十一講結構優(yōu)化設計中近似技術

1、結構優(yōu)化設計中的近似技術Approximation Techniques in the Structural Optimum Design1 概述在近似技術未提出之前, 為求解大型復雜結構優(yōu)化設計問題, 曾遭遇到下列諸多問題 : 1) 需要考慮的設計變量的數量太多; 2) 在優(yōu)化過程中需要處理的約束條件方程的數量太多; 3) 在優(yōu)化迭代過程中, 需要反復進行完整的結構有限元分析的次數太多. 這些問題, 導致迭代次數太多, 收斂慢, 花費大量計算時間,甚至難以獲得最優(yōu)解, 阻礙了數學規(guī)劃法在結構優(yōu)化設計中的應用.1自1976年L. A. Schmit 和H. Miura 提出近似技術以來, 近似

2、技術在大型結構優(yōu)化設計中獲得了廣泛應用. “近似技術” 概念的提出, 對數學規(guī)劃法在結構優(yōu)化設計中的應用前景是一次大進步, 同時也推動了整個結構優(yōu)化設計領域的發(fā)展。2什么是近似技術？比如： (1) 將一個真實結構理想化為一般結構有限元分析模型. 這其中對真實結構不同程度的簡化便是近似技術的具體應用； (2) 將一個理想化的結構有限元分析模型離散化為若干個有限單元, 有限單元類型和有限單元數量多少的選取也是近似技術的具體應用。3在結構優(yōu)化設計中所采用的近似技術主要包括: A. 設計變量連接, 以減少設計變量數; B. 約束暫時刪除或約束截斷, 以減少約束條件的數量; C. 對高度非線性隱含的約束

3、條件實行高質量的顯式近似處理; D. 對原規(guī)劃問題實行對偶規(guī)劃求解法.4通過近似技術處理, 將使原來復雜的問題變?yōu)橄鄬π〉暮唵蔚男蛄薪谱訂栴}, 并保持原問題的基本特性, 通過逐次逼近最終獲得原問題的最優(yōu)解.52 結構優(yōu)化設計問題一般的結構優(yōu)化設計問題可以按下列標準形式來描述: “ 在事先給定參數和載荷條件下, 尋找設計變量相量X, 使得結構重量最輕, 同時滿足應力, 位移, 穩(wěn)定, 頻率和尺寸約束.” 在數學上可表示為 P 0:63 設計變量連接Design Variable Linking從設計角度看, 既沒有必要也不希望使每一個有限單元都擁有自己獨立的設計變量. 設計變量連接是用來減少獨

4、立設計變量數的.其基本的方法是: 將結構按有限單元的不同, 根據結構組成特點或受力特點劃分成若干連接小組.在被連接的一組有限單元內, 所有有限單元的設計尺寸由一個或幾個獨立設計變量所控制.7例1 考慮桿系結構如圖6-1,設計變量是桿截 A i , 從計算效率和 結構對稱性考慮 A3 = A2 A4 = A1 A8 = A7 A9 = A6 其中, A3, A4, A8, A9 為相關變量, 該桿系結構的設計變量有原來的 10 個減小到 6 個.8例2 三角形機翼平面 三角形機翼平面根據其受力特點和傳力路線,可以劃分成若干個區(qū)域. 在每一個區(qū)域中, 所有有限單元共有一個獨立設計變量, 如圖6-2

5、. 這里, 設計變量連接確定予選區(qū)域中有限單元的相對關系. 假設原三角機翼平面每個有限單元都有自己的設計變量 X j , 按區(qū)域劃分后, 新的獨立設計變量用 t C 表示. 向量X中的每一個分量 X j 只與一個新的獨立設計變量 t C 成比例. 數學上可表示為 9在此例中, 原來的35個有限單元被新的10個獨立設計變量所連接104 減少不等式約束數區(qū)域化法 Regionalization method 區(qū)域化法的一個重要特點是專門用來減少應力約束數。 區(qū)域化法是以設計變量連接為基礎的. 每一個獨立的設計變量所對應的子區(qū)域即可作為應力約束區(qū)域化的范圍. 在該區(qū)域內只需選一個臨界約束進入當前的優(yōu)

6、化問題. 這里需要指出的是, 在一個給定結構型式下, 結構的傳力路線不會因設計路線的變化而改變, 只是隨設計變量值的變化, 載荷大小重新分配.因此, 臨界約束的位置在優(yōu)化過程中不會有突然性的變化 . 這就保證了區(qū)域化方法實施的可能性. 114 減少不等式約束數(2)約束刪除概念 “Throw away” or Constraint deletion concept 這種方法對任何一種類型的約束都適用. 其基本思想是: 那些不重要的( 多余的或非臨界的 )約束可以暫時刪除. 一個結構優(yōu)化設計問題, 通常包含有大量的性狀約束( 不同載荷條件下的應力約束和位移約束等 ), 結構經過一次完整的有限元分

