高中數(shù)學必修二 6.3.5 平面向量數(shù)量積的坐標表示學案

1、 6.3.5 平面向量數(shù)量積的坐標表示【學習目標】素 養(yǎng) 目 標學 科 素 養(yǎng)1. 掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示，會用向量的坐標形式求數(shù)量積。（重點）2. 能根據(jù)向量的坐標計算向量的模、夾角及判定兩個向量垂直。（重點）1.數(shù)學運算;2.邏輯推理【自主學習】一兩向量的數(shù)量積與兩向量垂直的坐標表示已知兩個非零向量，向量a(x1，y1)，b(x2，y2)數(shù)量積兩個向量的數(shù)量積等于它們 ，即ab 向量垂直ab 注意：公式ab|a|b|cosa，b與abx1x2y1y2都是用來求兩向量的數(shù)量積的，沒有本質(zhì)區(qū)別，只是書寫形式上的差異，兩者可以相互推導(dǎo)二與向量的模、夾角相關(guān)的三個重要公式1.向量的模：設(shè)a(

2、x，y)，則|a| .2.兩點間的距離公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq o(AB,sup6()| .3.向量的夾角公式：設(shè)兩非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a與b的夾角為，則cos eq f(ab,|a|b|) .注意：由三角函數(shù)值cos 求角時，應(yīng)注意角的取值范圍是0.【小試牛刀】思維辨析(對的打“”，錯的打“”)(1)向量的模等于向量坐標的平方和( )(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y20.( )(3)若兩個非零向量的夾角滿足cos 0，則a，b的夾角為銳角( )(5)若ab|a|b|，則a，b共線( )【經(jīng)典例題】題型一 數(shù)量

3、積的坐標運算點撥：一是先將各向量用坐標表示，直接進行數(shù)量積運算；二是先利用數(shù)量積的運算律將原式展開，再依據(jù)已知計算 例1 已知向量a(1,3)，b(2,5)，求ab，(ab)(2ab)【跟蹤訓練】1已知向量a(1，1)，b(2，x)若ab1，則x( )A1 Beq f(1,2)C.eq f(1,2) D1題型二 平面向量的模點撥：求向量的模的兩種方法：1.字母表示下的運算，利用|a|2a2，將向量的模的運算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題(2)坐標表示下的運算，若a(x，y)，則aaa2|a|2x2y2，于是有|a| eq r(x2y2). 例2 已知平面向量a(2,4)，b(1,2)，若ca(

4、ab)b，則|c|等于()A4eq r(2) B2eq r(5)C8 D8eq r(2)【跟蹤訓練】2 已知點A(0，1)，B(1，2)，向量eq o(AC,sup6()(4，1)，則|eq o(BC,sup6()|_題型三 平面向量的夾角和垂直問題點撥：解決向量夾角問題的方法1.先利用平面向量的坐標求出這兩個向量的數(shù)量積ab以及|a|，|b|，再由cos eq f(ab,|a|b|)，求出cos ，也可由cos eq f(x1x2y1y2,r(xoal(2,1)yoal(2,1) )r(xoal(2,2)yoal(2,2)直接求出cos .由三角函數(shù)值cos 求角時，應(yīng)注意角的取值范圍是0.

5、2.由于0，所以利用cos eq f(ab,|a|b|)來判斷角時，要注意cos 0也有兩種情況：一是為銳角，二是0.例3 已知a(4，3)，b(1，2)(1)求a與b夾角的余弦值；(2)若(ab)(2ab)，求實數(shù)的值【跟蹤訓練】3已知向量a(2，1)，b(，1)，且a與b的夾角為鈍角，試求實數(shù)的取值范圍【當堂達標】1.向量a(1，1)，b(1,2)，則(2ab)a(C)A1 B0 C1D22.已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5eq r(2)，則|b|()Aeq r(5) Beq r(10) C5 D253.已知向量a(1，eq r(3)，b(3，m)若向量a，b的夾角為eq f(,

