高中數學必修二 7.1.2 復數的幾何意義學案

1、 7.1.2 復數的幾何意義【學習目標】素 養(yǎng) 目 標學 科 素 養(yǎng)1.理解可以用復平面內的點或以原點為起點的向量來表示復數及它們之間的一一對應關系；2.掌握實軸、虛軸、模等概念；3.掌握用向量的模來表示復數的模的方法.1.數學運算;2.直觀想象；3.數學抽象【自主學習】一復平面建立直角坐標系來表示復數的平面叫做 ，x軸叫做 ，y軸叫做 實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數二復數的兩種幾何意義注意：復數zabi(a，bR)中的z，書寫時應小寫；復平面內的點Z(a，b)中的Z，書寫時應大寫三復數的模復數zabi(a，bR)對應的向量為eq o(OZ,sup6()，則eq o(

2、OZ,sup6()的模叫做復數z的?；蚪^對值，記作|z|或|abi|，即|z|abi| 如果b0，那么zabi是一個實數a，它的模等于|a|(a的絕對值)四共軛復數1.一般地，當兩個復數的實部 ，虛部 時，這兩個復數叫做互為共軛復數2.虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做 3.復數z的共軛復數用eq o(z,sup6()表示，即如果zabi，那么eq o(z,sup6() 注意：復數zabi在復平面內對應的點為(a，b)，復數eq o(z,sup6()abi在復平面內對應的點為(a，b)，所以兩個互為共軛復數的復數，它們所對應的點關于x軸對稱【小試牛刀】思維辨析(對的打“”，錯的打“”)(1)在復

3、平面內，對應于實數的點都在實軸上. ()(2)在復平面內，虛軸上的點所對應的復數都是純虛數.()(3)原點是實軸和虛軸的交點.()(4)復數的模一定是正實數.()(5)若|z1|z2|，則z1z2.()(6)若z1與z2互為共軛復數，則|z1|z2|.()【經典例題】題型一 復數與復平面內點的關系點撥：利用復數與點的對應解題的步驟(1)找對應關系：復數的幾何表示法即復數zabi(a，bR)可以用復平面內的點Z(a，b)來表示，是解決此類問題的根據(2)列出方程：此類問題可建立復數的實部與虛部應滿足的條件，通過解方程(組)或不等式(組)求解 例1 已知復數z(a24)(2a3)i，其中aR.當復

4、數z在復平面內對應的點Z滿足以下條件時，求a的值(或取值范圍)(1)Z在實軸上；(2)Z在第二象限?！靖櫽柧殹? 實數x分別取什么值時，復數z(x2x6)(x22x15)i對應的點Z在：(1)第三象限；(2)直線xy30上題型二 復數與復平面內向量的對應關系點撥：1.若復數zabi(a，bR)則復數z在復平面內對應的向量eq o(OZ,sup6()(a，b)2復平面內向量對應的復數可通過向量的坐標運算求得3一個向量不管怎樣平移，它所對應的復數是不變的，但其起點與終點對應的復數可能改變例2 已知平面直角坐標系中O是原點，向量eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()對應的復數分

5、別為23i，32i，那么向量eq o(BA,sup6()對應的復數是()A55iB55iC55i D55i【跟蹤訓練】2 在復平面內的長方形ABCD的四個頂點中，點A，B，C對應的復數分別是23i, 32i，23i，求點D對應的復數題型三 復數的模點撥：1.復數的模是非負實數，因此復數的?？梢员容^大小2.根據復數模的計算公式|abi|eq r(a2b2)可把復數模的問題轉化為實數問題解決3.根據復數模的定義|z|eq o(OZ,sup6()|，可把復數模的問題轉化為向量模(即兩點間的距離)的問題解決例3 設復數z143i，z243i.(1)在復平面中畫出復數z1，z2對應的點和向量；(2) 求

6、復數z1，z2的模，并比較它們的模的大小。【跟蹤訓練】3設zC，在復平面內z對應的點為Z，那么滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？（1）|z|=1； （2）1|z|2.【當堂達標】1.在復平面內，O為原點，向量eq o(OA,sup6()對應的復數為12i，若點A關于實軸的對稱點為B，則向量eq o(OB,sup6()對應的復數為()A2i B2iC12i D12i2.已知i是虛數單位，在復平面內，復數2i和13i對應的點之間的距離是()A.eq r(5) B.eq r(10)C5 D253.設z為純虛數，且|z1|1i|，則復數z_。4.若復數z12bi與復數z2a4i互為共軛復數，則a_，

7、b_5.已知復數z3ai，且|z|4，求實數a的取值范圍6.在復平面內，若復數z(m2m2)(m23m2)i(mR)的對應點在虛軸上和實軸負半軸上，分別求復數z.【課堂小結】1.復數的幾何意義2.復數的模復數zabi(a，bR)的模|z|eq r(a2b2)；從幾何意義上理解，表示點Z和原點間的距離，類比向量的模可進一步引申：|z1z2|表示點Z1和點Z2之間的距離【參考答案】【自主學習】復平面 實軸 虛軸 eq r(a2b2) 相等 互為相反數 共軛虛數 abi【小試牛刀】(1)(2)(3) (4)(5) (6)【經典例題】例1 解 因為z(a24)(2a3)i，所以復數z在復平面內對應的點

8、Z的坐標為(a24,2a3)(1)若點Z在實軸上，則有2a30，解得aeq f(3,2).(2)若點Z在第二象限，則有eq blcrc (avs4alco1(a240，)即eq blcrc (avs4alco1(2af(3,2)，)解得eq f(3,2)a2.【跟蹤訓練】1 解 因為x是實數，所以x2x6，x22x15也是實數(1)當實數x滿足eq blcrc (avs4alco1(x2x60，,x22x150，)即當3x2時，點Z在第三象限(2)zx2x6(x22x15)i對應點Z(x2x6，x22x15)，當實數x滿足(x2x6)(x22x15)30，即當x2時，點Z在直線xy30上例2

9、B 解析：選B.向量eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()對應的復數分別記作z123i，z232i，根據復數與復平面內的點一一對應，可得向量eq o(OA,sup6()(2，3)，eq o(OB,sup6()(3，2)由向量減法的坐標運算可得向量eq o(BA,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(23，32)(5，5)，根據復數與復平面內的點一一對應，可得向量eq o(BA,sup6()對應的復數是55i.【跟蹤訓練】2 解 由題意得eq o(OA,sup6()(2,3)，eq o(OB,sup6()(3,2)，eq o(OC,sup6()

10、(2，3)設eq o(OD,sup6()(x，y)，則eq o(AD,sup6()(x2，y3)，eq o(BC,sup6()(5，5)由題意知，eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，所以eq blcrc (avs4alco1(x25，,y35，)即eq blcrc (avs4alco1(x3，,y2，)故點D對應的復數為32i.例3 【跟蹤訓練】3【當堂達標】1.D 解析：由題意可知，點A的坐標為(1，2)，則點B的坐標為(1，2)，故向量eq o(OB,sup6()對應的復數為12i.2.C 解析：選C.由于復數2i和13i對應的點分別為(2，1)，(1，3)，因此由兩點間的距離公式，得這兩點間的距離為eq r(（21）21（3）2)5，故選C.3. i 解析：因為z為純虛數，所以設zai(aR，且a0)，則|z1|ai1|eq r(a21).又因為|1i|eq r(2)，所以eq r(a21)eq r(2)，即a21，所以a1，即zi.4. 2 4 解析：因為z1與z2互為共軛復數，所以a2，b4.