反三角函數(shù)求導公式證明

1、12.3反函數(shù)的導數(shù)，復合函數(shù)的求導法則一、反函數(shù)的導數(shù)設x=（y）是直接函數(shù)，y二f（x）是它的反函數(shù)，假定x=（y）在y內(nèi)單調(diào)、可導，而且（y）,0，則反函數(shù)y二f（x）在間Ix二x1x=（y），yIy內(nèi)也是單調(diào)、可導的，而且(1)證明：x，給x以增量A(&,，x+AxIx)11由yf（x）在x上的單調(diào)性可知Ay二f(x+Ax)-f(x),0Ay1AxAx/于是Ay因直接函數(shù)x（y）在y上單調(diào)、可導，故它是連續(xù)的，且反函數(shù)yf（x）在x上也是連續(xù)的，當AxT0時,必有AyT01即：廣（x）師Ay11limlimAxT0AxAyT0A(y)例1】試證明下列基本導數(shù)公式(1).(2).(3).

2、(arcsinx)，-11一x2(arctgx)1+x2(logax)-xlna11證1、設x二Siny為直接函數(shù)，y二arcsinx是它的反函數(shù)xsiny，（一石S）xcosy,0函數(shù)xsmy在y22上單調(diào)、可導，且丿因此，在Ix=（一D上，有111(arcsinx)-cosy時cosy0cosy1一sin2y=1一x2111(arcsinx)因此，1-x2兀證2設x附，Iy(2y=arctgxI=(g,+s)則，xIxx=tgy在y上單調(diào)、可導且-0cos2y(arctgx)故1=COS2y=(tgy)1+tg2y1+x2(logax)=證311(ay)aylnaxlna類似地，我們可以證

3、明下列導數(shù)公式:1(arccosx)=，(arcctgx(Inx)=、復合函數(shù)的求導法則如果u=(x)在點x0可導，而y二f(u)在點u0=(x0)可導，則復合函數(shù)y=f(x)在點x0可導，且導數(shù)為=廣叫)(x)dydxx_xlimAy二f(u)證明：因AuT0A0，由極限與無窮小的關系,Ay=f(u)Au+aAu(當AuT0時,at0)0用Ax豐0去除上式兩邊得:Ay二f(u)Au+a.AuAx0AxAx由u=(x)在x0的可導性有：lima=lima=0AxT0OAuT0，AxT0Aut0AyAuAu_,lim=limf(u)+a-AxT0AxAxT00AxAx=f(u)limAu+lim

4、alimAu0Axt0AxAxt0Axt0Ax二廣(uS(xdy即dxx=x0=八uo)-(xo)上述復合函數(shù)的求導法則可作更一般的敘述：u=(x)Iy=f(u)I若在開區(qū)間x可導，在開區(qū)間u可導，且xGIx時，對應的uGIu，則復合函數(shù)y=f(x)在x內(nèi)可導，且dydydudxdudx復合函數(shù)求導法則是一個非常重要的法則，特給出如下注記:、求導法則稱之為鎖鏈法則復合函數(shù)y二W站二卩(文)的變量關系鏈為；y-ux欲求，對詆的導數(shù)，先y對%的尋害再求的導數(shù)中最后將它們相乘.dudx門睛點癥頗藤攬瓜啲味道弄懂了鎖鏈規(guī)則的實質(zhì)之后，不難給出復合更多層函數(shù)的求導公式。dy【例2】y=dx求引入中間變量

5、,u=(V)，是變量關系是由鎖鏈規(guī)則有:xdy_dydudvdxdudvdx（2）、用鎖鏈規(guī)則求導的關鍵引入中間變量，將復合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)。還應注意：求導完成后，應將引入的中間變量代換成原自變量。dyysin2xdr【例3】求丿的導數(shù)dX。u2rysinuu2x解：設u一2x，則丿，u一2x，由鎖鏈規(guī)則有:dy_dydxdududx(sinu)，-(2x)，(cosu)-22cos2xx，求【例4】設由鎖鏈規(guī)則有dy_dydudv111dxdudvdxucos2v2111xx2tgCOS2（基本初等函數(shù)求導）22（消中間變量）1sinx,xdyyln堆2*dxxx由上例，不難發(fā)現(xiàn)復合函數(shù)求導竅門中間變量在求導過程中，只是起過渡作用，熟練之后，可不必引入，僅需“心中有鏈”。然后，對函數(shù)所有中間變量求導，直至求到自變量為止，最后諸導數(shù)相乘。請看下面的演示過程:dydx-(intg)，-tg/xx(t