半徑為5 cm，高為10 cm.6如圖在底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4的圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為eq r(3)的圓柱，求圓柱的表面積解設(shè)圓錐的底面半徑為R