7、析后, 可以獲得結構有限元各節(jié)點沿各坐標方向的位移( 變形 )及各有限單元內的各應力分量. 假設d i ( t ) 代表第 i個響應量( 位移或應力 )的計算值室, 通常給予它如下的約束限制條件 為了便于比較和計算, 這些響應量約束表達式將變成標準的無量綱的響應比形式 124 減少不等式約束數(3)當響應比達到或者接近于1時, 所對應的性狀約束變成為臨界約束. 約束條件可以用響應比來表示, 則有 g i (t) = Ri(t) 1 0 一種簡單而有效的策略用來暫時刪除所有非臨界約束 , 即響應比小于某個規(guī)定的約束截斷參數“CTP (Constraint Truncation Parameter

8、 )”, CTP = min max Rc , 0.3, 0.7 其中, RC 為取小數點后一位中最大的響應比 , 例如, 若max Ri (t)| tNSC = 0.56, 則 RC = 0. 5 . 13例 Stress Constraints Displacement Constraints N Ri gi N Ri gi 1 0.23 -0.77 1 0.46 -0.54 2 0.79 -0.21 2 0.36 -0.64 3 0.88 -0.12 3 0.54 -0.46 4 0.74 -0.26 4 0.94 -0.06 5 0.92 -0.08 5 0.49 -0.51 6 0.

9、37 -0.63 6 0.72 -0.28 7 0.42 -0.58對應力約束, 取 CTP = min max Rc, 0.5 , 0.7 = 0.7 對位移約束, 取 CTP = min max Rc , 0.7, 0.9 = 0.9 14據此, 保留下來的約束應是: 應力約束為 Rc = 0.79, 0.88, 0.74, 0.9 , 位移約束為 Rc = 0.94. 該例中總約束數由13個減少到5個. 在迭代過程中, 實際保留下來的約束數是在不斷改變的, 有的約束條件這次迭代可能進入臨界約束中, 而在下一次迭代時則可能又被暫時刪除掉了, 也可能某些臨界約束始終保留著。 155 高質量的

10、顯式近似表達式The explicit approximation with the high qualities 有效求解結構優(yōu)化問題的一個關鍵因素是建立或構造準確的顯式近似表達式. 因為通常結構的性狀約束函數多是隱含的, 非線性的. 而這些約束準確值的獲得需要通過完整的結構分析. 約束條件非線性程度越高, 優(yōu)化問題的求解就越困難. 因此, 求解大型復雜結構優(yōu)化設計問題的一條有效途徑是將原來非線性隱式約束通過一定的方法使之變成顯式線性( 或準線性 )約束, 用一系列顯式線性化子問題來逐次逼近原問題的解. 對于一個顯式線性問題可以采用很多有效方法來求解。這樣便把一個十分復雜的結構優(yōu)化求解問題變

11、得簡單易行. 從而使結構優(yōu)化設計研究領域又向前大大推進了一步. 16從結構優(yōu)化設計的發(fā)展歷程看, 在其發(fā)展中期先后有如下四種顯式線性近似方法 : 1. 簡單線性近似 SLA ( Simple Linear Approximation ) 2. 簡單倒數近似 SIA ( Simple Inverse Approximation ) 3. 簡單混合近似 SHA ( Simple Hybrid Approximation ) 4. 移動漸近線法MMA ( Method of Moving Asymptotes1770年代中, 提出用倒數設計變量代替正設計變量, 以改善約束方程的準線性化程度. 這同當

12、時的有限元分析水平是一致的. 在所采用的桿單元, 受剪板單元和常應變三角板單元中, 其應力, 位移相對于倒數變量恰好是線性的, 但目標函數相對于倒數變量是非線性的.設倒數變量為 Zj = 1/tj , j = 1 , NIDV , 其規(guī)劃問題可寫成 P1: 在倒數變量空間, 如果目標函數按倒數變量的二階展開, 約束條件仍然按一階展開, 則構成一個典型的二次規(guī)劃問題, 可以寫成 P2: 18簡單混合近似是80年代初才興起的一種近似手段.最初的想法是試圖用混合近似得到性狀約束 ( 特別是穩(wěn)定約束 ) 保守的近似表達式.所謂混合近似, 即在線性化的過程中, 分別相對于正變量和倒數變量取近似, 例如,

