三角函數(shù)應(yīng)用題

1、PAGE PAGE 9三角函數(shù)型應(yīng)用題1 如圖：某污水處理廠要在一個矩形污水處理池的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道，是直角頂點）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好.設(shè)計要求管道的接口是的中點，分別落在線段上.已知米，米，記.（1）試將污水凈化管道的長度表示為的函數(shù),并寫出定義域；（2）若，求此時管道的長度；（3）問：當(dāng)取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的長度.解：（1）， 由于， ， .(2) 時，,;（3）= 設(shè) 則由于，所以 在內(nèi)單調(diào)遞減，于是當(dāng)時時 ，的最大值米. 答：當(dāng)或時所鋪設(shè)的管道最短，為米.2某居民小區(qū)內(nèi)建有一塊矩形草坪ABCD，AB=50米，BC=米，為了便于居民平時休閑

2、散步，該小區(qū)物業(yè)管理公司將在這塊草坪內(nèi)鋪設(shè)三條小路OE、EF和OF，考慮到小區(qū)整體規(guī)劃，要求O是AB的中點，點E在邊BC上，點F在邊AD上，且EOF=90，如圖所示（1）設(shè)BOE=，試將的周長表示成的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；（2）經(jīng)核算，三條路每米鋪設(shè)費用均為400元，試問如何設(shè)計才能使鋪路的總費用最低？并求出最低DABCOEF總費用解：(1)在RtBOE中，OB=25, B=90，BOE=，OE=.2分在RtAOF中，OA=25, A=90，AFO=，OF=.4分又EOF=90，EF=,即6分當(dāng)點F在點D時，這時角最小，求得此時=；當(dāng)點E在C點時，這時角最大，求得此時=故此函數(shù)的定

3、義域為.8分(2)由題意知，要求鋪路總費用最低，只要求的周長的最小值即可.由（1）得，設(shè)，則，12分由，得，從而，15分當(dāng)，即BE=25時，,所以當(dāng)BE=AE=25米時，鋪路總費用最低，最低總費用為元.16分QCPSDRAB3. 如圖，ABCD是塊邊長為100的正方形地皮，其中AST是一半徑為90的扇形小山，其余部分都是平地，一開發(fā)商想在平地上建一個矩形停車場，使矩形的一個頂點P在弧ST上，相鄰兩邊CQ、CR落在正方形的邊BC、CD上，求矩形停車場PQCR面積的最大值和最小值。 T解：設(shè)延長交于令-10故當(dāng)時，S的最小值為,當(dāng) 時 S 的4如圖，在半徑為、圓心角為的扇形的弧上任取一點，作扇形的

4、內(nèi)接矩形，使點在上，點在上，設(shè)矩形的面積為,按下列要求寫出函數(shù)的關(guān)系式：（1）設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式；請你選用（1）中的一個函數(shù)關(guān)系式，求出的最大值POABQMN解：（1）因為 ， ， 所以， 2分，所以. 4分因為，所以 6分所以，即， 8分（2）選擇， 12分 13分所以. 14分5 如下圖，某小區(qū)準(zhǔn)備綠化一塊直徑為的半圓形空地，的內(nèi)接正方形為一水池，外的地方種草,其余地方種花. 若 ，設(shè)的面積為，正方形的面積為，將比值稱為“規(guī)劃合理度”.（1）試用,表示和；（2）若為定值，當(dāng)為何值 SHAPE * MERGEFORMAT 時,“規(guī)劃合理度”最??？并求出這個最小

5、值（1）在中，3分設(shè)正方形的邊長為則，由，得，故所以6分（2）， 8分令，因為，所以，則10分所以，所以函數(shù)在上遞減，12分因此當(dāng)時有最小值，此時14分所以當(dāng)時，“規(guī)劃合理度”最小，最小值為15分AB2m2mMNEDFPQCCl6 如圖所示，一條直角走廊寬為2米?，F(xiàn)有一轉(zhuǎn)動靈活的平板車，其平板面為矩形ABEF，它的寬為1米。直線EF分別交直線AC、BC于M、N，過墻角D作DPAC于P，DQBC于Q；若平板車卡在直角走廊內(nèi)，且，試求平板面的長 (用表示)；若平板車要想順利通過直角走廊，其長度不能超過多少米?解：（1）DM=，DN=，MF=，EN=， EF=DM+DN-MF-EN=+= （） （2