6、6)，則實數(shù)m()A2eq r(3)B.eq r(3) C0 Deq r(3)4.已知A(2，1)，B(6，3)，C(0，5)，則ABC的形狀是()A直角三角形 B銳角三角形C鈍角三角形 D等邊三角形5.已知向量a(1,2)，b(m,1)若向量ab與a垂直，則m_.6.已知向量a與b同向，b(1,2)，ab10，求：(1)向量a的坐標；(2)若c(2，1)，求(ac)b.【課堂小結(jié)】3個公式1.數(shù)量積：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2.2.模長：若a(x，y)，則aaa2|a|2x2y2，于是有|a|eq r(x2y2).3.夾角：若a(x1，y1)，b(x2，y2

7、)，a與b的夾角為，可由cos eq f(x1x2y1y2,r(xoal(2,1)yoal(2,1)r(xoal(2,2)yoal(2,2)直接求出cos .由三角函數(shù)值cos 求角時，應(yīng)注意角的取值范圍是0.【參考答案】【自主學習】對應(yīng)坐標的乘積之和 x1x2y1y2 x1x2y1y20 eq r(x2y2) x1-x22+y1-y22eq f(x1x2y1y2,r(xoal(2,1)yoal(2,1) r(xoal(2,2)yoal(2,2)【小試牛刀】(1) (2) (3) (4) (5) 【經(jīng)典例題】例1 解ab123517.ab(3,8)，2a(2,6)，2ab(2,6)(2,5)(

8、0,1)，(ab)(2ab)30818.【跟蹤訓練】1 D 解析：(1)ab2x1，解得x1.故選D.例2 D 解析：易得ab2(1)426，所以c(2,4)6(1,2)(8，8)，所以|c|82+-828eq r(2).【跟蹤訓練】2 eq r(13) 解析：設(shè)C(x，y)，因為點A(0，1)，向量eq o(AC,sup6()(4，1)，所以eq o(AC,sup6()(x，y1)(4，1)，所以eq blc(avs4alco1(x4，,y11，)解得x4，y0，所以C(4，0)，所以eq o(BC,sup6()(3，2)，|eq o(BC,sup6()|eq r(94)eq r(13).例

9、3解 (1)因為ab4(1)322，|a|eq r(4232)5，|b|eq r(（1）222)eq r(5)，設(shè)a與b的夾角為，所以cos eq f(ab,|a|b|)eq f(2,5r(5)eq f(2r(5),25).(2)因為ab(4，32)，2ab(7，8)，又(ab)(2ab)，所以7(4)8(32)0，所以eq f(52,9).【跟蹤訓練】3 解a與b的夾角為鈍角，ab0，即(2，1)(，1)21eq f(1,2).又當a與b反向時，夾角為180，即ab|a|b|，則21eq r(5)eq r(21)，解得2.由于a與b的夾角為鈍角，故應(yīng)排除a與b反向共線的情況，即排除2，則實數(shù)

10、的取值范圍為eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，2)(2，)【當堂達標】1.C解析：a(1，1)，b(1,2)，(2ab)a(1,0)(1，1)1.2.C 解析：|ab|5eq r(2)，|ab|2a22abb25210b2(5eq r(2)2，|b|5，故選C3.B 解析：因為a(1，eq r(3)，b(3，m)所以|a|2，|b|eq r(9m2)，ab3eq r(3)m，又a，b的夾角為eq f(,6)，所以eq f(ab,|a|b|)cos eq f(,6)，即eq f(3r(3)m,2r(9m2)eq f(r(3),2)，所以eq r(3)meq r(9m2)，解得meq r(3).4.A 解析：選A.由題設(shè)知eq o(AB,sup6()(8，4)，eq o(AC,sup6()(2，4)，eq o(BC,sup6()(6，8)，所以eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()28(4)4