13、 對于約束條件, 建議采用下述混合近似表達式：按混合近似展開, 所得顯式凸的子規(guī)劃問題為 P3:19用混合近似將得到一個更加安全保守的近似子空間.20其中上式可簡化為216 對偶求解法Dual solution method80年代初以來, 近似技術聯合對偶方法產生了許多非常有效的算法, 這種策略被分別應用到最優(yōu)性準則, 二次規(guī)劃和非線性規(guī)劃問題, 從而推動工程結構優(yōu)化設計的發(fā)展.在線性規(guī)劃法中, 可以知道, 任何一個線性規(guī)劃問題都有另一個線性規(guī)劃問題與之對應, 這兩個規(guī)劃問題之間有著相當密切的關系. 一個規(guī)劃被稱為另一個規(guī)劃的對偶規(guī)劃. 對一般非線性規(guī)劃問題, 也存在著相似的對偶性理論, 但

14、由于解非線性規(guī)劃存在一定困難, 所以阻礙了這種方法在非線性規(guī)劃中的應用. 自近似技術應用于非向性規(guī)劃問題之后, 使這一方法在非線性規(guī)劃中的應用也獲得了新生.22鞍點 Saddle points任何一個函數 F( X, Y ) 若滿足下式 F( X*, Y ) F( X*, Y* ) F( X , Y* ) 則函數不清F( X , Y ) 在( X* , Y* )點有一個鞍點. 如果這種情況存在, 函數 F( X*, Y* ) 相對 X 具有極小點, 相對 Y 具有極大點. 如下圖.23在我們經常用到的拉格朗奇乘子函數和K T 定理中, 拉格朗奇函數 L( t , ) 在最優(yōu)點 ( t* , *

15、 ) 也是一個鞍點. 在該點, 函數相對 t* 有極小值, 相對 * 有極大值. 拉格朗奇函數 242 最大最小問題Max Min Problems如前所述, ( t* , * ) 定義了拉格朗奇函數的一個鞍點,出在該點, 函數相對 取極大值, 相對 t 取極小值. 我們可以單獨按 來定義這個函數 L ( ) = min t L( t, ) 即在 L( t, ) 中, 單獨對 t 先求極小值, 解出相對 的函數關系, 代入原函數中, 即得僅是 的函數表達式. 然后, 再對L ( )求極大, 這一過程, 可以表示成 max| L ( ) = max| min|t L( t, ) 反過來, 也可以

16、先對 求極大, 再對 t 求極小. min| t L ( t ) = min| t max| L( t, ) 這便是最大最小問題, 它在對偶規(guī)劃求解中將起關鍵作用. 252 最大最小問題Max Min Problems例6-1 求 min F=1/t s.t. g ( t ) = t 1 0 t 0解: 其拉格朗奇函數為 L( t, ) = 1/t - ( t 1 ) 先對 t 取極值 t L( t, ) = - 1/t2 + = 0 得 t = 1/( )1/2 將所得結果代入L( t, ) 式中, 有 L( ) = ( )1/2 + (1/( )1/2 1 ) = 2 ( )1/2 - 對

17、 取極值 L( ) = 1/( )1/2 1 = 0 由此得 * = 1 代入 t 的表達式中, 得 t* = 1, F(t*) = 1 注意到 t L( t, ) 對 t 再取一階偏導數 t2 L( t, ) = 1/t3 0 L( t, )對 再取一階偏導數 2 L( t, ) = - 1/( )3/2 0 因此, 函數 L( t, ) 對 t* 有極小值, 對 * 有極大值.2627 例4-2的原問題和對偶問題283原問題與對偶問題Primary Problems and Dual Problems按對偶原理, 我們可以定義一個非線性規(guī)劃的原問題為在原問題中, 設計變量為 t , 而在對

18、偶問題中的對偶變量為. 根據對偶原理, 如果我們能求解原問題, 則對偶問題的解可隨之求得; 反之, 若先求解對偶問題, 則原問題可隨之導得, 并且, 這兩個對應問題的目標函數有相同的值.294 計算考慮Computation Considerations 對偶方法在線性規(guī)劃中廣泛用來改進優(yōu)化的有效性。但是, 在過去這種方法對非線性規(guī)劃卻很少有吸引力。問題的關鍵在于, 缺乏一種有效的方法來處理對偶問題中的原設計變量, 即兩種設計變量交織在一起, 無法求解。如果一個非線性規(guī)劃問題在數學上是可分的, 則對偶方法就變得有吸引力了。當目標函數和約束條件分別為各獨立設計變量的函數的和時, 則該問題存在可分性, 例如, 下述規(guī)劃問題 min F( t ) =f 1 ( t ! ) + f 2 ( t 2 ) + + f n ( t n ) s . t . g i ( t ) = g i1( t 1 ) + g i2( t 2 ) + + g in (