6、）“平板車要想順利通過直角走廊”即對任意角（），平板車的長度不能通過，即平板車的長度；記 ，有=，= 此后研究函數(shù)的最小值，方法很多；如換元（記，則）或直接求導(dǎo)，以確定函數(shù)在上的單調(diào)性；當(dāng)時取得最小值7（本小題滿分15分） 一鐵棒欲通過如圖所示的直角走廊，試回答下列問題：（1）求棒長L關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式：；（2）求能通過直角走廊的鐵棒的長度的最大值解：（1）如圖， （2）令，因為，所以，ABC則，當(dāng)時，隨著的增大而增大，所以所以所以能夠通過這個直角走廊的鐵棒的最大長度為4 15分8 如圖，A，B，C是三個汽車站，AC，BE是直線型公路已知AB120 km，BAC75，ABC45有一輛車（稱甲車）

7、以每小時96（km）的速度往返于車站A，C之間，到達車站后停留10分鐘；另有一輛車（稱乙車）以每小時120（km）的速度從車站B開往另一個城市E，途經(jīng)車站C，并在車站C也停留10分鐘已知早上8點時甲車從車站A、乙車從車站B同時開出（1）計算A，C兩站距離，及B，C兩站距離；（2）若甲、乙兩車上各有一名旅客需要交換到對方汽車上，問能否在車站C處利用停留時間交換（3）求10點時甲、乙兩車的距離（參考數(shù)據(jù)：，）（1）在ABC中，ACB60，（2）甲車從車站A開到車站C約用時間為（小時）60（分鐘），即9點到C站，至9點零10分開出乙車從車站B開到車站C約用時間為（小時）66（分鐘），即9點零6分到站

8、，9點零16分開出則兩名旅客可在9點零6分到10分這段時間內(nèi)交換到對方汽車上（3）10點時甲車離開C站的距離為，乙車離開C站的距離為，兩車的距離等于 9 如圖所示，某動物園要為剛?cè)雸@的小老虎建造一間兩面靠墻的三角形露天活動室，已知已有兩面墻的夾角為60（即），現(xiàn)有可供建造第三面圍墻的材料6米（兩面墻的長均大于6米），為了使得小老虎能健康成長，要求所建造的三角形露天活動室盡可能大，記，問當(dāng)為多少時，所建造的三角形露天活動室的面積最大？解：在中，由正弦定理：3分化簡得： 所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8分即12分所以當(dāng)即時，=14分答：當(dāng)時，所建造的三角形露天活動室的面積最大。15

9、分另解：（下同）10 某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小船沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇（1）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？（2）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設(shè)計航行方案（即確定航行方向與航行速度的大?。?，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由30AOCD解：（1）設(shè)相遇時小艇航行的距離為s海里，則s EQ r( ,900t2400230tcos(9030) E

10、Q r( ,900t2600t400)故當(dāng)t EQ F(1,3)時，smin10 EQ r( ,3)，此時v30 EQ r( ,3)即小艇以30 EQ r( ,3)海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最?。?）如圖，由（1）得OC10 EQ r( ,3)，AC10，故OCAC，且對于線段AC上任意點P，有OPOCAC而小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，故輪船與小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇設(shè)COD（0 EQ F(,2)），則在RtCOD中，CD10 EQ r( ,3)tan，OD EQ F(10 EQ r( ,3), cos)，由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時間分別為t EQ F(1010 EQ r( ,3)tan,30)和t EQ F(10 EQ r( ,3), v cos)，所以 EQ F(1010 EQ r( ,3)tan,30) EQ F(10 EQ r( ,3), v cos) ，解得v EQ F(15 EQ r( ,3),sin( EQ F(,6)又v30，故sin( EQ F(,6) EQ F( EQ r( ,3),2)，從而 EQ F(,6) EQ F(,2)由于